奥数-函数方程-第十二讲教师版

第12讲 函数提高——函数方程

函数方程的概念：

1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x ＋1)=x 、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x ＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x －1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程

4.定理（柯西函数方程的解）

若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x ＋y)=f(x)＋f(y) (x,y ∈R)、则f(x)=xf(1)

证明：由题设不难得

f(x 1＋x 2＋…＋x n )=f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )

取x 1=x 2=…=x n =x ，得f(nx)=nf(x) (n ∈N +)

令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）

x=1，则f(n)=nf(1) x=

n m ，则f(m)=nf(n m ) ，解得f(n m )=n 1f(m)= n

m f(1) --------- (2) x=－n m ，且令y=－x ＞0，则f(x)＋f(y)=f(x ＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n ∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x 均有f(x)=xf(1)

另一方面，对于任意的无理数x ，因f(x)连续，取以x 为极限的有理数序列{x n }，则有 ：f(x)=∞→n lim f(x n )=∞

→n lim x n f(1)=xf(1) 综上所述，对于任意实数x ，有f(x)=xf(1)

函数方程的解法：

1.代换法（或换元法）

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数

例1 （1）已知f(2x －1)=x 2＋x ，那麽f(x)=______________。

略解：设t=2x －1，则x=21 (t ＋1)，那麽f(t)= 41 (t ＋1)2＋21 (t ＋1)= 4

1t 2＋t ＋43 故f(x)= 4

1x 2＋x ＋43

(2) 已知f(x ＋1)=x ＋2x ，那麽f(x)=____________。

略解：f(x ＋1)=( x ＋1)2－1，故f(x)=x 2－1 (x ≥1)

(3) 已知f(x ＋x 1)=x 2＋21x

，那麽f(x)=_______________。 略解：f(x ＋x 1)=(x ＋x

1)2－2，故f(x)=x 2－2 (|x|≥2) 例2设ab ≠0,a 2≠b 2，求af(x)＋bf(x

1)=cx 的解 解：分别用x=t

1，x=t 代入已知方程，得 af(t 1

)＋bf(t)= t

c ------(1)

af(t)＋bf(t

1

)=ct------(2) 由（1），（2）组成方程组解得 f(t)= t

b a b at

c )()(222-- 即： f(x)=

x b a b ax c )()(222-- 例题3、设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。

例题4、设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。

1????练习：函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=??

? ??+，求)(x f 。答案：x

x x f 2

2)(-=

2????练习：求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。

2.待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得

例2已知f(x)是一次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x ＋1023。求f(x) 10次

解：设f(x)=ax ＋b (a ≠0)，记f{f[f …f(x)]}=f n (x)，则

n 次

f 2(x)=f[f(x)]=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋b(a ＋1)

f 3(x)=f{f[f(x)]}=a[a 2x ＋b(a ＋1)]＋b=a 3x ＋b(a 2＋a ＋1)

依次类推有：f 10(x)=a 10x ＋b(a 9＋a 8＋…＋a ＋1)=a 10

x ＋a a b --1)1(10 由题设知：

a 10

=1024 且a a b --1)1(10=1023 ∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3

∴f(x)=2x ＋1 或 f(x)=－2x －3

3.迭代法

由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法

例2设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋xy 。求f(x)

解：令y=1，得f(x ＋1)=f(x)＋x ＋1

再依次令x=1，2，…，n －1，有

f(2)=f(1)＋2

f(3)=f(2)＋3

……

f(n －1)=f(n －2)＋(n －1)

f(n)=f(n －1)＋n

依次代入，得

f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n －1)＋n=2

)1(+n n ∴f(x)=2

)1(+x x (x ∈N +)

例2已知f(1)=5

1且当n ＞1时有)(211)1(2)()1(n f n nf n f n f -+-=-。求f(n) (n ∈N +) 解：把已知等式（递推公式）进行整理，得

f(n －1)－f(n)=2(n ＋1)f(n)f(n －1) ∴)(1

n f )

1(1-n f =2(n ＋1) 把n 依次用2，3，…，n 代换，得

)2(1f －)

1(1f =2×3 )

3(1f －)2(1f =2×4 ……

)(1

n f )

1(1-n f =2(n ＋1)

上述(n －1)个等式相加，得

)

(1

n f )1(1f =2[3＋4＋…＋(n ＋1)]=(n －1)(n ＋4) ∴)(1n f = )

1(1f ＋(n －1)(n ＋4)=n 2＋3n ＋1 ∴f(n)=

1312++n n

4.柯西法

在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解

例2 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x ＋y)=f(x)f(y)的解

解：∵f(x)=f(2x ＋2x )=f(2x )f(2

x )≥0 若存在x 0∈R ，使f(x 0)=0。则对一切实数x ，有

f(x)=f(x －x 0＋x 0)=f(x －x 0)f(x 0)=0

这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)＞0

对题设f(x ＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得

㏑f(x ＋y)=㏑f(x)f(y)

∴㏑f(x ＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y)

令g(x)=㏑f(x)

∵f(x)＞0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x ＋y)=g(x)＋g(y).由定理知：

故 ㏑f(x)=x ㏑f(1)

∴f(x)=e x ㏑f(1)=f(1)x

令f(1)=a ，则f(x)=a x (a ＞0)

类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：

（1） 若f(xy)=f(x)＋f(y) (x ＞0,y ＞0),则f(x)=㏒a x

（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x ＞0,y ＞0),则f(x)=x 2

（3） 若f(x ＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax 2＋bx

（4） 若f(x ＋y)＋f(x －y)=2f(x),则f(x)=ax ＋b

5、赋值法

例题1、设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有：

)12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。

例题2、设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。

6、 究函数的性质

例题1、设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2

(=π

f ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2

()2(2)()(y x f y x f y f x f -?+=+。 ① 求证：)()2(x f x f =+π

② 求证：)()(x f x f -=

③ 求证：1)(2)2(2-=x f x f

练习1：若对常数m 和任意x ，等式)(1)(1)(x f x f m x f -+=

+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。

练习2：设函数)(x f 定义于实数集R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，都有：)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -?+=+，求证：)()(x f x f -=。

课后练习：

1、 下面四个数中，满足??? ??+2y x f =2

1[f(x)＋f(y)]的函数是 （ ） A.㏑x B. x

1 C.3x D.3x 2、 如果对x ∈R 有2f(1－x)＋1=xf(x)，那麽f(x)=__________。

3、 对任意实数x,y ，函数f(x)有f(x ＋y)=f(x 2)＋f(2y)，则f(1985)=( )

4、 ** B. C.3990 D.以上答案都不对

已知f(1)=1,f(n)－f(n －1)=a n ,n ∈N +。求f(n)

5、 解方程 xf(x)＋2f(1

1+-x x )=1 6、 已知f(x)连续且定义在非零实数集上，满足()()()()()y f x f y f x f y x f +=

+，求f(x)