湖北省荆州市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)
湖北省荆州市2021年中考数学试卷 一、单选题（共10题；共20分） 1.在实数 −1 ，0， 12 ， √2
中，无理数是（ ）
A. −1 B. 0 C. 12 D. √2
【答案】 D 【考点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在实数 −1 ，0， 12 ， √2 中，无理数是 √
2
，
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环; 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等, 即可判定. 2.如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】完全平方公式的几何背景，简单组合体的三视图 【解析】【解答】解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切， 故答案为：A.
【分析】俯视图是由视线由上向下看在水平面所得的视图，看图即知俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切即可解答. 3.若等式 2𝑎2⋅𝑎 +（ ）= 3𝑎3 成立，则括号中填写单项式可以是（ ） A. a B. 𝑎2 C. 𝑎3 D. 𝑎4 【答案】 C 【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解：∵ 3𝑎3 - 2𝑎2⋅𝑎 = 3𝑎3 - 2𝑎3 = 𝑎3 ， ∴等式 2𝑎2⋅𝑎 +（ 𝑎3 ）= 3𝑎3
成立， 故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法法则和合并同类项的法则解答即可. 4.阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ） 如图：已知直线 𝑏//
𝑐 ， 𝑎⊥𝑏 ，求证： 𝑎⊥𝑐 .
证明：①∵ 𝑎⊥𝑏 （已知） ∴ ∠1=90° （垂直的定义）
②又∵ 𝑏
//
𝑐 （已知）
③∴ ∠1=∠2 （同位角相等，两直线平行） ∴ ∠2=∠1=90° （等量代换）
④∴ 𝑎⊥𝑐 （垂直的定义）. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】 C 【考点】平行线的性质 【解析】【解答】解：①∵ 𝑎⊥𝑏 （已知） ∴ ∠1=90° （垂直的定义）
②又∵ 𝑏
//
𝑐 （已知）
③∴ ∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∴ ∠2=∠1=90° （等量代换）
④∴ 𝑎⊥𝑐 （垂直的定义）.所以错在③ 故答案为：C.
【分析】由垂直的定义得出∠1=90° ， 由两直线平行，同位角相等得出∠1=∠2，然后由等量代换得出∠2=∠1=90°，最后由垂直的定义可得a⊥c. 5.若点 𝑃(𝑎+1,2−2𝑎) 关干x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D. 【答案】 C 【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵ 𝑃(𝑎+1,2−2𝑎) ∴点P 关于x轴的对称点 𝑃′ 坐标为 𝑃′(𝑎+1,2𝑎−2)
∵ 𝑃′ 在第四象限
∴ {
𝑎+1>0
2𝑎−2<0
解得： −1<𝑎<1 故答案为：C
【分析】关于x轴对称点的坐标特点是横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出P'点坐标，然后根据第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0的特点列不等式组求解，并把其解集在数轴上表示出来即可.
6.已知：如图，直线 𝑦1=𝑘𝑥+1 与双曲线 𝑦2=2𝑥 在第一象限交于点 𝑃(1,𝑡) ，与x轴、y轴分别交于
A，B两点，则下列结论错误的是（ ）
A. 𝑡=2 B. △𝐴𝑂𝐵 是等腰直角三角形 C. 𝑘=1 D. 当 𝑥>1 时， 𝑦2>𝑦1 【答案】 D 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵直线 𝑦1=𝑥+1 与双曲线 𝑦2=2𝑥 在第一象限交于点 𝑃(1,𝑡) ， ∴ 𝑡=21=2 ，即： 𝑃(1,2) ，故A正确，不符合题意，
把 𝑃(1,2) 代入 𝑦1
=𝑘𝑥+1 得： 2=𝑘+1 ，解得：k=1，故C正确，不符合题意，
在 𝑦1=𝑥+1 中，令x=0，则 𝑦1=1 ，令y1=0，则x=-1， ∴A(-1，0)，B(0，1)，即：OA=OB， ∴ △𝐴𝑂𝐵 是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意， 由函数图象可知：当 𝑥>1 时， 𝑦2<𝑦1 ，故D错误，符合题意. 故答案为：D.
【分析】首先利用待定系数法求出t和k，然后求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，则可得出OA、OB的长，则可得出△AOB是等腰直角三角形，然后根据一次函数的性质可得𝑦2<𝑦1.
7.如图，矩形 𝑂𝐴𝐵𝐶 的边 𝑂𝐴 ， 𝑂𝐶 分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在 𝑂𝐴 的延长线上.若 𝐴(2,0) ， 𝐷(4,0) ，以O为圆心、 𝑂𝐷 长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接 𝐷𝐸 ，
𝐵𝐸 、则 ∠𝐵𝐸𝐷 的度数是（ ） A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 【答案】 C 【考点】坐标与图形性质，矩形的判定与性质，圆周角定理 【解析】【解答】解：连接OB，如图所示，
∵ 𝐴(2,0) ， 𝐷(4,0) ， ∴ 𝑂𝐴=2,𝑂𝐵=𝑂𝐸=𝑂𝐷=4 ，
∴ 𝑂𝐴=12𝑂𝐵 ，
∵四边形 𝑂𝐴𝐵𝐶 是矩形， ∴ ∠𝑂𝐴𝐵=90° ， ∴ ∠𝑂𝐵𝐴=30° ， ∴ ∠𝐵𝑂𝐷=90°−∠𝑂𝐵𝐴=60° ，
∴ ∠𝐵𝐸𝐷=
1
2∠𝐵𝑂𝐷=30° ；
故答案为：C. 【分析】连接OB，根据A、D点坐标推出OB=12OA，从而求出∠OBA=30°，然后由同圆中圆周角和圆心角的关系即可求出∠BED. 8.如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶 ， ∠𝐴=40° ，点D，P分别是图中所作直线和射线与 𝐴𝐵 ， 𝐶𝐷 的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. 𝐴𝐷=𝐶𝐷 B. ∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑃 C. ∠𝐵𝑃𝐶=115° D. ∠𝑃𝐵𝐶=∠𝐴 【答案】 D 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，作图-角的平分线，作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC， ∴ 𝐴𝐷=𝐶𝐷 ， ∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝑃 ；选项A、B正确； ∵ ∠𝐴=40° ， ∴∠ACD=∠A =40°， ∵ ∠𝐴=40° ， 𝐴𝐵=𝐴𝐶 ， ∴∠ABC=∠ACB =70°， ∴ ∠𝐴𝐵𝑃=∠
𝐶𝐵𝑃=35∘
≠∠𝐴 ，选项D错误；
∠𝐵𝐶𝑃=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐷=70°−40°=30°,
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故答案为：D
【分析】根据作图过程可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，然后由角平分线的定义和垂直平分线的性质可知AD=CD，∠ABP=∠CBP，结合∠A的度数，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB，则∠PBC和∠BPC可求. 9.如图，在菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， ∠𝐷=60° ， 𝐴𝐵=2 ，以B为圆心、 𝐵𝐶 长为半径画 𝐴𝐶⌢ ，点P为菱形
内一点，连接 𝑃𝐴 ， 𝑃𝐵 ， 𝑃𝐶 .当 △𝐵𝑃𝐶 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A. 23𝜋−√3+12 B. 23𝜋−√3−12 C. 2𝜋 D. 2𝜋−√3−12 【答案】 A 【考点】含30°角的直角三角形，菱形的性质，等腰直角三角形，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， ∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部， 很显然， ∠𝑃𝐵𝐶<90°
①若∠BCP=90°，则CP=BC=2 这C作CE⊥AD，交AD于点E， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°
∴CE=CDsin∠D=2 ×
√3
2=√3<2
∴点P在菱形ABCD的外部， ∴与题设相矛盾，故此种情况不存在； ②∠BPC=90° 过P作PF⊥BC交BC于点F， ∵△BPC是等腰直角三角形，
∴PF=BF= 12 BC=1
∴P(1，1)，F(1，0) 过点A作AG⊥BC于点G， 在Rt△ABG中，∠ABG=60° ∴∠BAG=30°
∴BG= 12𝐴𝐵=1 ，AG= √3𝐵𝐺=√3
∴A (1,√3) ， 𝐺(1,0) ∴点F与点G重合 ∴点A、P、F三点共线 ∴ 𝐴𝑃=𝐴𝐹−𝑃𝐹=√3−1
∴ 𝑆
𝛥𝐴𝐵𝑃=12×1×(√3−1)=
√3−1
2
𝑆𝛥𝐵𝑃𝐶=12×2×1=1
𝑆扇形𝐵𝐴𝐶=60𝜋×22360=2𝜋3
∴ 𝑆
阴影=𝑆扇形𝐵𝐴𝐶
−𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃−𝑆𝛥𝐵𝑃𝐶=2𝜋3−√3−12−1=2𝜋3−√3+12
湖北省武汉市2021年中考数学试题真题(Word版+答案+解析)
湖北省武汉市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2019·朝阳）3的相反数是（ ）A. 3B. -3C. 13 D. −13 2.（2021·武汉）下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C. 打开电视机，正在播放广告D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级3.（2021·武汉）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.4.（2021·武汉）计算 (−a 2)3 的结果是（ ）A. −a 6B. a 6C. −a 5D. a 55.（2021·武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.6.（2021·武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）A. 13 B. 12 C. 23 D. 347.（2021·武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱，则下列方程正确的是（ ） A. 8(x −3)=7(x +4) B. 8x +3=7x −4 C.y−38=y+47D.y+38=y−478.（2021·武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y （单位： km ）与慢车行驶时间 t （单位： h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）A. 53h B. 32h C. 75h D. 43h 9.（2021·武汉）如图， AB 是 ⊙O 的直径， BC 是 ⊙O 的弦，先将 BC ⌢ 沿 BC 翻折交 AB 于点 D .再将 BD⌢ 沿 AB 翻折交 BC 于点 E .若 BE ⌢=DE ⌢ ，设 ∠ABC =α ，则 α 所在的范围是（ ）A. 21.9°<α<22.3°B. 22.3°<α<22.7°C. 22.7°<α<23.1°D. 23.1°<α<23.5°10.（2021·武汉）已知 a ， b 是方程 x 2−3x −5=0 的两根，则代数式 2a 3−6a 2+b 2+7b +1 的值是（ ）A. -25B. -24C. 35D. 36二、填空题11.（2018八下·兴义期中）计算 √(−5)2 的结果是________12.（2021·武汉）我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是________.13.（2021·武汉）已知点 A(a,y 1) ， B(a +1,y 2) 在反比例函数 y =m 2+1x（ m 是常数）的图象上，且y 1<y 2 ，则 a 的取值范围是________.14.（2021·武汉）如图，海中有一个小岛 A ，一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上；航行 12n mile 到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30° 方向上.小岛 A 到航线 BC 的距离是________ n mile （ √3≈1.73 ，结果用四舍五入法精确到0.1）.15.（2021·武汉）已知抛物线 y =ax 2+bx +c （ a ， b ， c 是常数）， a +b +c =0 ，下列四个结论：①若抛物线经过点 (−3,0) ，则 b =2a ；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.其中正确的是________（填写序号）.16.（2021·武汉）如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A 出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是________.三、解答题17.（2021·武汉）解不等式组{2x≥x−1 ①4x+10>x+1 ②请按下列步骤完成解答.（1）解不等式①，得________；（2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是________.18.（2021·武汉）如图，AB//CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF=∠F.19.（2021·武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A 组“ t<5”，B组“ 5≤t<7”，C组“ 7≤t<9”，D组“ t≥9”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.20.（2021·武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE=2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH=DH.⌢的中点，过点C作AD 21.（2021·武汉）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是BD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.（1）求证：CE是⊙O的切线；=√6，求cos∠ABD的值.（2）若DCDF22.（2021·武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润. 23.（2021·武汉）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？（1）问题探究：先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.（3）问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC= kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.24.（2021·武汉）抛物线y=x2−1交x轴于A，B两点（A在B的左边）.（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.①如图（1），若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是3，直接写出点A，D的坐标；2②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标；（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF （不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：3的相反数是-3，故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数叫作互为相反数，根据定义即可直接得出答案.2.【答案】D【考点】随机事件【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.故答案为：D.【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。
湖北省武汉市2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)
湖北省武汉市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2019·朝阳）3的相反数是（ ）A. 3B. -3C. 13 D. −13 【答案】 B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：3的相反数是-3， 故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数叫作互为相反数，根据定义即可直接得出答案. 2.（2021·武汉）下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C. 打开电视机，正在播放广告D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级 【答案】 D 【考点】随机事件【解析】【解答】解：A 、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件； B 、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件； C 、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；D 、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件. 故答案为：D.【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。
随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.3.（2021·武汉）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.【答案】 A【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A 选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确； B 选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确； C 选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不正确； D 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确； 故答案为：A.【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.4.（2021·武汉）计算 (−a 2)3 的结果是（ ）A. −a 6B. a 6C. −a 5D. a 5 【答案】 A 【考点】幂的乘方【解析】【解答】解： (−a 2)3=(−1)3·(a 2)3=−a 6 . 故答案为：A.【分析】根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.5.（2021·武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A.B. C. D.【答案】 C【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】∵ 的主视图是 ，故答案为：C.【分析】 主视图是从物体正面看所得到的图形，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示，结合已知的几何体可求解．6.（2021·武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）A. 13 B. 12 C. 23 D. 34 【答案】 C【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，俗好选出是一男一女两位选手的概率为 812=23 . 故答案为：C.【分析】由题意画出树状图，由树状图的信息可知共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，然后根据概率公式可求解.7.（2021·武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱，则下列方程正确的是（ ） A. 8(x −3)=7(x +4) B. 8x +3=7x −4 C. y−38=y+47D.y+38=y−47【答案】 D【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题 【解析】【解答】解：设共有x 人，则有8x-3=7x+4 设物价是 y 钱，则根据可得：y +38=y −47故答案为：D.【分析】若设共有x 人，根据物价不变可列方程，即8x-3=7x+4；若设物价是y 钱，根据人数不变可列方程.8.（2021·武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y （单位： km ）与慢车行驶时间 t （单位： h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）A. 53hB. 32hC. 75hD. 43h【答案】 B【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：设慢车离甲地的距离 y （单位： km ）与慢车行驶时间 t （单位： h ）的函数关系为y=kt 过（6， a ）， 代入得 a =6k ，解得 k =a6 ， ∴慢车解析式为： y =a6x ，设快车从甲地到乙地的解析式 y =k 1x +b 1 ，过（2，0），（4， a ）两点，代入解析式的 {2k 1+b 1=04k 1+b 1=a ， 解得 {k 1=a2b 1=−a，快车从甲地到乙地的解析式 y =a2x −a ， 设快车从乙地到甲地的解析式 y =k 2x +b 2 ，过（4， a ），（6，0）两点，代入解析式的 {6k 2+b 2=04k 2+b 2=a ， 解得 {k 2=−a2b 2=3a， 快车从乙地到甲地的解析式 y =−a2x +3a ，快车从甲地到乙地与慢车相遇 {y =a6xy =a2x −a， 解得 {x =3y =a 2，快车从乙地到甲地与慢车相遇 {y =a6xy =−a2x +3a， 解得 {x =92y =3a 4，两车先后两次相遇的间隔时间是 92 -3= 32 h. 故答案为：B.【分析】设慢车离甲地的距离y （单位： km ）与慢车行驶时间（单位： h ）的函数关系为y=kt 过（6， a ），代入解析式可将k 用含a 的代数式表示，由题意用的待定系数法可求得快车从甲地到乙地的解析式；同理可求得快车从乙地到甲地的解析式；分别把慢车解析式和快车从甲地到乙地的解析式、慢车解析式和快车从乙地到甲地的解析式联立解方程组可求解.9.（2021·武汉）如图， AB 是 ⊙O 的直径， BC 是 ⊙O 的弦，先将 BC ⌢ 沿 BC 翻折交 AB 于点 D .再将 BD⌢ 沿 AB 翻折交 BC 于点 E .若 BE ⌢=DE ⌢ ，设 ∠ABC =α ，则 α 所在的范围是（ ）A. 21.9°<α<22.3°B. 22.3°<α<22.7°C. 22.7°<α<23.1°D. 23.1°<α<23.5° 【答案】 B【考点】圆心角、弧、弦的关系，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD 翻折得到⊙O″，则⊙O 、⊙O′、⊙O″为等圆.∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴AC⌢=CD⌢.⌢=CD⌢.同理：DE又∵F是劣弧BD的中点，∴DE⌢=BE⌢.∴AC⌢=DC⌢=DE⌢=EB⌢.∴弧AC的度数=180°÷4=45°.∴∠B= 1×45°=22.5°.2∴α所在的范围是22.3°<α<22.7°；故答案为：B.【分析】如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α即可求解．10.（2021·武汉）已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根，则代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是（）A. -25B. -24C. 35D. 36【答案】 D【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵已知a，b是方程x2−3x−5=0的两根∴a2−3a−5=0，b2−3b=5，a+b=3∴2a3−6a2+b2+7b+1=2a(a2−3a−5)+(b2−3b)+10(a+b)+1=0+5+30+1=36.故答案为：D.【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.二、填空题11.（2018八下·兴义期中）计算√(−5)2的结果是________【答案】5【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：原式=|-5|=5故答案为：5【分析】根据二次根式的性质，一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值，即可得出答案。
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
湖北省襄阳市2021年中考数学真题(word版,含答案)
机密★启用前2021年襄阳市初中毕业生学业水平考试数学试题（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B 铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答． 1．下列各数中最大的是（ ） A ．3-B ．2-C ．0D ．12．下列计算正确的是（ ） A ．33a a a ÷=B ．336a a a ⋅=C ．()336a a = D ．()236ab ab =3．如图，//a b ，AC b ⊥，重足为C ，40A ∠=︒，则1∠等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50D ．60°4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-5．如图所示的几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．()2500014050x += B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -=D ．()2405015000x -=7．正多边形的一个外角等于609，这个多边形的边数是（ ） A ．3B ．6C ．9D ．128．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）A ．摸出的2个球中至少有1个红球B ．摸出的2个球都是白球C ．摸出的2个球中1个红球、1个白球D ．摸出的2个球都是红球9．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ji ǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．间水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈10=尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）A ．10尺B ．11尺C ．12尺D ．13尺10．一次函数y ax b =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．据统计，2021年“五·一”劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客2270000人次．数字2270000用科学记数法表示为______． 12．不等式组241,21x x x x+≥-⎧⎨>-⎩的解集是______．13．中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“---”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是______．14．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =-++，喷出水珠的最大高度是______m ．15．点O 是ABC △的外心，若110BOC ∠=︒，则BAC ∠为______．16．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上，点F 在CB 的延长线上，45EAF ∠=︒，AE 交BD 于点G ，1tan 2BAE ∠=，2BF =，则FG =______．三、解答题：本大题共9个小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 17．（本小题满分6分）先化简，再求值：2211x x x x x ++⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中1x =． 18．（本小题满分6分）如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距20m 的D 处观测旗杆项部A 的仰角为52°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆AB 的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin520.79︒≈，cos520.62︒≈，tan52 1.28︒≈ 1.41≈）．19．（本小题满分6分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七，八年级部分学生的分数，过程如下：（1）收集数据从该校七．八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：81 83 84 85 86 87 87 88 89 9092 92 93 95 95 95 99 99 100 100（2）整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：根据以上提供的信息，解答下列问题：①填空：a=______，b=______，c=______；②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）：③从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；④如果七年级共有400人参賽，则该年级约有______人的分数不低于95分．20．（本小题满分6分）如图，BD为ABCD的对角线．（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接BE，DF．求证：四边形BEDF为菱形．21．（本小题满分7分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数11yx=+的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______；②描点：根据表中的数值描点(),x y，请补充描出点()0,m；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）． ①函数值y 随x 的增大而减小：______ ②函数图象关于原点对称：______③函数图象与直线1x =-没有交点．______ 22．（本小题满分8分）如图，直线AB 经过O 上的点C ，直线BO 与O 交于点F 和点D ，OA 与O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA OB =，CA CB =．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若FCOA ，6CD =，求图中阴影部分面积．23．（本小题满分10分）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元． （1）求a ，b 的值；（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x 斤（销售过程中损耗不计）．①分别求出每天销售鲢鱼获利1y （元），销售草鱼获利2y （元）与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m 元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W （元）的最小值不少于320元，求m 的最大值．24．（本小题满分11分）在ABC △中，90ACB ∠=︒，ACm BC=，D 是边BC 上一点，将ABD △沿AD 折叠得到AED △，连接BE ． （1）特例发现 如图1，当1m =，AE 落在直线AC 上时，①求证：DAC EBC ∠=∠；②填空：CDCE的值为______；（2）类比探究 如图2，当1m ≠，AE 与边BC 相交时，在AD 上取一点G ，使ACG BCE ∠=∠，CG 交AE 于点H ．探究CGCE的值（用含m 的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用 在（2）的条件下，当2m =，D 是BC 的中点时，若6EB EH ⋅=，求CG 的长．25．（本小题满分12分）如图，直线112y x =+与x ，y 轴分别交于B ，A ，顶点为P 的抛物线22y ax ax c =-+过点A ． （1）求出点A ，B 的坐标及c 的值；（2）若函数22y ax ax c =-+在34x ≤≤时有最大值为2a +，求a 的值； （3）连接AP ，过点A 作AP 的垂线交x 轴于点M ．设BMP △的面积为S ． ①直接写出S 关于a 的函数关系式及a 的取值范围； ②结合S 与a 的函数图象，直接写出18S >时a 的取值范围．机密★考试结束前2021年襄阳市初中毕业生学业水平考试数学试题参考答案及评分标准评分说明：1．若有与参考答案不同的解法而解答过程正确者，参照评分标准分不给分；2．学生在答题过程中省略某些非关键性步骤，不扣分：学生在答题过程中省略了关键性步骤，后面解答正确者，只扣省略关键性步骤分，不影响后而得分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．62.2710⨯ 12．113x <≤ 13．1414．315．55或12516．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．解：原式()2211x x xx x +⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭()2211x x x x +-=÷()()()211111x xx xx x x ++=⋅=+--． 当1x =时，原式1===+18．解：在Rt BCD △中，∵tan BCBDC CD∠=， ∴tan 20tan 4520BC CD BDC =⋅∠=⨯︒=，在Rt ACD △中，∵tan ACADC CD∠=，∴tan 20tan5220 1.2825.6AC CD ADC =⋅∠=⨯︒≈⨯=．∴ 5.6AB AC BC =-=． 答：旗杆AB 的高度约为5.6m ． 19．解；①6，91，95； ②甲； ③八； ④160．20．解：（1）直线EF 即为所求（作图如图所示）；（2）证明：∵EF 垂直平分BD ． ∴DO BO =，BE DE =，BF DF =， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AD BC ．∴DEO BFO ∠=∠，EDO FBO ∠=∠． ∴DEO BFO ≌△△． ∴DE BF =∴BE DE DF BF ===． ∴四边形BEDF 是菱形 21．（1）@1； ②（点如图所示）； ③（图象如图所示）．（2）×；②×；⑤√． 22．（1）证明：连接OC ．∵OA OB =，CA CB =． ∴OC AB ⊥． ∵OC 是O 的半径， ∴AB 是O 切线． （2）解：∵DF 是O 的直径，∴90DCF ∠=︒． ∵//FC OA ．∴90DGO DCF ∠=∠=︒．∴132DG CD ==． ∵OD OC =．∴DOG COG ∠=∠． ∵OA OB =，AC CB =， ∴AOC BOC ∠=∠．∴60DOE AOC BOC ∠=∠=∠=︒． 在Rt ODG △中，sin DGOD DOG==∠．∴cos OG OD DOG =⋅∠=∴(260π132π3602DOG DOE S S S ⨯⨯=-=-=扇形阴影△． 23．解：（1）根据题意得1020155,2010130.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 3.5,6.a b =⎧⎨-⎩（2）①()()15 3.5 1.580120y x x x =-=≤≤．当300200x -≤时，100120x ≤≤，()()2863002600y x x =--=-+；当300200x ->时，80100x ≤<，()()()28620076300200500y x x =-⨯+---=-+．∴()()250080100,2600100120.x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩②由题意得()()()()5 3.5763000.5300W m x x m x =--+--=-+，其中80120x ≤≤． ∵当0.50m -≤时，()0.5300300W m x =-+≤．不合题意． ∴0.50m ->．∴W 随x 的增大而增大． ∴当80x =时，W 的值最小， 由题意得()0.580300320m -⨯+≥． 解得0.25m ≤． ∴m 的最大值为0.25．24．（①①证明：延长AD 交BE 于点F ．由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90DAC ADC BDF EBC ∠+∠=∠+∠=︒． ∵ADC BDF ∠=∠， ∴DAC EBC ∠=∠．②1CDCE=． （2）解：CGm CE=．理由：延长AD 交BE 于点F ，由折叠得90AFB ACB ∠=︒=∠．∴90ADC DAC BDF CBE ∠+∠=∠+∠=︒． ∵ADC BDF ∠=∠， ∴DAC CBE ∠=∠． ∵ACG BCE ∠=∠， ∴ACG BCE ∽△△．∴CG ACm CE BC==． （3）解：由折叠得90AFB ∠=︒，BF FE =．∵D 是BC 的中点， ∴//DF CE∴90BEC BFD ∠=∠=︒，AGC ECG ∠=∠，GAH CEA ∠=∠． 由（2）知ACG BCE ∽△△，∴90AGC BEC ∠=∠=︒，2AG CG AC m BE CE BC ====．∴ACCD=． ∴tanCG DC GAC AG AC =∠==．设CG x =，则AG =，CE =，2BE x =．∴AG CE =． ∴AGH ECH ≌△△．∴AH EH =，GH CH =． ∴12GH x =．在Rt AGH △中，由勾股定理得32AH x ==． ∵6EB EH ⋅=， ∴3262x x ⋅=．解得x =．∴CG =25．解：（1）当0x =时，1112y x =+=．得()0,1A ． 当0y =时，1102x +=，解得2x =-．得()2,0B -． 把()0,1A 代入22y ax ax c =-+，得1c =．（2）()222111y ax ax a x a =-+=-+-． 当0a >，34x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴当4x =，y 的值最大．由题意得912a a a +-=+． 解得17a =． 当0a <，34x ≤≤时，y 随x 的增大而减小． ∴当3x =时，y 的值最大．由题意得412a a a +-=+． 解得12a =（不合题意，舍去）． ∴17a =，（3）①()()()22213110, 2213112221,312.22a a a aS a a aa a a⎧-+<≠⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+>⎪⎩且②32a<或32a+>．。
湖北省随州市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)
湖北省随州市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.2021的相反数是（）A. -2021B. 2021C. −12021 D. 12021【答案】A【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】2021的相反数是-2021，故答案为：A.【分析】相反数：根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（）A. 5.7×106B. 57×106C. 5.7×107D. 0.57×108【答案】C【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：5700万=57000000，用科学记数法可表示为5.7×107，故答案为：C.【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.3.如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=45°，则∠2为（）A. 15°B. 25°C. 35°D. 45°【答案】A【考点】平行公理及推论，平行线的性质【解析】【解答】如图，已知a//b，作直线c//a，则c//b，则∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠2=60°-∠1=15°，故答案为：A.【分析】利用平行线的性质可证得∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠3+∠4=60°，可求出∠2的度数.4.下列运算正确的是（）A. a−2=−a2B. a2+a3=a5C. a2⋅a3=a6D. (a2)3=a6【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，负整数指数幂的运算性质，合并同类项法则及应用，幂的乘方≠−a2，故答案为：A计算不正确；【解析】【解答】解：A. a−2=1a2B. a2与a3不是同类项不能合并，a2+a3≠a5，故答案为：B计算不正确；C. a2⋅a3=a2+3=a5≠a6，故答案为：C计算不正确；D. (a2)3=a2×3=a6，故答案为：D正确.故答案为：D.【分析】利用负整数指数幂的性质，可对A作出判断；只有同类项才能合并，可对B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（）A. 测得的最高体温为37.1℃B. 前3次测得的体温在下降C. 这组数据的众数是36.8D. 这组数据的中位数是36.6【答案】 D【考点】折线统计图，中位数，众数【解析】【解答】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；故答案为：D.【分析】利用折线统计图可知测得的最高温，可对A作出判断；同时可得到体温的变化情况，可对B作出判断；再利用中位数和众数的求法，可对C，D作出判断.6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（）A. 主视图和左视图B. 主视图和俯视图C. 左视图和俯视图D. 三个视图均相同 【答案】 A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：所给几何体的三视图如下，所以，主视图和左视图完全相同， 故答案为：A.【分析】俯视图就是从上往下看，所看到的平面图形，主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，由此可得答案.7.如图，从一个大正方形中截去面积为 3cm 2 和 12cm 2 的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A. 49B. 59C. 25D. 35 【答案】 A【考点】正方形的性质，几何概率【解析】【解答】解：∵两个小正方形的面积为 3cm 2 和 12cm 2 ， ∴两个小正方形的边长为 √3 和 2√3 ， ∴大正方形的边长为 √3+2√3=3√3 ， ∴大正方形的面积为 3√3×3√3=27 ， ∴阴影部分的面积为 27−3−12=12 ， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为 1227=49 ， 故答案为：A.【分析】利用正方形的面积公式可求出两个白色正方形的边长，再求出大正方形的面积；阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个白色的正方形的面积，然后利用概率公式可求出米粒落在图中阴影部分的概率.8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β ，已知 sinα=cosβ=35 ，则梯子顶端上升了（ ）A. 1米B. 1.5米C. 2米D. 2.5米 【答案】 C【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图所示标记字母，根据题意得AB=CE=10米，∵sinβ =√1-cos 2β=√1−(35)2=45 ，在Rt △ECD 中，sin β=CDCE =CD 10=45，∴CD= 45×10=8 ， 在Rt △ABD 中，sin α=ADAB =AD 10=35， ∴ AD =35×10=6 ， ∴AC=CD-AD=8-6=2. 故答案为：C.【分析】利用已知条件可得到AB ，CE 的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt △ECD 中，利用解直角三角形求出CD 的长，再求出AD 的长；然后根据AC=CD-AD ，可求出AC 的长.9.根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（）A. 100B. 121C. 144D. 169【答案】B【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：根据图中数据可知：n=1,2,3,4，……p=12,22,32,42,……q=22−1,32−1,42−1,52−1,……则p=n2，q=(n+1)2−1，∵第n个图中的q=143，∴q=(n+1)2−1=143，解得：n=11或n=−13(不符合题意，舍去)∴p=n2=121，故答案为：B.【分析】观察图形中数字的排列规律：第1个图形：3=（1+1）2-1；1=12；第2个图形:8=（2+1）2-1，4=22；第3个图形:8=（3+1）2-1，9=32…第n个图形：q=（n+1）2-1，p=n2；由此建立关于n的方程，解方程求出n的值，然后求出p的值.10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点>0；② 2b−4ac=1；B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：① a−bc③ a=1；④当−1<b<0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N 4（点M在点N左边），使得AN⊥BM.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】①从图象观察，开口朝上，所以a>0，对称轴在y轴右侧，所以b<0，图象与y轴交点在x轴下方，所以c<0<0，所以①不正确；∴a−b>0,a−bc②点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C(0,c)，且OB=2OC设B(−2c,0)代入y=ax2+bx+c,得：4ac2−2bc+c=0∵c≠0∴2b−4ac=1，所以②正确；③ ∵A(−2,0)，B(−2c,0)设抛物线解析式为：y=a(x+2)(x+2c)过C(0,c)∴c=4ac∴a=1，所以③正确；4④如图：设AN,BM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，根据抛物线的对称性，△APB是等腰直角三角形，∵A(−2,0)，B(−2c,0)AB=1−c∴AB=2−2c，PQ=12=c+1又对称轴x=−2+(−2c)2∴P(c+1,c−1))由顶点坐标公式可知D(c+1,4ac−b24a∵a=1∴D(c+1,c−b2)4由题意c−b2<c−1，解得b>1或者b<−1由①知b<0∴b<−1，所以④不正确.综上所述：②③正确共2个故答案为：B.【分析】利用抛物线的开口向上，可得到a的取值范围，利用左同右异，可得到b的取值范围，抛物线与y轴交于负半轴可得到c的取值范围，由此可确定出a-b的符号，可对①作出判断；利用已知条件设点B（-2c，0），将其代入函数解析式，进行化简，可对②作出判断；利用点A，B的坐标，设函数解析式为交点式，可得到c=4ac，进行化简，可对③作出判断；设AN,BM交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，利用抛物线的对称性可得到△APB是等腰直角三角形，利用点A，B的坐标可求出AB，PQ及抛物线的对称轴，再求出抛物线的顶点坐标，即可求出b的取值范围，可对④作出判断.二、填空题（共6题；共7分）11.计算：|√3−1|+(π−2021)0=________.【答案】√3【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质【解析】【解答】|√3−1|+(π−2021)0=√3−1+1=√3故答案为：√3【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C=50°，则∠BAD 的度数为________.【答案】40°【考点】圆周角定理【解析】【解答】如图，连接BD，则∠D=∠C=50°∵ AD为直径∴∠ABD=90°∴∠BAD=90°−∠D=90°−50°=40°故答案为40°【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠BAD的度数.13.已知关于x的方程x2−(k+4)x+4k=0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若2x1+2x2=3，则k=________.【答案】45【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】由题意，x1+x2=k+4，x1x2=4k，∵2x1+2x2=3，∴2(x1+x2)=3x1x2，即：2(k+4)=3×4k，解得：k=45，故答案为：45.【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为2(x1+x2)=3x1x2，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=√3，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为________.（结果保留π）【答案】23π【考点】勾股定理，弧长的计算，旋转的性质【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，BC=√3，∴AB=2AC，设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：x2+(√3)2=(2x)2，解得：x=1，则：AC=1，AB=2，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°<α<180°）得到△AB′C′，且点C′落在AB边上，∴旋转角为60°，∴∠BAB′=60°，∴点B所经过的路径长为：nπr180=60π180×AB=π3×2=2π3，故答案为：23π.【分析】利用已知条件可证得AB=2AC，设AC=x，则AB=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC，AB的长；再利用旋转的性质可求出∠BAB＇的度数；然后利用弧长公式可求解. 15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：227（约率）和355113（密率）.同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc（即有b a <x<dc，其中a，b，c，d为正整数），则b+da+c是x的更为精确的近似值.例如：已知15750<π<227，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：157+2250+7=17957；由于17957≈3.1404<π，再由17957<π<227，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数……现已知75<√2<32，则使用两次“调日法”可得到√2的近似分数为________.【答案】1712【考点】估算无理数的大小，近似数及有效数字【解析】【解答】解：∵75<√2<32∴第一次“调日法”，结果为：7+35+2=10 7∵107≈1.4286>√2∴75<√2<107∴第二次“调日法”，结果为：7+105+7=17 12故答案为：1712【分析】利用“调日法”逐次进行计算，可求出结果.16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD=OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则OGBC的值为________；若CE=CF，则CFOF的值为________.【答案】12；√2【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，O为AB的中点∴OA=OC又∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD又∵OD=OD∴△AOD≅△COD∴AD=CD∴OD⊥AC∴∠OGA=90∘在△AOG与△ABC中∠GAO=∠BAC, ∠OGA=∠BCA=90∘∴△AOG∼△ABCOG BC =AOAB=12（2∵OA=OD=OC=OB∴A,B,C,D四点共圆，如下图：∵CE=CF∴∠CEF=∠CFE又∵∠CFE=∠BFO∴∠CEF=∠BFO∵△AOD≅△COD∴AD=CD∴AD⌢=CD⌢∴∠OBF=∠CBE∴∠BFO+∠OBF=∠CEF+∠CBE=90∘即∠BOC=90∘∵OB=OC∴BC=√2OC=√2OA=√2OD∵∠OGA=∠BCA=90∘∴∠ODB=∠FBC∵∠OFD=∠CFB∴△ODF∼△CBF∴CFOF =BCOD=√2故答案为： 12；√2【分析】利用线段中点的定义可证得OA=OC ，利用角平分线的定义可得到∠AOD=∠COD ，根据SAS 可证得△AOD ≌△COD ，利用全等三角形的对应边相等可证得AD=CD ；再证明△AOG ∽△ABC ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE 与OF 的比值；利用已知易证点A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，利用全等三角形的性质可证得AD=CD ，利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，可得到弧AD=弧CD ，利用同弧所对的圆周角相等可证得∠OBF=∠CBE ；再证明△BOC 是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到BC 与OD 的数量关系；然后证明△ODF ∽△CBF ，利用相似三角形的性质可求出CE 与OF 的比值.三、解答题（共8题；共87分）17.先化简，再求值： (1+1x+1)÷x 2−42x+2，其中 x =1 .【答案】 解：原式 =x+2x+1⋅2(x+1)(x+2)(x−2) =2x−2当 x =1 时，原式 =21−2 =−2 【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】将括号里的分式通分计算，再将分数除法转化为乘法运算，约分化简；然后将x 的值代入化简后的代数式求值.18.如图，在菱形 ABCD 中， E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AE =CF .（1）求证： △ABE ≌ △CDF ； （2）证明四边形 BEDF 是菱形.【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴ AB =CD ，且 ∠BAE =∠DCF ， 又∵ AE =CF ， ∴ △ABE ≌ △CDF（2）证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC，BD中点，又∵AE=CF，∴EO=FO∴BD与EF互相垂直且平分，故四边形BEDF是菱形【考点】菱形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得∠BAE=∠DCF，AB=CD；利用SAS可证得结论.（2）连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得EO=FO；然后利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.19.疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：（1）表中，a=________，b=________，c=________；（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是________年级教师；（填“七”或“八”或“九”）（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有________人；（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率.【答案】（1）50；20；45（2）七（3）2400（4）解：设七年级教师用A表示，八年级教师用B表示，九年级教师用C1，C2表示，根据题意：可画出树状图：或列表：由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故P（两名教师不在同一年级）=1012=56.说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可.【考点】用样本估计总体，统计表，列表法与树状图法【解析】【解答】解：（1）a=35+15=50；b=60−40=20；c=10+15+20=45故答案为：50；20；45（2）七年级教师的接种率为：3040×100%=75%；八年级教师的接种率为：3550×100%=70%；九年级教师的接种率为：4060×100%≈66.7%；即七年级教师的接种率最高.故答案为：七（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为：45150×100%=30%，8000×30%=2400（人）故答案为：2400【分析】（1）利用表中数据分别求出a，b，c的值.（2）分别求出七、八、九年级教师的接种率，再比较大小可得答案.（3）用8000×抽取的三个年级教师中未接种的百分比，列式计算可求解.（4）根据题意可知此事件是抽取不放回，列表，再求出所有的可能的结果数及选中的两名教师恰好不在同一年级的情况数，再利用概率公式可求解.20.如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=mx （m>0）的图象交于点C(1,2)，D(2,n).（1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接 OD ，求 △BOD 的面积.【答案】 （1）解：∵双曲线 y 2=mx （m>0）过点C （1，2）和D （2，n ）， ∴ {2=m1n =m 2 ，解得， {m =2n =1 . ∴反比例函数的解析式为 y 2=2x .∵直线 y 1=kx +b 过点C （1，2）和D （2，1）， ∴ {k +b =22k +b =1 ，解得， {k =−1b =3 .∴一次函数的解析式为 y 1=−x +3（2）解：当x=0时，y 1=3，即B （0，3）. ∴ OB =3 .如图所示，过点D 作DE ⊥y 轴于点E.∵D （2，1）， ∴DE=2.∴ S △BOD =12OB ·DE =12×3×2=3．【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积 【解析】【分析】（1）将点C ，D 的坐标分别代入反比例函数解析式，建立关于m ，n 的方程组，解方程组求出m ，n 的值，可得到反比例函数解析式及点D 的坐标；再将点C ，D 分别代入一次函数解析式，建立关于k ，b 的方程组，解方程组求出k ，b 的值，可得到一次函数解析式.（2）利用一次函数解析式求出点B的坐标，可得到OB的长；过点D作DE⊥y轴于点E，可得到点D的坐标，求出DE的长，利用三角形的面积公式求出△BOD的面积.21.如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B 作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.（1）求证：AB=BC；.（2）若⊙O的直径AB为9，sinA=13①求线段BF的长；②求线段BE的长.【答案】（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，又∵BC⊥DE，∴OD//BC，∴∠ODA=∠C.又∵在△OAD中，OA=OD，∴∠ODA=∠A，∴∠C=∠A，∴AB=BC（2）解：①连接BD，∵⊙O的直径AB为9，∴AB=9，在Rt△ABD中，∵sinA=BDAB =13，∴BD=13AB=3.又∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，且∠OBD=∠ODB，∴∠A=∠BDF，在Rt△BDF中，∵sin∠BDF=BFBD =13，∴BF=13BD=1.②由（1）可知OD//BF，∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，∴△EBF∽△EOD，∴BEOE =BFOD，即BEBE+92=192，解得BE=97.经检验符合题意【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，利用切线的性质可证得DE⊥OD，再证明OD∥BC，可得到∠ODA=∠C；利用等边对等角可证得∠ODA=∠A，由此可推出∠A=∠C，利用等角对等边可证得结论.（2）①连接BD，利用解直角三角形求出BD的长；再证明∠A=∠BDF，再利用解直角三角形求出BF的长；②利用平行线的性质可证得∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，利用有两组对应角相等的两三角形相似，利用相似三角形的性质可求出BE的长.22.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=−16x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米.（1）直接写出b，c的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1）解：由题意知点A坐标为(0，1)，点B坐标为(6，2)，将A、B坐标代入y=−16x2+bx+c得：{1=c2=−16×62+6b+c解得：{b=76c=1，故b=76，c=1（2）解：由y=−16x2+76x+1=−16(x−72)2+7324，可得当x=72时，y有最大值7324，即大棚最高处到地面的距离为7324米（3）解：由y=−16x2+76x+1=3724，解得x1=12，x2=132，又因为0≤x≤6，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为6−12=112（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为16×112=88（平方米）共需要88×4=352（根）竹竿【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）利用已知条件可求出点A，B的坐标，将这两点坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值.（2）将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.（3）由y=0可求出x的值，利用x的取值范围可求出大棚内可以搭建支架的土地的宽，再根据大棚的长为16米，即可求出需要搭建支架部分的土地面积，然后求出结果.23.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为________，其内切圆的半径长为________；（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3)=S△ABC=3S△OAB，可得ℎ1+ℎ2+ℎ3=▲；（结果用含a的式子表示）②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，ℎ5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5的值.（参考数据：tan36°≈811，tan54°≈118）（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC//OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为▲；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由.【答案】（1）125；1（2）解：① √32a；②类比①中方法可知12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5)=S五边形ABCDE，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，由①得S五边形ABCDE=5S△OAB，过O作OQ⊥AB于Q，∠EAB=15×180°×(5−2)=108°，故∠OAQ=54°，OQ=AQ×tan54°=12atan54°，故12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5)=5×12a×12atan54°，从而得到：ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5=52atan54°≈5516a（3）解：① 23π；②②如图，连接DF，过点E作EG//DF交AF的延长线于G点，则点G即为所求，连接DG，∵S六边形ABCDEF=S五边形ABCDF+S△DEF，∵EG//DF，∴S△DEF=S△DGF，∴S六边形ABCDEF=S五边形ABCDF+S△DGF=S五边形ABCDG【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）直角三角形的面积为：12×3×4=6，直角三角形斜边为：√32+42=5，设直角三角形斜边上的高为ℎ，则12×5⋅ℎ=6∴ℎ=12 5设直角三角形内切圆的半径为r，则12(3+4+5)r=12×3×4∴r=1，故答案为：125，1；（2）①边长为a的正△ABC底边的高为√32a，面积为：S△OAB=12⋅a⋅√32a=√34a2∵12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3)=S△ABC=3S△OAB=√34a2∴ℎ1+ℎ2+ℎ3=√32a，故答案为：√32a；.（3）① ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB∴∠OBA=90°∵OB=2,OA=4∴∠OAB=30°∴∠AOB=60°∵BC//OA∴∠AOB=∠OBC=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB=60°∴∠COB=60°过点O作OQ⊥BC∵BC//OA，∴OQ是△COB、△ABC的高，∴S△ABC=S△OCB∴S阴影部分=S扇形OBC=60×πr2360=60×4π360=23π故答案为：23π；【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可求出斜边上的高；再利用各部分的面积等于原图形的面积，可求出直角三角形的内切圆的半径.（2）①利用解直角三角形求出等边△ABC的高，即可求出△AOB的面积，然后根据12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3)=S△ABC=3S△OAB，可求出h1+h2+h3的值；②利用类比法，可得到12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5)=S五边形ABCDE，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，由①可知S五边形ABCDE=5S△OAB，过点O作OQ⊥AB于点Q，利用正五边形的性质求出∠OAQ的度数，利用解直角三角形求出OQ的长；可得到12a(ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4+ℎ5)=5×12a×12atan54°，即可求出结果.（3）①利用切线的性质可证得∠OBA=90°，再求出∠COB=60°，过点O作OQ⊥BC，可证得△ABC和△OCB的面积相等，然后证明阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式可求解；②如图，连接DF，过点E作EG//DF交AF的延长线于G点，则点G即为所求，连接DG，根据S六边形ABCDEF =S五边形ABCDF+S△DEF，利用EG∥DF，可证得S△EDF=S△DGF，由此可证得结论.24.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,−4).（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标【答案】（1）解：将A(−1,0)和D(1,−4)代入y=ax2+bx+c得{a−b+c=0a+b+c=−4又∵顶点D的坐标为(1,−4)∴−b2a=−1∴解得{a=1b=−2c=−3∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3（2）解：∵B(3,0)和D(1,−4)∴直线BD的解析式为：y=2x−6∵抛物线的解析式为：y=x2−2x−3，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A(−1,0)和点B，则C点坐标为(0,−3)，B点坐标为(3,0).①过点C作CP1//BD，交抛物线于点P1，则直线CP1的解析式为y=2x−3，结合抛物线y=x2−2x−3可知x2−2x−3=2x−3，解得：x1=0（舍），x2=4，故P1(4,5).②过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，由OB=OC可知四边形OBGC为正方形，∵直线CP1的解析式为y=2x−3∴CP1与x轴交于点E(32,0)，在BC下方作∠BCF=∠BCE交BG于点F，交抛物线于P2∴∠OCE=∠FCG又∵OC=CG，∠COE=∠G=90°∴△OEC≌△GFC(ASA)，∴FG=OE=32，F(3,−32)，又由C(0,−3)可得直线CF的解析式为y=12x−3，结合抛物线y=x2−2x−3可知x2−2x−3=12x−3，解得x1=0（舍），x2=52，故P2(52,−74).综上所述，符合条件的P点坐标为：P1(4,5)，P2(52,−74)（3）解：∵B(3,0)，C(0,−3)∴直线BC的解析式为y BC=x−3设M的坐标为(m，m−3)，则N的坐标为(m，m2−2m−3)∴MN=|m−3−(m2−2m−3)|=|m2−3m|∵A(−1,0)，C(0,−3)∴直线AC 的解析式为y AC=−3x−3∵△QMN为等腰直角三角形∴①当QM=MN，∠QMN=90°时，如下图所示则Q点的坐标为(−m3，m−3)∴QM=|m−(−m3)|=|4m3|∴|4m3|=|m2−3m|解得：m1=0（舍去），m2=133，m3=53∴此时M1(53,−43)，Q1(−59,−43)；M2(133,43)，Q2(−139,43)；②当QN=MN，∠QNM=90°时，如下图所示则Q点的坐标为(2m−m23，m2−2m−3)∴QM=|m−2m−m23|=|m2+m3|∴|m2+m3|=|m2−3m|解得：m1=0（舍去），m2=5，m3=2∴此时M3(5,2)，Q3(−5,12)；M4(2,−1)，Q4(0,−3)；③当QM=QN，∠MQN=90°时，如图所示则Q点纵坐标为12(m−3+m2−2m−3)=12(m2−m−6)=12m2−12m−3∴Q点的坐标为(16m−16m2，12m2−12m−3)∴Q点到MN的距离= |16m−16m2−m|=|56m+16m2|∴|56m+16m2|=12⋅|m2−3m|（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：m1=0（舍去），m2=7，m3=1∴此时M5(1,−2)，Q5(0,−3)；M6(7,4)，Q6(−7,18).综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M1(53,−43)，Q1(−59,−43)；M2(133,43)，Q2(−139,43)；M3(5,2)，Q3(−5,12)；M4(2,−1)，Q4(0,−3)；M5(1,−2)，Q5(0,−3)；M6(7,4)，Q6(−7,18)【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将点A，D的坐标代入函数解析式，同时利用顶点D的坐标，建立关于a，b，c 的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到函数解析式.（2）利用待定系数法求出直线BD的函数解析式；利用二次函数解析式可求出点C，B的坐标，①过点C作CP1//BD，交抛物线于点P1，利用待定系数法求出直线CP1的函数解析式，将两函数解析式联立方程组，可求出点P的坐标；②过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，可求出CP1与x轴的交点E的坐标，在BC的下方作∠BCF=∠BCE，交BG于点F，交抛物线于点P2，利用ASA证明△OEC≌△GFC，利用全等三角形的性质可求出FG，OE的长，可得到点F的坐标；利用待定系数法求出直线CF的函数解析式；将两函数解析式联立方程组，可得到点P的坐标.（3）利用点B，C的坐标求出直线BC的函数解析式，利用函数解析式设M的坐标为(m，m−3)，则N的坐标为(m，m2−2m−3)，可求出MN的长；利用点A，C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，同时可证得△QMN是等腰直角三角形；再分情况讨论：当QM=MN，∠QMN=90°时；当QN=MN，∠QNM=90°时；当QM=QN，∠MQN=90°时，分别求出m的值，即可得到点M和点Q的坐标.。
湖北省黄冈市2021年中考数学试题及答案及答案(word版)
第7题图r h 初中毕业生学业水平考试 数学试题 (时间:120分 满分:120分)一. 选择题(每小题3分，共24分)1. –8的立方根是（ ）A . －2B . ±2C . 2D . －122.如果α、β互为余角，则（ ）A . α + β=180°B . α－β=180°C . α－β=90°D . α + β=90°3.下列运算正确的是（ ）A . 632x x x =⋅B . x x x =÷56C . 642)(x x =-D . 532x x x =+4.如图所示的几何体的主视图是（ ） D C B A5.函数xx y 2-=中，自变量x 的取值范围是（ ） A . x ≠0 B . x ≥2 C . x >2且x ≠0 D . x ≥2且x ≠0 6. 若α、β是一元二次方程0622=-+x x 的两根，则22βα+= （ ） A . –6 B . 32 C . 16 D . 40 7.如图，圆锥体的高cm h 32=，底面圆半径cm r 2=，则圆锥体的全面积为（ ）cm 2A . π34B . π8C . π12D . π)434(+8.在ΔABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于F ，D 为BC 上的一点，连DE 、DF ．设E 到BC 的距离为x ，则ΔDEF 的面积为S 关于x 的函数图象大致为（ ）D C B A A B C DEF 第8题图 2.552542.552542.5525425452.5S x O S x OS x O O xS二. 填空题(每小题3分，共21分)9.计算：=-31 ． 10.分解因式：=-+22)12(a a ．11.计算：=-4312 ． 12.如图，若AD ∥BE ，且∠ACB=90°，∠CEB=30°，则∠CAD= °．第15题图第14题图第12题图O A B E CD E D CBA13.当12-=x 时，代数式=++-÷++-x xx x x x x 221112 ． 14.如图，在⊙O 中，CD ⊥AB 于E ，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．15.如图，在一张长为8cm 、宽为6cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是 cm 2．三.解答题（本大题共10小题，满分共75分）16.（5分）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 > 5 ①3x +12－1≥x ② ，并在数轴上表示出不等式组的解集．第18题图F A B C D E 第20题图O E D C BA 17.(6分) 浠水县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需多少元？18.（6分）如图所示，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE ＝DF ．19.（6分）散花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．20.（7分）如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 交于D ，过D 作⊙O 的切线交BC 于E ．（1）求证：EB ＝EC ；（2）若以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形，试判断ΔABC 的形状，并说明理由．21.（7分）某品牌牛奶供应商提供了A 、B 、C 、D 、E 五种不同口味的牛奶供学生饮用，洗马中学为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒不同口味的牛奶的体积都相同），绘制了如下两张人数不完整的统计图：人数类别105062387060504030201020%5%E DC B A（1）本次被调查的学生有 名；（2）补全上面的条形统计图，并计算出喜好C 口味的牛奶的学生人数在扇形统计图中的圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都能喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，B 口味牛奶要比C 口味牛奶多送多少盒？22.如图，已知双曲线x y 1-=与两直线x y 41-=、kx y -=（0>k 且41≠k ）分别相交于A 、B 、C 、D 四点．（1）当C (－1，1)时，A 、B 、D 三点的坐标分别是A ( ， )、B ( ， )、D ( ， )．（2）证明：以A 、D 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形；（3）当k 为何值时，□ADBC 是矩形；y=-1xy=-14xy=-kx第23题图NM60°75°45°ABDC第22题图yx ODCBA23.（7分）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号．已知A、B相距100（3+1）海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）24.（9分）某地实行医保制度，并规定：一、每位居民年初缴纳医保基金70元；二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用．表一：居民个人当年看病的医疗费用医疗费用报销办法不超过n元的部分全部由医保基金承担（即全额报销）超过n元但不超过6000元的部分个人承担k%，其余由医保基金承担超过6000元的部分个人承担20%，其余由医保基金承担C 31-2-1Q P y x O B A M 设一位居民当年看病的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为y 元．（1）当0≤x ≤n 时，y=70；当n <x ≤6000时，y= (用含n 、k 、x 的代数式表示）（2）表二是该地A 、B 、C 三位居民2013年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n 、k 的值．表二：居民A B C 个人看病所花费的医费用x （元）400 800 1500 个人实际承担的医疗费用y （元）70 190 470 （3）该地居民周大爷2013年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？25.（13分）如图，在四边形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于C ，A （1，-1），B （3，-1），动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以2个单位/秒的速度运动．过P 作PQ ⊥OA 于Q ．设P 点运动的时间为t 秒（0 < t < 2），ΔOPQ 与四边形OABC 重叠的面积为S ．（1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式并确定顶点M 的坐标；（2）用含t 的代数式表示P 、Q 两点的坐标；（3）将ΔOPQ 绕P 点逆时针旋转90°，是否存在t ，使得ΔOPQ 的顶点O 或Q 落在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与t 的函数解析式；参考答案。
湖北省十堰市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)
湖北省十堰市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.−12 的相反数是( )A. -2B. 2C. −12 D. 12 【答案】 D【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】因为 (−12)+12=0 ，所以 −12 的相反数是 12 . 故答案为D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.2.如图，直线 AB//CD,∠1=55°,∠2=32° ，则 ∠3= （ ）A. 87°B. 23°C. 67°D. 90° 【答案】 A【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵ AB//CD,∠1=55° ， ∴ ∠C =∠1=55° ， ∴ ∠3=∠2+∠C =87° ， 故答案为：A.【分析】根据平行线的性质得出∠C =∠1=55° ， 根据三角形外角的性质得出∠3=∠2+ ∠C ，据此计算即可.3.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A.B. C. D.【答案】 A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：该几何体从上向下看，其俯视图是，故答案为：A.【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.4.下列计算正确的是（）A. a3⋅a3=2a3B. (−2a)2=4a2C. (a+b)2=a2+b2D. (a+2)(a−2)=a2−2【答案】B【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A. a3⋅a3=a6，该项计算错误；B. (−2a)2=4a2，该项计算正确；C. (a+b)2=a2+2ab+b2，该项计算错误；D. (a+2)(a−2)=a2−4，该项计算错误；故答案为：B.【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式及平方差公式分别进行计算，然后判断即可.5.某校男子足球队的年龄分布如下表则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A. 8，15B. 8，14C. 15，14D. 15，15【答案】 D【考点】中位数，众数【解析】【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15＋15）÷2＝15岁.故答案为：D.【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数，众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）A. 400x −450x−50=1 B. 450x−50−400x=1C. 400x −450x+1=50 D. 450x+1−400x=5【答案】B【考点】分式方程的实际应用【解析】【解答】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台.依题意得：450x−50−400x=1.故答案为：B.【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台，根据“ 生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可.7.如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A. (15√3+32)m B. 5√3m C. 15√3m D. (5√3+32)m【答案】 D【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝15m，AB＝1.5m，∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，AD＝15m，∴ED＝AD•tan30°＝15× √33＝5 √3，∴CE＝CD＋DE＝(5√3+32)m.故答案为：D.【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD•tan30°＝5 √3，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.8.如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径，若AD=3，则BC=（）A. 2√3B. 3√3C. 3D. 4【答案】C【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OF⊥BC于F，∴BF＝CF＝12BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，∵AD＝3，∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ √32=2 √3，∴OB＝12BD＝√3，∴BF＝OB•cos30°＝√3× √32＝32，∴BC＝3.故答案为：C.【分析】过点O作OF⊥BC于F，根据垂径定理求出BF＝CF＝12BC，利用等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC=30°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，从而求出∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，继而得出BD＝AD÷cos30°=2 √3，可求出OB＝12BD＝√3，由BF＝OB•cos30°求出BF，从而求出BC 的长.9.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A. 2025B. 2023C. 2021D. 2019【答案】B【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故答案为：B.【分析】观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，据此求出n=32时的数据，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，从而求出结论.10.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,1)，过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（）A. 5√5−14B. 52C. 73D. 5√5+14【答案】A【考点】勾股定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,1)，∴k=2，∴直线OA的解析式为y=12x，∵CD⊥OA，∴设直线CD的解析式为y=−2x+b，则D(0,b)，设点B关于直线CD的对称点B′(a,2a)，则(b−1)2=a2+(2a−b)2①，且BB′//OA，即2a−1a=12，解得a=√5−1，代入①可得b=5√5−14，故答案为：A.【分析】将点A 坐标代入反比例函数解析式求出k=2，即得y =2x ， 利用待定系数法求出直线OA 的解析式为 y =12x ，由CD ⊥OA 可设直线CD 的解析式为 y =−2x +b ， 可得D(0,b) ， 可设B ′(a,2a ) ， 利用勾股定理可得(b −1)2=a 2+(2a −b)2①，由 BB ′//OA ，可得2a−1a=12 ，求出a 值，然后将a 值代入①求出b 值即可.二、填空题（共5题；共6分）11.已知 xy =2,x −3y =3 ，则 2x 3y −12x 2y 2+18xy 3= ________. 【答案】 36【考点】因式分解的应用【解析】【解答】∵ xy =2,x −3y =3 ， ∴原式= 2xy(x −3y)2=2×2×32=36 ， 故答案是：36.【分析】利用因式分解将原式变形为2xy(x −3y)2 ， 然后整体代入计算即可.12.如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为________ ．【答案】 20【考点】矩形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，∴OM=12CD=12AB=2.5， ∵AB=5，AD=12， ∴AC= √52+122=13，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴BO=12AC=6.5，∴四边形ABOM 的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20， 故答案为：20．【分析】根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．13.对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b=a2+b2−ab，若x⊗(x−1)=3，则x的值为________.【答案】-1或2【考点】因式分解法解一元二次方程，定义新运算【解析】【解答】解：根据新定义内容可得：x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3，整理可得x2−x−2=0，解得x1=−1，x2=2，故答案为：-1或2.【分析】利用定义新运算可得x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3，然后求出方程的解即可.14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC 长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是________.【答案】3π-6【考点】三角形的面积，正方形的性质，扇形面积的计算【解析】【解答】连接BE，∵在正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，∵∠CAB=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，即：AE=BE，∴弓形BE的面积= 14π×22−12×2×2=π−2，∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △BCE的面积= π−2+ 45×π×42360- 12×12×4×4=3 π-6.故答案是：3π-6.【分析】连接BE，可求出△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，由于阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △BCE的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式进行计算即可.15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q 为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是________.【答案】72≤m≤ 132【考点】三角形三边关系，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：作AB的中点M，连接CM、QM.∵AP=3,∴P在以A为圆心，3为半径的圆上运动，在直角△ABC中，AB＝√AC2＋BC2=√82+62=10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝12AB＝5.∵Q是BP的中点，M是AB的中点，∴MQ＝12AP＝32.∴在△CMQ中，5− 32≤CQ≤ 32＋5，即72≤m≤ 132.故答案是：72≤m≤ 132.【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，在直角△ABC中，利用勾股定理求出AB=10，利用直角三角形斜边中线的性质得出CM＝12AB＝5，根据三角形中位线的定理可得MQ＝12AP＝32，在△CMQ中，CM− MQ≤CQ≤ MQ＋CM，据此即可求出结论.三、解答题（共9题；共90分）16.计算：√2cos45°+(13)−1−|−3|.【答案】解：原式=√2×√22+3−3=1.【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】利用特殊角三角函数值、负整数幂的性质、绝对值的性质分别进行计算，再合并即可.17.化简：(a+2a2−2a −a−1a2−4a+4)÷a−4a.【答案】解：原式= (a+2a(a−2)−a−1(a−2)2)⋅aa−4= ((a+2)(a−2)a(a−2)2−a(a−1)a(a−2)2)⋅aa−4= a2−4−a2+aa(a−2)2⋅a a−4= a−4a(a−2)2⋅a a−4= 1(a−2)2【考点】分式的混合运算【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简.18.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a=________；扇形统计图中，C等级所占的百分比是________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有________人.（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率【答案】（1）20；30%；42°；450（2）解：列表如下：共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，∴P(甲、乙两人至少有1人被选中) =1012=56【考点】用样本估计总体，统计表，扇形统计图，列表法与树状图法【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷90360=60人，∴a=60−15−18−7=20，C等级所占的百分比1860×100%=30%，D等级对应的扇形圆心角760×360=42°，若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800×1560=450人；【分析】（1）先求出抽取总人数，再利用总人数分别减去A、C、D等级人数，即得a值；利用C等级人数除以总人数，再乘以100%即得C等级的百分比；利用D等级的百分比乘以360°即得D等级对应的扇形圆心角度数；利用样本中A等级百分比乘以1800，即得结论；（2）利用列表法列举出共有12种等可能情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，然后利用概率公式计算即可.19.已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.【答案】（1）解：∵一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根，∴Δ=16−4(−2m+5)>0，解得m>12（2）解：设该方程的两个根为x1、x2，∵该方程的两个根都是符号相同的整数，∴x1x2=−2m+5>0，x1+x2=4，∴12<m<52，∴m的值为1或2，当m=1时，方程两个根为x1=1、x2=3；当m=2时，方程两个根x1与x2不是整数；∴m的值为1【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；（2）设该方程的两个根为x1、x2，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得x1x2=−2m+5>0，x1+x2=4，可得m的范围，然后求出其整数解即可.20.如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF//BC交DE于点F，连接AE、CF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°，求AB的长.【答案】（1）证明：∵AF//BC，∴∠FAD=∠ECD，∵D是AC的中点，DE⊥AC，∴∠FDA=∠EDC，AD=CD，∴△ADF≌△CDE，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形（2）解：∵AECF是菱形，∴AF=CF=2，∴AD=AF⋅cos30°=√3，∴AC=2AD=2√3，过点A作AM⊥BC，∴AM=AC⋅sin30°=√3，=√6∴AB=AMsin45°【考点】菱形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠FAD=∠ECD，利用垂直的定义和线段中点的定义可证得∠FDA=∠EDC，AD=CD，利用ASA可证得△ADF≌△CDE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.（2）利用菱形的性质可求出AF的长，利用解直角三角形求出AD的长，即可求出AC的长；过点A作AM⊥BC，利用解直角三角形求出AM，AB的长.21.如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A=1，⊙O的半径为3，求EF的长.2【答案】（1）证明：连接OD，，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD=∠BCD，∴∠ODC=∠BCD，∴OD//BC，∵DF⊥BC∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线（2）解：∵ ∠ADO +∠BDO =90° ， ∠FDB +∠BDO =90° ，∴ ∠ADO =∠FDB ，∵ ∠ADO =∠OAD ，∴ ∠OAD =∠FDB ，∴ △ADF ∽△DBF ，∴ DB AD =DF AF =BF DF =tan ∠A =12 ，∴ DF =12AF =2BF ，即 12(BF +6)=2BF ，解得 BF =2 ， DF =4 ，∵ OD ⊥DF ， BE ⊥DF ，∴ △ODF ∽△BEF ，∴ EF DF =BF OF =22+3 ，解得 EF =85【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD ，利用角平分线的定义和平行线的性质可证得∠ODC=∠BCD ，可推出OD ∥BC ，结合已知条件可得到OD ⊥DF ，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用余角的性质可证得∠ADO=∠FDB ，再证明∠OAD=∠FDB ，可证得△ADF ∽△DBF ，利用相似三角形的性质及锐角三角函数的定义可证得DF=2BF ，由此可求出BF ，DF 的长；再证明△ODF ∽△BEF ，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF 的长.22.某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/ kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为： y ={0.25x +30(1≤x ≤20)35(20<x ≤40)且x 为整数，且日销量 m() 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：填空： （1）m 与x 的函数关系为________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 1kg 商品就捐赠n 元利润（ n <4 ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围.【答案】 （1）m=-2x+144（2）解：当 1≤x ≤20 时，销售利润 W =my −20m =(−2x +144)(0.25x +30−20)=−12(x −16)2+1568 ，当x=16时，销售利润最大为1568元；当20<x≤40时，销售利润W=my−20m=−30x+2160，当x=21时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元（3）解：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：W′=my−20m−nm=(0.25x+10−n)(−2x+144)=−12x2+(16+2n)x+1440−144n，∵1≤x≤20时，W′随x的增大而增大，∴对称轴16+2n≤20，解得0<n≤2【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：（1）设m=kx+b，将(1,142)，(3,138)代入可得：{142=k+b138=3k+b，解得{k=−2b=144，∴m=−2x+144；【分析】（1）利用待定系数法求出m与x的函数解析式.（2）当1≤x≤20，根据W=my，可得到W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出销售利润最大值；当20＜x≤40，根据W=my，可得到W与x之间的函数解析式，利用一次函数的性质求出销售利润的最大值，即可求解.（2）由题意可知W＇=my-2m-nm，列出函数解析式，利用二次函数的性质可求解.23.已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB.（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于√34，求线段AP的长度.【答案】（1）证明：∵线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等边三角形ABC中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴AP= BQ（2）解：∵AP=AC，CA⊥l，∴△ACP是等腰直角三角形，∵△ACP≌△BCQ，∴△BCQ是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等边三角形ABC中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直线PB垂直平分线段CQ（3）解：过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，由（1）小题，可知：△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE= 12AB=2，∴BM=BE÷sin60°=2÷ √32= 43√3，设AP=x，则BQ=x，MQ=x- 43√3，QF= MQ×sin60°=( x- 43√3)× √32，∵△APQ的面积等于√34，∴ 12 AP×QF= √34 ，即： 12 x×( x- 43√3 )× √32 = √34 ，解得： x =23√3+√213 或 x =23√3−√213 （不合题意，舍去），∴AP= 23√3+√213【考点】解直角三角形，旋转的性质，三角形的综合【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得CP=CQ ，∠PCQ=60°，利用等边三角形的性质去证明∠ACP=∠BCQ ，利用SAS ，可证得△ACP ≌△BCQ ，利用全等三角形的性质可证得结论.（2）利用已知条件易证△ACP 是等腰直角三角形，利用全等三角形的性质可证得△BCQ 是等腰直角三角形，再利用等边三角形的性质去证明AB=AP ，同时可求出∠BAP ，∠ABP ，∠CBD 的度数，由此可证得结论.（3）利用全等三角形的性质可证得AP=BQ ，∠CAP=∠CBQ=90°，再证明∠QMF=∠BAE=60°，同时可求出∠BAE 的度数；利用直角三角形的性质可求出BE 的长，利用解直角三角形求出BM 的长，设AP=x ，则BQ=x ，可表示出MQ ，QF 的长；再利用△PAQ 的面积= √34 ，建立关于x 的方程，解方程求出符合题意的x 的值，即可得到AP 的长.24.已知抛物线 y =ax 2+bx −5 与x 轴交于点 A(−1,0) 和 B(−5,0) ，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连 AN 交抛物线于M ，连 AC 、 CM .（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当 tan ∠ACM =2 时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作 MD ⊥l 于D ，若 MD =√3MN ，求N 点的坐标.【答案】 （1）解：将点 A(−1,0) 和点 B(−5,0) 代入 y =ax 2+bx −5 得{a −b −5=025a −5b −5=0，解得： {a =−1b =−6 ∴y =−x 2−6x −5（2）解：点A 作 AE ⊥AC 交CM 的延长线于点E ，过 E 作 EF ⊥x 轴于 E, 如下图∵EF ⊥x 轴， AE ⊥AC∴∠EFA =∠EAC =90°∴∠FAE +∠OAC =90°又 ∴∠ACO +∠OAC =90°∴∠EAF =∠ACO∴ΔAOC ∽ΔEFA∴AC EA =AO EF =CO AF∵tan ∠ACM =2 即 AE AC =2∴AC EA =AO EF =CO AF =12当 x =0 时， y =−5∴C(0,−5) 即 OC =5∴EF =2,AF =10 即 E(−11,−2)∴ 设直线CE 的解析式为 y =kx +b(k ≠0) ，并将C 、E 两点代入得{−11k +b =−2b =−5 解得 {k =−311b =−5∴y =−311x −5∵ 点M 是直线CE 与抛物线交点∴{y =−311x −5y =−x 2−6x −5解得 x 1=−6311,x 2=0 （不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为 −6311（3）解：设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m则OH=−m∴AH=−1−m∵y=−x2−6x−5∴对称轴x=−b2a=−3∴P、Q、N的横坐标为−3，即OQ=3∴AQ=OQ−OA=2∴当x=−3时，y=−(−3)2−(−3)×6−5=4∴P(−3,4)∴点D的纵坐标为4∴MD=4−(−m2−6m−5)=m2+6m+9=(m+3)2∵HM//NQ∴ΔAHM∽ΔAQN∴AHAQ =HMQN即−1−m2=m2+6m+5QN∴QN=−2m−10∴N(−3,2m+10)∴MN2=(m−3)2+[−m2−6m−5−2m−10]2=3(m+3)2[(m+5)2+1]∵MD=√3MN∴MD2=3MN2，即(m+3)4=3(m+3)2[(m+5)2+1]，∵m+3=0,m=−3不符合题意，舍去，当m+3≠0时，∴2m2+24m+69=0,解得m=−12±√62，由题意知m=−12−√62∴N(−3,−2−√6)【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b 的值，可得到二次函数解析式.（2）过点A作AE⊥AC交CM的延长线于点E，过E作EF⊥x轴于E,利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAF=∠ACO，∠EFA=∠EAC，可推出△AOC∽△EFA，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例；再利用锐角三角函数的定义可得到AE与AC的比值，再利用函数解析式求出点C的坐标，可得到OC，EF，AF的长，由此可求出点E的坐标；利用点C，E的坐标可求出直线CE的函数解析式；将直线CE的解析式和抛物线额解析式联立方程组，求出点M的坐标.（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m ，可得到OH，AH 的长，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，即可得到点P，Q，N的横坐标及OQ的长，由此可求出AQ的长；将x=-3代入二次函数解析式，求出y的值，可得到点P的坐标；再用含m的代数式表示出MD 的长；再证明△AHM∽△AQN，利用相似三角形的性质，可表示出MN2的长，利用MD2=3MN2，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点N的坐标.。
湖北省十堰市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)
湖北省十堰市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.−12 的相反数是( )A. -2B. 2C. −12 D. 12 【答案】 D【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】因为 (−12)+12=0 ，所以 −12 的相反数是 12 . 故答案为D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数可求解.2.如图，直线 AB//CD,∠1=55°,∠2=32° ，则 ∠3= （ ）A. 87°B. 23°C. 67°D. 90° 【答案】 A【考点】平行线的性质，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵ AB//CD,∠1=55° ， ∴ ∠C =∠1=55° ， ∴ ∠3=∠2+∠C =87° ， 故答案为：A.【分析】根据平行线的性质得出∠C =∠1=55° ， 根据三角形外角的性质得出∠3=∠2+ ∠C ，据此计算即可.3.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（ ）A.B. C. D.【答案】 A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】解：该几何体从上向下看，其俯视图是，故答案为：A.【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形；注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.4.下列计算正确的是（）A. a3⋅a3=2a3B. (−2a)2=4a2C. (a+b)2=a2+b2D. (a+2)(a−2)=a2−2【答案】B【考点】同底数幂的乘法，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，积的乘方【解析】【解答】解：A. a3⋅a3=a6，该项计算错误；B. (−2a)2=4a2，该项计算正确；C. (a+b)2=a2+2ab+b2，该项计算错误；D. (a+2)(a−2)=a2−4，该项计算错误；故答案为：B.【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式及平方差公式分别进行计算，然后判断即可.5.某校男子足球队的年龄分布如下表则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）A. 8，15B. 8，14C. 15，14D. 15，15【答案】 D【考点】中位数，众数【解析】【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15岁；22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15＋15）÷2＝15岁.故答案为：D.【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数，众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此求解即可.6.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）A. 400x −450x−50=1 B. 450x−50−400x=1C. 400x −450x+1=50 D. 450x+1−400x=5【答案】B【考点】分式方程的实际应用【解析】【解答】解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台.依题意得：450x−50−400x=1.故答案为：B.【分析】设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台，根据“ 生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可.7.如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A. (15√3+32)m B. 5√3m C. 15√3m D. (5√3+32)m【答案】 D【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝15m，AB＝1.5m，∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，AD＝15m，∴ED＝AD•tan30°＝15× √33＝5 √3，∴CE＝CD＋DE＝(5√3+32)m.故答案为：D.【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD•tan30°＝5 √3，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.8.如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径，若AD=3，则BC=（）A. 2√3B. 3√3C. 3D. 4【答案】C【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形【解析】【解答】解：过点O作OF⊥BC于F，∴BF＝CF＝12BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，∵AD＝3，∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ √32=2 √3，∴OB＝12BD＝√3，∴BF＝OB•cos30°＝√3× √32＝32，∴BC＝3.故答案为：C.【分析】过点O作OF⊥BC于F，根据垂径定理求出BF＝CF＝12BC，利用等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC=30°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，从而求出∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，继而得出BD＝AD÷cos30°=2 √3，可求出OB＝12BD＝√3，由BF＝OB•cos30°求出BF，从而求出BC 的长.9.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A. 2025B. 2023C. 2021D. 2019【答案】B【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故答案为：B.【分析】观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，据此求出n=32时的数据，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，从而求出结论.10.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,1)，过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图象上，则D点纵坐标为（）A. 5√5−14B. 52C. 73D. 5√5+14【答案】A【考点】勾股定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,1)，∴k=2，∴直线OA的解析式为y=12x，∵CD⊥OA，∴设直线CD的解析式为y=−2x+b，则D(0,b)，设点B关于直线CD的对称点B′(a,2a)，则(b−1)2=a2+(2a−b)2①，且BB′//OA，即2a−1a=12，解得a=√5−1，代入①可得b=5√5−14，故答案为：A.【分析】将点A 坐标代入反比例函数解析式求出k=2，即得y =2x ， 利用待定系数法求出直线OA 的解析式为 y =12x ，由CD ⊥OA 可设直线CD 的解析式为 y =−2x +b ， 可得D(0,b) ， 可设B ′(a,2a ) ， 利用勾股定理可得(b −1)2=a 2+(2a −b)2①，由 BB ′//OA ，可得2a−1a=12 ，求出a 值，然后将a 值代入①求出b 值即可.二、填空题（共5题；共6分）11.已知 xy =2,x −3y =3 ，则 2x 3y −12x 2y 2+18xy 3= ________. 【答案】 36【考点】因式分解的应用【解析】【解答】∵ xy =2,x −3y =3 ， ∴原式= 2xy(x −3y)2=2×2×32=36 ， 故答案是：36.【分析】利用因式分解将原式变形为2xy(x −3y)2 ， 然后整体代入计算即可.12.如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为________ ．【答案】 20【考点】矩形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，∴OM=12CD=12AB=2.5， ∵AB=5，AD=12， ∴AC= √52+122=13，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴BO=12AC=6.5，∴四边形ABOM 的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20， 故答案为：20．【分析】根据题意可知OM 是△ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．13.对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b=a2+b2−ab，若x⊗(x−1)=3，则x的值为________.【答案】-1或2【考点】因式分解法解一元二次方程，定义新运算【解析】【解答】解：根据新定义内容可得：x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3，整理可得x2−x−2=0，解得x1=−1，x2=2，故答案为：-1或2.【分析】利用定义新运算可得x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3，然后求出方程的解即可.14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC 长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是________.【答案】3π-6【考点】三角形的面积，正方形的性质，扇形面积的计算【解析】【解答】连接BE，∵在正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，∵∠CAB=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，即：AE=BE，∴弓形BE的面积= 14π×22−12×2×2=π−2，∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △BCE的面积= π−2+ 45×π×42360- 12×12×4×4=3 π-6.故答案是：3π-6.【分析】连接BE，可求出△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，由于阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积- △BCE的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式进行计算即可.15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q 为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是________.【答案】72≤m≤ 132【考点】三角形三边关系，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：作AB的中点M，连接CM、QM.∵AP=3,∴P在以A为圆心，3为半径的圆上运动，在直角△ABC中，AB＝√AC2＋BC2=√82+62=10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝12AB＝5.∵Q是BP的中点，M是AB的中点，∴MQ＝12AP＝32.∴在△CMQ中，5− 32≤CQ≤ 32＋5，即72≤m≤ 132.故答案是：72≤m≤ 132.【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，在直角△ABC中，利用勾股定理求出AB=10，利用直角三角形斜边中线的性质得出CM＝12AB＝5，根据三角形中位线的定理可得MQ＝12AP＝32，在△CMQ中，CM− MQ≤CQ≤ MQ＋CM，据此即可求出结论.三、解答题（共9题；共90分）16.计算：√2cos45°+(13)−1−|−3|.【答案】解：原式=√2×√22+3−3=1.【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】利用特殊角三角函数值、负整数幂的性质、绝对值的性质分别进行计算，再合并即可.17.化简：(a+2a2−2a −a−1a2−4a+4)÷a−4a.【答案】解：原式= (a+2a(a−2)−a−1(a−2)2)⋅aa−4= ((a+2)(a−2)a(a−2)2−a(a−1)a(a−2)2)⋅aa−4= a2−4−a2+aa(a−2)2⋅a a−4= a−4a(a−2)2⋅a a−4= 1(a−2)2【考点】分式的混合运算【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简.18.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动.赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图.根据图表信息，回答下列问题：（1）表中a=________；扇形统计图中，C等级所占的百分比是________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有________人.（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率【答案】（1）20；30%；42°；450（2）解：列表如下：共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，∴P(甲、乙两人至少有1人被选中) =1012=56【考点】用样本估计总体，统计表，扇形统计图，列表法与树状图法【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷90360=60人，∴a=60−15−18−7=20，C等级所占的百分比1860×100%=30%，D等级对应的扇形圆心角760×360=42°，若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有1800×1560=450人；【分析】（1）先求出抽取总人数，再利用总人数分别减去A、C、D等级人数，即得a值；利用C等级人数除以总人数，再乘以100%即得C等级的百分比；利用D等级的百分比乘以360°即得D等级对应的扇形圆心角度数；利用样本中A等级百分比乘以1800，即得结论；（2）利用列表法列举出共有12种等可能情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，然后利用概率公式计算即可.19.已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值.【答案】（1）解：∵一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根，∴Δ=16−4(−2m+5)>0，解得m>12（2）解：设该方程的两个根为x1、x2，∵该方程的两个根都是符号相同的整数，∴x1x2=−2m+5>0，x1+x2=4，∴12<m<52，∴m的值为1或2，当m=1时，方程两个根为x1=1、x2=3；当m=2时，方程两个根x1与x2不是整数；∴m的值为1【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【分析】（1）根据一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可；（2）设该方程的两个根为x1、x2，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得x1x2=−2m+5>0，x1+x2=4，可得m的范围，然后求出其整数解即可.20.如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF//BC交DE于点F，连接AE、CF.（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°，求AB的长.【答案】（1）证明：∵AF//BC，∴∠FAD=∠ECD，∵D是AC的中点，DE⊥AC，∴∠FDA=∠EDC，AD=CD，∴△ADF≌△CDE，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形（2）解：∵AECF是菱形，∴AF=CF=2，∴AD=AF⋅cos30°=√3，∴AC=2AD=2√3，过点A作AM⊥BC，∴AM=AC⋅sin30°=√3，=√6∴AB=AMsin45°【考点】菱形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠FAD=∠ECD，利用垂直的定义和线段中点的定义可证得∠FDA=∠EDC，AD=CD，利用ASA可证得△ADF≌△CDE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE；再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.（2）利用菱形的性质可求出AF的长，利用解直角三角形求出AD的长，即可求出AC的长；过点A作AM⊥BC，利用解直角三角形求出AM，AB的长.21.如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若tan∠A=1，⊙O的半径为3，求EF的长.2【答案】（1）证明：连接OD，，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵CD平分∠OCB，∴∠OCD=∠BCD，∴∠ODC=∠BCD，∴OD//BC，∵DF⊥BC∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线（2）解：∵ ∠ADO +∠BDO =90° ， ∠FDB +∠BDO =90° ，∴ ∠ADO =∠FDB ，∵ ∠ADO =∠OAD ，∴ ∠OAD =∠FDB ，∴ △ADF ∽△DBF ，∴ DB AD =DF AF =BF DF =tan ∠A =12 ，∴ DF =12AF =2BF ，即 12(BF +6)=2BF ，解得 BF =2 ， DF =4 ，∵ OD ⊥DF ， BE ⊥DF ，∴ △ODF ∽△BEF ，∴ EF DF =BF OF =22+3 ，解得 EF =85【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD ，利用角平分线的定义和平行线的性质可证得∠ODC=∠BCD ，可推出OD ∥BC ，结合已知条件可得到OD ⊥DF ，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用余角的性质可证得∠ADO=∠FDB ，再证明∠OAD=∠FDB ，可证得△ADF ∽△DBF ，利用相似三角形的性质及锐角三角函数的定义可证得DF=2BF ，由此可求出BF ，DF 的长；再证明△ODF ∽△BEF ，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF 的长.22.某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/ kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为： y ={0.25x +30(1≤x ≤20)35(20<x ≤40)且x 为整数，且日销量 m() 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：填空： （1）m 与x 的函数关系为________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 1kg 商品就捐赠n 元利润（ n <4 ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围.【答案】 （1）m=-2x+144（2）解：当 1≤x ≤20 时，销售利润 W =my −20m =(−2x +144)(0.25x +30−20)=−12(x −16)2+1568 ，当x=16时，销售利润最大为1568元；当20<x≤40时，销售利润W=my−20m=−30x+2160，当x=21时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元（3）解：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：W′=my−20m−nm=(0.25x+10−n)(−2x+144)=−12x2+(16+2n)x+1440−144n，∵1≤x≤20时，W′随x的增大而增大，∴对称轴16+2n≤20，解得0<n≤2【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【解答】解：（1）设m=kx+b，将(1,142)，(3,138)代入可得：{142=k+b138=3k+b，解得{k=−2b=144，∴m=−2x+144；【分析】（1）利用待定系数法求出m与x的函数解析式.（2）当1≤x≤20，根据W=my，可得到W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出销售利润最大值；当20＜x≤40，根据W=my，可得到W与x之间的函数解析式，利用一次函数的性质求出销售利润的最大值，即可求解.（2）由题意可知W＇=my-2m-nm，列出函数解析式，利用二次函数的性质可求解.23.已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB.（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于√34，求线段AP的长度.【答案】（1）证明：∵线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等边三角形ABC中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴AP= BQ（2）解：∵AP=AC，CA⊥l，∴△ACP是等腰直角三角形，∵△ACP≌△BCQ，∴△BCQ是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等边三角形ABC中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直线PB垂直平分线段CQ（3）解：过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，由（1）小题，可知：△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE= 12AB=2，∴BM=BE÷sin60°=2÷ √32= 43√3，设AP=x，则BQ=x，MQ=x- 43√3，QF= MQ×sin60°=( x- 43√3)× √32，∵△APQ的面积等于√34，∴ 12 AP×QF= √34 ，即： 12 x×( x- 43√3 )× √32 = √34 ，解得： x =23√3+√213 或 x =23√3−√213 （不合题意，舍去），∴AP= 23√3+√213【考点】解直角三角形，旋转的性质，三角形的综合【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得CP=CQ ，∠PCQ=60°，利用等边三角形的性质去证明∠ACP=∠BCQ ，利用SAS ，可证得△ACP ≌△BCQ ，利用全等三角形的性质可证得结论.（2）利用已知条件易证△ACP 是等腰直角三角形，利用全等三角形的性质可证得△BCQ 是等腰直角三角形，再利用等边三角形的性质去证明AB=AP ，同时可求出∠BAP ，∠ABP ，∠CBD 的度数，由此可证得结论.（3）利用全等三角形的性质可证得AP=BQ ，∠CAP=∠CBQ=90°，再证明∠QMF=∠BAE=60°，同时可求出∠BAE 的度数；利用直角三角形的性质可求出BE 的长，利用解直角三角形求出BM 的长，设AP=x ，则BQ=x ，可表示出MQ ，QF 的长；再利用△PAQ 的面积= √34 ，建立关于x 的方程，解方程求出符合题意的x 的值，即可得到AP 的长.24.已知抛物线 y =ax 2+bx −5 与x 轴交于点 A(−1,0) 和 B(−5,0) ，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连 AN 交抛物线于M ，连 AC 、 CM .（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当 tan ∠ACM =2 时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作 MD ⊥l 于D ，若 MD =√3MN ，求N 点的坐标.【答案】 （1）解：将点 A(−1,0) 和点 B(−5,0) 代入 y =ax 2+bx −5 得{a −b −5=025a −5b −5=0，解得： {a =−1b =−6 ∴y =−x 2−6x −5（2）解：点A 作 AE ⊥AC 交CM 的延长线于点E ，过 E 作 EF ⊥x 轴于 E, 如下图∵EF ⊥x 轴， AE ⊥AC∴∠EFA =∠EAC =90°∴∠FAE +∠OAC =90°又 ∴∠ACO +∠OAC =90°∴∠EAF =∠ACO∴ΔAOC ∽ΔEFA∴AC EA =AO EF =CO AF∵tan ∠ACM =2 即 AE AC =2∴AC EA =AO EF =CO AF =12当 x =0 时， y =−5∴C(0,−5) 即 OC =5∴EF =2,AF =10 即 E(−11,−2)∴ 设直线CE 的解析式为 y =kx +b(k ≠0) ，并将C 、E 两点代入得{−11k +b =−2b =−5 解得 {k =−311b =−5∴y =−311x −5∵ 点M 是直线CE 与抛物线交点∴{y =−311x −5y =−x 2−6x −5解得 x 1=−6311,x 2=0 （不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为 −6311（3）解：设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m则OH=−m∴AH=−1−m∵y=−x2−6x−5∴对称轴x=−b2a=−3∴P、Q、N的横坐标为−3，即OQ=3∴AQ=OQ−OA=2∴当x=−3时，y=−(−3)2−(−3)×6−5=4∴P(−3,4)∴点D的纵坐标为4∴MD=4−(−m2−6m−5)=m2+6m+9=(m+3)2∵HM//NQ∴ΔAHM∽ΔAQN∴AHAQ =HMQN即−1−m2=m2+6m+5QN∴QN=−2m−10∴N(−3,2m+10)∴MN2=(m−3)2+[−m2−6m−5−2m−10]2=3(m+3)2[(m+5)2+1]∵MD=√3MN∴MD2=3MN2，即(m+3)4=3(m+3)2[(m+5)2+1]，∵m+3=0,m=−3不符合题意，舍去，当m+3≠0时，∴2m2+24m+69=0,解得m=−12±√62，由题意知m=−12−√62∴N(−3,−2−√6)【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b 的值，可得到二次函数解析式.（2）过点A作AE⊥AC交CM的延长线于点E，过E作EF⊥x轴于E,利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAF=∠ACO，∠EFA=∠EAC，可推出△AOC∽△EFA，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例；再利用锐角三角函数的定义可得到AE与AC的比值，再利用函数解析式求出点C的坐标，可得到OC，EF，AF的长，由此可求出点E的坐标；利用点C，E的坐标可求出直线CE的函数解析式；将直线CE的解析式和抛物线额解析式联立方程组，求出点M的坐标.（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m ，可得到OH，AH 的长，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，即可得到点P，Q，N的横坐标及OQ的长，由此可求出AQ的长；将x=-3代入二次函数解析式，求出y的值，可得到点P的坐标；再用含m的代数式表示出MD 的长；再证明△AHM∽△AQN，利用相似三角形的性质，可表示出MN2的长，利用MD2=3MN2，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点N的坐标.。
2023年湖北省荆州市中考数学真题(解析版)
OAB 绕着点 A 顺时针旋转 90 得到
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CAD ，
则点 B 的对应点 D 的坐标是（ ）
A. 2,5
B. 3,5
C. 5, 2
D. 13, 2
【答案】C 【解析】
【分析】先根据一次函数解析式求得点 A, B 的坐标，进而根据旋转的性质可得 AC OA 2,CD OB 3，
OAC 90 ， ACD=90 ，进而得出 CD ∥OA ，结合坐标系，即可求解．
延长 DC 交 y 轴于点 E ，则 E0,2， DE EC CD 2 3 5 ，
∴ D 5, 2 ，
故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关 键．
10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点 O 是这段弧所在圆的圆心，B 为 AC 上一点，OB AC 于 D ．若 AC 300 3m ， BD 150m ，则 AC 的长为（ ）
【详解】解：A. 3a2b3 2a2b3 a2b3 ，故该选项正确，符合题意；
B. a2 a3 a5 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. a6 a2 a4 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. a2 3 a6 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则 是解题的关键． 3. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
B 选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C 选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D 选项：由 A 和 B 选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
2021年湖北省各地中考数学试题汇编--反比例函数综合应用(解析版)可打印
2021年湖北省各地中考数学试题汇编--反比例函数综合应用一、选择题1．（3分）（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1 【答案】B【解答】解：∵k＜0，∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＞a+1，此不等式无解；②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，∵y1＞y2，∴a﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜1，故选：B．2．（3分）（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A ．（2，0）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，2）【答案】D【解答】解：由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形， ∵A 1（1，1），∴OB 1＝2，设A 2（m ，2+m ）， 则有m （2+m ）＝1， 解得m 1， ∴OB 2＝2，设A 3（a ，2n ），则有n ＝a （2a ）＝1，解得a ， ∴OB 3＝2，同法可得，OB 4＝2，∴OB n ＝2， ∴B n （0，2）．故选：D ．3.如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ）A.13B. 33 D.33【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数1k y x =，2ky x=的图象是中心对称图形， 菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O ，,OD OC ⊥ 如图：作CM ⊥x 轴于M ，DN ⊥x 轴于N ．连接OD ，OC ． ∵DO ⊥OC ，∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°， ∴∠COM=∠ODN ， ∵∠CMO=∠DNO=90°， ∴COM ODN ∽，2221112,12COMODNkk S CO S OD k k ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ 菱形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点即为原点O,120BAD ∠=︒,60,OCD ∴∠=︒ 90,COD ∠=︒tan 603,DOCO∴︒== 33CO DO ∴= 222131,3k CO OD k ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭⎝⎭1 23.kk∴=故选B．二．填空题4．（3分）（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为 2 ．【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM∥BN，∴，∴CN＝MN，设BN＝a，则AM＝2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM•AM＝ON•BN，∴OM ON，即：OM＝MN＝NC，设OM＝b，则OC＝3b，∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，∴3b×2a＝3，∴ab＝1∴S△AOM OM•AM b×2a＝ab＝1|k|，∴k＝﹣2（舍去），k＝2，故答案为：2．5．（3分）（2020•荆门）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y（x＜0）的图象经过点G，则k的值为．【解答】解：∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，∴DE ＝AB ＝1，OE ＝OA ＝2，∠OED ＝∠OAB ＝90°， ∵∠COG ＝∠EOD ，∠OCG ＝∠OED ， ∴△OCG ∽△OED ， ∴，即，解得CG，∴G （，1），把G （，1）代入y 得k 1．故答案为．6．（2019·随州市，15）如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，D 为AB 的中点，反比例函数y=kx（k ＞0）的图象经过点D ，且与BC 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ，若△ODE 的面积为3，则k 的值为 ．xyOCEB DA【答案】4【解答】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与几何图形的结合．如图，作DF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵S 四边形ODEC =S △ODF +S 四边形CEDF =S △ODE +S △OEC ，又∵点D 、E 均在反比例函数y=k x 的图象上，∴S △ODF =S △OEC =2k ，∴S 四边形CEDF =S △ODE =3．不妨设D （m ，k m），∵D 为AB 的中点，∴B （2m ，k m ），∵BC ⊥x 轴，∴E （2m ，2k m ），∴DF=k m ，CE=2km ，CF=2m-m=m ，∴S 四边形CEDF =12（CE+DF ）·CF=34k =3，∴k=4．xyFADB ECO7．（3分）（2020•鄂州）如图，点A 是双曲线y（x ＜0）上一动点，连接OA ，作OB ⊥OA ，且使OB ＝3OA ，当点A 在双曲线y 上运动时，点B 在双曲线y 上移动，则k 的值为﹣9 ．【解答】解：∵点A 是反比例函数y（x ＜0）上的一个动点，∴可设A （x ，），∴OC ＝x ，AC ，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD+∠AOC ＝∠AOC+∠OAC ＝90°， ∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ， ∴△AOC ∽△OBD ， ∵OB ＝3OA ，∴，∴OD＝3AC，BD＝3OC＝3x，∴B（，﹣3x），∵点B反比例函数y图象上，∴k（﹣3x）＝﹣9，故答案为：﹣9．8．（3分）（2020•孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y和y（k＜0）上，，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．【答案】【解答】解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴（）2，∵A点在双曲线y，，∴S△AOM4＝2，，∴（）2，∴S△ODN，∵D点在双曲线y（k＜0）上，∴|k|，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，∴S△OEF，故答案为．9．（2019•湖北省荆州市T16）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中,直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A,B 两点,过B 点的双曲线2k y x=的一支交其中两个正方形的边于C,D 两点,连接OC,OD,CD,则OCDS = .【答案】11948【解答】本题考查了反比例的性质、一次函数的性质、正方形的面积，综合性较强，难度比较大.设A （4，t ）直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积 ∴14412t ⨯⨯=+，解得52t = ∴ A （4，52） 把点A 坐标代入1y k x =得：1542k =，158k =， ∴直线解析式为58y x =当2x =时，5584y x ==，则B （2，54）双曲线2k y x=过B 点 ∴ 255242k =⨯= ∴双曲线2k y x=的解析式为5522y x x ==当2y =时，解得54x =，点C(54,2) 当3x =时，解得56y =，点D(3,56) 15151551193232(2)(3)262426448OCDS=⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯-=因此本题填11948．10．(2019年荆门，T15)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝k x(k ＞0，x ＞0)的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ，N ，且OM ＝2MA ，若AB ＝3，那么点N 的横坐标为______．【答案】352+【解答】本题考查了反比例函数的性质、三角函数、一元二次方程等知识． 如图3，分别过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ． 依题意可知OM ＝2，∠OMC ＝30°，∴OC ＝1，MC ＝3． ∴k ＝1×3＝3．于是设N(a ，3)(1＜a ＜3)，则OD ＝a ，ND ＝3，DB ＝1a．∵OB ＝AB ＝3，∴a ＋1a＝3．解得a ＝352+(舍去352-)．因此本题答案是35+． 三、解答题11．（9分）（2020•湖北）如图，直线AB 与反比例函数y （x ＞0）的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为（6，1），△AOB 的面积为8．xOyMN AD C B 图3x OyMNAB 第15题图（1）填空：反比例函数的关系式为y；（2）求直线AB的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．【解答】解：（1）解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y，得k＝1×6＝6，则y，故答案为：y；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），∴mn＝6，∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，∴S△ABE，∵A、B两点均在反比例函数y（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝S△AOC3，∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣33n m，∵△AOB的面积为8，∴3n m＝8，∴m＝6n﹣16，∵mn＝6，∴3n2﹣8n﹣3＝0，解得：n＝3或（舍），∴m＝2，∴B（2，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为：y x+4；（3）如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，把x＝0代入y x+4中，得：y＝4，∴P（0，4）．12．（7分）（2020•襄阳）如图，反比例函数y1（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝ 4 ，n＝ 2 ；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 2 ．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y，∵把B（n，2）代入y得：2，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM|m|2，故答案为2．13．（8分）（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2的图象在第一、三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）△AOB的面积为8 ；（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．【解答】解：（1）把A（6，1）代入y2中，解得：m＝6，故反比例函数的解析式为y2；把B（a，﹣3）代入y2，解得a＝﹣2，故B（﹣2，﹣3），把A（6，1），B（﹣2，﹣3）代入y1＝kx+b，得，解得：，故一次函数解析式为y1x﹣2；（2）如图，设一次函数y1x﹣2与x轴交于点C，令y＝0，得x＝4．∴点C的坐标是（4，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC4×14×3＝8．故答案为8；（3）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞6时，直线y 1＝kx+b 落在双曲线y 2上方，即y 1＞y 2，所以y 1＞y 2时x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞6．14．（2019年湖北襄阳T21）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝mx 的图象在第一、第三象限分别交于A(3，4)，B(a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)比较大小：AD______BC(填“>”或“<”或“＝”)； (3)直接写出y 1<y 2时x 的取值范围．【解答】解： （1）将A （3，4）代入x m y =2中，可得m=12，∴xy 122= 将B （a ，-2）代入xy 122=中，可得a=-6，∴B （-6，-2） 将A （3，4），B （-6，-2）分别代入y 1=kx+b 中，可得⎩⎨⎧-=+-=+2643b k b k解得2,32==b k ，∴2321+=x y ∴2321+=x y ,xy 122=（2）= ∵C ，D 是2321+=x y 与y 轴,x 轴的交点，∴C （0，2），D （-3，0） ∴AD=132，BC=132，∴AD=BC （3）x<-6或0<x<3已知直线与双曲线相交于A 、B 两点，通过观察，可得当x<-6或0<x<3时直线y 1双曲线y 2的下方，即当x<-6或0<x<3时y 1<y 2.15．（8分）（2020•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax﹣3a（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x＞0）的一个交点为C，且BC AC．（1）求点A的坐标；（2）当S△AOC＝3时，求a和k的值．【解答】解：（1）由题意得：令y＝ax﹣3a（a≠0）中y＝0，即ax﹣3a＝0，解得x＝3，∴点A的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）过C点作y轴的垂线交y轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示：显然，CM∥OA，∴∠BCM＝∠BAO，且∠ABO＝∠CBO，∴△BCM∽△BAO，∴，即：，∴CM＝1，又即：，∴CN＝2，∴C点的坐标为（1，2），故反比例函数的k＝1×2＝2，再将点C（1，2）代入一次函数y＝ax﹣3a（a≠0）中，即2＝a﹣3a，解得a＝﹣1，故答案为：a＝﹣1，k＝2．16．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ 1 ；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝ 4 ；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝2k ．【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x ＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S 四边形OABC＝4S△OAM＝4|k|＝2|k|＝4，②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．17．（2019年宜昌T24）在平面直角坐标系中，正方形AB CD四个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-2，-2），C（4，-2），D(4，4)．（1）填空：正方形的面积为：当双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是；(2)已知抛物线L：y=a（x-m）2+n (a>0)顶点P在BC上，与边AB，DC分别交于点E，F，过点B的双曲线y=kx(k≠0)与边DC交于点N．①点Q（m，-m2 -2m +3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q 随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE=NF．点P不与B，C两点重合时，求BE CFBP CP的值；③求证：抛物线L与直线x=1的交点M始终位于x轴下方．①②第24题图【解答】解：（1）根据题意得正方形ABCD的边长为4-（-2）=6，∴正方形的面积为36.当k>0时，双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD交于点B（-2，-2）时，k=4，双曲线与正方形有三个交点，∴当双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是0<k<4；当k<0时，双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD交于点A（-2，4）时，k=-8，此时双曲线也过点C，双曲线与正方形有二个交点，∴当双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是-8<k<0；综上，当双曲线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是0<k<4或-8<k<0.故答案为36； 0<k<4或-8<k<0.(2)①由题意，-2≤m≤4．y Q= -m2-2m+3=-(m+1)2+4.当m=-1，y Q最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4）.当m<-1时，y Q随m的增大而增大．当m=-2时，y Q最小=3．当m>-1时，y Q随m的增大而减小，当 m=4时y Q最小=21.∵3>-21，∴y Q最小=-21．点Q在最低位置时的坐标(4，-21).∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标（4，-21）．②当双曲线y=kx(k≠0)经过点B（-2．-2）时，k=4.∴N(4.1).∵顶点P(m，n)在边BC上，∴n=-2.∴P(m，-2)．∴BP=m+2, CP=4-m．∴抛物线：y=a（x-m）2+n (a>0)与边AB，DC分别交于点E，F，∴E(-2，a(-2 -m)2-2）．F（4，a(4 -m)2-2）．∴BE= a(-2-m)2，CF =a(4-m)2.∴()()222424a m a mBE CFBP CP m m----=-+-= a(m+2)- a(4 - m)= 2am-2a =2a(m-1).∵AE =NF，点F在点N下方，∴6-a（-2-m）2=3-a（4-m）2．∴12a(m -1)=3．a(m -1)= 14.∴BE CFBP CP-=12.③由题意，M(1，a(1 -m)2-2），∴y M= a(1 -m)2-2（-2≤m≤4），即y M= a(m -1)2-2（-2≤m ≤4）.∵a>0，∴对于每一个a（a>0）值，当m=1时，y M最小=-2.当m= -2或4时，y M最大=9a -2．当m=4时，抛物线L：y=a（x-4）2-2．∴F (4, -2)，E（-2，36a-2）。