2020年福建省宁德高二(下)期中数学试卷解析版
21. 已知函数
，（a，b∈R）在 x=2 处取得极小值 ．
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；
第 3 页，共 12 页
（Ⅱ）若
对 x∈[-4，3]恒成立，求实数 m 的取值范围．
22. 已知函数 f（x）=lnx-ax2-（1-2a）x（a＞0）． （1）若∃x＞0，使得不等式 f（x）＞6a2-4a 成立，求实数 a 的取值范围． （2）设函数 y=f（x）图象上任意不同的两点为 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为 C（x0，y0），记直线 AB 的斜率为 k，证明：k＞f′（x0）．
围成，则其面积为______．
16. 观察下列等式：
1=1
13=1
1+2=3
13+23=9
1+2+3=6
13+23+33=36
1+2+3+4=10
13+23+33+43=100
1+2+3+4+5=15
13+23+33+43+53=225
…
可以推测：13+23+33+…+n3=______．（n∈N*，用含有 n 的代数式表示）
3.【答案】A
【解析】解：方法一：（归纳猜想法） 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， 因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项，公差是 4 的等差数列的第 n 项”． 故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2 方法二：（特殊值代入排除法） 或由图可知，当 n=1 时，a1=6，可排除 B 答案 当 n=2 时，a2=10，可排除 CD 答案． 故选：A． 本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图 形序号 n 之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题． 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 复数 z=i（2-i），则|z|=______． 14. 直线 l 是曲线 y=x3+x-2 在点（0，-2）处的切线，求直线 l 的倾斜角______．
15. 如图阴影部分是由曲线 y= ，y2=x 与直线 x=2，y=0
8. 观察数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第 100 项为（ ）
第 1 页，共 12 页
A. 10
B. 14
C. 13
D. 100
9. 若关于 x 的方程 x3-3x-m=0 在[0，2]上有根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. [-2，2]
B. [0，2]
C. [-2，0]
（x）＜x+1 的 x 的集合为（ ）
A. {x|-1＜x＜1} C. {x|x＜-1 或 x＞1}
B. {x|x＜1} D. {x|x＞1}
12. 已知函数 f（x）=
（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象
在点 A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数 a 的取值范围 是（ ）
A.
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
7. 用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么 a、b
、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A. 假设 a、b、c 都是偶数
B. 假设 a、b、c 都不是偶数
C. 假设 a、b、c 至多有一个偶数
D. 假设 a、b、c 至多有两个偶数
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知复数 z= ，则 z=（ ）
A. 4+3i
B. 4-3i
C. -i
D. i
2. 若大前提是：任何实数的平方都大于 0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这
个演绎推理出错在（ ）
A. 大前提
B. 小前提
fn（x）=f′n-1（x），则 f2019（x）等于（ ）
A. sinx
B. -sinx
C. cosx
5. 函数 f（x）=2x2-lnx 的单调递增区间为（ ）
A.
B.
D. -cosx
C.
D.
6. 已知函数 f（x）的导函数 f′（x）=a（x+b）2+c 的图象如图所示 ，则函数 f（x）的图象可能是（ ）
D. （-∞，-2）∪（2，+∞）
10. 等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数 f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则 f′（
0）=（ ）
A. 26
B. 29
C. 212
D. 215
11. 定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（1）=1，且 f（x）的导函数 f′（x）＞ ，则满足 2f
19. 设 f（x）=a（x-5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线 与 y 轴相交于点（0，6）． （1）确定 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值．
20. 已知椭圆具有如下性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭 圆上的任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时，则 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值．试写出双曲线 =1（a＞0，b＞0）具有的类似 的性质，并加以证明．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
第 2 页，共 12 页
17. m 为何实数时，复数 z=（2+i）m2-3（i+1）m-2（1-i）是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．
18. 已知曲线 C：y=x2-x+2， （1）求曲线 C 在点（1，2）处的切线方程， （2）求过点（2，3）且与曲线 C 相切的直线的方程．
第 4 页，共 12 页
1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：z= =
，
故选：C． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵任何实数的平方大于 0，因为 a 是实数，所以 a2＞0， 其中大前提是：任何实数的平方大于 0 是不正确的， 故选：A． 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否 都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确． 本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所 学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．
C. 推理过程
D. 没有出错
3. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有
白色地面砖的块数是（ ）
A. 4n+2
B. 4n-2
C. 2n+4
D. 3n+3
4. 已知 f1（x）=cosx，f2（x）=f （x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，
福建省宁德市部分一级达标中学2020-2021学年高二下学期期中联考数学(文)试题
故选A．
【点睛】
本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．B
【解析】
【分析】
先求导数，再解不等式得结果.
【详解】
，令 ，解得： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据猜测分类讨论确定冠军取法.
A．甲B．丁或戊C．乙D．丙
9．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．用长为 的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为 ），要求长方体的长与宽之比为 ，则该长方体最大体积是（）
A．24B．15C．12D．6
11．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
16．已知函数 ，其中 是自然对数的底数．若 ，则实数 的取值范围是______．
三、解答题
17．在极坐标系下，已知圆 ： 和直线 ： .
（Ⅰ）求圆 的直角坐标方程和线 的极坐标方程；
（Ⅱ）求圆 上的点到直线 的最短距离．
18．（Ⅰ）已知 ，复数 是纯虚数，求 的值；
（Ⅱ）已知复数 满足方程 ，求 及 的值．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.
9．A
【分析】
利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解．
【详解】
函数y= 的导数为 ，
令y′=0，得x= ，
时，y′＜0， 时，y′＞0， 时，y′＜0．
∴函数在（﹣ ），（ ）递减，在（ ）递增．
福建省2020年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷(新版)
福建省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·湖州期末) 若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）.A .B .C .D .2. （2分）给出下列四个命题，其中正确的一个是（）A . 在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B . 相关系数r=0.852，接近1，表明两个变量的线性相关性很差C . 相关指数R2用来刻画回归效果，R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D . 相关指数R2用来刻画回归效果，R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好3. （2分） (2016高二下·新洲期末) 已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A . μ1＜μ2=μ3 ，σ1=σ2＞σ3B . μ1＞μ2=μ3 ，σ1=σ2＜σ3C . μ1=μ2＜μ3 ，σ1＜σ2=σ3D . μ1＜μ2=μ3 ，σ1=σ2＜σ34. （2分）已知一段演绎推理：“因为指数函数y=ax是增函数，而y=是指数函数，所以y=是增函数”，则这段推理的（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 结论正确D . 推理形式错误5. （2分） (2019高二下·太原月考) 一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则等于A .B .C .D .6. （2分） (2020高二下·栖霞月考) 的展开式中的系数是（）A . －4B . －2C . 2D . 47. （2分） (2019高三上·株洲月考) 在中，，，，在上任取一点D，使为钝角三角形的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·荆州模拟) 设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数没有极值点的概率是（）A . 0.2B . 0.3C . 0.7D . 0.89. （2分） (2019高三上·海淀月考) 某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得分,负者得分,平局两人各得分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为（）A .B .C .D .10. （2分）若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=（）X01PA . 2B . 2或C .D . 111. （2分） (2016高一下·湖南期中) 在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 若 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值是（）A . 1B . ﹣1C . 0D . 2二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2020高二下·钦州期中) 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为________．14. （1分） (2017高二下·夏县期末) 某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________15. （2分） (2019高二下·台州期末) 若 ( 为常数)展开式中的所有项系数和为1024，则实数的值为________，展开式中的常数项为________ .16. （1分） (2018高二下·济宁期中) 如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：________．三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分） (2020高二下·静安期末)（1）设m、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明： .18. （10分） (2020高二下·栖霞月考) 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.（1）共有几种放法？（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？19. （15分） (2019高三上·成都月考) 某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码分别对应2018年月至2019年1月）.（参考数据），，，，，， .（参考公式） .（1）试估计该市市民的购房面积的中位数；（2）从该市2018年1月至2019年1月期间所有购买二手房中的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为，求的数学期望；（3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值如下表所示：0.0005910.0001640.006050请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）20. （15分） (2018高三上·西安模拟) 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？生产能手非生产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828附：21. （10分）学业水平考试（满分为100分）中，成绩在[80，100]为A等，在[60，80）为B等，在[40，60）为C等，不到40分为D等．某校高二年级共有1200名学生，其中男生720名，女生480名，该校组织了一次物理学业水平模拟考试．为研究这次物理考试成绩为A等是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取100名学生的成绩，按从低到高分成[30，40），[40，50），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．附：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828（1）估计该校高二年级学生在物理学业水平考试中，成绩为D等的人数；（2）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中物理成绩为A等与性别有关”？物理成绩为A等物理成绩不为A等合计男生a=14b=女生c=d=合计n=100K2= ，22. （15分）(2019·天津模拟) 甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中目标的概率为，乙每次投中目标的概率为，假设两人投篮是否投中相互之间没有影响，每次投篮是否投中相互之间也没有影响．（1）求甲至少有一次未投中目标的概率；（2）记甲投中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（3）求甲恰好比乙多投中目标2次的概率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共75分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
福建省宁德市高中同心顺联盟校2020-2021学年高二下学期期中考试数学细目
1
2020-2021学年宁德市“同心顺”第二学期期中联合考试细目(高二数
学)
题号 题型 知识点 学习水平 难度
1 单选 复数乘法运算与几何意义 理解运用 易
2 单选 导数概念及运算 理解运用 易
3 单选 复数概念 理解运用 易
4 单选 导数图像运用 理解运用 易
5 单选 排列组合的应用 理解运用 易
6 单选 利用导数研究函数求单调性 理解运用 易
7 单选 导数研究切线方程 理解运用 较易
8 单选 利用导数研究函数判断单调性 理解运用 中
9 多选 复数的运算方程的根几何意义 推理能力 易
10 多选 排列组合涉及分步分类计数原理 推理能力 易
11 多选 导数与函数性质及零点判定 综合应用 中
12 多选 导数研究函数的单调性的应用 转化及计算 中
13 单空 复数相等 理解运用 易
14 单空 复合函数求导 运算求解 易
15 单空 排列组合的应用 理解运用 中
16 双空 导数及新定义研究性质 转化思想 中
17 解答 排列组合的运算 理解运用 易
18 解答 复数运算 理解运用 易
19 解答 函数的极值及最值运算 理解运用 易
20 解答 导数应用 综合运用 中
21 解答 排列组合的应用 综合运用 中
22 解答 研究函数单调性及不等式恒成立 分类讨论 难
2
福建省2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文
福建省福清市龙西中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是A3．用演绎法证明函数3y x =是增函数时的小前提是A ．增函数的定义B ．函数3y x =满足增函数的定义C ．若12x x <，则12()()f x f x < D ．若12x x >，则12()()f x f x >4. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（ ）A ．,sin 1x R x ∃∈≥B ．,sin 1x R x ∀∈≥C ．,sin 1x R x ∃∈>D ．,sin 1x R x ∀∈>5. 设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UPC Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 6. “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度； C.假设三内角至多有一个大于60度； D.假设三内角至多有两个大于60度。
2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)_2
2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式（是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题, ,因为.故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题.4.函数的单调减区间为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可．【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．5.函数在区间上（）.A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为函数，；；当且仅当即时等号成立；函数在区间上有最大值：，无最小值．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数在处有极大值，则常数c的值为（）.A. 1或3B. 3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．【详解】解：函数，它导数为，由题意知，在处的导数值为，，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数，右侧为正数．故．故选：B．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分.9.对于复数，下列结论错误的是（）.A. 若，则为纯虚数B. 若，则C. 若，则为实数D. 纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．10.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值．【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选：BC．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（）.A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义，一一验证可得．【详解】解：对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则，又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为，，令，，则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成立，即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算____.【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数，那么的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．15.函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得在上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，，，，结合函数存在正的零点，可得的范围．【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；时，时，，，故函数存在正的零点，满足条件；当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，，故不存在，使得；当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知，复数.（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为，所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数且（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数（，为虚数单位）.（1）若且是纯虚数，求实数的值；（2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数，得，解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心，半径为的圆，可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区间为；减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（），再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为所以，又因为在点处的切线斜率为，所以，即，解得（2）因为在处取得极值，所以，即，解得，所以（），令，即，解得，当，；当且，；当，，所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.（1）试求观光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.【答案】（1）（2）平方千米【解析】【分析】（1）求出，分别求出，，从而求出的表达式，求出的最大值即可；（2）求出的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】解：（1）由题意可知，在中，，在中，，则，又因，所以当时，，此时，故的最长值为；（2）在中，，由（1）得，则则，令即，解得，当单调递增；当单调递减，所以为函数的极大值，又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值.，所以草坪面积最大值平方千米.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题．22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：在上恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论计算可得；（2）令，求出函数的导函数，再令，说明函数的单调性，从而得到函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）因为，定义域为，所以当时，增区间为；当时，令解得，令，解得函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）令则令，则，又函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得且时，；时，即时，；时，函数在上单调递减，在上单调递增，而，即两边取对数得，故在上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题.2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式（是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题, ,因为.故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题.4.函数的单调减区间为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可．【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．5.函数在区间上（）.A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为函数，；；当且仅当即时等号成立；函数在区间上有最大值：，无最小值．故选：A．【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题．6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数在处有极大值，则常数c的值为（）.A. 1或3B. 3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．【详解】解：函数，它导数为，由题意知，在处的导数值为，，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数，右侧为正数．故．故选：B．【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题．8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分.9.对于复数，下列结论错误的是（）.A. 若，则为纯虚数B. 若，则C. 若，则为实数D. 纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．10.直线能作为下列（）函数的图像的切线.A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可．【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题．11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值．【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选：BC．【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题．12.若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（）.A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义，一一验证可得．【详解】解：对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则，又，，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为，，令，，则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成立，即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算____.【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数，那么的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．15.函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依题意可得在上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，，，，结合函数存在正的零点，可得的范围．【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；时，时，，，故函数存在正的零点，满足条件；当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，，故不存在，使得；当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知，复数.（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可；（2）首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为，所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．18.已知函数且（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数（，为虚数单位）.（1）若且是纯虚数，求实数的值；（2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数，得，解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心，半径为的圆，可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区间为；减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（），再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为所以，又因为在点处的切线斜率为，所以，即，解得（2）因为在处取得极值，所以，即，解得，所以（），令，即，解得，当，；当且，；当，，所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切。
学2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.若集合,集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.若复数z满足（i为虚数单位，），且的虚部为，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算化简，根据的虚部为，即可求得.【详解】根据的虚部为，故可得：故选：B.【点睛】本题主要考查了复数除法运算和求复数的共轭，解题关键是掌握复数除法运算的方法和共轭复数概念，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程得，解得，故选C.4.已知圆A:x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C,则曲线C的方程为（）A. +=1B. +=1C +=1 D. +=1【答案】A【解析】【分析】本题直接利用伸缩变换，得到坐标的变化关系，再通过代入法求出所得曲线的方程．【详解】在圆A：x2+y2=1上任取一点P（x，y），在伸缩变换作用后，得到曲线C上对应的点坐标为P′（x′，y′）．∵伸缩变换，∴∵x2+y2=1，∴=1．即所得曲线的方程为：=1．故选A．【点睛】本题考查了曲线的伸缩变换，可以用代数的角度去研究，也可以通过几何角度去研究，难度不大，属于基础题．5.已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意或，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意或或，由“或”不能推出“”；由“”可推出“或”；故是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.6.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“1”的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.【详解】圆的圆心是：，因为直线始终平分圆的圆周，所以圆心在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为：.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A. 由，，，…猜想B. 半径为的圆的面积，单位圆的面积C. 猜想数列，，，…的通项为D. 由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为【答案】B【解析】【分析】根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A. 是由特殊到一般，是归纳推理.B. 是由一般到特殊，是演绎推理.C. 是由特殊到一般，是归纳推理.D. 是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.8.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数、、的大小关系．【详解】由于函数在上增函数，，则，由基本不等式可得，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题．9.函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三个数的均值不等式求解．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：A．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，特别要注意等号成立的条件是否满足．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（）A. B. 3 C. 6 D.【答案】A【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.11.对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先确定，计算和，然后由新定义得结论．【详解】由题意，，则，，∴或．故选：C．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．12.设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：函数在上单调递增，所以的值域为，对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．详解：函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故选D.点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝______．【答案】3【解析】试题分析：，考点：本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力.点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低.14.对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______.【答案】【分析】已知中的函数值可转化为：，，，，，进而可归纳出的解析式.【详解】，，，，可化为，，，，，可归纳出：.故答案为：【点睛】本题考查了合情推理，考查了学生的归纳推理能力，属于基础题.15.已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_____.【答案】【分析】根据曲线参数方程为（为参数），将曲线先化为普通方程，再利用的几何意义即可求出其范围.【详解】曲线的参数方程为（为参数），，，将两个方程平方相加，，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆.又的几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率，画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为：联立与圆的方程：，消掉可得直线与圆相切，可得，解得当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是，的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．16.已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知复数，．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程可求得值．【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应点，在直线上，则，解得．【点睛】本题考查复数的分类，考查复数的几何意义，属于基础题．18.已知：，，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意知，q是真命题等价于方程有实根，利用判别式即可求解；（2）由题意知，分别求出p、为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为为真命题，所以方程有实根，所以判别式，所以实数m的取值范围为.（2）可化为，若为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，，由（1）知，若为真命题，则，又为真，故p、均为真命题，所以实数m需满足，解得，所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19.已知，（1）解不等式；（2）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将去绝对值后写为分段函数的形式，然后根据，分别解不等式即可；（2）存在实数解，则，根据（1）求出的最小值，然后代入不等式中求出的范围．【详解】解：（1），，或，或，不等式的解集为；（2）由（1）知，存在实数解，，即，，的取值范围为．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式有解问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．20.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C 交于两点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求．【答案】（1）直线l的方程为y＝x+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．（Ⅱ）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数．（1）若，用分析法证明：；（2）若，，且，求证：与中至少有一个大于．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）要证，只需证，通分作差比较即可（2）假设，，得，，变形为，，两式相加推得矛盾即可证明【详解】（1）要证，只需证，即证，即证，即证，显然成立，所以．（2）假设，，即，，所以，，上述两式相加可得，这与矛盾，所以假设不成立，故与中至少有一个大于．【点睛】本题考查分析法证明及反证法证明不等式，考查推理能力，是中档题22.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）适宜；（2）；（3）①576.6，,6.32；②【解析】【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，进而可得到y关于x的回归方程.（3）①由（2），可求出时，年销售量y的预报值，再结合年利润，计算即可；②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，，所以y关于w线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为.（3）①由（2）知，当时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值.②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值，当时，即当时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.若集合,集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2.若复数z满足（i为虚数单位，），且的虚部为，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算化简，根据的虚部为，即可求得.【详解】根据的虚部为，故可得：故选：B.【点睛】本题主要考查了复数除法运算和求复数的共轭，解题关键是掌握复数除法运算的方法和共轭复数概念，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以样本中心点的坐标为，代入回归直线方程得，解得，故选C.4.已知圆A:x2+y2=1在伸缩变换的作用下变成曲线C,则曲线C的方程为（）A. +=1B. +=1C+=1 D. +=1【答案】A【解析】【分析】本题直接利用伸缩变换，得到坐标的变化关系，再通过代入法求出所得曲线的方程．【详解】在圆A：x2+y2=1上任取一点P（x，y），在伸缩变换作用后，得到曲线C上对应的点坐标为P′（x′，y′）．∵伸缩变换，∴∵x2+y2=1，∴=1．即所得曲线的方程为：=1．故选A．【点睛】本题考查了曲线的伸缩变换，可以用代数的角度去研究，也可以通过几何角度去研究，难度不大，属于基础题．5.已知，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意或，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意或或，由“或”不能推出“”；由“”可推出“或”；故是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.6.若直线始终平分圆的圆周，则的最小值为（）A. B. C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据直线始终平分圆的圆周，则圆心在直线上，则有，再利用“1”的代换，转化为，然后利用基本不等式求解.【详解】圆的圆心是：，因为直线始终平分圆的圆周，所以圆心在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时，取等号.所以的最小值为：.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A. 由，，，…猜想B. 半径为的圆的面积，单位圆的面积C. 猜想数列，，，…的通项为D. 由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为【答案】B【解析】【分析】根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A. 是由特殊到一般，是归纳推理.B. 是由一般到特殊，是演绎推理.C. 是由特殊到一般，是归纳推理.D. 是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.8.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数、、的大小关系．【详解】由于函数在上增函数，，则，由基本不等式可得，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，在利用基本不等式比较各数的大小关系时，要注意“一正、二定、三相等”这些条件的应用，考查推理能力，属于中等题．9.函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三个数的均值不等式求解．【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：A．【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题关键是凑配出定值，特别要注意等号成立的条件是否满足．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（）A. B. 3 C. 6 D.【答案】A【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.11.对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先确定，计算和，然后由新定义得结论．【详解】由题意，，则，，∴或．故选：C．【点睛】本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．12.设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：函数在上单调递增，所以的值域为，对分类讨论，求出在的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．详解：函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值范围为.故选D.点睛：本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A B，则实数 m＝______．【答案】3【解析】试题分析：，考点：本小题主要考查集合的关系，考查学生的逻辑推理能力.点评：集合的关系是常考的内容，但难度一般较低.14.对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______.【答案】【解析】【分析】已知中的函数值可转化为：，，，，，进而可归纳出的解析式.【详解】，，，，可化为，，，，，可归纳出：.故答案为：【点睛】本题考查了合情推理，考查了学生的归纳推理能力，属于基础题.15.已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】根据曲线参数方程为（为参数），将曲线先化为普通方程，再利用的几何意义即可求出其范围.【详解】曲线的参数方程为（为参数），，，将两个方程平方相加，，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆.又的几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率，画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为：联立与圆的方程：，消掉可得直线与圆相切，可得，解得当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是，的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．16.已知实数满足则的最大值为________.【答案】【解析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知复数，．（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）写出复数对应点的坐标，代入直线方程可求得值．【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应点，在直线上，则，解得．【点睛】本题考查复数的分类，考查复数的几何意义，属于基础题．18.已知：，，（1）若q是真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，q是真命题等价于方程有实根，利用判别式即可求解；（2）由题意知，分别求出p、为真命题时实数m的取值范围，然后再取交集即可.【详解】（1）因为为真命题，所以方程有实根，所以判别式，所以实数m的取值范围为.（2）可化为，若为真命题，则对任意的恒成立，当时，不等式可化为，显然不恒成立；当时，有，，由（1）知，若为真命题，则，又为真，故p、均为真命题，所以实数m需满足，解得，所以实数m的取值范围为.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.19.已知，（1）解不等式；（2）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（2）存在实数解，则，根据（1）求出的最小值，然后代入不等式中求出的范围．【详解】解：（1），，或，或，不等式的解集为；（2）由（1）知，存在实数解，，即，，的取值范围为．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式和不等式有解问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．20.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C交于两点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求．【答案】（1）直线l的方程为y＝x+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】【分析】线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．（Ⅱ）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21.已知函数．（1）若，用分析法证明：；（2）若，，且，求证：与中至少有一个大于．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）要证，只需证，通分作差比较即可（2）假设，，得，，变形为，，两式相加推得矛盾即可证明【详解】（1）要证，只需证，即证，即证，即证，显然成立，所以．（2）假设，，即，，所以，，上述两式相加可得，这与矛盾，所以假设不成立，故与中至少有一个大于．【点睛】本题考查分析法证明及反证法证明不等式，考查推理能力，是中档题22.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【答案】（1）适宜；（2）；（3）①576.6，,6.32；②【解析】【分析】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令，先建立y 关于w 的线性回归方程，进而可得到y 关于x 的回归方程.（3）①由（2），可求出时，年销售量y的预报值，再结合年利润，计算即可；②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，。
2020年福建省宁德市数学高二(下)期末复习检测试题含解析
2020年福建省宁德市数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论：①样本中的女生更倾向于选历史；②样本中的男生更倾向于选物理；③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量.根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少，【详解】由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确，故选：B.【点睛】本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别．2．已知点P在椭圆221123x y+=上，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，1PF的中点在y轴上，则12||||PFPF等于（）A．7B．5C．4D．3【答案】A【解析】由题意可得212PF F F ⊥，设P 2(,)bc a，且3a b c ===，所以12PF PF =222b a a b a-=222224373a b b --==，选A. 【点睛】若1(,0)F c -，2F (,0)c 是椭圆的左、右焦点，且212PF F F ⊥，则点P 的坐标为2(,)b c a±．3．计算：20182019C =（ ）A ．2018B ．2019C ．4037D ．1【答案】B 【解析】 【分析】直接利用组合数公式求解即可． 【详解】由组合数公式可得201820192019!20192018!1!C ==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．4．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC AB AC BC =====，点Q 为ABC ∆ 所在平面内的动点，若PQ 与PA 所成角为定值θ，π(0,)4θ∈，则动点Q 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出Q 轨迹方程，可得其轨迹. 【详解】由题，三棱锥P ABC -为正三棱锥，顶点P 在底面ABC 的射影O 是底面三角形ABC 的中心，则以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得1OA OP ==，设Q 为平面ABC 内任 一点，则()()()()()1,0,0,0,0,1,,,0,1,0,1,,,1A P Q x y PA PQ x y =-=-u u u v u u u v，由题PQ 与PA 所成角为定值θ，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则, 22cos 21PA PQ PA PQ x y θ⋅==⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 则()()22222cos11x y x θ++=+ ，化简得222cos22cos 2cos20x y x θθθ⋅+⋅-+= ，ππ0,,20,,cos 20,42θθθ⎛⎫⎛⎫∈∴∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 故动点Q 的轨迹是椭圆.选B 【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.5．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且 1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则 2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．232D ．92【答案】B 【解析】 【分析】由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得2163n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13 成等比数列， ∴（1+2d ）2＝1+12d ． 得d ＝2或d ＝0（舍去），∴a n ＝2n ﹣1， ∴S n ()1212n n +-==n 2，∴2216216322n n S n a n ++=++．令t ＝n+1，则2163n n S a +=+t 9t+-2≥6﹣2＝1当且仅当t ＝3，即n ＝2时，∴2163n n S a ++的最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ．2B ．3C ．52D ．72【答案】C 【解析】由题意得，111121a S k k -==+=+，21221211a S S k k -=-=+--=，3121332222a S S k k --=-=+--=，则()121k +⨯=，解得12k =-，则()321212f x x x x =+-+，()232f x x x '=+-，令()0f x '=，解得122,13x x ==-，当(),1x ∈-∞-时，()f x 为增函数；21,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x 为减函数；2,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()f x 为增函数，所以函数的极大值为()()()()321511121122f -=-+⨯--⨯-+=，故选C.点睛：此题主要考查了等比数列前n 项和、函数极值的求解等有关方面的知识，及幂运算等运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在首先根据等比数列前n 项和公式求出参数k 的值，再利用导数方法，求出函数()f x 的极值点，通过判断极值点两侧的单调性求出极大值点，从而求出函数的极大值. 7．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B 【解析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++-Q 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选C.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题． 8．若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ）A ．()11,2,32⎛⎫--⎪⎝⎭U B ．()2,3 C ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】D 【解析】分析：先解绝对值不等式得集合A ，再解分式不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果. 详解：因为213x -<，所以3213,12x x -<-<-<< 因为2103x x +<-，所以12x <-或x>3, 因此11,2A B ⎛⎫⋂=-- ⎪⎝⎭， 选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．9．若函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先得到101k k -=⇒=，()xxf x a a-=-，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】因为函数()(0x xf x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上是奇函数，所以(0)0f =所以，101k k -=⇒=，()x xf x a a -=-又因为函数()xxf x a a-=-在(,)-∞+∞上是增函数，所以，1a >所以()()log (1),1a g x x a =+>，它的图象可以看作是由函数log a y x =向左平移一个单位得到，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型. 10．已知函数()()ln af x x a R x=+∈有两个不相同的零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得()2'x af x x-=，当0a ≤时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当0a >时，()f a 为最小值，函数在定义域上有两个零点，则()1ln 0f a a =+<，即10a e<<，又()10f a =>，则()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点，由210ea a <<<，那么()212ln f a a a =+，构造新函数()12ln g a a a =+1(0)a e<<，求导可得g(a)单调性，再由()()220g a f a e ==->，即可确定f(x)在()0,a 上有一个零点，则a 的范围可知．【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x af x x-=. ①当0a ≤时，()'0f x >成立，所以函数()f x 在()0,∞+为上增函数，不合题意； ②当0a x <<时，()'0f x >，所以函数()f x 在(),a +∞上为增函数； 当0x a <<时，()'0f x <，所以函数()f x 在()0,a 上为减函数. 此时()f x 的最小值为()f a ，依题意知()1ln 0f a a =+<，解得10a e<<. 由于1a >，()10f a =>，函数()f x 在(),a +∞上为增函数，所以函数()f x 在(),a +∞上有唯一的一个零点.又因为10a e <<，所以210ea a <<<. ()2211ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln g a a a =+，当10a e <<时，()2212210'a a a ag a -=-+=<，所以()()2112ln 20f ag a a g e e a ⎛⎫==+>=-> ⎪⎝⎭. 又()0f a <，函数()f x 在()0,a 上为减函数，且函数()f x 的图象在()2,a a 上不间断，所以函数()f x 在()0,a 上有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a 的范围，题中()f a 为()f x 的最小值且()0f a <，解得10a e<<，()10f >，先运用零点定理确定点a 右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a 左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性． 11．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限，即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案.由题意，()()()251111111ii iz ii i i i---====-+++-，所以z的虚部是1-.故选：B【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【解析】【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．故答案为：乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ .【答案】1【解析】【分析】先根据侧面展开是面积为2π的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解. 【详解】设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是半径为l ，面积为2π的半圆面， 所以2122l ππ=，解得2l =，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长， 所以2r l ππ=， 故圆锥的底面半径12lr ==. 【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.15．在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________. 【答案】111(,)(,1)322⋃ 【解析】分析：椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，要注意分情况讨论详解：椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-，即222a a c >-，解得12e > 又因为1e <，所以112e <<当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-解得：1132e << 综上112e <<或1132e <<点睛：圆锥曲线中离心率范围问题是一个难点，在分析时要根据条件找到a 和c 之间的不等关系，有时可能要利用基本不等式、正余弦定理等其他知识综合分析. 16．定义在上的偶函数满足，当时，，则函数在上的零点个数为__个．（其中为自然对数的底数，…）【答案】4 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性画出函数图像，由两个函数图像交点个数，确定零点个数. 【详解】 由可知函数是周期为的周期函数，而函数为偶函数，函数图像结合时,的图像，可画出上的图像，进而画出函数的图像.令，则，画出两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数有四个公共点，故有个零点.另，当时，，其斜率为.令，解得，代入得，过函数在点处的切线方程为，即，即函数与在点处相切于点.故答案为4【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响。
2020-2021学年福建省福州一中高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={2,3，5}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，A∩B={3}，则A∪B=()A. {2,3，4}B. {1,2，3，4，5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为()A. 38B. 27C. 28D. 373.已知三个正态分布密度函数ϕi (x)=1√2πσie−(x−μi)22σi2(x∈R,i=1,2，3)的图象如图所示，则()A. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3C. μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3D. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ34.甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到不同社区的不同安排方案共有()A. 6种B. 18种C. 36种D. 72种5.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：x01234y2 4.2 4.5 4.6m且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=()A. 5.6B. 5.3C. 5.0D. 4.76.某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁4名员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为()A. 313B. 27C. 14D. 157. 某单位订阅了30份《光明日报》发给3个部门，每个部门至少发放9份报纸，问一共有多少种不同的发放方法( )A. 7B. 9C. 10D. 128. 函数f(x)满足：12e x f(x)+e x f′(x)=√x ，f(12)=√2e，则当x >0时，f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，也无极小值二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N(u,σ2)，则P(μ−σ<ξ<u +σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(u −3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974A. 该市学生数学成绩的期望为100B. 该市学生数学成绩的标准差为100C. 该市学生数学成绩及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等10. 若(x 2+1ax )6的展开式中，x 3的系数是−160，则( )A. a =−12B. 所有项系数之和为1C. 二项式系数之和为64D. 常数项为−32011. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B ，C ，D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点个数，则( )A. 该游客至多游览一个景点的概率为14 B. P(X =2)=38 C. P(X =4)=124 D. E(X)=13612. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行．私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(38,72)，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(44,22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度出发，下列说法中合理的有( ) 参考数据：若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z ≤μ+σ)=0.6826， P(μ−2σ<Z ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z ≤μ+3σ)=0.9974A. 若8：00出门，则开私家车不会迟到B. 若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C. 若8：06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大D. 若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若X ～B(3,25)，则DX =______．14. 若函数f(x)=4x 2−kx −8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是______ ． 15. 已知(√x −2√x 4)n 的展开式中的二项式系数之和为256.则展开式中含x 项为______．16. 记a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的排列的个数共有______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； (2)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．18. 福州市风景秀丽，是著名的旅游城市，很多人慕名而来旅游，牛角梳是我市的著名土特产，在我市重要景点三坊七巷有一家牛角梳店，通过在店面随机询问60名购买牛角梳的游客之前是否知道牛角梳是本市特产，得到如下列联表：(1)由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买牛角梳和是否事先知道牛角梳为本市特产有关系？(2)从被询问的24名事先知道牛角梳为本市特产的顾客中随机选取2名顾客，求抽到的女顾客人数的分布列及其数学期望．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)x2(k>−1)．19.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+k+12(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．20.射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康．某私人靶场为了吸引游客前来练习射击，对近8年的宣传费x i和年利润y i=1，2，…，8的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x−y −w−∑(8i=1x i−x−)2∑(8i=1w i−w−)2∑(8i=1x i−x−)(y i−y−)∑(8i=1w i−w−)(y i−y−)46.6563 6.8289.8 1.61469108.8参考公式：{b̂=∑(ni=1x i−x−)(y i−y−)∑(ni=1x i−x−)2=∑x ini=1y i−nx−y−∑x i2ni=1−nx−2â=y−−b̂x−，表中w i=√x i，w−=18∑w i8i=1．(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d√x，哪一个适宜作为年利润y关于年宣传费x的回归方程，并建立y关于x的回归方程；(2)张三在射击休息之余用手机逛B站刷到了孤胆英雄机枪守大桥的视频．由此，在接下来的射击体验中，张三更换了一把型号为M249，弹夹容量为100发的机枪，但是由于子弹的质量问题，每发子弹都有110的概率为哑弹，假设每次射击的子弹相互独立且均随机，打空一个弹夹时遇到的哑弹数量为随机变量ξ.计算ξ的均值、方差以及ξ取均值时的概率(所求概率列式即可，不需计算出具体数据)．21. 设k ∈R ，函数f(x)=lnx −kx ．(1)若f(x)有零点，求实数k 的取值范围；(2)若f(x)有两个相异零点x 1，x 2，求满足lnx 1+lnx 2>a 恒成立的最大整数a ．22. 一只蚂蚁从正方形ABCD 的顶点A 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为13，逆时针的概率为23，设蚂蚁经过n 步回到A 点的概率为p n ． (1)求p 1，p 2；(2)设经过n 步到达C 点的概率为q n ，求p n +q n 的值； (3)求p n ．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A∩B={3}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，∴3是x2−6x+m<0的解，2，5不是x2−6x+m<0的解，故△>0，又∵y=x2−6x+m的图象关于x=3对称，∴B={x∈Z|x2−6x+m<0}={3}，故A∪B={2,3，5}，故选：C．由A∩B={3}，B={x∈Z|x2−6x+m<0}，结合y=x2−6x+m的图象关于x=3对称知，B={x∈Z|x2−6x+m<0}={3}，从而求得．本题考查了集合的运算，难点在于确定集合B，注意到x=3是y=x2−6x+m的图象的对称轴是关键，属于中档题．2.【答案】B【解析】解：设A=“依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球”，B=“依次摸出两个小球，则在两次都摸得红球”，由已知得n(A)=C31C71=21，n(B)=C31C21=6．故所求概率为P=n(B)n(A)=621=27．故选：B．先算出先后两次摸秋，第一次红球的取法数，然后再算出两次先后都摸出红球的取法数．代入条件概率公式计算即可．本题考查条件概率的计算公式，要注意将两个事件的个数算对．属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．正态曲线关于x =μ对称，且μ越大图象越靠近右边，又有σ越小图象越瘦长，从而得到正确的结果． 【解答】解：∵正态曲线关于x =μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二个曲线和第三个曲线的均值相等，即μ1<μ2=μ3， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个曲线的σ2比第三个曲线的σ3要小，即σ1=σ2<σ3 故选D ．4.【答案】D【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①将6人分为3组，要求甲乙不到同一组，有C 62C 42C 22A 33−12C 42=12种分组方法，②将分好的3组全排列，安排到三个社区，有A 33=6种情况， 则有12×6=72种不同的安排方法， 故选：D ．根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不到同一组，②将分好的3组全排列，安排到三个社区，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x .=2，y .=15.3+m5，∴代入回归方程y =0.65x +2.7，得m =4.7， 故选：D ．根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m ． 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题．6.【答案】B【解析】解：先求P(A)，设事件A 为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”，事件B 为“员工丙第一个检测”．事件A 分两类：甲最后检测，则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为A 33； 甲不是最后检测，则中间两个位置选1个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排，方法数为C 21C 21A 22，故P(A)=A 33+C 21C 21A 22A 44=14A 44，再求P(AB)，员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测，员工丙是第一个检测， 则先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排，方法数C 21A 22，故P(AB)=C 21A 22A 44=4A 44．综上在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”的条件下， 员工丙第一个检测的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=414=27．故选：B ．设事件A 为“员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测”，事件B 为“员工丙第一个检测”.事件A 分两类：甲最后检测，则剩下的3名员工可以随便排序，方法数为A 33；甲不是最后检测，则中间两个位置选1个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排，方法数为C 21C 21A 22，求出P(A)；员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测，员工丙是第一个检测，则先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选1个位置给乙，剩下的两个员工随便排，方法数C 21A 22，求出P(AB)，由此利用条件概率能求出结果．本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份即可，将6份《光明日报》看成6个元素，排成一排，中间有5个空位，在其中任选2个，插入挡板，可以将6份《光明日报》分为3组，对应分给3个部门即可，则有C 52=10种不同的发放方法，故选：C ．根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，再将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份，由挡板法分析可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为12e x f(x)+e x f′(x)=√x ，所以12e 12x f(x)+e 12xf′(x)=√x e 12x，令F(x)=e 12x f(x)，则f(x)=F(x)e 12x ，且F′(x)=√x e 12x，所以f′(x)=F′(x)e 12x −12e 12xF(x)(e 12x )2=√x e 12x −12F(x)e 12x ，令ℎ(x)=√xe 12x −12F(x)， 则ℎ′(x)=2√x −√x 2e 12x −12⋅√xe 12x =2√x−√x e 12x ，令ℎ′(x)=0，解得x =12，当0<x <12时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 当x >12时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减， 所以当x =12时，ℎ(x)取得最大值ℎ(12)=√12e 14−12F(12)=√12e 14−12⋅e 14f(12)=0， 则ℎ(x)≤0，故f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数， 则当x >0时，f(x)既无极大值，也无极小值． 故选：D ．由已知的等式，构造F(x)=e 12x f(x)，则F′(x)=√xe 12x ，且f(x)=F(x)e 12x，求出f′(x)，再进行二次求导，研究函数f′(x)的正负，得到f(x)的单调性，由此判断函数f(x)的极值情况． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解析】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x=100，σ=10．∴该市学生数学成绩的期望为100，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；P(90<x<110)=0.6826，P(80<x<120)=0.9544，∴P(x≥90)=0.5+12×0.6826=0.8413，故C正确；P(x<90)=P(x>110)=12[1−P(90<x<110)]=0.1587，P(x<120)=0.5+12×0.9544=0.9772，则P(x≥120)=1−0.9772=0.00228．∴该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误．故选：AC．由已知可得A正确，B错误；求出该市学生数学成绩的及格率判断C；分别求出该市学生数学成绩不及格的概率和优秀的概率判断D．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由T r+1=C6r(x2)6−r(1ax )r=(1a)r⋅C6r⋅x12−3r，令12−3r=3，得r=3．∴1a3⋅C63=−160，得a=−12，故A正确；(x2+1ax )6=(x2−2x)6，取x=1，可得所有项系数之和为1，故B正确；二项式系数之和为26=64，故C正确；由12−3r=0，得r=4，展开式的常数项为(−2)4⋅C64=240，故D错误．故选：ABC．写出二项展开式的通项，由x的指数为3求得r值，再由x3的系数是−160求得a值，然后取x=1求得所有项系数，再求出二项式系数和常数项，比对四个选项得答案．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，4． A .P(X =0)=(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(x =1)=23×(12)3+3×(1−23)×(12)3=524， ∴该游客至多游览一个景点的概率为P(X =0)+P(X =1)=124+524=14，故A 正确．B .P(X =2)=23×C 31×12×(1−12)2+(1−23)×C 32×(12)2×(1−12)=38，故B 正确．C .P(X =4)=23×(12)3=112，故C 错误．D .P(X =3)=23×C 32×(12)2×(1−12)+(1−23)×C 33×(12)3=724，∴E(X)=0×124+1×524+2×38+3×724+4×112=136，故D 正确．故选：ABD ．X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．A .分类讨论，该游客一个景点也没有旅游和只游一个景点两种情况：利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出结论．B .利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P(X =2)．C .利用相互独立事件的概率计算公式即可得出P(X =4)．D .利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P(X =3)，进而得出E(X)． 本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：对于A ，由题意，当满足P(Z ≥59)=1−P(17<Z≤59)2=1−0.99742=0.0013时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故选项A 错误； 对于B ，若8：02分出门，①江先生开私家车，由题意，当满足P(Z ≤52)=1−P(24<Z<52)2+P(24<Z <52)=0.9772，此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁，由题意，当满足P(Z ≤48)=1−P(40<Z<48)2+P(40<Z <48)=0.9772，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故选项B错误；对于C，若8：06分出门，①江先生开私家车，由题意，当满足P(Z≤48)>P(Z≤45)=1−P(31<Z<45)2+P(31< Z<45)=0.8413，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，由题意，当满足P(Z≤44)=12=0.5时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故选项C正确；对于D，若8：12分出门，江先生乘坐地铁上班，由题意，当满足P(Z≤38)=1−P(38<Z<50)2=0.0013时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故选项D正确．故选：CD．对于A，由P(Z≥59)=0.0013即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算P(Z≤38)=0.0013即可判断．本题考查正态分布，考查考生的数据处理能力，分析问题解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1825【解析】解：因为X～B(3,25)，所以DX=np(1−p)=3×25×(1−25)=1825．故答案为：1825．利用正态分布的方差计算公式求解即可．本题考查了正态分布的方差求解，解题的关键是掌握正态分布的方差计算公式，属于基础题．14.【答案】(−∞,40]∪[64,+∞)【解析】解：根据二次函数的性质知对称轴x=k8，在[5,8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上∴k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64．故答案为：(−∞,40]∪[64,+∞)．根据二次函数的性质知对称轴x =k8，在[5,8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，k8≤5，或k8≥8，解出不等式组求出并集即可． 本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是看出二次函数在一个区间上单调，只有对称轴不在这个区间上，本题是一个基础题．15.【答案】358x【解析】解：∵(√x −2√x 4)n 的展开式中的二项式系数之和为256，∴2n =256，∴n =8， ∴T r+1=C 8r(√x)8−r⋅2√x4)r=C 8r(−12)r x 16−3r 4，令16−3r 4=1，∴r =4，∴展开式中含x 项为T 5=C 84(−12)4x =358x.故答案为：358x.先求得n =8，再求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得含x 项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．16.【答案】432【解析】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列， 则共有A 66=720个排列，若(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的对立事件为“(a +b)(c +d)(e +f)为奇数”， (a +b)、(c +d)、(e +f)全部为奇数，有6×3×4×2×2×1=288， 故则(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的排列的个数共有720−288=432． 故答案为：432．若(a +b)(c +d)(e +f)为偶数的对立事件为“(a +b)(c +d)(e +f)为奇数”，即(a +b)、(c +d)、(e +f)全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有A 66种，进而可得所求．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立，由题意得：P(AB)=P(A)P(B)=0.05， P(AC)=P(A)P(C)=0.1， P(BC)=P(B)P(C)=0.125，∴P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5; (2)∵A 、B 、C 相互独立，∴A 、B 、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内都不需要照顾的概率为P(A ⋅B ⋅C)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75×0.5=0.3，∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为P =1−P(A ⋅B ⋅C)=1−0.3=0.7．【解析】本题主要考查独立事件同时发生的概率，对立事件，属于基础题． (1)由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的问题，根据题意，列出方程，解方程得到结果．(2)这个小时内至少有一台需要照顾的对立事件是这个小时内没有一台需要照顾，即都不需要照顾，根据对立事件的概率公式，列出算式，得到结果．18.【答案】解：(1)K 2=60×(8×4−32×16)240×20×24×36=20>10.828， 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为购买牛角梳和是否事先知道牛角梳为本市特产有关系．(2)设抽到女顾客的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，∴P(ξ=0)=C 82C 242=769，P(ξ=1)=116C 81CC 242=3269，P(ξ=2)=C 162C 242=3069=1023，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E(ξ)=0×769+1×3269+2×1023=9269．【解析】(1)根据2×2列联表，计算K 2的值，再与临界值比较，即可得到结论． (2)设抽到女顾客的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，得到ξ的分布列，进而求出ξ的数学期望即可．本题主要考查了独立性检验的实际应用，考查了离散型随机变量的期望与方差，是基础题．19.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=lnx −x +x 2，可得f′(x)=1x +2x −1，所以切点为(1,0)，切线的斜率k =f′(1)=2， 故切线方程为y =2(x −1)，即2x −y −2=0； (2)f′(x)=1x+1−1+(k +1)x =x x+1[(k +1)x +k]，k >−1，由f′(x)=0，可得x 1=0，x 2=−kk+1=−1+1k+1>−1， 当k =0时，f′(x)x 2x+1≥0，f(x)在(−1,+∞)递增；当x 1<x 2，即−1<k <0时，当−1<x <0或x >−kk+1时，f′(x)>0，f(x)递增；当0<x <−kk+1时，，f′(x)<0，f(x)递减；当x 1>x 2，即k >0时，当−1<x <−kk+1或x >0时，f′(x)>0，f(x)递增；当−kk+1<x <0时，，f′(x)<0，f(x)递减．综上可得，当−1<k <0时，f(x)的增区间为(−1,0)，(−kk+1,+∞)，减区间为(0,−kk+1)； 当k =0时，f(x)在(−1,+∞)递增；当k >0时，f(x)的增区间为(−1,−kk+1)，(0,+∞)，减区间为(−kk+1,0)．【解析】(1)先求出导数，求出切线斜率，然后利用点斜式求出切线方程；(2)求出导数并分解因式，求出导数的零点，结合定义域讨论根的大小求出导数大于或小于零的解集，从而得到单调区间．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由散点图可以判断，y =c +d √x 适宜作为年年利润y 关于年宣传费x 的回归方程，令ω=√x ，先建立y 关于ω的线性回归方程， 由d ̂=108.81.6=68，所以c ̂=y −−d ̂x −=563−68×6.8=100.6，则y 关于ω的线性回归方程为y ̂=68ω+100.6， 所以y 关于x 的回归方程为y ̂=68√x +100.6； (2)由题意可得，ξ～B(100,110)，所以E(ξ)=100×110=10，D(ξ)=100×110×910=9，P(ξ=10)=C 10010×(110)10×(910)90．【解析】(1)由散点图的形状判断即可；令ω=√x ，先建立y 关于ω的线性回归方程，利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，从而得到答案；(2)由题意可知，ξ～B(100,110)，利用二项分布的均值、方差、概率计算公式求解即可． 本题考查了线性回归方程的求解，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量期望以及方差的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)若f(x)=lnx −kx 有零点，则lnx −kx =0有解，即k =lnx x有解，令g(x)=lnx x(x >0)， 则g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)=0，得x =e ，所以当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(x)<0，当x >e 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且当x →+∞时，g(x)→0， 所以g(x)≤g(e)=1e ， 所以k 的取值范围为(−∞,1e ].(2)设f(x)的两个相异的零点为x 1，x 2，且x 2>x 1>0， 由(1)知0<x 1<e ，x 2>e ，所以lnx 1−kx 1=0①，lnx 2−kx 2=0②，由(1)知0<k <1e 时，有两个不同的零点，且g(1)=0， f(1k )=−lnk −1>0，所以1<x 1<1k <x 2，且f(x 1)=f(x 2)=0，设F(x)=f(x)−f(2k −x)=lnx −ln(2k −x)+2−2kx ， 则F′(x)=2(kx−1)2x(2−kx)>0，所以F(x)在(1,1k )上单调递增， 即F(x)<F(1k )=0， 所以f(x)<f(2k −x)，从而有f(x 1)<f(2k −x 1)，f(x 2)<f(2k −x 2)， 又当x ∈(1k ,+∞)上，f(x)单调递减， 则x 2<2k −x 1， 所以k(x 1+x 2)<2，所以lnx 1+lnx 2=k(x 1+x 2)<2， 所以a 的最大值为2．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调的关系，及零点的判定定理即可得出答案．(2)由题意可知x 1，x 2是lnx −kx =0的两个根，且f(1k )=−lnk −1>0，构造函数F(x)=f(x)−f(2k −x)，结合单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)p1即经过一步从A点到达A点的概率，∴p1=0，p2即经过两步从A点到达A点的概率，包括先顺时针再逆时针和先逆时针再顺时针，∴p2=13×23+23×13=49，(2)当n为偶数时，由顶点A出发只能到A点或C点，到达A的概率为p n，到达点C的概率为q n，∴p n+q n=1，当n为奇数时，由顶点A出发只能到B点或D点，p n=q n=0，∴p n+q n=0，综上，当n为偶数时，p n+q n=1，当n为奇数时，p n+q n=0．(3)当n为奇数时，p n=0，当n为偶数时，从A点或C点出发经过两步到A的概率分别为，p A→A=13×23+23×13=49，p C→A=13×13+23×23=59，从A点出发经过n步到A分为两类，①从A点出发经过n−2步到A，再经过两步到A，概率为49p n−2，②从A点出发经过n−2步到C，再经过两步到A，概率为59q n−2，∴p n=49p n−2+59q n−2，∵p n+q n=1，∴p n=−19p n−2+59，∴p n−12=−19(p n−2−12)，∵p2=49，∴p n−12=(−118)(−19)n2−1，∴p n=12(13n+1).综上，当n为奇数时，p n=0，当n为偶数时，p n=12(13n+1).【解析】(1)p1即经过一步从A点到达A点的概率，p2即经过两步从A点到达A点的概率，即可求出p1和p2，(2)当n为偶数时，由顶点A出发只能到A点或C点，可得p n+q n=1，当n为奇数时，由顶点A出发只能到B点或D点，可得p n+q n=0，(3)当n为偶数时，得到p n=49p n−2+59q n−2，进而得到p n=−19p n−2+59，再构造等比数列即可求解．本题考查了概率的求法，由数列的递推式求数列的通项公式．属于难题．。
2020年福建省福州市高二(下)期中数学试卷解析版
A. （-1，3）
B. [-1，3]
C. （1，3）
D. [1，3]
12. 若不等式 2xlnx≥-x2+ax-3 对 x∈（0，+∞）恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （-∞，0）
B. （0，+∞）
C. （-∞，4]
D. [4，+∞）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足 x2+y2=1，则 2x-y 的最小值为______．
20. 已知 f（x）=|2x-1|+|x+1|． （1）求不等式 f（x）≥3 的解集；
（2）若关于 x 的不等式
在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围
21. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均 每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
（θ 为参数），以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 M 是直线 l 上任意一点，过 M 做圆 C 切线，切点为 A、B，求四边形 AMBC
第 2 页，共 12 页
面积的最小值．
19. 已知函数 f（x）=x3+ax2-1 在点（-1，f（-1））处的切线方程为 3x+y+2=0． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．
或
，
当 a=-1、b=-2 时，|a+bi|=|-1-2i|=
=，
当 a=2、b=1 时，|a+bi|=|2+i|=