三次样条函数
§8 三次样条插值问题的提出:上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。
下面我们讨论最常用的三次样条函数。
三次样条函数:定义:函数],[)(2b a C x S ∈，且在每个小区间],[1+j j x x 上是三次多项式，其中b x x x a n =<<<=L 10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,,,10L 上的三次样条函数。
若在节点j x 上给定函数值),,1,0)((n j x f y j j L ==，并成立 ),,1,0()(n j y x S j j L ==，则称)(x S 为三次样条插值函数。
从定义知要求出)(x S ，在每个小区间],[1+j j x x 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，故应确定n 4个参数。
根据)(x S 在],[b a 上二阶导数连续，在节点)1,,2,1(−=n j x j L 处应满足连续性条件)0()0(+=−j j x S x S ，''(0)(0).j j S x S x −=+,).0()0(+′′=−′′j j x S x S 共有33−n 个条件，再加上)(x S 满足插值条件),,1,0()(n j y x S j j L ==，共有24−n 个条件，因此还需要2个条件才能确定)(x S 。
通常可在区间],[b a 端点n x b x a ==,0上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。
常见的有以下三种：1° 已知两端的一阶导数值，即 n n f x S f x S ′=′′=′)(,)(00.2° 两端的二阶导数已知，即 ''00(),()n n S x f S x f ′′′′′′==， 其特殊情况 0)()(0=′′=′′n x S x S ， 称为自然边界条件。
3° 当)(x f 是以0x x n −为周期的周期函数时，则要求)(x S 也是周期函数。
这时边界条件应满足)0()0(),0()0(00−′=+′−=+n n x S x S x S x S ，)0()0(0−′′=+′′n x S x S ， 而此时n y y =0。
这样确定的样条函数)(x S ，称为周期样条函数。
三转角方程:现在构造满足条件),,1,0()(n j y x S jj L ==及加上相应边界条件的三次样条函数)(x S 的表达式。
若假定)(x S ′在节点j x 处的值为),,1,0()(n j m x S j j L ==′，则由分段三次埃尔米特插值公式可得()[()()]nj j j j j S x y x m x αβ==+∑，其中)(x j α、)(x j β是插值基函数。
显然，表达式中)(x S 及)(x S ′在整个区间],[b a 上连续，且满足),,1,0()(n j y x S j j L ==；现需确定),,1,0(n j m j L =，可利用)1,,1)(0()0(−=+′′=−′′n j x S x S j j L 及某一边界条件来确定。
为了求出j m ，我们考虑)(x S 在],[1+j j x x 上的表达式213()[2()]()j j j j jx x h x x S x y h+−+−=1312)](2[)(++−+−+j jj j j y k x x h x xj jj j m hx x x x 221)()(−−++1212)()(++−−+j jj j m hx x x x这里j j j x x h −=+1。
对)(x S 求二次导数得12121246426)(+++−−+−−=′′j jj j j jj j m hx x x m hx x x x S)()2(6131j j jj j y y h x x x −−++++，于是)(624)0(121j j jj j j j j y y h m h m h x S −+−−=+′′++. 同理，可得)(x S ′′在区间],[1j j x x −上的表达式j j jj j j jj m h x x x m h x x x x S 2111211246426)(−−−−−−−+−−=′′)()2(61211−−−−−++j j j j j y y hx x x ，及 )(642)0(121111−−−−−−−+=−′′j j j j j j j j y y h m h m h x S 。
由条件)1,,2,1)(0()0(−=−′′=+′′n j x S x S j j L ，可得111111121+−−−+++j j j j j j j m h m h h m h ),1,,2,1(321121−=−+−=−−+n j h y y h y y j j j j j j L 用j j h h 111+−除全式，并注意],[,11++=−=j j jj j j j x x f h y y f y ，上面方程可简化为 j j j j j j g m m m =++++112µλ );1,,2,1(−=n j L其中)1,,1(,111−=+=+=−−−n j h h h h h h jj j j jj j j L µλ，)1,,1(]),[],[(311−=+=+−n j x x f x x f g j j j j j j j L µλ，此方程是关于未知数n m m m ,,,10L 的1−n 个方程，若加上边界条件：00f m ′=,n n f m ′=，则方程变为为只含11,,−n m m L 的1−n 个方程，写成矩阵形式便是−−−−−12321122322120000200000020000200002n n n n n m m m m m M LL L LL L L L L LL L λµλλµλµ′−′−=−−−n n n n f g g g g f g 11232011µλM .如果边界条件为''00(),()n n S x f S x f ′′′′′′==，则得两个方程001010011123[,];223[,].2n n n n n n n h m m f x x f g h m m f x x f g −−−′′+=−=′′+=+= 若边界条件为0)()(0=′′=′′n x S x S ，即满足自然边界条件,则得两端的方程为010101123[,];23[,].n n n n n m m f x x g m m f x x g −−+==+== 于是，用矩阵形式表为01112211112100002000020000020002n n n n n m m m m m λµλλµλ−−−−L L LL L L L L LL M L L=−n n g g g g g 1210M .如果边界条件为周期性条件，则得到n m m =0，n n n n m h h m h m h +++−−−10111011211 ],[3],[311100n n n x x f h x x f h −−+=， 化简为n n n n n g m m m =++−211λµ.其中101101,−−−−+=+=n n n n n n h h h h h h λµ]),[],[(3110n n n n n x x f x x f g −+=λµ.用矩阵形式表示为−−−n n n nn n m m m m 121112211202000002002M LL L L LL L L LLLλµµλµλλµ=−n n g g g g 121M .上面得到的方程，每个方程都连系三个j j m m ,在力学上解释为细梁在j x 截面处的转角，故称为三转角方程。
这些方程系数矩阵对角元素均为2，非对角元素1=+j j λµ，故系数矩阵具有强对角优势，方程组都有唯一解，可用追赶法求得解),,1,0(n j m j L =，从而得到)(x S 。
三弯矩方程:三次样条插值函数)(x S 可以有多种表达方法，有时用二阶导数值j j M x S =′′)(),,1,0(n j L =表示使用更方便。
j M 在力学上解释为细梁在j x 截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称三弯矩方程。
由于)(x S 在区间],[1+j j x x 上是三次多项式，故)(x S ′′在],[1+j j x x 上是线性函数，可表示为jj j jj jh x x M h x x M x S −+−=′′++11)(.对)(x S ′′积分两次并利用j j y x S =)(及11)(++=j j y x S ，可定出积分常数，于是得 jj j jj jh x x M h x x M x S 6)(6)()(3131−+−=++j jjj j j j jj j h x x h M y h x x h M y −−+− −++++6621112 )1,,1,0(−=n j L对)(x S 求导得jj j jj jh x x M h x x M x S 2)(2)()(2121−+−−=′++j jj j jj h M M h y y 611−−−+++由此可求得.63)0(11jjj j j j j j h y y M h M h x S −+−−=+′++类似地可求出)(x S 在区间],[1+j j x x 上的表达式，从而得 ,36)0(11111−−−−−−++=−′j j j j j j j j h y y M h M h x S利用)0()0(−′=+′j j x S x S 可得),1,,2,1(211−==+++−n j d M M M j j j j j j L λµ其中j j λµ,由前面所示，而 ],,[6],[],[611111+−−−+=+−=j j j jj j j j j j x x x f h h x x f x x f d ，只要加上的任一种边界条件就可得到三弯矩j M 的方程组，例如边界条件1°，则得到端点方程为),],[(62010010f x x f h M M ′−=+ ]),[(62111n n n n n n x x f f h M M −−−−′=+. 若边界条件为2°，则端点方程为n n f M f M ′′=′′=,00.同样通过追赶法，可求出三弯矩方程的解),,1,0(n j M j L =，代入则得到三次插值样条函数)(x S 。
4.3三次样条插值
xj是qj(x)的m重根
q(ji ) ( x j ) p(ji)1 ( x j ) p(ji ) ( x j ) 0, i 0,1,...,m 1
q j ( x) c j ( x x j )m
光滑因子
p j ( x) p j 1 ( x) c j ( x x j )m
维数为n+3
利用两点三次Hermite插值公式, 设
s( xk ) mk (k 0,1,, n), hk xk 1 xk (k 0,1,, n 1)
当x∈[xk, xk+1]时，
x xk s x 1 2 hk x x k 1 x x k 1 x x k h yk 1 2 h k k hk
三对角 严格对角占优
2 1
1 2
1
2
2
2
n 1
2 n 1 1 2
m0 g 0 m g 1 1 m2 g 2 mn 1 g n 1 mn gn
n
s( x) pm ( x) c j ( x x j )m , x
j 1
m m Sm ( x1, x2 ,...,xn ) span {1, x,.., xm , ( x x1 )m , ( x x ) ,..., ( x x ) 2 n }
2 2 2
y k 1
2
x x k 1 x xk ( x x k ) h mk ( x x k 1 ) h k k
3.4三次样条插值
3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1
第5章-3三次样条插值解析
0 x
( x 3)3 ,
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
2( x 1)3 ,
3
x,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3 x 2 0 x 1 S ( x) 3 2 ax bx cx 1 1 x 2
是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a= 解：1）由 , b= , c=
p j ( x), x j x x j 1
p j ( x) Pm ( j 0,1,...,n)
pn ( x), xn x
s(x)是m次样条的充要条件应为 p0 ( x) a0 a1x am xm ,
பைடு நூலகம்
p1 ( x) p0 ( x) c1 ( x x1 )m ,
已知 f(x0)=f(xn) 确定的周期函数。
例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间[-1,1]上的
三次自然样条插值多项式。 解：这里n=2区间[-1,1]分成两个子区间，故设
S ( x)
且
s0 ( x) a0 x3 b0 x2 c0 x d0
1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个
边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比 分段Lagarnge插值更光滑。
2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有
插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处 二阶导函数一般不连续。
下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。 一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x) ，若用待定系数法， 可写成 S3 ( x) ai x3 bi x2 ci x di x xi , xi1 i 0, 1, , n 1 其中 ai, bi, ci, di 为待定系数，共有4n个。按定义s3(x)应满足： （1）插值条件n+1个： S ( xi ) yi i 0, 1, , n 连续性条件n-1个：S ( xi 0) S ( xi 0) i 0, 1, , n 1 （2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：
三次样条插值ppt
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值matlab代码实现
三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的数据点上拟合出一个光滑的曲线。
在Matlab中，可以使用内置的spline函数来实现三次样条插值。
以下是一个简单的示例代码：
matlab.
% 创建一些示例数据点。
x = 1:5;
y = [3 6 5 8 9];
% 使用spline函数进行三次样条插值。
xx = 1:0.1:5;
yy = spline(x, y, xx);
% 绘制原始数据点和插值结果。
plot(x, y, 'o', xx, yy, '-');
legend('原始数据', '插值结果');
在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y。
然后使用spline函数对这些数据点进行三次样条插值，得到了插值结果xx和yy。
最后，我们使用plot函数将原始数据点和插值结果进行了可视化展示。
需要注意的是，样条插值是一种较为复杂的数值计算方法，需要对输入数据进行适当的处理和理解。
在实际应用中，可能需要根据具体情况对插值方法进行调整和优化，以获得更好的结果。
希望这个简单的示例能够帮助你理解如何在Matlab中实现三次样条插值。
如果你有更多的问题或者需要进一步的解释，请随时告诉我。
B样条函数一到三次函数详细推导过程
B样条函数一到三次函数详细推导过程一次B样条函数推导过程：假设我们有n个数据点，用(xi,yi)表示第i个数据点的横坐标和纵坐标。
要构造一个一次B样条函数，我们需要定义n-1个分段线性函数。
首先，我们需要定义每个分段线性函数的控制点。
定义第i个分段线性函数的控制点为(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})。
然后，我们需要确定每个分段线性函数的定义域。
定义第i个分段线性函数的定义域为[x_i,x_{i+1}]。
对于任意一个数据点(xi, yi)，我们需要找到它所在的分段线性函数。
假设它在第i个分段线性函数中，则它的一次B样条函数表达式为：S(x)=(1-t)*y_i+t*y_{i+1}其中，t为插值点在当前分段线性函数中的位置，可以通过以下公式计算：t=(x-x_i)/(x_{i+1}-x_i)这样，我们就得到了一个一次B样条函数来插值数据点。
二次B样条函数推导过程：为了构造二次B样条函数，我们需要定义2n个分段二次函数。
每个分段二次函数由3个控制点构成。
先定义每个分段二次函数的控制点。
定义第i个分段二次函数的控制点为(x_{i-1},y_{i-1}),(x_i,y_i)和(x_{i+1},y_{i+1})。
然后，我们需要确定每个分段二次函数的定义域。
定义第i个分段二次函数的定义域为[x_{i-1},x_{i+1}]。
对于任意一个数据点(xi, yi)，我们需要找到它所在的分段二次函数。
假设它在第i个分段二次函数中，则它的二次B样条函数表达式为：S(x)=a_i+b_i*(x-x_i)+c_i*(x-x_i)^2其中，a_i、b_i和c_i分别为第i个分段二次函数的系数。
它们可以通过以下公式计算：a_i=y_{i-1}b_i=(y_i-y_{i-1})/(x_i-x_{i-1})-(y_{i+1}-y_i)/(x_{i+1}-x_i)c_i=(y_{i+1}-y_i)/(x_{i+1}-x_i)这样，我们就得到了一个二次B样条函数来插值数据点。
三次样条插指函数的研究的开题报告
三次样条插指函数的研究的开题报告一、选题背景与意义三次样条插值是数值分析中一个重要的插值方法，主要应用于数据分析和函数逼近。
三次样条插值基于一种非常灵活的方法，可以根据给定的离散数据点来生成一条光滑的曲线，在实际应用中非常广泛。
三次样条插值方法的学习和研究，不仅可以提高我们对数值分析理论的理解，还可以运用于实际问题的解决，尤其在科学与工程领域中十分实用。
因此，研究三次样条插值方法对于我们的学习和实际应用都非常重要。
二、研究目的本次研究的主要目的是：1.掌握三次样条插值方法的基本原理和计算方法；2.探究三次样条插值方法在实际问题中的应用场景及其优劣性；3.通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实现和计算。
三、研究内容1.三次样条插值函数的定义和性质2.三次样条插值函数的构造原理3.三次样条插值函数的计算方法4.三次样条插值函数的应用场景5.三次样条插值函数在MATLAB中的实现四、研究方法本研究主要采用文献研究法和实验计算法相结合的方法。
1.文献研究法：通过查阅相关文献，系统地学习和掌握三次样条插值的理论基础、构造原理与计算方法等方面的知识。
2.实验计算法：在掌握了理论知识的基础上，通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实际计算。
可以通过对实际数据的插值计算和比较，进一步验证三次样条插值方法的优劣性和适用性。
五、预期成果1.撰写一份详细的研究报告，介绍三次样条插值的原理、方法、应用场景和实现过程等方面的内容。
2.通过实际计算和比较，探讨三次样条插值方法的优劣性。
3.对三次样条插值方法的理论和实际应用进行总结和归纳。
六、实施进度时间完成内容第一周阅读相关文献，进行研究计划的制定、开题报告的撰写第二周学习三次样条插值方法的基本原理和计算方法第三周探究三次样条插值方法在实际问题中的应用场景及其优劣性第四周通过MATLAB等工具对三次样条插值方法进行实现和计算，收集实验数据第五周对实验数据进行分析和比较，并总结三次样条插值方法的特点和适用范围第六周撰写研究报告，准备汇报材料七、参考文献1. Burden, R. L., & Faires, J. D. (1985). Numerical Analysis (3rd ed.). Boston: Prindle, Weber & Schmidt.2. Gray, A. (2014). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3rd ed.). Boca Raton: CRC Press.3. 林冷.数值分析.上海：复旦大学出版社，2005.4. Yu, J., & Su, Y. (2017). Multistep collocation method for solving the fractional differential equation with Caputo derivative. Advances in Difference Equations, 2017(1), 1-13.。
三次样条插值例题解析
三次样条插值例题解析
三次样条插值是一种常用的插值方法，它能够通过一系列已知数据点来构建一条光滑的曲线。
在数值分析和计算机图形学中，三次样条插值常被用来逼近离散的数据点，从而实现曲线的平滑和连续。
在进行三次样条插值之前，我们首先需要了解什么是样条函数。
样条函数是由分段多项式构成的函数，每个分段多项式在相邻的数据点之间起作用。
对于三次样条插值，每个分段多项式是三次多项式，因此称为三次样条函数。
三次样条插值的基本思想是，通过已知的数据点，我们可以确定无穷个三次样条函数，然后根据一定的准则选择最合适的三次样条函数来近似原始数据。
具体的插值过程可以分为以下几个步骤：首先，假设我们有n个已知数据点。
我们需要在每个相邻的数据点之间构建一个三次样条函数。
接着，我们需要确定每个三次样条函数的系数，使得这些函数满足特定的插值条件。
一般来说，我们会采用自然边界条件或者固定边界条件来确定这些系数。
最后，我们可以通过求解一个线性方程组来确定每个分段多项式的系数。
三次样条插值的优点在于它能够在保持曲线平滑和连续的同时，尽可能地逼近原始数据点。
这使得三次样条插值在实际应用中非常有用，特别是在数据可视化和曲线拟合方面。
总结起来，三次样条插值是一种通过构建一系列三次样条函数来逼近已知数据点的方法。
它通过求解一个线性方程组来确定每个分段多项式的系数，从而实现曲线的平滑和连续。
三次样条插值在实际应用中具有广泛的应用价值，是一种非常有效的插值方法。
2.3 三次样条插值
( xi , f ( xi )),(i = 0,1,L, n)且 a = x0 < x1 <L< xn = b ; ， f ( x ) 于 [a , b] 存在 （ (2)给定边界条件 (a) 或（b）或（c）） 则 ) （ 唯一3 唯一3次样条插值函数 S ( x ),且满足 (a) 或（b）或（c））。
(2.42)
个条件,要唯一确定 还必须附加2 共有 4n − 2个条件 要唯一确定 S(x) ,还必须附加2个条件 还必须附加 (边界条件)。 边界条件) ③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是: 个条件， 附加 个条件 有多种给法.最常见的给法是: (a) S ′′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = M 0 , S ′′ ( xn ) = f ′′ ( xn ) = M n , (2.44) （简支边界，导致三弯矩关系式, M 关系式）, 简支边界，导致三弯矩关系式, 关系式） 三弯矩关系式 特别地, 特别地, M 0 = M n = 0,(自然边界,三次自然样条); 自然边界,三次自然样条); (b) S ′ ( x ) = f ′ ( x ) = m , S ′ ( x ) = f ′ ( x ) = m , (2.45)
S ′′ ( x i ) = M i ( i = 0 , 1, L , n )
i
表示时，使用更方便。 M 表示时，使用更方便。
在力学上解释为细梁
处的弯矩， 在 x i 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩 有关， 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 有关，故称用 M 表示 S ( x ) 的算法为三弯矩算法。
第二章 插值与拟合
§2.3 三次样条插值
2.3.1 三次样条插值函数的概念 2.3.2 三弯矩算法 2.3.3 三转角算法 2. 3. 4 三次样条插值函数的误差估计 总结
三次样条函数的构造方法
s
″(x j -
0
)
=
2h
j
1 -
1
(
-
3f [x j- 1
, x j ] + m j- 1 + 2m j)
(7 )
由样条函数的二阶导数连续性知s ″(x j + 0 ) = s ″(x j - 0 ) , 化简并整理可得
若记
h
hj j+h
j-
1
m j-
1
+ 2mj+
h
h j- 1 j + h j-
s
″(x 0 )
=
2h
0
1
(3f
[x0
, x1 ] -
2m0 -
m1) = f
0″
化简得
2m0 + m1 = d0 = 3f [x0 , x1 ] -
1 2
h 0f
0″
同理由 (7 )式知
s
″(x n )
=
2hn-
-
1 1
(-
3f [x n- 1
, x n ] + mn- 1 + 2m n ) = f
h j- 1 hj + hj-
Mj-
1
1
+ 2M j +
hj hj + hj-
Mj+ 1
1
=6
f [x j
, x j+ 1 ] - f [x j- 1 hj + hj- 1
,
xj ]
即λj M j - 1 + 2M j +μj M j + 1 = d j = 6f [x j - 1 , x j , x j + 1 ]