华东师大版九年级数学下册第26章二次函数PPT课件全套
华东师大版九年级数学下册 26.1.1 二次函数
第1页 共2页 九年级下册 编号01
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2. 形如___________y0)k（的函数是一次函数，当______0时，它是 函数；形如
0)k（的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么y与x之间的函数关系式为y= ，整理为y= .
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,abca是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a为什么不等于0？
答： 。
华东师大版九年级数学下册 26.1.3 二次函数的图象(二)
第1页 共2页 二次函数khxay2九年级下册 编号04
【学习目标】
1．会画二次函数2)(hxay的图象；
2.知道二次函数2)(hxay与2axy的联系．
3.掌握二次函数2)(hxay的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线142xy的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数2)1(xy，2)1(xy的图象；先列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
2)1(xy … …
2)1(xy …
…
归纳：（1）2)1(xy的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。
2)1(xy可以看作由2xy向 平移
个单位形成的。
（2）2)1(xy的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。
2)1(xy可以看作由2xy向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线2)(hxay特点： xyy = x21–1–2–3–4–5–6–712345678–1–212345678910O
华东师大版九年级下册26章二次函数最值问题专题
二次函数最值问题专题
➢
知识点梳理：
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)
配方法得 y=𝑎(𝑥+𝑏2𝑎)2+4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
顶点坐标（−𝑏2𝑎，4𝑎𝑐−𝑏24𝑎） 对称轴为 x=−𝑏2𝑎
一、不限定x的取值范围情况
(1) 𝑎>0时，开口向上，二次函数有最小值。最小值为y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
(2) 𝑎<0时，开口向下，二次函数有最大值。最大值为y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二、当m≤x≤n时
𝑎>0时
（1）x=−𝑏2𝑎在m≤x≤n中
二次函数最小值为当x=−𝑏2𝑎时，y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二次函数最大值为当ym,， yn,中的最大值。
（2）−𝑏2𝑎>𝑛即对称轴在自变量取值范围右侧。
二次函数最大值为x=m时y的值。
二次函数最小值为x=n时y的值。
（3）−𝑏2𝑎<𝑚,即对称轴在取值范围的左侧。
二次函数最大值为x=n时y的值。
二次函数最小值为x=m时y的值。
𝑎<0时
（1）x=−𝑏2𝑎在m≤x≤n中
二次函数最大值为当x=−𝑏2𝑎时，y=4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
二次函数最小值为当ym,， yn,中的最小值。
（2）−𝑏2𝑎>𝑛即对称轴在自变量取值范围右侧。
二次函数最大值为x=n时y的值。
二次函数最小值为x=m时y的值。
（3）−𝑏2𝑎<𝑚,即对称轴在取值范围的左侧。
二次函数最大值为x=m时y的值。
二次函数最小值为x=n时y的值。
➢ 典例分析
类型一：常规类求最值问题
类型二：含有自变量取值限制的求最值问题
类型三：实际问题中的最值问题（考虑自变量x的取值范围）
一、 利润最值问题
公式：总利润=总售价-总成本
总利润=每件商品的利润×销售量
例1：一玩具厂去年生产某种玩具，成本价为10元每件。出厂价为12元每件年销售量为2万元今年计划通过适当增加成本提高产品档次，以拓展市场。若今年这种玩具每件成本比去年增加0.7x倍。今年这种玩具每件出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍。则预计今后年销售量增加x倍。（𝟎≤𝐱≤𝟏）
九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质 二次函数三种形式的灵活运用素材 (新版)华东师大版
二次函数三种形式的灵活运用
一般地，如果cbxaxy2(a ，b ， c时常数，且a≠0)，那么，y叫做x的二次函数．我们常把cbxaxy2(a≠0)称为二次函数的一般式．
二次函数还有另外两种表示形式．即顶点式和交点式．
顶点式： abacabxay44)2(22
或khxay2)( [其中，a≠0，抛物线的顶点坐标为()hk，]
交点式： ))((21xxxxay (其中， a≠0，12xx，是抛物线与x轴两个交点的横坐标)．
同学们要掌握二次函数三种表示形式，并且能灵活运用．
下面举例加以说明．
例1：二次函数的图像经过(0，3)，(1，4)，(3，0)，求二次函数的表达式．
分析：因为已知二次函数图像上的三点坐标，所以本题可选用二次函数的一般式，采用“待定系数法”求出未知数的系数，进行求解，较为方便．
解：设所求二次函数的表达式为 cbxaxy2(a≠0)
根据题意， 得
03943cbacbac
解这个方程组 得321cba
所以 所求二次函数的表达式为322xxy．
例2：二次函数的图像以点(2，3)为顶点，并过点(3，1)，求二次函数的解析式．
分析：因为已知顶点坐标是(h， k)，所以用khxay2)((a≠0)的形式求解析式，较为方便．
解：设所求二次函数的解析式为khxay2)( (a≠0)
因为顶点是(2，3)， 所以 h=2， k=3
所以 3)2(2xay
又因为图像经过(3，1)， 所以3)23(12a
解得 2a
故所求二次函数的解析式为 3)2(22xy=5822xx．
例3：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标分别为 -1、3，且经过点(1，-5)，求二次函数的关系式．
华东师大版九年级数学下册 26.1.3二次函数 的图象(三)
第1页 共2页 26.1.3二次函数khxay2九年级下册 编号05
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式khxay2的图象；
2．掌握二次函数khxay2的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数2-5yx的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线2yx的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
在右图中做出212yx的图象：
观察：1. 抛物线212yx开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线212yx和2yx的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）
3. 抛物线212yx是由2yx如何平移得到的？答：
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线a值变化吗？为什么？
答： 。
四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳：
（一）抛物线2()+yaxhk的特点：
1.当0a时，开口向 ；当0a时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线2()+yaxhk与2yax形状 ，位置不同，2()+yaxhk是由2yax平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线a值 。
九年级数学书华东师大版
九年级数学书华东师大版
一、二次函数。
1. 定义与表达式。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
- 二次函数的表达式还有顶点式y=a(x - h)^2+k(a≠0)，其中(h,k)是顶点坐标；交点式y=a(x - x_1)(x - x_2)(a≠0)，其中x_1,x_2是二次函数与x轴交点的横坐标。
2. 图像性质。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图像是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 对称轴为x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 二次函数的增减性：当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
3. 二次函数与一元二次方程的关系。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根。
- 判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ =
0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点。
二、相似三角形。
1. 相似三角形的定义与性质。 - 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
- 性质：
- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
- 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
- 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
2. 相似三角形的判定。
- 两角分别相等的两个三角形相似。
- 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
九年级数学下册 第26章 二次函数 26.1 二次函数教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初
word
1 / 4 二次函数
教学内容 本节共需1课时
本课为第1课时 主备人
教学目标 通过具体问题引入二次函数的概念；
在解决问题的过程中体会二次函数的意义。
教学重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义。
教学难点 如何建立数学模型
教具准备 学案每生一份 课型 新授课
教学过程 初 备 统 复 备
情境创设 （1）已知一个正方体的棱长为x㎝，表面积为y2cm,则y与x的关系式是。
（2）一个正方形的边长为a（cm），它的面积S（cm2）是多少？
（3）一个矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，那么面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式。
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？
探究新知 1、 请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义。
2、 归纳：二次函数的概念。
3、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a，b，c的取值X围，强调0a。
4、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值X围。 word
2 / 4
实践与
探索1 例1． m取哪些值时，函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数？
分析：若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数，需满足的条件是20mm。
解：若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数，则 20mm，解得 0m，且1m。因此，当0m，且1m时，函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的二次函数。
探索 若函数22()(1)ymmxmxm是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
实践与
探索2 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系；
华东师大版九年级数学下册同步教案 第26章二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
使学生理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
重点
确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系,理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
难点
正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
一、创设情境,引入新课
由前面的知识,我们知道,函数y＝2x2的图象,向上平移2个单位,可以得到函数y＝2x2＋2的图象；函数y＝2x2的图象,向右平移3个单位,可以得到函数y＝2(x－3)2的图象,那么函数y＝2x2的图象,如何平移,才能得到函数y＝2(x－3)2＋2的图象呢？
二、探究问题,形成概念
1．在同一直角坐标系中,画出下列函数y＝12x2,y＝12(x－2)2,y＝12(x－2)2＋1的图象．
2．观察它们的图象,回答：它们的开口方向都向________,对称轴分别为____________、____________、____________,顶点坐标分别为________、________、________.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系．
归纳结论：函数y＝12(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝12(x－2)2的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数y＝12x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．
二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外,图象的平移与平移的顺序无关．你能说出函数y＝a(x－h)2＋k(a,h,k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
华东师大版九年级数学下册 26.1二次函数图像第五课
第1页 共3页 二次函数y=ax2+bx+c的图象（5）
教学目标
一、、知识与技能：
1.使学生会用描点法画二次函数khxay2的图象，培养学生的作图能力；
2．使学生掌握抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴与顶点坐标．
二、、过程与方法
由khxay2的一个特例入手，再推广到一般，学生经历观察、分析、归纳、总结得出函数性质。
三、情感态度价值观：
1、结合函数khxay2与y=ax²的图像平移规律的探究过程，向学生进行数形结合的数学思想方法的教育
2、再运用二次函数的知识解决简单的实际问题的过程中，培养学生分析、转化、解决实际问题的能力，通过问题的解决帮助学生树立学习的信心。
教学重点、难点
1．教学重点：会画形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．
2．教学难点：确定形如y=a（x-h）2+k的二次函数的顶点坐标和对称轴
教学过程：
一、复习：
1．提问：前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图象？指出函数图象的
开口方向，对称轴，顶点坐标；
答：形如y=ax2，y=ax2+k和y=a（x-h）2．
2、 如何从221xy的图象得到1212xy的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。 如何从221xy的图象得到2121xy的图象。并说明后者图象的顶点，对称轴，增减性
3、函数221xy的图象，如何平移，才能得到函数11212xy的图象呢？后者图象的顶点，对称轴，增减性又是如何呢？
二、新课：这节课就来讨论形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图像的性质及其实际应用。．
例3：在同一直角坐标内，画出函数221xy、1212xy、2121xy
11212xy的图象。指出他们的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性、最值
解：列表略
九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质 解读用待定系数法求二次函数解析式素材 (新版)华东师
解读用待定系数法求二次函数解析式
1.内容提要：
二次函数解析式有三种表达形式，
1.一般式：y=ax2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数
2.顶点式：y=a(x－h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标.
3.交点式：y=a(x－x1)(x－x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.
每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：
（1） 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x－h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x轴的两个交点(或与x轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(简称两点式)；
（2） 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；
（3） 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式.
2.例题分析：
(1)一般式法
例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？
解：设二次函数是y=ax2+bx+c，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点.
∴ 函数解析式为y=－2x2+3x+1.
小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a、b、c值.
(2)顶点坐标法
例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5).求此抛物线的解析式.
解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x－h)2+k，其顶点是(h, k).
∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.
又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3. 2 ∴ a=2,