辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学人教B版必修4导学案2.1.3向量的减法
在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义；并灵活进行向量的减法运算。
85页，找出疑惑之处）
二、※新课导学 １．向量的减法的定义：________________________________________________________ ２．相反向量：规定与a __________________________的向量，叫做a 的相反向量，记作_____，向量a 与－a 互为相反向量，a ＋（－a ）=___ ,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量,即
a －
b =______________．
３．向量减法的几何意义：已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则_____=a b -，即a b -可以表示为从向量_________的终点指向向量_________的终点的向量，如果向量a 的终点，到b 的终点作向量那么得向量是__________． 三、※典型例题
例题：已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，用a 、b 分别表示向量AC 、BD
变式练习：
1．在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ）
A ．-=AC A
B B
C B ．-=A
D BD AB C ．-=BD AC BC D ．-=BD CD BC
２.在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-等于（ ）
A ．BA
B ．BD
C ．AC
D ．AB
四、※当堂检测：
１．下列各式中结果为0的有（ ）
①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP
A ．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
２．下列四式中可以化简为AB 的是（ ）
①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA
A ．①④ B．①② C．②③ D．③④ ３．在下面各式中，不能化简为AD 的是（ ）
A ． ++()A
B CD B
C B ．+++()()A
D MB BC CM
C ．+-MB A
D BM D ．-+OC OA CD
４．在△ABC 中，向量BC 可表示为（ ）
①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CA
A ．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
５．已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中,,OA a OB b OC c ===,则EF =( )
A ．a b +
B ．b a -
C ．c b -
D ．-b c
６．当C 是线段AB 的中点，则AC BC +=（ ）
A ．A
B B ．BA
C ．AC
D ．0
五、※课后反思：学习本节课，你有何收获，记下来。
苏教版必修四第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法(学案含答案)
向量的加法 重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 难点：向量加法的交换律与结合律的推导。 向量的减法 重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系。 难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义。 向量的加法 一、向量加法的定义及运算法则 1. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 其中0,()()0a a a a a a +=+-=-+=。 2. 向量加法的运算法则 （1）三角形法则：如图1，已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，则向量叫做a 与b 的和，记做a ＋b ，即a ＋b ＝＋＝。 图1 （2）平行四边形法则： 把向量a ，b 平移到同一点O ，如图2，作出平行四边形，则a ＋b ＝。 图2 【核心归纳】 准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 （1）两个法则的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和，但是在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三角形法
则和它的平行四边形法则都应该熟练掌握。 （2）当两个向量不共线时，两个法则是一致的。 （3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同。 二、向量加法的运算律 （1）交换律：a ＋b ＝b ＋a ； （2）结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。 【核心突破】 （1）两个向量的和仍然是一个向量。 （2）当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且a b a b <＋＋。 （3）特殊位置关系的两向量的和 ①向量a 与b 同向，则a ＋b 与a 、b 方向相同，则a b a b =＋＋； ②向量a 与b 反向，若a ＋b 与b 方向相同，则a b b a =-＋ 。 （4）向量加法广泛应用于力的合成、速度的合成等。 示例：在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，试判断四边形的形状。 思路分析：要结合图形中的三角形运用加、减法的法则。 答案：如图所示 由向量加法的三角形法则得AC AD DC =+AC AB AD AB DC =+∴= 即AB ∥DC ，且AB DC =∴四边形ABCD 是平行四边形。 技巧点拨： 如果再添上AB AD =，那么四边形ABCD 是菱形；如果AB AD 和垂直，那么四边形ABCD 是矩形。 向量的减法 一、向量的减法定义 如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a b -，求两个向量差的运算叫做向量的减法。 【要点诠释】 向量的减法是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义，AB BA -=，就可以把减法转化为加法。 二、向量减法的运算法则——三角形法则 在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-， 即a b -表示从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。 【要点诠释】 1. 向量的减法运算与向量的加法运算可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 2. 以向量,AB a AD b ==为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线AC a b =+， BD b a =-，DB a b =-。 向量的加法 例题1 （向量加法的化简与运算） 化简或运算：
必修4 第二章平面向量导学案
第二章平面向量 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。 【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 基础梳理 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________
思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； （4）向量a r 和b r 是共线向量，//b c r r ，则a r 和c r 是方向相同的向量； （5）相等向量一定是共线向量； 例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF u u u r 共线的向量； （2）确定与EF u u u r 相等的向量； （3）OA u u u r 与BC uuu r 相等吗 例3.如图所示的为34 的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终
辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学人教B版必修4导学案2.1.3向量的减法
在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义；并灵活进行向量的减法运算。 85页，找出疑惑之处） 二、※新课导学 １．向量的减法的定义：________________________________________________________ ２．相反向量：规定与a __________________________的向量，叫做a 的相反向量，记作_____，向量a 与－a 互为相反向量，a ＋（－a ）=___ ,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量,即 a － b =______________． ３．向量减法的几何意义：已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则_____=a b -，即a b -可以表示为从向量_________的终点指向向量_________的终点的向量，如果向量a 的终点，到b 的终点作向量那么得向量是__________． 三、※典型例题 例题：已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，用a 、b 分别表示向量AC 、BD 变式练习： 1．在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ） A ．-=AC A B B C B ．-=A D BD AB C ．-=BD AC BC D ．-=BD CD BC ２.在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-等于（ ） A ．BA B ．BD C ．AC D ．AB 四、※当堂检测： １．下列各式中结果为0的有（ ） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A ．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1
第三章 空间向量与立体几何 1 空间向量加减法运用的三个层次 空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量 例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。 解 错误!＝错误!＋错误! ＝错误!错误!＋错误!错误! ＝12错误!＋错误!(错误!－错误!） ＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!) ＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!) ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；
错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误! ＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!） ＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!） ＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!) ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。 点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 第2层化简向量 例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1）错误!＋错误!＋错误!; （2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；
（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)． 解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。 (2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误! ＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!. （3) 错误!－错误!（错误!＋错误!） ＝错误!－错误!＝错误!。 错误!、错误!、错误!如图所示． 点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则． 第3层证明立体几何问题 例3如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD 与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA ＝1∶3。求证：B、G、N三点共线．
人教版高一数学教案-平面向量的减法运算
教案
并说明相反向量的性质. 给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （二）动手实践，理解向量减法的几何意义 问题1：已知向量a 和b ，如何作a - b 的图？追问向 量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减 法的几何意义是什么呢？ 探究：向量减法的几何意义. 讲解探究的过程，第一种探究方法: 选择向量b 的相反向量，使得-b 与向量a 能够共起 点.设OA =a ，OB =b ，OD =-b ，连接AB ，由向量减法的定义，知 OA OD OC -=+-=+=（）a b a b ． 在四边形OCAB 中， OB OA ，所以OCAB 是平行四边形，所以BA OC ==-a b ． 最后概括出向量减法的作图步骤： 已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA 就是-a b .强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义. 第二种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，使得 -b 与向量a 能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a 的 起点相接.探究出向量减法的几何意义.
第三种探究方法：选择选择向量b 的相反向量，选择-b 的起点与向量a 的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义. 思考：（1）如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ （2）如果改变向量a 的方向，使//a b ，怎样作-a b 呢？ 例题：如图，已知向量，，，a b c d ，求作向量-a b ，-c d . 作法：如图上图（2）在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d .则BA -=a b ，DC -=c d . （三）,,-a b a b 之间的关系 问题2：,,-a b a b 之间有什么关系？ 由上节课我们学习的向量的加法我们得到了 ,,+a b a b 之间的关系，那么作两向量的差的图时也形成了三角形，那么,,-a b a b 之间一定也有关系.一起探究,,-a b a b 的关系. 通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式-≤+≤+a b a b a b 中的向量b 用-b 替换，就得到了-≤-≤+a b a b a b . 再从三角形三边关系出发，从形上验证刚才的代数求解的正确性。同时得到向量a , b 共线时，差向量的模与两向量模的关系.
人教版高二数学必修四知识点：平面向量
人教版高二数学必修四知识点：平面向量 1基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向 量、相等向量。 I I 2. 加法与减法的代数运算： (1) 若 a= (x1,y1 ) ,b= (x2,y2 )则 ab= (x1+x2,y1+y2 ). 1 "1 - .\ / 4 / / 1 i I I -•j | ! 1 * I | - 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：+ =+ (交换律);+(+c)=(+)+c (结合律) 3. 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)「=丨「「； | '■ (2) 当a > 0时，与a 的方向相同；当a v 0时，与a 的方向相反; 当 a=0 时，a=0. 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b 与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 得b=.
(2) 若=(),b=()则II b.平面向量基本定理:
若el、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2. 4. P分有向线段所成的比： 设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。 .I. •、 当点P在线段上时，〉0;当点P在线段或的延长线上时，v 0； I x /// 八a ；\ 分点坐标公式：若=；的坐标分别为()，()，()；贝^(工一i), 中点坐标公式：. 5. 向量的数量积： (1) .向量的夹角： 已知两个非零向量与b,作=,=b,则/AOB=()叫做向量与b的夹角。 (2) .两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，贝,b=||・| b | cos. 其中I b | cos称为向量b在方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质： 若=(),b=()贝V e • = • e= || cos(e 为单位向量); 丄b • b=0 (, b为非零向量)
6.1.3向量的减法 教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册
一、教材内容分析 6.1.3向量的减法 二、教学目标 1.了解相反向量的概念. 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义. 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想. 4.通过本节学习，利用类比的方法探究向量减法的运算法则，培养探索精神与创新意识. 四、教学重点、难点 重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 难点：减法运算时方向的确定. 五、教学方法 探究式，小组合作学习 六、教学过程 一、问题引入，尝试探究 问题：已知向量是向量与向量的和，如图所示,你能作出表示向量的有向线段吗？ 【学生活动】 【根据向量的加法动手操作】 1.在图中画出向量； 2.检验所画出的向量是不是所求. 【设计意图】在向量加法的基础上引入减法定义和作图法则，符合学生认知规律，有利于减法运算的掌握. 二、向量的减法定义及表示 （一）、向量的减法定义及表示 1.定义： 一般地，平面上任意给定两个向量、，如果向量能够满足+=， 则称为向量与向量的差，并记作：=-. 2.表示方法： 向量减法的三角形法则 当与不共线时， 已知向量、，，，则由向量加法的三角形法则，得， 我们把向量、叫做向量与的差，记作：-、即：. 结论：①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为
始点，被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，简记为：“终点向量减始点向量”. （二）、相反向量的定义 1.定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，的相反向量记作：-。 2.相关结论： 3.探究： 结论1：即：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 结论2：当与共线且方向相同时 当与共线且方向相反时： 结论3： 【阶段小结】：分别研究在向量共线与不共线时的减法表示，验证减法定义. 【设计意图】数形结合，分类讨论了向量共线与不共线时的减法表示，并可以由图示得出相关结论： 为下面的例2的求解做好铺垫.同时，可以通过课后题加强图形中向量加减法的表示. 三、应用举例 例1：（课本143页例1） 变式训练1（1）：
数学人教版必修4(B)向量的减法
向量的减法 教学目标 （1）掌握向量减法的含义，会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差； （2）体会类比思想和转化思想． 教学重点，难点 灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题． 教学过程 一．问题情境 1．情境： 复习向量加法的含义 2．问题： 向量的减法该如何表示 二．学生活动 由实数的加法和减法互为逆运算，探索向量的减法与向量的加法的关系 三．建构数学 1．向量减法的含义 向量的减法是向量的加法的逆运算 若b x a +=r r r ，则向量x r 叫做a r 与b r 的差，记为a b -r r ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 图227-- 例１．如图227(1)--，已知向量,a b r r 不共线，求作向量a b -r r ． 作法 227(2)--，在平面内任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ． 因为OB BA OA +=u u u r u u u r u u u r ，即b BA a +=r u u u r r ，所以BA a b =-u u u r r r ． 这就是说，当向量,a b r r 起点相同时，从b r 的终点指向a r 的终点的向量就是a b -r r ． 练习：如图，已知向量a r ，b r ，求作a b -r r ．
（１） （２） （３） （４） 说明：向量,a b r r 起点相同时，a b -r r 由b r 的终点指向a r 的终点； 向量,a b r r 终点相同时，a b -r r 由a r 的起点指向b r 的起点． 向量,a b r r 起点和终点都不同时，可以通过平移使之共起点或者共终点． 由向量加法结合律可知，[()][()]a b b a b b a +-+=+-+=r r r r r r r ，所以()a b a b -=+-r r r r ． 这表明：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． 思考：你能画图说明 ()a b a b -=+-r r r r 吗？ 四．数学运用 1．例题： 例２．如图228--，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若AB a =u u u r r ，DA b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，试证明：b c a OA +-=r r r u u u r ． 分析：要证b c a OA +-=r r r u u u r ，只要证b c OA a +=+r r u u u r r ． 证：因为b c +=r r DA OC OC CB OB +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 图228-- OA a OA AB OB +=+=u u u r r u u u r u u u r u u u r ，所以b c OA a +=+r r u u u r r ，即b c a OA +-=r r r u u u r ． 注：本题还可以通过OA OC CA OC CB CD =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 来证明，或者从 c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 来证明． 你还可以用其他方法来证明吗？ 思考：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？ （对于平面内任一非零向量AB AM MB =+u u u r u u u u r u u u r ，以及BA NA NB =-u u u r u u u r u u u r ，,M N 为同一平 面内的任意一点，这种＂由简化繁＂的变形对学生提出了较高的要求） 2．练习：
高一数学必修4向量的加减法练习题含解析
2.2.1课时作业 1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD → ＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 B 2．下列各式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD → . A ．②③ B ．② C ．① D ．③ 答案 B 3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C 4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝b D ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A 5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD → |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B 6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB → 的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3 D ．5 答案 A 解析 由题意知|AB →＋AC → |＝ |AB →|2＋|AC →|2＝ 22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM → 化简后等于( )
A.BC → B.AB → C.AC → D.AM → 答案 C 8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC → ＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心 D ．外心 答案 B 9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC → ＝______． 答案 OD → 10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC → |等于________． 答案 2 2 解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC → |＝2 2. 11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________． 答案 82 北偏东45° 解析 如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB → . ∵|a |＝8，|b |＝8， ∴△OAB 为等腰直角三角形， ∴|a ＋b |＝|OB → |＝8 2.方向是北偏东45°. 12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c . 解析 如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB → ＝a
(完整版)人教版必修4 平面向量应用举例教案
必修4模块第二单元教学设计方案 第九学时～第十学时 2.4.1 向量在平面几何中的应用 一、教学目标 1．知识与技能： 运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2．过程与方法： 通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-—--—向量法和坐标法 3．情感、态度与价值观： 通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用,增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 二、教学重点难点 重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决. 三、教学方法 本小节主要是例题教学,要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境,引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。 2 |AD｜=|BC|，则这个四边 素之间的关系,你会想到向 量运算之间都有
新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几 何性质可以由向量线性 运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着 几何中的长度。如图: 平行四边行 ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则 AC AB BC a b =+=+（平移）， DB AB AD a b =-=-,2 22 || AD b AD == （长度）．向量AD，AB的夹角为 DAB ∠ 讨论（让学生回顾学过的知 识，有利于本课的顺利进 行）:（１）向量运算与几 何中的结论＂若a b =，则 |||| a b =,且,a b所在直线平 行或重合＂相类比，你有什 么体会？（２)由学生举出 几个具有线性运算的几何 实例．（3）向量平行、垂直 的判定方法 让学生掌握 用向量方法解平 面几何问题的步 骤： 建立平面几何与 向量的联系，用向 量表示问题中涉 及的几何元素,将 平面几何问题转 化为向量． 通过向量运算研 究几何运算之间 的关系，如距离、 夹角等． 把运算结果＂翻 译＂成几何关系． 应用举例例1：如图2—55，已知平行四边形 ABCD中，E、F在对角线BD上，并且 BE=FD,求证AECF是平行四边形. 小结:本题的关键选择适当的基底,把 四边形AECF的一组对边表示出来 问题1 证明AECF是平行 四边形的方法有什么？ 学生思考,回答 问题2 选择合适的方法， 问如何转化为向量条件表 示？ 学生思考，回答,完成证明 （选一名学生板书） 问题3 由学生总结解题方 法 通过分步设 问，引导学生展开 思维过程,让学生 体会分析、解决问 题的方法 例2:求证平行四边形对角线互相平 分． 小结：法一注重向量的坐标运算和解 析法的运用：法二选取基底AB和 AD，设未知数，列向量方程,解方程 组的待定系数得结论，体现了方程思 想的运用. 问题4 如何证明？ 学生思考，回答 老师点评学生思路：要证明 两条对角线互相平分，可以 证明 , AM MC BM MD ==,或 11 , 22 AM AC BM BD ==. 前一种方法可以建立平面 直角坐标系，将向量用坐标 表示后即可；后一种方法就 是课本提供的方法。 师生共同讨论交流，由教师 给出证明过程 本题所用方 法比较特殊，学生 不易想到，教师在 分析学生提供的 思路的基础上，点 出方法，又不直接 说怎么做，引导学 生再去探索，让学 生体验思路的形 成过程,学会分析 问题的方法。
数学必修四知识点
数学必修四知识点 数学必修四知识点1 平面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结 合律); 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= . (2) 若=(),b=()则‖b . 平面向量基本定理： 若e1.e2是同一平面内的两个不共线向量，那对于这一平面内的任一向量，戴 氏航天学校老师提醒有且只有一对实数，，使得= e1+ e2 高考数学必修四学习方法 养成不错的课前和课后学习习惯：在当前高中数学学习中，培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预习课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。同时，在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。这不但提升了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学习技巧 养成不错的学习数学习惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自身的特殊语言，并永久记忆在自身的脑海中。不错
高中数学必修四向量知识点备课讲稿
向量知识点总结 一、向量的概念 （1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量； （3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量； （5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质： ①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：( ) ( ) a b c a b c ++=++r r r r r r ； ③00a a a +=+=r r r r r 。 ⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r 。 三、向量减法运算 ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； ⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r r ， 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--u u u r 。 四、向量数乘运算 ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr ； ① a a λλ=r r ； ②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=r r ； ⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③() a b a b λλλ+=+r r r r ； ⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r ； b r a r C B A a b C C -=A -AB =B u u u r u u u r u u u r r r
高考数学学业水平合格考试总复习 第11章 平面向量(教师用书)教案-人教版高三全册数学教案
第 11章 平面向量 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． ③理解向量的几何表示. 本章的重点是平面 向量的数量积及其 应用，难点是平面向 量的线性运算，平面 向量基本定理及其 应用，解决与向量有关的问题，要始终把 握向量的两个根本 特征：方向和大小， 透彻地理解向量数 量积的意义和相关 公式的应用. (2)向量的线性运算 ①掌握向量加法、减法的运算，并 理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义， 理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其 几何意义. 2018年1月T10 2019年1月T13 (3)平面向量的基本定理及坐标表 示 ①了解平面向量的基本定理及其 意义． ②掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 2017年1月T7 2019年1月T4 2020年1月T16
④理解用坐标表示的平面向量共 线的条件. (4)平面向量的数量积 ①理解平面向量数量积的含义及 其物理意义． ②了解平面向量的数量积与向量 投影的关系． ③掌握数量积的坐标表达式，会进 行平面向量数量积的运算． ④能运用数量积表示两个向量的 夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系. 2018年1月T6 (5)向量的应用 ①会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题． ②会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题. 平面向量的线性运算 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量
高中数学【向量的概念】导学案 人教B版
第六章平面向量初步 6．1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念 【自主学习】 知识点一向量及其表示 1．定义 既有又有的量叫作向量． 2．有向线段 具有和的线段叫作有向线段．其方向是由指向，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→，线段AB的长度也叫作有向线段AB→的，记作|AB→|. 3．向量的长度 |AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的，即长度(也称模)． 4．向量的表示法 (1)向量可以用来表示，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的方向． (2)向量也可以用黑体斜体小写字母如a，b，c等来表示． 知识点二几种特殊向量 续表 【思考探究】 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意函数都有反函数．( ) (2)互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称．( ) (3)函数y＝f(x)的反函数为x＝f－1(y)．( ) (4)函数y＝f－1(x)的反函数为y＝f(x)．( ) (5)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的定义域与值域互为倒置．( )
【互动课堂】 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题中，正确的是( ) A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“a＝b”的充要条件是|a|＝|b|且a∥b C．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 [跟踪训练1]有下列说法： ①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同； ②若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→； ③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中说法正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型二向量与平面几何 【例2】如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中： (1)分别写出与AO→，BO→相等的向量； (2)写出与AO→共线的向量； (3)写出与AO→的模相等的向量． [跟踪训练2]如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．
高中数学必修二课时跟踪检测(三) 向量的减法运算
课时跟踪检测（三） 向量的减法运算 A 级——学考合格性考试达标练 1．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是( ) A ．a 与b 的长度必相等 B ．a ∥b C ．a 与b 一定不相等 D ．a 是b 的相反向量 解析：选C 根据相反向量的定义可知，C 错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C. 2.如图，AB ―→＋BC ―→－AD ―→ 等于( ) A.AD ―→ B.DC ―→ C.DB ―→ D.AB ―→ 解析：选B AB ―→＋BC ―→－AD ―→＝AB ―→－AD ―→＋BC ―→＝DB ―→＋BC ―→＝DC ―→ .故选B. 3．[多选]下列结果为零向量的是( ) A.AB ―→－(BC ―→＋CA ―→) B.AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→ C.OA ―→－OD ―→＋AD ―→ D.NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→ 解析：选BCD A 项，AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)＝AB ―→－BA ―→＝2AB ―→；B 项，AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→ ＋BC ―→＝0；C 项，OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0；D 项，NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→ ＝0.故选B 、C 、D. 4．已知O 是平面上一点，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→ ＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 解析：选B 易知OB ―→－OA ―→＝AB ―→，OC ―→－OD ―→＝DC ―→，而在平行四边形ABCD 中有AB ―→＝DC ―→ ，所以OB ―→－OA ―→＝OC ―→－OD ―→ ，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0.故选B.
数学必修四知识点(15篇)
数学必修四知识点(15篇) 数学必修四知识点1 平面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算： (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=(x1+x2,y1+y2). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+=+(交换 律);+(+c)=(+)+c(结合律); 两个向量共线的充要条件： (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=. (2)若=(),b=()则‖b. 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只有一对实数，，使得=e1+e2 高考数学必修四学习方法
养成良好的课前和课后学习习惯：在当前高中数学学习中，培养正确的学习习惯是一项重要的学习技能。虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学习真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预习课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。在使用前不能通过学习知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。同时，在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学习技巧 养成良好的学习数学习惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的'脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。 有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。 【教学目标与核心素养】 A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的 三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的 计算； B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个 向量是否平行； C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、 分析、归纳、抽象的思维能力。 【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 【教学过程】
。 特点:首尾相接，连首尾。 2.向量的平行四边形法则 特点:同一起点,对角线。 3.向量减法的三角形法则 。 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。 二、探索新知 探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？ ，记作。即。的方向与的方向相同，。 类似地，，其方向与的方向相反，。 AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =