2011陈省身杯数学邀请赛五年级答案
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2011年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛
五年级
1. 将1~8 8个数字分别填入下图，使每条线上的三个数的和是这条线上写的数，A= 。
第1题图
2. 如果华氏温度是y，摄氏温度是x，则y=1.8x+32，如果小华的y是98.6，则小华的x是 。
【分析】：将y=98.6代入，解方程得：x=37
3. 2011-2010+2009-2008+2007-2006+„+3-2+1= 。
【分析】：（2011-2010）+（2009-2008）+（2007-2006）+„+（3-2）+1=1006
4. 50×10+25×20+12.5×40+6.25×80=________。
【分析】：每一个乘法算式都是50×10，原式=50×10×4=2000
5. 一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多 。
【分析】：长方体的高为 12×12×12÷18÷8=12 比正方体表面积多 48
6. 今年爷爷年龄是小华的6倍，是爸爸的2倍，12年后爸爸的年龄是小华的2倍，问小华的爷爷今年 岁。
【分析】：爸爸今年是小华的3倍，设今年小华x岁，爸爸3x岁 得方程 2（x+12）=3x+12
X=12，小华今年12岁，爷爷为12×6=72岁。
7. A、B两地相距4800米，甲在A地，乙丙在B地，第一天，甲向B出发，乙丙向A出发，甲乙相遇后乙掉头，10分钟后乙和丙相遇；第二天，甲向B的反方向出发，乙丙向A出发，乙追上甲后掉头，20分钟后乙和丙相遇。甲的速度为每分钟45米，求丙的速度。
【分析】：题有歧义
8. 数字如下图排列，则2011在 行 列。
【分析】：45，15
第8题图 ……22212019181716151413121110987654321本资料来源于长沙奥数网()
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9. 加工一批零件，原计划15天做完，如果每天做300个，则提前3天做完，则原来每天做 个。
【分析】：设原计划每天做x个， 15x=300×12 x=240
10. 甲厂卖2只鸡、4只鸭、5只鹅卖了290元，乙厂卖3只鸡5只鸭7只鹅卖了395元，问2只鸡、1只鸭、1只鹅卖 元。(本题为学生回忆,数据上可能存在偏差)
【分析】：设一只鸡x元，鸭y，鹅z 2x+4y+5z=290 3x+5y+7z=395 求的是2x+y+z
11. 甲乙两只蜗牛往井底爬，白天速度分别为20dm/天，15dm/天，晚上向下滑的速度相同，甲5天爬下去，乙6天爬下去，井深 。
【分析】：假设下滑速度为x。 20×5+5x=15×6+6x x=10 井深150dm
12. 题中告诉连续平方数求和公式求：
1×99+2×98+3×97+„„+50×50= 。
【分析】：1×99=（50-49）×（50+49）=50×50-49×49 其他全可以改写成这种形式，共有50个，原式=50×50×50-（1×1+2×2+…+49×49）=50×50×50-49×50×99÷6=84575
13. 用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有 种方法。
第13题图 第14题图 第15题图
【分析】：先染中间的有5种方法，其他的和中间的都不能相同，所以还剩下4种颜色染四周的四块。对着的染相同颜色，染这4块有4×3=12种 只有一组对着的相同颜色，有4×3×2×2=48种，对着的两组都不相同有：4×3×2×1=24种，所以共有（12+48+24）×5=420种
14. 求阴影部分面积
【分析】：左下的长方形面积为 7×8÷4=14 阴影=整体-空白。整个长方形面积是14+7+8+4=33 由一半模型可得 左边三角形面积为（7+14）÷2=10.5 右下为（14+8）÷2=11 阴影为：33-10.5-11-4=7.5
15. 求阴影部分面积
【分析】：毕克定理 内部点2个，边上点4个 面积为：2+4÷2-1=3
16. 6个数的平均数是53，有两个一样，把一个改成30，一个改成70，平均数变为58，求那两个数原来为 。
【分析】： 58×6-53×6=30 改后总和多了30 原来数为（30+70-30）÷2=35
17. 用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数。
【分析】：只有1个1的时候，有4×3×2×1=24个。有两个1的时候 先从2、3、4选出2个，有3种，把选出的两个排好，有4×3=12种，两个1排进去只有一种，所以共有3本资料来源于长沙奥数网()
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×12+24=60种。
18. 下图中有 个三角形
【分析】：3×3+3+3+1+1=17个
19. 20个黑球，10个白球装在一个布袋里，至少拿出 个才能保证有5个黑球，5个白球？
【分析】：最不利原则，20+5=25个
20. 第一个数比第三个数少7，第三个数是第二个数的2倍，三个数的平均数是2011，则第一个数是 。
【分析】：设第2个数是x，第一个为（2x-7），第三个数是2x
X+2x-7+2x=2011×3 x=1208 第一个数为2409
五大模型(三角型等积变形、共角模型
实用标准文案
文档 杨秀情——六年级秋季——配套练习
【练练1】
如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．
HGFEDCBA
【练练2】
图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______；
EDGCFBA
【练练3】
(2008年”希望杯”二试六年级)
如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，1S、2S、3S及4S分
别表示四个小四边形的面积．试比较13SS与24SS的大小．
OS4S3S2S1HGFEDCBA
实用标准文案
文档
【练练4】
如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
EDCBA
【练练5】
（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）
如图，45BC，21AC，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK ．
KJIHGFEDCBA
实用标准文案
文档
【练练6】
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．
ABCDEF
【练练7】
(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【练练8】
如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它
内部阴影部分的面积是 ．
FEDCBA
实用标准文案
文档
【练练9】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm．问：长方形的面积是多少平方厘米？
2008年陈省身
学而思近年天津竞赛真题汇总(四年级) 学而思培优 2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛
四年级
1. 计算[2008(80022008)37]31_____。
2. 根据前三幅图的规律，将第四幅图中相应的方格涂黑，涂黑的方格中所填数之和为_____。
3. 要使算式“□01÷44”的商是两位数，“□里最小可以填________”；要使“473÷4□”的商是两位数，“□”里最大可以填________。
4. 学校准备在一个周长为120米的圆形花圃的四周每隔6米栽一棵树，一共要栽_____棵树；如果把这些树栽到正方形草坪的四周，每边可以栽____棵。
5. 如图所示的立方体图形是由______个小立方体组成的。
DCBA
第5题图 第8题图 第9题图
6. 一只蜗牛6分钟爬行3分米，照这样的速度，它1小时能爬行_____米。
7. 在下面的八个“□”中填入一个相同的整数，使得四个算式
□-□，□+□，□×□，□÷□
的结果之和恰恰好等于100，则填入的数字为______。
8. 在图中，共有______个三角形。
9. 如图，若A,B,C,D四个小长方形的周长之和为40㎝，则它们共同组成的大长方形的周长为_____㎝
10. 甲、乙两车从A地开往B地分别需要用10小时和15小时，若乙车先出发3小时，则甲车出发
学而思近年天津竞赛真题汇总(四年级) 学而思培优 _____小时后能追上乙车。
11. 计算（10+20+40+60+80）×（30+50+70+90）—（10+30+50+70+90）×（20+40+60+80）=______。
12. 数一数，图中共有_____个正方形。
34121 枝枝枝满满满英英英华华华
小学奥数 还原问题(一)
6-1-2.还原问题（一）.题库 教师版 page 1 of
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本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
模块一、计算中的还原问题
【例 1】 一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第3题
【例 2】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，例题精讲 知识点拨 教学目标
6-1-2.还原问题（一）
还原问题
还原问题
一、单个变量的还原问题
【例 1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【巩固1.1】有一个数，如果用它加上6，然后乘6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是多少？
【巩固1.2】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?
【巩固1.3】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?
【巩固1.4】在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是多少？
【例 2】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?
【巩固2.1】小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 请你算一算，我今年几岁？”
【例 3】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？
【巩固3.1】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？
【例 4】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？
【例 5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?
【巩固5.1】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
6-1-3_植树问题.题库教师版
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1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．
3．几何图形的设计与构造
知识点说明：
一、植树问题分两种情况，不封闭与封闭路线。
不封闭的植树路线.
① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.
全长、棵数、株距三者之间的关系是：
棵数段数1全长株距1
全长株距(棵数1)
株距全长(棵数1)
② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：
全长株距棵数；
棵数段数全长株距；
株距全长棵数.
③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.
棵数段数1全长株距1.
株距全长(棵数1).
全长株距(棵数+1) 知识点拨 教学目标
植树问题 page 2 of 20 封闭的植树路线.
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.
棵数段数周长株距.
二、解植树问题的三要素
解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数．只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
三、方阵问题
明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.
每边的个数＝总数÷41”；
每向里一层每边棋子数减少2；
掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
板块一、非封闭的植树问题
【例 1】 大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？
【解析】 从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.
五年级上册奥数专题系列-植树问题 年龄问题 盈亏问题 沪教版(2015秋)(含答案)
课程主题： 植树问题+年龄问题+盈亏问题
课前热身：
植树问题：
植树问题的三要素：（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数；
只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
备注：植树问题所考察的内容通常以均匀植树为前提条件。
（一）直线型植树问题
① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.
全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1全长株距1
全长株距(棵数1)
株距全长(棵数1)
② 若题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.
全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数；
棵数段数全长株距；
株距全长棵数.
③ 若植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.
全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1全长株距1.
株距全长(棵数1).
全长株距(棵数+1)
年龄问题：
算有关年龄一类的问题叫做年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现。
年龄变化基本规律：1.两人年龄差不变
2.两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变
3.随着时间推移，两人年龄的增加量相等
注意：上面的规律适用于两个人之间的年龄关系，但若涉及到一人年龄与另几人年龄和之间的关系则另当别论。
计算年龄问题的基本方法：几年后的年龄大小年龄差倍数差小年龄
几年前的年龄小年龄大小年龄差倍数差
盈亏问题：
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
6-1-2还原问题.题库学生版
6-1-2.还原问题.题库 学生版 page 1 of 13
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点说明：
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
板块一、单个变量的还原问题
【例 1】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。
例题精讲 知识点拨 教学目标
还原问题
6-1-2.还原问题.题库 学生版 page 2 of 13
2012年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛4年级
2012年“陈省身”国际青少年数学邀请赛
四年级
1、 1，2，5，12，27，☆，121，…这串数是按一定规律排列起来的，则其
中“☆”代表的数是
。
分析：如图，“？”＝27＋3l＝58。
2、计算（124＋125＋126＋127＋1）×4＝ 。
分析：[（124＋127）×4÷2＋1]×4＝2012。
3、两辆汽车同时从甲、乙两城出发相向而行，快车每小时行57千米，慢车每小时行43千米，5小时后相遇，则甲、乙两城相距 千米。
分析：（57＋43）×5＝500。
4、如果被减数比差大45，减数比差小12，那么被减数、减数与差的和是 。
分析：由于被减数比差大45，所以减数是45，又因为减数比差小12，所以差是
45＋12＝57，被减数是45＋57＝102，总和为102×2＝204。
5、如右图，其中共有 个三角形。
分析：由1个小三角形构成的三角形有9个，由4个小三角形构成的三角形有3个，由所有小三角形构成的大三角形有1个，所以共有9＋3＋1＝13(个)。
6、如图所示，将一个大正方形划分成21个相同的小长方形，每一个小长方形的周长恰好是100厘米，则大正方形的面积为 平方厘米。
分析：由图易得3长＝7宽，所以长方形的长是100÷2÷（7＋3）×7＝35(厘米)，所以正方形的边长是35×3＝105，面积是105×105＝11025(平方厘米)。
7、一个数减去10，再乘以10，加上10，再除以10，结果得11，则这个数是 。
分析：11×10＝110，110－10＝100，100÷10＝10，10＋10＝20。
8、学校为了开运动会准备购买一批体育器材。如果买5个足球、3个排球要用204元，如果买5个排球、3个足球就要用196元，那么买1个足球和1个排球共需要用 元钱。 分析：买8个足球、8个排球要用204＋196＝400(元)，所以买1个足球和1个排球要用400÷8＝50(元)。
行程问题9接送问题
.
. 一、 校车问题——行走过程描述
队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
二、常见接送问题类型
根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：
（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）
（2）车速不变-班速不变-班数多个
（3）车速不变-班速变-班数2个
（4）车速变-班速不变-班数2个
三、标准解法：
画图＋列3个式子
1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；
2、班车走的总路程；
3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
模块一、汽车接送问题——接一个人
【例 1】 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上7点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前20分钟。这天，张工程师还是早上7点出门，但15分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前 分钟到厂。
.
. 模块二、汽车接送问题——接两个人或多人
（一）、车速不变、人速不变
【例 2】 （难度级别 ※※※）A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？
四年级三大原理加乘原理学生版
知识要点
【课前引入】在做加、乘原理的题时，我们经常会遇到为地图涂色的题目。关于为地图涂色有一个看起来简单，但证明过程却十分复杂的题目——四色猜想。四色猜想是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878~1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的