(完整版)高等数学知识点(重点)

高等数学知识点总结

空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要）

④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考）

空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22

2

2

2

2

2

212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k

j i

b a

c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M M

d z

y

x z y x

z

y x

z

y

x

z y x

z

y x z y x z

z y y x x z z y y x x u u ?

???

?????????????

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?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

1

1

3,,2221

1};,,{,1

302),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt

z z nt

y y mt

x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c

z

b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??

多元函数微分法及应用

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u

dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

　

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

u

F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??== 隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0

),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==????

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线?

?ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f

l j i e e y x f l

f j y

f i x f y x f y x p y x f z l x y f

x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=???

???????

?多元函数的极值及其求法：

????

?????=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，

则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

?

??

?

????+??? ????+==='

D

z D

y D

x z y x D

y D

x D

D

y D

x

D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：

???????????????????????????

?????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1

sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220

)

,(0

2

2

2

， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：

??

?==<'+'=≤≤??

?==?

?)()()()()](),([),(),(,)

()(),(2

2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

α

特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：

第一类曲线积分（对弧

。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！

减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；

、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为

和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00

)

,()

,(00==+=

+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?

?

?==??????????????y x

dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

P

x Q y

P

x Q G y x Q y x P G ydx

xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P

x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L

D L D L L

L

L

βαβαψψ??ψ?ψ?β

α

曲面积分：

??????????????????????

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

++=++±=±=±=++++=ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

yz

xy

xy

D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2

2γβα系：两类曲面积分之间的关号。

，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正

，其中：

对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：

??????????????????Ω

∑

∑

∑

∑

∑

Ω

∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n ??

???div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n

n n q q q q q n

n 1

312112

)1(3211111

2

+++++=

++++--=

++++-ΛΛΛ 级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

?

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ绝对收敛与条件收敛：（P392定理一，定理二）

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ 级数： 收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n Λ

ΛΛΛ 幂级数：

01

0)3(lim )3(111

1111221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρΛΛΛΛ函数展开成幂级数：

Λ

ΛΛ

Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00

lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m ΛΛΛΛΛ 23

111,2!3!

x e x x x R =++

++Ω=L

24

11cos 1,2!4!

x x x R =-++Ω=L ;

211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ; 211,(1,1)1x x x x

=-+-∈-+L 23

11ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-L

23

11ln(1),[1,1)23

x x x x x -=----∈-L