高中数学 第1部分 第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
3．共线向量定理的理解． (1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在 一个实数λ，使b＝λa. (2)该定理中之所以规定a≠0，是因为：当a＝0时，若b＝ 0，这时λ不唯一；若b≠0，则不存在λ值使b＝λa. (3)该定理的作用主要是论证两条直线平行或三点共线问 题．
根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及数乘 的定义，回答下列问题：
问题1：3(2a)与2·(3a)是否等于6a? 提示：是的． 问题2：(3＋2)a＝3a＋2a成立吗？ 提示：成立． 问题3：2(a＋b)与2a＋2b是否相等？ 提示：相等．
若设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a)＝ (λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μ a ； (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb . 特别地，(－λ)a＝ －(λa) ＝ λ(－a) ， λ(a－b)＝ λa－λb .
[例1] 计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋12a)]； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
[思路点拨] 按照数乘向量的运算律进－12b－18a＋9b ＝(18－18)a－(12－9)b ＝－3b. (2)原式＝32a＋b－13a－12b－172a－12b－172a ＝(32－13－172－172)a＋(1－12－12)b ＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6－4＋4)a＋(－6＋8)b＋(6－4－2)c ＝6a＋2b.
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)
＝13a＋43b－43a＋23b
＝－a＋2b＝2b－a.
答案：B
2．计算下列各题： (1)3(3a－b)＋4(b－2a)； (2)14[(a＋2b)＋3a－13(6a－12b)]． 解：原式＝3(3a)＋3(－b)＋4b＋4(－2a)＝ 9a－3b＋4b－8a＝a＋b. (2)原式＝14a＋12b＋34a－12a＋b＝12a＋32b.
3．已知5(x＋a)＋3(x－b)＝0，求x. 解：原方程可化为5x＋5a＋3x－3b＝0. ∴8x＝3b－5a. 两边同除以5，得x＝38b－58a.
[例2] (1)已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1 －8e2，则a与b是否共线？
(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则 a与b是否共线？
[一点通] 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主 要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类 项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可 以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程 的方法求解．
1.13[12(2a＋8b)－(4a－2b)]等于
()
A．2a－b
第 二 2.2 2.2.3 章
理解教 材新知
把握热 点考向
知识点一
知识点二 知识点三
考点一 考点二 考点三
应用创 新演练
问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a 的长度与|a|的关系怎样？
提示：按三角形法则，|a＋a|＝2|a|. 问题2：我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写 成3a呢？ 提示：可以． 问题3：3a与a的方向为什么关系？－3a与a的方向呢？ 提示：3a与a方向相同，－3a与a方向相反．
向量数乘运算
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运
算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
(2)λa(a≠0)的方向当 当λλ＞ ＜00时 时， ，与 与aa方 方向 向
相同 相反
， .
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝ 0 或λ0＝ 0 .
[思路点拨] 利用共线向量定理进行判断．第(2)问中注 意e2＝λe1.
[精解详析] (1)若a与b共线，则存在λ∈R， 使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)． ∴(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0. ∵e1，e2不共线，∴34－＋68λλ＝＝00，， ∴λ不存在， ∴a与b不共线．
算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运 算，如λ＋a，λ－a无法进行．λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.
2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，①当|λ|＞1 时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞ 0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜ |a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方 向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍；③利用向量的数乘运算可解决平 面几何中的平行、相似等问题．
问题1：如果两个向量共线，这两个向量具有哪几种 情况？
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方 向有何关系． 提示：相同或相反． 问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？ 提示：共线．
1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有 唯一一个实数λ， 使b＝λ a. 2．向量的线性运算 向量的 加 ， 减 ， 数乘 运算统称为向量的线性运
(2)∵e1，e2共线， ∴存在λ∈R，使e1＝λe2， ∴a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2， b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2， 当λ≠43时，a＝36λλ＋ －48b，a，b共线． 当λ＝43时，b＝0，a，b也共线． 综上所述，e1与e2共线时，a，b也共线．
[一点通] 判断两个向量是否共线可转化为存在性 问题，解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条 件找等量关系列方程．若方程有解且与题目条件无矛盾， 则存在，反之不存在．
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新课标高中数学人教A版必修四精品课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)
实数与向量的积的定义：
最新高中数学精品课件试卷
讲授新课
实数与向量的积的定义：
最新高中数学精品课件试卷
讲授新课
注意：
实 数与 向 量a， 可 以 作 积 ， 但 不 可 以 作 加 减 法 ， 即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
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实数与a向量的积的运算律：
BC
aaa
记
作
3
a
,
O
C与
a的
方
向
相
同
，且
3a
3a
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P
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DP
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EDP
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FE D P
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2 a
2b
2(a
b
)
2b
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实数与向量b的积的2运(a算律b：)
2 a
2b
2(a
b
)
2b
(a b ) a b
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讲授新课
实数与向量的积的运算律：
设a
,
b为
任
意
向
量
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
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实数与向量的积的定义：
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注意：
实 数与 向 量a， 可 以 作 积 ， 但 不 可 以 作 加 减 法 ， 即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
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实数与a向量的积的运算律：
BC
aaa
记
作
3
a
,
O
C与
a的
方
向
相
同
，且
3a
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2 a
2b
2(a
b
)
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实数与向量b的积的2运(a算律b：)
2 a
2b
2(a
b
)
2b
(a b ) a b
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实数与向量的积的运算律：
设a
,
b为
任
意
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量
(
a
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向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
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高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线
C
a b
A
b
B
C
a b b
a
B
O
a
A
3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
b
b
O
B
a
BC a b
A
(a) (a) (a) 思考：已知非零向量 a , 作出 a a a 和
练习:
计算:(1) （ 2 2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c);
（2）已知3( x a) 2( x 2a) 4( x a b) 0, 求x.
解：（）原式 1 4a 12b 6c 9a 12b 6c 13a
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条 运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向
量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、 归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
1.向ห้องสมุดไป่ตู้加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连
仍是向量
二.例题讲解
( 3) 4a; 例1.计算： (1) (2) 3(a b) 2(a b) a; (3) ( 2a 3b c ) (3a 2b c ).
解: (1) 原式 (3 4)a 12a (2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b (3) 原式 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c
人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
人教A版高中数学必修四第二章：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件
2.2.3向量的数乘运算 及其几何意义
复习回顾：
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连
ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
a
b
证明三点A、B、C共线方法： C
b
B
若存在 R, 使得AC AB， b
A
则三点A, B,C共线
ba
O
共线定理应用
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
AB AC 2AD 右边
所以，所证等式成立
4．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：AB DC 2EF
解：作图如右
a
b
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
b b O
B A
复习回顾：
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连
ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
a
b
证明三点A、B、C共线方法： C
b
B
若存在 R, 使得AC AB， b
A
则三点A, B,C共线
ba
O
共线定理应用
例6: 已知任意两非零向量a、b，
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
AB AC 2AD 右边
所以，所证等式成立
4．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：AB DC 2EF
解：作图如右
a
b
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
b b O
B A
「精品」高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4-精品资料
教学建议
1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生的学 习兴趣．如可以通过物理中力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt等实 际问题引入实数与向量的积． 2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生 直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方 向和大小． 3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以从方向 和大小两个方面来考虑．然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积 得到的．给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行， 要指出与平面中直线间的平行的区别．
考点类析
考点三 共线定理的应用
[重点探究型]
[导入] 若存在不全为 0 的一对实数 λ，μ，使 μa＋λb＝0，则向量 a 与 b__共_线_____．
例 3 (1)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且P→A＋P→B＋P→C＝A→C，则下列向量一定共 线的是( ) A.P→C与P→B B.P→A与P→B C.P→A与P→C D.P→C与A→B (2)已知 A，B，C 三点共线，O 是平面内任意一点，且O→C＝λO→A＋mO→B，则 λ＋m ＝________．
[答案] B
[解析] 原式＝112(4a＋16b－16a＋8b)＝112(－12a＋24b)＝2b－a.
预习探究
知识点三 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，___当_且_仅_当________有_____唯_一______一个实数 λ，使__b＝_λ_a ____．
预习探究
[探究] 在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B，则 λ 等于________．
高一数学人教A版必修4课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.2
2.2.3
向 量 数 乘 运 算 及 其 几 何 意 义
课前预习·巧设计
读教材·填要点 小问题·大思维
第 二 章 平 面 向 量
平 面 向 量 的 线 性 运 算
考点一
名师课堂·一点通
考点二 考点三
解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
＝2b－a.
[研一题]
(
)
[答案] B
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法
与代数式的化简类似，可以进行去括号、移项、合并同类 项等变形手段．
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类] 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝ ( A．－a C．－c B．－b D．以上都不对 )
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
1．充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化
为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知 向量的关系解决问题． 2．此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程 (组)求解．
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类]
2．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC ＝2 BD ，
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
共线吗？
提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
提示：由于单位向量的长度总等于 1，所以与非零向量 a a 共线的单位向量应为± . |a|
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2.2
2.2.3
向 量 数 乘 运 算 及 其 几 何 意 义
课前预习·巧设计
读教材·填要点 小问题·大思维
第 二 章 平 面 向 量
平 面 向 量 的 线 性 运 算
考点一
名师课堂·一点通
考点二 考点三
解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
＝2b－a.
[研一题]
(
)
[答案] B
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法
与代数式的化简类似，可以进行去括号、移项、合并同类 项等变形手段．
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类] 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝ ( A．－a C．－c B．－b D．以上都不对 )
返回
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[悟一法]
1．充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化
为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知 向量的关系解决问题． 2．此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程 (组)求解．
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3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[通一类]
2．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC ＝2 BD ，
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
共线吗？
提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
提示：由于单位向量的长度总等于 1，所以与非零向量 a a 共线的单位向量应为± . |a|
向量的数乘运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
证明：∵ ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，
∴ ＝ － ＝e1－4e2.
又 ＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴ ＝2 ，∴ ∥ .
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
[例2] (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x ＋y，
＝ + +
＝ − + +
＝ − + +
＝ + +
1
1
2
2
1
1
＝ − c − +
2
2
1
1
＝ −− c
2
2
＝ − − +
随堂检测
1．判断正误
(1)若b＝λa，则a与b共线．( × )
(2)若λa＝0，则a＝0.( × )
= ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋
1
1
＝ a＋b.
3
3
变式2 本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝ ，b＝ ，
用a，b表示.
1
2
a＝ −
1
b＝
2
−
4
3
2
3
＝ a−
＝
a
b
2
4
a−
3
3
＝ − ＝
2
3
2
a+
提示：定理中a≠0不能漏掉．
• 若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；
• 若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
题型突破
典例深度剖析
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件4新人教A版必修4
∴A,B,D三点公共共线点B
第十五页，共19页。
定理(dìnglǐ)的应用:
(1)有关向量(xiàngliàng)共
线问题:
(2)证明三点(sān diǎn)共线
的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
(3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
例3：设a，b是两个(liǎnɡ ɡè)不共线的向量，
AB a b，BC 2a 8b，CD 3 a b ，
求证：A，B，D三点共线.
证 明 BD BC CD
(zhèng
m ín g ) 2a 8b 3 a b
： 5 a b
5AB
BD // AB 又它们(tā men)有
ab b
2b
a 2a
(a b) a b
第八页，共19页。
二、实数与向量(xiàngliàng)的积的
运算律：
设a,
b 为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) (a) ()a
(2)
(
)a
a
a
(3) (a b) a b
第九页，共19页。
例1：计算题
(1)
( 3)
4a
12a
(2)
1a
a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当特别地0时，当，a的或向a 与0a时的，方a向相0 .反；
第四页，共19页。
注意
(zhù实yì数)：与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是无意义的．
第五页，共19页。
二、实数(shìshù)与向量的积的运
算律： a
3(2a) 6a ?
第十五页，共19页。
定理(dìnglǐ)的应用:
(1)有关向量(xiàngliàng)共
线问题:
(2)证明三点(sān diǎn)共线
的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
(3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD
AB与CD不在同一直线上
例3：设a，b是两个(liǎnɡ ɡè)不共线的向量，
AB a b，BC 2a 8b，CD 3 a b ，
求证：A，B，D三点共线.
证 明 BD BC CD
(zhèng
m ín g ) 2a 8b 3 a b
： 5 a b
5AB
BD // AB 又它们(tā men)有
ab b
2b
a 2a
(a b) a b
第八页，共19页。
二、实数与向量(xiàngliàng)的积的
运算律：
设a,
b 为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) (a) ()a
(2)
(
)a
a
a
(3) (a b) a b
第九页，共19页。
例1：计算题
(1)
( 3)
4a
12a
(2)
1a
a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当特别地0时，当，a的或向a 与0a时的，方a向相0 .反；
第四页，共19页。
注意
(zhù实yì数)：与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是无意义的．
第五页，共19页。
二、实数(shìshù)与向量的积的运
算律： a
3(2a) 6a ?
高中数学人教A版必修 向量的数乘运算及几何意义 课件
恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b
思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？
对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度 的μ倍，即有|b|=μ|a|,且
(A )a b c d 0
A
(B )a b c d0 B
(C )a b cd0
C
(D )a b c d0
（B ） D
O
4、填空题：
(1)ADCA CD (2)ABCBDC AD (3)AB AC BD CD 0
实际背景
在物理中：位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：f=ma.
特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0
几何意义：将 a的长度扩大（或缩小） |λ倍| ，改变（不 改变） 的方a 向，就得到了λ a
a 数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方
向放大了 倍.当〈 0 〈1时，沿 a 的方向缩短了倍.
二、知识应用：
1.证明 向量共线；
2.证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线；
3.证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
直线AB∥直线CD
例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
当a与b同方向时，有b=μa;
思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？
对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度 的μ倍，即有|b|=μ|a|,且
(A )a b c d 0
A
(B )a b c d0 B
(C )a b cd0
C
(D )a b c d0
（B ） D
O
4、填空题：
(1)ADCA CD (2)ABCBDC AD (3)AB AC BD CD 0
实际背景
在物理中：位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：f=ma.
特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0
几何意义：将 a的长度扩大（或缩小） |λ倍| ，改变（不 改变） 的方a 向，就得到了λ a
a 数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方
向放大了 倍.当〈 0 〈1时，沿 a 的方向缩短了倍.
二、知识应用：
1.证明 向量共线；
2.证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线；
3.证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
直线AB∥直线CD
例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
当a与b同方向时，有b=μa;