2020_2021学年高中数学全一册课时分层作业(打包25套)新人教A版必修1
课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．拥有手机的人 B ．2019年高考数学难题 C ．所有有理数D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0∉M C ．1∈MD ．－π2∈MD [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．]3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∉N ；④π∈Q ；⑤－3∈Z .其中正确的个数为________．3 [①②⑤是正确的，③④是错误的．]7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．k ≠±1 [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ； (2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)若集合A 有3个元素1，a 和a －2，且3∈A ，则实数a ＝________. (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)5[(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C . (3)由3∈A 知，a ＝3或a －2＝3.当a ＝3时，a －2＝1，不满足元素的互异性，故a ≠3；当a －2＝3时，a ＝5符合题意． 综上知a ＝5.] 三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． [解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1. 由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( ) A ．1∈M B ．0∈M C ．－1∈M D ．－2∈MC [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2. 所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.选C.]2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]3．设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对为(x ，y )的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .∉ ∈ [∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a＋－bb＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a＋|b |b＝0. ∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－－1＝12∈A ；由1 2∈A可知，11－12＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.课时分层作业(二) 集合的表示(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )A．0∈A B．1.5∉AC．－1∉A D．6∈AD[∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故选D.]2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}B[{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]4．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为( )A．{－1≤x≤8}B．{x|－1≤x≤8}C．{x∈Z|－1≤x≤8}D．{x∈N|－1≤x≤8}C[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，故选C.]5．下列集合的表示方法正确的是( )A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集为{x<5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为RD [选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．]二、填空题6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________． {x |x ＝2n ，n ∈N *} [正整数中所有的偶数均能被2整除．]7．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 1 [由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.]8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. {1,3} [由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．] 三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解] (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x |x (x 2－2x －3)＝0}．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x <6}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪43－x ∈Z ， (1)用列举法表示集合A ； (2)求集合A 的所有元素之和．[解] (1)由43－x ∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4.解得x ＝－1,1,2,4,5,7.又∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ＝5，则有( ) A ．a ∈A B ．－a ∉A C ．{a }∈AD ．{a }∉AA [由题意，当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A .当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A .故选A.] 2．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．]3．有下面六种表示方法 ①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号)．②⑤ [ 序号 判断 原因分析① 否 ①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素 ④ 否 ④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合 ⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等⑥ 否⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且”4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝________.－32 [因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1， 此时2a 2＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1. 当2a 2＋5a ＝－3时，即2a 2＋5a ＋3＝0， 解得a ＝－1或a ＝－32.显然a ＝－1不合题意．当a ＝－32时，a －2＝－72，满足互异性．综上，a ＝－32.]5．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是a ≤98.(3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素.课时分层作业(三) 集合间的基本关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．] 2．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( )A ．3B ．6C ．7D ．8C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]3．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．ABC ．A ＝BD ．A ⊆BB [∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .]5．已知A ＝{1,3，m ＋2}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则m ＝( ) A ．±1 B ．－1或2 C ．1D ．2D [由B ⊆A 知，m 2＝1或m 2＝m ＋2. 当m 2＝1时，m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m 2＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．]二、填空题6．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．{a |a ≥2} [如图，因为AB ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．]7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．{(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0， 得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.] 三、解答题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .[解] (1)因为B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素， 集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以B A .(2)当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，故B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15.所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意． (2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1C [∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1. 又a ≠1，∴a ＝－1， ∴a2 017＋b2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.]2．若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．MND ．以上均不对C [M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }．N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }．又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以MN .]3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________． 0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ；②若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0或±1.]4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________． 1或－18 [由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－18.]5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)． (2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}.课时分层作业(四) 并集、交集及其应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}A [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}． 故选A.]2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.]3．已知集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合A ∪B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3}B [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}．∴A ∪B ＝{x |x <3}，选B.]4．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ∩B ＝{1,3}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{1,2,3}D ．{2,3}C [∵A ∩B ＝{1,3}，∴3∈B ，∴m ＝3， ∴B ＝{1,2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．]5．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2 D ．a ＝－2，b ＝－3B [∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B.]二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. {1,3} [A ∩B ＝{1,2,3}∩{y |y ＝2x －1，x ∈A } ＝{1,2,3}∩{1,3,5} ＝{1,3}．]7．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. R {x |－1<x ≤1，或4≤x <5} [借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1<x ≤1，或4≤x <5}．]8．设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，则a 的取值范围为________．{a |1＜a ≤3} [如图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3.] 三、解答题9．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{x |2x －1<3}，求A ∩B ，A ∪B .[解] 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，即A ＝{x |－2<x <3}．解不等式2x －1<3，得x <2，即B ＝{x |x <2}， 在数轴上分别表示集合A ，B ，如图所示．则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}． 10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }， 又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴m ≥4.1．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.]2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，0，12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12C [当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝1m ，要使A ∩B ＝B ，则1m ＝1或1m ＝2，即m ＝1或m ＝12.]3．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.6 [用数轴表示集合A 、B 如图所示．由A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.]4.设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，若S ∪T ＝R ，则实数a 应满足________．－3<a <－1 [在数轴上表示集合S ，T 如图所示．因为S ∪T ＝R ，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.]5．已知A ＝{x |x >a }，B ＝{x |－2<x <2}，求A ∪B ，A ∩B . [解] 如图所示．当a <－2时，A ∪B ＝{x |x >a }，A ∩B ＝{x |－2<x <2}； 当－2≤a <2时，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |a <x <2}； 当a ≥2时，A ∪B ＝{x |－2<x <2，或x >a }，A ∩B ＝∅.课时分层作业(五) 补集及综合应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．若全集U ＝{0,1,2,3}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个C [A ＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.]2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}D [由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．] 3．若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R PC [由题意知∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，则∁R P ⊆Q ，故选C.] 4．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}A[由A＝{x|x＋1＞0}得∁R A＝{x|x≤－1}，又B＝{－2，－1,0,1}所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}，故选A.]5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)D[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．]二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}[∵∁U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由∁U A⊆B可知m<1.]7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝________.{x|－1≤x<3}[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴∁R B＝{x|x≥－1}，∴A∩(∁R B)＝{x|－1≤x<3}．]8．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是______．(填序号)①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.]三、解答题9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解] 法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解] 如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．1.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}A[阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.]2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≤1}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}C[由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.]3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．{x|－2≤x<1}[阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.{2}[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}．]5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .[解] ∵A ＝{x |1≤x ≤2}， ∴∁U A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B . 而B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}， ∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．课时分层作业(六) 函数的概念(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝3x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．1aB ．3aC ．aD ．3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝3a ，故选D.] 2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．]4．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.] 5．下列四组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由题意知3a －1>a ，则a >12.] 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. －56 [由f (t )＝6，得11＋t ＝6， 即t ＝－56.]8．设函数f (x )＝2x －1，g (x )＝3x ＋2，则f (2)＝________，g (2)＝________，f (g (2))＝________.3 8 15 [f (2)＝2×2－1＝3，g (2)＝3×2＋2＝8，f (g (2))＝f (8)＝2×8－1＝15.]三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(2)f (x )＝x ＋30|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝38＋333.(3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )A B C DD [A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．]2．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x |A [对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立． 对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立． 对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x＋1，不成立． 对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．]3．若函数f (x )＝ax 2－1，a ＞0，且f (f (－1))＝－1，则a ＝________，f (x )的值域为________．1 [－1，＋∞) [由f (x )＝ax 2－1得f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a (a －1)2－1，由f (f (－1))＝－1得a (a －1)2－1＝－1， ∴a (a －1)2＝0.又a ＞0，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2－1≥－1，即f (x )的值域为[－1，＋∞)．]4．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．(0,2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．] 5．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值．[解] (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.课时分层作业(七) 函数的表示法(建议用时：60分钟)一、选择题1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4})D [题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2，1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x1 2 3f (x ) 2 3 0A ．3B ．2C ．1D ．0B [由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.]5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f(0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b －－a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．] 8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1D ．8C [由3x ＋2＝2得x ＝0， 所以a ＝2×0＋1＝1.故选C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)D [由题意得y ＋2x ＝20， 所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5， 由y >0即20－2x >0得x <10， 所以5<x <10.故选D.]3．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为________．f (x )＝13x 2－2x [以－x 代替x 得： f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .]4．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________．－1 [因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x2－x ＋1，求得a ＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域．[解] (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋2＋2h]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．课时分层作业(八) 分段函数与映射(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≥4，x －2，x <4，则f (3)的值是( )A ．1B ．2C ．8D ．9A [f (3)＝3－2＝1.]2．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )A B C DC [当x >0时，f (x )＝x ＋xx＝x ＋1， 当x <0时，f (x )＝x －1，且x ≠0， 根据一次函数图象可知C 正确． 故选C.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]B [当0≤x ≤1时，0≤2x ≤2，即0≤f (x )≤2；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9 C ．－1或1D ．－3或 3A [依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.]二、填空题6．已知A ＝R ，B ＝{x |x ≥1}，映射f ：A →B ，且A 中元素x 与B 中元素y ＝x 2＋1对应，则当y ＝2时，x ＝________.±1 [由x 2＋1＝2得x ＝±1，故填±1.]7．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1[由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，即f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x ≤1.]8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝a ＋1与函数y ＝|x ＋2|的图象只有一个交点，则a 的值为________．－1 [函数y ＝|x ＋2|的图象如图所示：直线y ＝a ＋1与函数y ＝|x ＋2|的图象只有一个交点， 则有a ＋1＝0，解得a ＝－1.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图象． [解] (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4.所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f f x ＋5，x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16A [f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.]2．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )的映射下，B 中的元素为(4,2)对应的A 中元素为( )A ．(4,2)B ．(1,3)C ．(6,2)D ．(3,1)D [∵从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，B 中元素为(4,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴集合A 中的元素为(3,1)．]3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．－34 [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.]4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．(－∞，1] [由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域为(－∞，1]．]5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？[解] (1)由题意，得y＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x≤5 000，x－5 000×3%，5 000<x≤8 000，90＋x－8 000×10%，8 000<x≤17 000，990＋x－17 000×20%，17 000<x≤30 000.(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，解得x＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元．课时分层作业(九) 函数的单调性(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C [函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．]2．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12D [函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.]3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A ，y ＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝(2x －1)2在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]4．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)C [分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.]5．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )C [因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.]二、填空题6．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2] [∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.]7．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． [－1，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， 又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.]8．已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 [∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.]三、解答题9．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f (x )＞f (8(x －2))．解：由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，8x －2>0，x >8x －2，解得2＜x ＜167.10．证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．。
2020-2021学年人教A版数学选修2-3课时分层作业：1.2.1第2课时排列的综合应用
课时分层作业(四)排列的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种B．9种C．18种D．24种C[先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有3×6＝18(种)．]2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()A．720 B．360C．240 D．120C[因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55A22＝240种不同的排法．]3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36 B．30C．40 D．60A[奇数的个位数字为1,3或5，所以个位数字的排法有A13种，十位数字和百位数字的排法种数有A24种，故奇数有A13·A24＝3×4×3＝36个．]4．5人排成一排，其中甲，乙至少一人在两端的排法种数为()A．6 B．84C．24 D．48B[5人全排列有A55种，甲，乙都不在两端的排法有A23A33种，共有A55－A23A33＝84种不同的排法．]5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20C[从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.]二、填空题6．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)36[分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员，共有A13A14A13＝36种选法．]7．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．24[把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A44＝4×3×2×1＝24种．]8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．]三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440种．10．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数；(3)能组成多少个比1 325大的四位数．[解](1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数A35＋A14·A24＋A14·A24＝156(个)．(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A45个；个位数上的数字是5的五位数有A14·A34个．故满足条件的五位数的个数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5的数，共A14·A35个；第二类：形如14，15，共A12·A24个；第三类：形如134，135，共A12·A13个．由分类加法计数原理知，比 1 325大的四位数共有A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．1．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30B．48C．60 D．96B[“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A33×2×2×2＝48个不同的三位数．]2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180 B．240C．360 D．480D[不同的排法种数先全排列有A66，甲、乙、丙的顺序有A33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A66A33＝480种．]3．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是________．36[将3,4两个数全排列，有A22种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A33种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A22·A23种方法，故满足题意的数的个数为A22 (A33＋A22·A23)＝36.]4．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．36[先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种摆法，而A，B 可交换位置，所以有2A44＝48种摆法，又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A33＝12种摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36种．]5．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种？(4)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？[解](1)法一：7人的所有排列方法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A77A33＝840(种)．法二：(填空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故A47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A77＝2 520(种)．(3)第一步：从其余5人中选1人放于甲、乙之间，有A15种方法．第二步：将甲、乙及中间1人看作一个元素与其他四个人全排，有A55种方法．第三步：甲、乙及中间1人的排列为A22.根据乘法原理得A15×A22×A55＝1 200(种)，故有1 200种排法．(4)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A13·A14·A55＝1 440种.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
青岛二中2020-2021学年人教版必修1课时分层作业19 牛顿运动定律的应用
课时分层作业(十九) 牛顿运动定律的应用(建议用时：25分钟)◎考点一从运动情况确定受力1.质量为0.8 kg的物体在一水平面上运动，如图a、b分别表示物体不受拉力作用和受到水平拉力作用时的vt图像，则拉力和摩擦力大小之比为( )A．9∶8 B．3∶2C．2∶1 D．4∶3B[由vt图像可知，图线a为仅受摩擦力的运动，加速度大小a1＝1.5 m/s2；图线b为受水平拉力和摩擦力的运动，加速度大小为a2＝0.75 m/s2；由牛顿第二定律列方程得Ff ＝ma1，F－Ff＝ma2，解得FFf＝3∶2，选项B正确．]2.某物理兴趣小组用频闪照相机测小球在竖直上抛过程中受到的空气阻力．将一质量为m的小球靠近墙面竖直向上抛出，用频闪照相机记录了全过程，图甲和图乙分别是上升过程和下降过程的频闪照片，O是运动的最高点．设小球所受阻力大小不变，则小球受到的阻力大小约为( )A．14mg B．13mgC．12mg D．mgC[根据Δx＝aT2，可知上升阶段与下降阶段的加速度之比a上a下＝31，又根据牛顿第二定律，上升阶段mg＋f＝ma上，下降阶段mg－f＝ma下，由以上各式可得f＝12mg，选项C 正确．]3．(多选)在一东西方向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢，当机车在东边拉着这列车厢以大小为a 的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的挂钩P 和Q 间的拉力大小为F ；当机车在西边拉着车厢以大小为23a 的加速度向西行驶时，P和Q 间的拉力大小仍为F.不计车厢与铁轨间的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( )A ．8B ．10C ．15D ．18BC [设该列车厢与P 相连的部分为P 部分，与Q 相连的部分为Q 部分．设该列车厢有n 节，Q 部分为n 1节，每节车厢质量为m ，当加速度为a 时，对Q 有F ＝n 1ma ；当加速度为23a 时，对P 有F ＝(n －n 1)m 23a ，联立得2n ＝5n 1.当n 1＝2，n 1＝4，n 1＝6时，n＝5，n ＝10，n ＝15，由题中选项得该列车厢节数可能为10或15，选项B 、C 正确．]4.如图在倾斜的滑杆上套一个质量为m 的圆环，圆环通过轻绳拉着一个质量为M 的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向．则( )A ．环只受三个力作用B ．环一定受四个力作用C ．物体做匀加速运动D ．悬绳对物体的拉力小于物体的重力B [以物体为研究对象，物体沿滑杆向下做直线运动，加速度为零，或加速度与速度在同一直线上，而物体受到竖直向下重力和绳子竖直向上的拉力，这两个力的合力必为零，说明物体做匀速直线运动，则环也做匀速直线运动，环受到重力、绳子竖直向下的拉力、滑杆的支持力和滑动摩擦力，共四个力作用，故A 、C 错误，B 正确；由物体做匀速直线运动得到，悬绳对物体的拉力等于物体的重力，故D 错误．]◎考点二 由受力确定运动情况5．质点所受的合力F 随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上．已知t ＝0时质点的速度为零，t 1∶t 2∶t 3∶t 4＝1∶2∶3∶4.在图示t 1、t 2、t 3和t 4各时刻中，质点的速度最大的时刻是( )A．t1 B．t2C．t3D．t4B[由题图分析可知，在0～t1时间内，质点向正方向做加速度增大的加速运动，在t1～t2时间内，质点向正方向做加速度减小的加速运动，在t2～t3时间内，质点向正方向做加速度增大的减速运动，在t3～t4时间内，质点向正方向做加速度减小的减速运动，t4时刻速度变为0，则t2时刻的速度最大，B正确．]6.(多选)如图所示，质量为2 kg的物体在水平恒力F的作用下在地面上做匀变速直线运动，位移随时间的变化关系为s＝t2＋t，物体与地面间的动摩擦因数为0.4，g 取10 m/s2，以下结论正确的是( )A．匀变速直线运动的初速度为1 m/sB．物体的位移为12 m时速度为7 m/sC．水平恒力F的大小为4 ND．水平恒力F的大小为12 NABD[根据s＝v0t＋12at2和s＝t2＋t，知v＝1 m/s，a＝2 m/s2，故A正确；根据v2－v20＝2as得v＝v2＋2as＝1＋2×2×12 m/s＝7 m/s，故B正确；根据牛顿第二定律得F－μmg＝ma，解得F＝ma＋μmg＝12 N，故C错误，D正确．]7.如图所示，底板光滑的小车上用两个量程为20 N，完全相同的弹簧测力计甲和乙系住一个质量为1 kg的物块．在水平地面上，当小车做匀速直线运动时，两弹簧测力计的示数均为10 N，当小车做匀加速直线运动时，弹簧测力计甲的示数变为8 N，这时小车运动的加速度大小是( )A．2 m/s2B．4 m/s2C．6 m/s2D．8 m/s2B[当弹簧测力计甲的示数变为8 N时，弹簧测力计乙的示数变为12 N，这时物块所受的合力为4 N．由牛顿第二定律F＝ma得物块的加速度a＝Fm＝4 m/s2，故选项B正确．]8．如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面上，有一质量为m的物体，受到沿斜面方向的力F作用，力F按图乙所示规律变化(图中纵坐标是F与mg的比值，力沿斜面向上为正)．则物体运动的速度v随时间t变化的规律是图中的(物体的初速度为零，g取10 m/s2)( )C[在0～1 s内，物体的加速度为a1＝F－mg sin 30°m，解得a1＝5 m/s2，A项错误；在1～2 s内，物体的加速度为a2＝－mg sin 30°m＝－5 m/s2，B项错误；在2～3 s内，a3＝－F－mg sin 30°m＝－15 m/s2，D项错误，只有C项正确．]9.如图所示，一质量为m＝100 kg的箱子静止在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.5.现对箱子施加一个与水平方向成θ＝37°角的拉力，经t1＝10 s后撤去拉力，又经t2＝1 s箱子停下来．sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：(1)拉力F大小；(2)箱子在水平面上滑行的位移s.[解析] (1)撤去拉力前，箱子受重力mg、支持力FN 、拉力F、摩擦力Ff作用，设运动加速度为a1，根据牛顿第二定律有FN＋Fsin θ－mg＝0F f ＝μFNFcos θ－Ff ＝ma1撤去拉力后，箱子受重力mg、支持力F′N 、摩擦力F′f作用，设运动加速度为a2，根据牛顿第二定律有－μmg＝ma2a 1t1＋a2t2＝0解方程，代入数据得F＝500 N. (2)撤去拉力前，箱子做匀加速运动s 1＝12a1t21撤去拉力后，箱子做匀减速运动s 2＝a1t12·t2解方程，代入数据得s＝s1＋s2＝27.5 m.[答案](1)500 N (2)27.5 m(建议用时：15分钟)10．如图所示，左右带有固定挡板的长木板放在水平桌面上，物体M放于长木板上静止，此时弹簧对物体的压力为3 N，物体的质量为0.5 kg，物体与木板之间无摩擦，现使木板与物体M一起以6 m/s2的加速度向左沿水平方向做匀加速运动时 ( )A．物体对左侧挡板的压力等于零B．物体对左侧挡板的压力等于3 NC．物体受到4个力的作用D．弹簧对物体的压力等于6 NA[由木板与M一起以6 m/s2的加速度向左做匀加速直线运动，可知M的加速度大小为6 m/s2，方向水平向左，故M所受合力F＝Ma＝3 N，方向水平向左，对M受力分析，M受竖直向下的重力Mg，支持力FN＝Mg，竖直方向达到平衡，又因物体与木板之间无摩擦，故水平方向合力只能由弹簧弹力和挡板弹力提供，当F弹簧＝3 N时，恰好能提供合力，故M与挡板之间无弹力，物体只受3个力，故选A.]11.(多选)如图所示，在建筑工地上一建筑工人两手对称用水平力将两长方形水泥制品P和Q夹紧，并以加速度a竖直向上搬起，P和Q的质量分别为2m和3m，水平力为F，P和Q间动摩擦因数为μ，在此过程中( )A．P受到Q的摩擦力方向一定竖直向下B．P受到Q的摩擦力大小为2μFC．P受到Q的摩擦力大小为0.5m(g＋a)D．P受到Q的摩擦力大小为1.5m(g＋a)AC[设每只手与水泥制品的摩擦力大小均为f1，设P受到Q的摩擦力大小为f2、方向竖直向上．对P、Q整体及P分别应用牛顿第二定律有2f1－5mg＝5ma，f1＋f2－2mg＝2ma，联立解得f2＝－0.5m(g＋a)，负号说明P受到Q的摩擦力方向向下，选项A、C 正确．]12.楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成θ＝37°角，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，如图所示．工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F ＝10 N，刷子的质量为m＝0.5 kg，刷子可视为质点，刷子与天花板间的动摩擦因数μ＝0.5，天花板长为L＝4 m，取sin 37°＝0.6，(g取10 m/s2)试求：(1)刷子沿天花板向上的加速度．(2)工人把刷子从天花板底端推到顶端所用的时间．[解析] (1)以刷子为研究对象，受力分析如图，以平行和垂直斜面建立坐标系．设滑动摩擦力为Ff ，天花板对刷子的弹力为FN，由牛顿第二定律得(F－mg)sin 37°－μ(F－mg)cos 37°＝ma 代入数据得a＝2 m/s2.(2)由运动学公式得L＝12at2代入数据得t＝2 s.[答案](1)2 m/s2(2)2 s13．研究表明，一般人的刹车反应时间(即图甲中“反应过程”所用时间)t＝0.4s，但饮酒会导致反应时间延长。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.3 同角三角函数的基本关系(2)
为( C )
A．－
3 2
B．±
3 2
C．－
5 2
D．±
5 2
解析：∵A为三角形的一个内角，且sinAcosA＝－18，
∴A为钝角．∴cosA－sinA<0.
∴cosA－sinA＝－ cosA－sinA2
＝－ sin2A＋cos2A－2sinAcosA＝－
1＋14＝－
5 2.
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
16 5
.
解析：tan2xsin2x＝tan2x(1－cos2x)＝tan2x－tan2xcos2x＝tan2x－ sin2x＝156.
11．若0<α<π2，则 α
果是 2cos2 .
1－2sinα2cosα2＋
1＋2sinα2cosα2的化简结
解析：由0<α<2π，得0<α2<4π，
所以0<sinα2<cosα2.
故原式＝ sinα2－cosα22＋ ＝cosα2－sinα2＋sinα2＋cosα2
sinα2＋cosα22
＝2cosα2.
三、解答题(共25分) 12．(12分)已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)34ssiinnαα＋－5ccoossαα； (2)sin2α－4co2ss2inαα－co3ssαin－2αcos2α； (3)34sin2α＋12cos2α.
－
sinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2αsinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2α
sinαco－s2cαosα＝ssinin2αα－－ccoossα2α＝sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．
2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时分层作业：1.1 命题 Word版含解析
姓名，年级：时间：课时分层作业(一) 命题(建议用时：60分钟）一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1〉0D．x2＋y2＝0B[对于A，是疑问句,不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B,是陈述句且能判断真假，是命题．］2．给出下列命题:①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α,则l⊥m;②若a，b都是正实数，则a＋b≥2错误!；③若x2〉x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4C［①中，显然l∥m或l与m重合,所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x〈0或x〉1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数,④是假命题．故选C．］3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )A．两条直线B．一个平面C．垂直D．两条直线垂直于同一个平面D[命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．］4．下列四个命题中,真命题是( ）A．a＞b，c＞d⇒ac＞bd B．a＜b⇒a2＜b2C．错误!＜错误!⇒a＞b D．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－dD［可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．］5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根"，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( ）A．4 B．2C．0 D．－3C[由题意知,Δ＝a2－4<0，故a＝0符合题意．］二、填空题6．命题“函数y＝2x＋1是增函数"的条件是________，结论是________，它是________命题(填“真”或“假"）．［答案] 函数y＝2x＋1 y是增函数真7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q"的形式为________．若一个函数是奇函数,则这个函数的定义域和图象均关于原点对称［命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数,则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．］8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0;⑥作AB∥A′B′．其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤［①是命题,且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？（1）2＋22是有理数；（2）1＋1〉2；（3）2100是个大数；(4)968能被11整除;（5）非典型性肺炎是怎样传播的？［解］(1)（2)(4)均是命题；（3）（5）不是命题．因为(1)（2)（4）都可以判断真假，且为陈述句；（3）中的“大数”是一个模糊的概念,无法判断其真假，所以不是命题；(5）中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断真假．(1）体对角线相等的四棱柱是长方体；（2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；（3）正弦值相等的两个角的终边相同．[解] (1）若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．（2）若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》,这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A［“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题;“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷"是祈使句,“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( ）A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C ．]3．关于平面向量a ,b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1,k ），b ＝（－2，6)，a ∥b ,则k ＝－3;③非零向量a 和b 满足｜a |＝|b ｜＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°． 其中真命题的序号为________．② ［①若a ·b ＝a ·c ，则a ·（b －c )＝0,因此b ＝c 不正确；②若a ＝（1，k ),b ＝（－2,6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝｜b |＝｜a －b |,设错误!＝a ，错误!＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②．］4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________（填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则错误!≥错误!；②若a ＋b 2≥错误!，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ,则错误!＞错误!；④若错误!＞错误!，则a ≠b ．①④ ［①中,由基本不等式可得：若a ＞0,b ＞0，则错误!≥错误!，正确;②中，当a ＝b ＝0时，满足错误!≥错误!，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ,b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中,由错误!＞错误!,平方得（a －b ）2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④．］5．已知p ：5x －1＞a ，q :x ＞1,请确定实数a 的取值范围，使得（1）“若p ,则q ”为真命题；(2）“若q ，则p ”为真命题．[解］ (1）命题“若p ，则q ”即为“若x ＞错误!，则x ＞1”,由命题为真命题可知错误!≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2）命题“若q ,则p ”即为“若x ＞1,则x ＞错误!”，由命题为真命题可知错误!≤1，解得a≤4，故实数a的取值范围为(－∞，4]．。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
新教材2020-2021学年高中数学人教A版第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.2.1 第1课时函数的单调性含解析3．2函数的基本性质3．2。
1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性［目标］1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2。
会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点］函数单调性定义的理解及函数单调性的证明．知识点一增函数与减函数的定义［填一填］一般地，设函数f（x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1，x2∈D，当x1〈x2时，都有f(x1）〈f(x2），那么就称函数f(x）在区间D上单调递增．特别地,当函数f（x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1）〉f（x2）,那么就称函数f(x）在区间D上单调递减．特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．[答一答］1．在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D"改为“∃x1,x2∈D”？提示:不能，如图所示：虽然f(－1）〈f（2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f（x）定义域某一个子区间M上的两个变量,如果f(x)满足以下条件，该函数f（x）是否为增函数?(1）对任意x1〈x2，都有f（x1)<f（x2)；（2）对任意x1，x2，都有［f（x1）－f(x2）]（x1－x2）〉0;（3）对任意x1、x2都有错误!>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题．3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题?提示：减函数（x1,x2∈M)⇔任意x1<x2,都有f(x1）>f（x2）⇔错误! <0⇔［f(x1)－f（x2)]·（x1－x2）〈0.知识点二函数的单调性与单调区间［填一填］如果函数y＝f(x）在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x）在这一区间具有(严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．［答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f（x）＝错误!的单调减区间是（－∞，0）∪(0，＋∞）吗？提示:不是．例如:取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1)＝f （1）＝1，f(x2）＝f(－1）＝－1，故有f(x1)〉f（x2)．这样与函数f(x）＝错误!在(－∞，0)∪（0,＋∞）上单调递减矛盾．事实上，f（x)＝错误!的单调减区间应为（－∞，0）和(0,＋∞)．知识点三常见函数的单调性[填一填］1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）,当k〉0时,函数y ＝kx＋b在R上是增函数；当k<0时，函数y＝kx＋b在R上是减函数．2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若a>0,则该函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．若a<0，则该函数在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y＝错误!（k≠0)．若k〉0，则函数y＝错误!在(－∞，0）上是减函数，在(0，＋∞）上也是减函数;若k 〈0,则函数y＝错误!在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数．[答一答]6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？提示:函数在错误!上是减函数，在错误!上是增函数．类型一判断或证明函数的单调性[例1］证明:函数y＝x＋错误!在（0,3]上递减．[证明]设0<x1<x2≤3，则有y1－y2＝错误!－错误!＝(x1－x2）－错误!＝（x1－x2)错误!。
2020-2021年数学必修第一册课后试题：第五章1.2 课后课时精练(人教A版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列各式中正确的是( )A ．π＝180B ．π＝3.14C ．90°＝π2 radD ．1 rad ＝π答案 C解析 A 项，π rad ＝180°，故错误；B 项，π≈3.14，故错误；C 项，90°＝π2rad ，故正确；D 项，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，故错误．故选C. 2．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形圆心角不变C ．扇形面积增大到原来的2倍D ．扇形圆心角增大到原来的2倍答案 B解析 由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形圆心角不变，故选B.3．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－3π4 B.π4 C.3π4 D ．－π4答案 A解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－3π4.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.4．若α＝2k π－354，k ∈Z ，则角α所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析∵－9<－354<－8，∴－3π<－354<－3π＋π2.∴－354在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为()A.π3 B.2π3 C. 3 D．2答案 C解析设所在圆的半径为r，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r，所以弧长3r的圆心角的弧度数为3rr＝ 3.二、填空题6．将－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．答案－10π＋7π4解析－1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．扇形AOB，半径为2 cm，AB＝2 2 cm，则AB所对的圆心角弧度数为________．答案π2解析∵OA＝OB＝2，AB＝22，∴∠AOB＝90°＝π2.8．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________________．答案2π5，9π10，7π5，19π10解析由题意，得α＝8π5＋2kπ，∴α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.三、解答题9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2019°是不是这个集合的元素．。
2020-2021数学人教版选择性第一册课时3.2.2双曲线的简单几何性质含解析
2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3.2.2双曲线的简单几何性质含解析课时分层作业（二十四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!＝1的(）A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D［由于16＋（5－k)＝（16－k）＋5，所以焦距相等．] 2．若a>1，则双曲线错误!－y2＝1的离心率的取值范围是() A．(错误!,＋∞）B．（错误!，2）C．（1，错误!) D．(1，2）C［由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e2＝错误!＝1＋错误!.∵a＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋错误!＜2，∴1＜e＜ 2.故选C.]3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P(2，1）在C的渐近线上,则双曲线C的方程为（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1A［双曲线C的渐近线方程为错误!－错误!＝0，又点P（2,1)在C的渐近线上，所以错误!－错误!＝0，即a2＝4b2①。
又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为错误!－错误!＝1,故选A。
]4．过双曲线x2a2－错误!＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(）A．错误!B．1＋错误!C．2＋错误!D．3－错误!B[因为｜PF2|＝｜F2F1|，P点满足错误!－错误!＝1，∴y＝错误!错误!,∴2c＝错误!错误!,即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－错误!,又e＞0，故e＝1＋错误!.］5．已知双曲线C：错误!－y2＝1,O为坐标原点,F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N。
若△OMN为直角三角形,则｜MN|＝（)A．错误!B．3C．2 3 D．4B[根据题意，可知其渐近线的斜率为±错误!,且右焦点为F （2,0），从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝3(x－2），分别与两条渐近线y＝错误!x和y＝－错误!x联立，求得M（3，错误!），N错误!，所以|MN｜＝错误!＝3。
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：1.4 第1课时 充分条件与必要条件
[归纳提升] 充分条件的两种判断方法 (1)定义法：
(2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
【对点练习】❶ 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q 的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y； (2)若内错角相等，则两直线平行； (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
【学法解读】 1．在本节学习中，学生应依据老师创设合适的问题情境，以义务教 育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的 相应内容． 2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际 学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方 法． 3．对于充要条件的证明，关键是分清命题的条件和结论，分清充分 性和必要性．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 充分条件
例 1 (1)设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( C )
A．x>3
B．x<3
C．x>4
Hale Waihona Puke D．x<4(2)下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条 件？
①若 a∈Q，则 a∈R； ②若 a<b，则ab<1； ③若 x>1，则 x2>1； ④若(a－2)(a－3)＝0，则 a＝3； ⑤若△ABC 中，若 A>B，则 BC>AC； ⑥已知 a，b∈R，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0.
p 不是 q 的充分条件 q 不是 p 的必要条件
思考1：在逻辑推理中，p⇒q能表达成哪几种说法？ 提示：以下5种说法： ①“ 若 p ， 则 q” 为 真 命 题 ； ②p 是 q 的 充 分 条 件 ； ③q 是 p 的 必 要 条 件；④q的充分条是p；⑤p的必要条件是q.
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：3-1-1 第2课时 函数的定义域与值域
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 函数相等 [填一填]
1．条件：① 定义域 相同；② 对应关系 完全一致． 2．结论：两个函数相等．
[答一答] 1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？
对应关系和值域相同呢？
提示：观察下表：
函数
定义域 对应关系 值域
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝ x＋32，g(x)＝x＋3；
⑤ 汽 车 匀 速 运 动 时 ， 路 程 与 时 间 的 函 数 关 系 f(t) ＝
80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其 中 表 示 相 等 函 数 的 是 ____③__⑤______( 填 上 所 有 正 确 的 序
[变式训练 2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝
1－x＋x＋1 5；(2)y＝1－
3 1－x.
解：(1)由已知得x1＋－5x≠≥00，， 解得 x≤1 且 x≠－5. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠－5}．
(2)由已知得11－－x≥1－0，x≠0， 解得 x≤1 且 x≠0. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠0}．
f1(x)＝x f2(x)＝2x f3(x)＝x2 f4(x)＝x2
R R [0,2] [－1,2]
x→x x→2x x→x2 x→x2
R R [0,4] [0,4]
对于 f1(x)和 f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同， 故不是同一函数；
对于 f3(x)和 f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同， 故不是同一函数．