质心与质心运动定律
质心运动定律
mi ai
i
N
m
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
质心的特点与求法 质心系
5
质心的求法
(1) 分立质点系的质心
rC
mi ri
i 1
N
m
在直角坐标系下可以表示为：
xC
m x
i
i i
m
, yC
m y
i i
i
m
, zC
m z
i
i i
m
6
D 三质点在某一时刻的位置坐标 B、 例4.1.2-1 A 、
N i
N
ac
Fi
i
质心位置矢量:
rC Biblioteka mi ri m应用： 运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆） F 0 ，自然界如没摩擦力 的情形设想……
4
质心速度:
drC vC dt
2
mi vi
i
N
m
d rC 质心加速度: a C 2 dt
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心
多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每 个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公
共质心。
例4.1.2-3 如例4.1.2-3图所示，半径为 R 、质量为 m 、
R 质量分布均匀的圆盘，沿某半径方向挖去半径为 2 的小圆
盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
0, yC y边 ，则系统的质心为：
1 1 R Yc yC dm y边 (2 x边 dy边 ) m m 0
dy边
1 R 4R 2 2 y边 (2 R y边 dy边 ) m 0 3π
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理
质心运动守恒定理，也称为质心运动定理，是物理学中的一个重要定理，用于描述系统总质量的质心在不受外力作用时的运动特性。
质心是一个系统的所有质点的质量加权平均位置。
在不受外力作用的情况下，质心的运动有一个重要的特性：系统的质心以恒定的速度直线运动。
质心运动守恒定理的表述如下：
在一个封闭系统中，如果系统内部没有外力作用，那么系统的质心将以恒定的速度沿着直线运动。
这意味着，如果一个系统内部没有物体离开或进入，系统的总质量保持不变，而且系统的质心在运动过程中不会改变速度或方向。
质心运动守恒定理是一个非常有用的工具，特别在研究大规模物体组成的系统时，如行星运动、天体运动等。
需要注意的是，如果系统受到外力作用，那么质心运动守恒定理将不再适用，质心的运动将会受到外力的影响。
因此，在具体问题中，需要根据情况来判断是否可以应用质心运动守恒定理。
1/ 1。
高中二物理竞赛质心,质心运动定理课件
质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC
=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'
大学物理质心质心运动定律ppt课件
3-9 质心 质心运动定律
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
➢ 圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
n n
m'vC mivi pi
n
再对时间
t
i 1
i 1
求一阶导数，得
m'aC
d( pi )
i 1
dt
第三章 动量守恒和能量守恒
11
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
根据质点系动量定理
n
n
dpi
i1 dt
n Fi e x
i 1
（因质点系内 Fiin 0 ）
F ex
i 1 m' dvC
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
而 y R cosθ
y
Rsin θ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
π
其所质以心yC位矢R：r0C2
cos
R
sin
2j
d
R
2
第三章 动量守恒和能量守恒
9
物理学
dt
m'aC
作用在系统上的合外力等于系统的总
06-6质心力学定理
V M
C O
的速度) 对 的速度 又 ∵ v ≈ v ′ ( v ′是m对M的速度 1 ∴ m υ ′ 2 + ∆E引 = 0 2 地球参考系不是惯性系⇒ • 地球参考系不是惯性系⇒ 动量守恒不成立 地球参考系仍可正确表示系统的功能 功能关系 • 地球参考系仍可正确表示系统的功能关系
03/2006 S.H.Deng
12
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. 质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和. S.H.Deng
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义： 定义：E C = Mgh C
E =
i i i
——质心重力势能 质心重力势能
质点组重力势能 ∑ m gh ——质点组重力势能 M =∑m ∑m h E = ∑ m gh = g ∑ m h = g ∑m ∑m
× m i v iC ) + ∑ (riC × m i v C )
i
S.H.Deng
i
OiBiblioteka C03/200614
理学院 邓胜华
第6章 质心力学定理
L = rC × ∑ m i v C + ∑ (riC × m i v iC ) + rC × ∑ (m i v iC ) i i i + ∑ (m i riC ) × v C
质心动量的改变量等于和外力的冲量. 质心动量的改变量等于和外力的冲量.
dv C = 又：M dt
∑F
i
i
即 M aC =
∑F
i
i
——质心运动定理 质心运动定理
质点组总质量与质心加速度的乘 积等于质点组所受到的合外力. 积等于质点组所受到的合外力. S.H.Deng 03/2006
3_9质心 质心运动定律
xc 0 yc0
m2 x20 1.5m m1 m2 m1 y10 1.9m m1 m2
3m
B 0 4m x
F2
3-9 质心 质心运动定律 由质心运动定律
dvx Fx F1 (m1 m2 ) dt dvy Fy F2 (m1 m2 ) dt
根据初始条件t=0时，v=0，对 上式积分得：
对质量连续分布的物体： 1 1 1 z y y d m xC x d m C C m' m' m'
zd m
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
3-9 质心 质心运动定律
二 质心运动定律
rC
n
mi ri
i 1
n
y
m2
r2
m ri i
再对时间 t 求一阶导数，得 m 'aC
n
d( pi )
i 1
n
根据质点系动量定理
d( pi )
i 1
dt
ex F
dvC m' m' aC dt
dt
ex F
作用在系统上的合外力等于系统的总 质量乘以质心的加速度——质心运动定律
3-9 质心 质心运动定律
ex F
dvC m' m' aC dt
质心运动定律与牛顿第二定律在形式上完全相同， 相当于系统的质量全部集中于系统的质心，在合外力 的作用下，质心以加速度运动。 说明： 1）坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； 2）对于密度均匀，形状对称的物体，其质心在物 体的几何中心处； 3）质心不一定在物体上，例如圆环的质心在圆环的 轴心上；
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
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质心与质心运动定律
一、质心
1. 定义
我们先来回顾一下牛顿第二定律:
是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实
存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊
点称为质心.
2. 质心的位置
如果将质点系各质点参量记为m
i 、r
i
、v
i
、x
i
、y
i
、z
i
……，质点系质心记为C
则
对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分
别记为m
1和m
2
，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：
二、质心运动定律
1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，
在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题
1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心
2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m
1、m
2
的木块，放在
光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：
体系的总动量为：
质心的动能为：
质点系相对质心的动能为：
质点系的总动能为：（克尼希定理）
☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。