离散数学模拟题一套及答案
离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧ D∧B∧C)∨(C∧ D∧B∧D)∨(C∧ D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D) F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为： x(S(x)∧W(x))，xY(x)x(S(x)∧Y(x))
下面给出证明： (1)xY(x) P (2)Y(c) T(1)，ES (3)x(S(x)∧W(x)) P (4)S( c)∧W( c) T(3)，US (5)S( c) T(4)，I (6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I (7)x(S(x)∧Y(x)) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2
t(R)＝1iRi＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。 五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。 证明 对任意的x、y∈A，若xr(R)y，则由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。 下证对任意正整数n，Rn对称。 因R对称，则有xR2yz(xRz∧zRy)z(zRx∧yRz)yR2x，所以R2对称。若nR对称，则x1nRyz(xnRz∧zRy)z(znRx∧yRz)y1nRx，所以1nR对称。因此，对任意正整数n，nR对称。 对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。 六、（10分）若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。 证明 因为f：A→B是双射，则f－1是B到A的函数。下证f－1是双射。 对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。 对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。所以f－1是单射。 综上可得，f－1：B→A是双射。
七、（10分）设是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a*a＝a。 证明 因为是一个半群，对任意的b∈S，由*的封闭性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。
因为S是有限集，所以必存在j＞i，使得ib＝jb。令p＝j－i，则jb＝pb*jb。所以对q≥i，有qb
＝pb*qb。 因为p≥1，所以总可找到k≥1，使得kp≥i。对于kpb∈S，有kpb＝pb*kpb＝pb*(pb*kpb)＝…＝kpb*kpb。
令a＝kpb，则a∈S且a*a＝a。 八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l≥3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：
m≤2ll(n－2)。
证明 设G有r个面，则2m＝riifd1)(≥lr。由欧拉公式得，n－m＋r＝2。于是， m≤2ll(n－2)。 （2）设平面图G＝是自对偶图，则| E|＝2(|V|－1)。 证明 设G*＝是连通平面图G＝的对偶图，则G* G，于是|F|＝|V*|＝|V|，将其代入欧拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。 离散数学考试试题（B卷及答案） 一、（10分）证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R 证明 因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。 (1)R 附加前提 (2)PR P (3)P T(1)(2)，I (4)P∨Q P (5)Q T(3)(4)，I (6)QS P (7)S T(5)(6)，I (8)RS CP (9)S∨R T(8)，E 二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。 设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。 (1)x(P(x)Q(x)) P (2)x(P(x)∨Q(x)) T(1)，E (3)x(P(x)∧Q(x)) T(2)，E (4)P(a)∧Q(a) T(3)，ES (5)P(a) T(4)，I (6)Q(a) T(4)，I (7)x(P(x)(A(x)∨B(x)) P (8)P(a)(A(a)∨B(a)) T(7)，US (9)A(a)∨B(a) T(8)(5)，I (10)x(A(x)Q(x)) P (11)A(a)Q(a) T(10)，US (12)A(a) T(11)(6)，I (13)B(a) T(12)(9)，I (14)P(a)∧B(a) T(5)(13)，I (15)x(P(x)∧B(x)) T(14)，EG 三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。 解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则： |A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。 因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，||CBA＝25－20＝5。故，不会打这三种球的共5人。 四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如31iAi(Ai为Ai或iA)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。 证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。
对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈iA，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或iA，则a∈31iAi，
即有a∈ri1si，于是Uri1si。又显然有ri1siU，所以U＝ri1si。 任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和iA分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝。 综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。 五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。 证明 (5)若R是传递的，则∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有y>∈R，所以R*RR。 反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。 六、（15分）若G为连通平面图，则n－m＋r＝2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。 证明 对G的边数m作归纳法。 当m＝0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n＝1，r＝1，结论自然成立。 假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。 设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论： 若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1
＋n2＝n＝n，m1＋m2＝m＝m－1，r1＋r2＝r＋1＝r＋1。由归纳假设有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，
从而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。 若e不为割边，则n＝n，m＝m－1，r＝r－1，由归纳假设有n－m＋r＝2，从而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。 由数学归纳法知，结论成立。 七、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，则： (1)fg是A到C的函数； (2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。 证明 (1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使∈f。根据复合关系的定义，由∈g和∈f得∈g*f，即
《离散数学》模拟题 (A)
评卷人
四、填空：
（1） .
（2） ，
有 .
（3） .
（4） .
（5） .
供选答案：
A、B、C、D、E：
①半群非单元半群②单元半群非群③群④环非域⑤域
⑥格，非布尔代数⑦布尔代数⑧代数系统，但非以上7种
⑨非代数系统
A：⑨非代数系统、B：①半群非单元半群、C：②单元半群非群、D、⑦布尔代数、E：⑤域
得分
（1） （2） （3）
（4）
求下列各式的值，并说明理由：
ห้องสมุดไป่ตู้1.
2.
3.
1.
2.
3.
《离散数学》模拟题
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
得分
评卷人
一、设S、T、M为任意集合，判断下列命题正误：（正√，误×）
（1） 是P（ ）的子集.（√）
（2）如果S T=S M，则T=M.（×）
（3）如果S—T= ，则S=T.（×）
（4）如果 .（√）
（5）S⊕S=S.（×）
得分
评卷人
二、证明：
（1）（A—B） B=A B
（2）设
得分
评卷人
三、设 ，则S上可以定义 个不同的二元关系，其中有 个等价关系， 个偏序关系，
供选择的答案：
A、B、C：①1②2③3④4⑤8⑥16
D、E：⑦等价关系但部分非序关系⑧部分序关系但非等价关系
⑨等价关系和部分序关系⑩既不是等价关系也不是部分序关系
A：⑥16 B：②2、C：⑤8、D、⑨等价关系和部分序关系、E：⑩既不是等价关系也不是部分序关系
离散数学模拟题及答案
一、填空1．不能再分解的命题称为____________，至少包含一个联结词的命题称为____________。
2．一个命题公式A(P, Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是__________________，其主合取范式是_________________。
3．设A={a,b,c}，B={b,c,d,e}，C={b,c}，则( A ⋃ ⊕＝____________。
4．幂集P(P(∅)) ＝________________。
5．设A为任意集合，请填入适当运算符，使式子A________A=∅；A________A’=∅成立。
6．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)}，则D(R)=____________，R(R)=____________。
7．称集合S是给定非空集合A的覆盖：若S={S1，S2，…，S n}，其中S i⊆A，S i≠Ø，i=1，2，…，n，且______ _____；进一步若_____ _______，则S是集合A的划分。
8．两个重言式的析取是____ ____式，一个重言式和一个永假式的合取式是式。
9．公式┐(P∨Q) ←→(P∧Q)的主析取范式是。
10. 已知Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分，由Π决定的A上的一个等价关系是。
二、证明及求解1．求命题公式（P→Q）→（Q∨P）的主析取范式。
2．推理证明题1）⌝P∨Q，⌝Q∨R，R→S⇒P→S。
2) (∀x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(∃x)P(x)⇒Q(y)∧(∃x)(P(x)∧R(x))x)}，S={〈x,y〉|x,y∈A∧（x=y+2）}。
3．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y〉|x,y∈A∧(y=x+1∨y=2试求R S R。
4．证明：R是传递的⇔R*R⊆R。
5．设R是A上的二元关系，S={<a, b>| 存在c∈A，使<a, c>∈R，且<c, b>∈R}。
离散考试试题及答案
离散考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念不是布尔代数的基本运算？A. 与B. 或C. 非D. 模答案：D2. 集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A3. 命题逻辑中，下列哪个符号表示“蕴含”关系？A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案：C4. 关系R在集合A上是自反的，意味着什么？A. 对于所有a∈A，(a, a)∈RB. 对于所有a∈A，(a, a)∉RC. 对于所有a∈A，(a, b)∈RD. 对于所有a∈A，(a, b)∉R答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个集合的基数是集合中元素的________。
答案：数量2. 在有向图中，如果存在一条从顶点u到顶点v的路径，则称顶点v 是顶点u的________。
答案：可达的3. 一个图是连通的，当且仅当图中任意两个顶点都是________。
答案：连通的4. 在命题逻辑中，一个命题的否定是________。
答案：它的对立命题三、简答题（每题10分，共30分）1. 请解释什么是图的哈密顿回路。
答案：哈密顿回路是一个图中的闭合回路，它恰好访问图中的每个顶点一次。
2. 描述一下什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是数字集合上的一个二元关系。
3. 什么是图的生成树？答案：图的生成树是图的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且是一棵树，即它是连通的且没有环。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1,2,3,4,5}，计算它的幂集。
答案：幂集P(A)={∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5},{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, A}。
网络学院《离散数学》模拟-答案
网络学院离散数学模拟试题1 考试时间120 分钟考试方式：开卷专业年级姓名学号一、选择填空题(每个空格3分,共30分)1．设A，B是集合，且φA，则_____必定成立。
D-B=A．A=B B．B⊆A C．A∩B=φD．A⊆B 2．{φ,{φ}}－φ=_____;CＡ. φ B. {φ} C. {φ,{φ}} D. {{φ}}3．设集合A={{0}}，则P(A) =_____。
DA. P(P({0}))B. P({0})∪φC. P({0})∪{{0}}D. {φ,{{0}}}4．设有集合A={1,2,3,4}，则从A到{0,1}的不同的函数有____个。
EA．0 B．1 C．4 D．12 E. 16 F. 24 G. 32 5．设G=(a)为12阶循环群，则G没有____阶子群。
EA．1 B．2 C．3 D．4 E. 5 F. 66．凡_____都满足消去律。
DA. 代数系统B. 半群C. 独异点D. 群7．从无向完全图K中至少删除____条边后，所得的图将成为平面图。
B5A．0 B．1 C．2 D．38．若无向图G是有99个结点，9个连通分量，则G中的边数必_____。
C A. ≤90 B. =90 C. ≥90 D. =100 E. ≥1009．下列句子中为命题的是_____。
AA．今天不是星期六。
B．考场内禁用手机！C．今天是周末吗？D．今天真冷呀！10． 任意两个不同极大项的析取式必为______。
AA. 永真公式B. 可满足公式C. 永假公式D. 等值公式二、求出谓词公式(,)(,,)u v F u v w G u v w ∃∃→∀的前束范式。
(10分)解：(,)(,,)u v F u v w G u v w ∃∃→∀ ⇔1111(,)(,,)u u F u v w G u v w ∃∃→∀ ⇔111(,)(,,)u v F u v w G u v w ⌝∃∃∨∀ ⇔1111(,)(,,)u y F u v w G u v w ∀∀⌝∨∀⇔1111(,)(,,)u v wF u vG u v w ∀∀∀⌝∨（）三、用形式证明的方法证明下列论证的有效性：“本班有些同学是有经验的C++程序员，任何C++程序员都知道对象的概念。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 函数f: X→Y是一个双射，当且仅当：A. f是单射且满射B. f是单射C. f是满射D. f是双射答案：A3. 命题p: "x是偶数"，命题q: "x是3的倍数"，下列逻辑运算中，表示"x是6的倍数"的是：A. p∧qB. p∨qC. ¬p∧¬qD. ¬p∨¬q答案：A4. 有向图G中，若存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称顶点u可达顶点v。
若G中任意两个顶点都相互可达，则称G为：A. 强连通图B. 弱连通图C. 无向图D. 有向无环图答案：A5. 在二进制数系统中，下列哪个数的值最大？A. 1010B. 1100C. 1110D. 1101答案：C6. 布尔代数中，逻辑或运算符表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：B7. 有限自动机中，状态q0是初始状态，状态q1是接受状态。
若存在从q0到q1的ε-转移，则该自动机：A. 仅在输入为空时接受B. 仅在输入非空时接受C. 无论输入为何都接受D. 无法确定是否接受答案：C8. 命题逻辑中，若命题p和q都为真，则p∧q的真值是：A. 真B. 假C. 可能为真，也可能为假D. 无法确定答案：A9. 集合{1,2,3}的子集个数为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：D10. 若关系R在集合A上是自反的，则对于A中的任意元素a，有：A. (a,a)∈RB. (a,a)∉RC. (a,a)是R的自反对D. (a,a)不是R的自反对答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 集合A={1,2,3}的幂集包含__个元素。
答案：82. 若函数f: X→Y是满射，则对于Y中的任意元素y，至少存在X中的一个元素x，使得f(x)=__。
离散数学模拟题和答案
复习要点1.加法原理与乘法原理2.圆排列公式与应用3.鸽巢原理及其应用4.容斥原理及其应用（错位排列数D n）5.S(n，k)的意义及计算。
6.B(n，k) 的意义及计算。
7.数值函数的性质及其计算。
8.利用生成函数求解。
9.建立递推关系式。
10.求解递推关系式。
11.Pólya定理的应用。
复习题一1. 6个男孩和6个女孩围成一个圆圈，若男孩和女孩交替就坐，有多少种方法？2. 考试中有15个判断“对”或“错”的答题。
允许学生对某些题不回答，有多少种回答方法？3. （1）在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为21； （2）在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为31； （3）确定m n ，使得在一边长为1的等边三角形中任取m n 个点，则其中必有两点，该两点的距离至多为n1。
4. 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，他知道至多只需要60个小时的复习时间，他决定每天至少复习1小时。
证明：无论他的复习计划怎样，在此期间都存在连续的一些天，他正好复习了13个小时。
5. 有8个人寄存帽子，问各有多少种方法交还帽子使得 (1) 没有一个人得到自己的帽子。
(2) 至少有一个人得到自己的帽子。
(3) 至少有两个人得到自己的帽子。
6. 已知数值函数a ：a i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤==6525120030i i i ib ：b i =⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤=1201111.000i i i 试求：a +b ，a •b ，S 3a ，S -2b ，△a ，a *b 。
7. 一个质点在水平方向上运动，每秒中走过的距离等于前一秒中走过距离的两倍，已知起始位置为3，第3秒钟时的位置是10，试求第i 秒钟时质点的位置。
8. 已知常系数线性递推关系： c 0a i + c 1a i -1+ c 2a i -2=6的解为a ：a i =3i +4i +2 (i ≥0)，试求c 0，c 1和c 2。
离散数学II_模拟卷_答案
计算机学院、系期末考试模拟卷专业年级班级姓名学号一、单选题(在每小题的四个备选答案中，选出一个最正确的答案，并将答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共24分)1、从哈密尔顿图中删除一条边后，所得的图（ B ）不连通的。
A．一定是B．绝对不是C．可能是2、下列无向简单图中是欧拉图的是（ D ）。
3、(n,m)简单连通图的生成树有（ A ）条边。
A．n-1 B．m-1 C．n-m+1 D．m-n+14、一个连通带权无向图的最小生成树（ B ），其各边权重之和（ B ）。
A．唯一……唯一B．不一定唯一……唯一C．唯一……不一定唯一D．不一定唯一……不一定唯一5、下图不．是（ C ）。
A．无向图B．连通图C．完全图D．正则图6、设集合S＝{1,2,3,......,10}，以下定义的*使<S,*>不．是代数系统的是（ C ）。
A．x*y=max(x,y) B．x*y=min(x,y)C．x*y=LCM(x,y)，即x,y的最小公倍数D．x*y=GCD(x,y)，即x,y的最大公约数7、关于特殊元，以下说法正确是（ D ）。
A．代数结构中的幺元与零元总不相等B．一代数系统中关于一个二元运算可能有2个左幺元和2个右幺元C．代数系统中一定存在一个元素它既是左零元又是右零元D．一个代数系统关于一个二元运算的零元必唯一8、代数系统<S,*>中的*满足交换律，有幺元e，其子代数为<A,*>，则（ D ）。
A．<A,*>不一定满足交换律B．e一定是<A,*>中的幺元C．<A,*>中一定有幺元，幺元不一定是e D．<A,*>不一定有幺元9、2个代数系统<S,*>、<S1,︒>，除了情况（ A ），其余情况下<S,*>的性质（运算律、特殊元、逆元）可传递到<S1,︒>中。
A．<S,*>到<S1,︒>存在单一同态B．<S,*>到<S1,︒>存在满同态C．<S,*>与<S1,︒>同构D．<S1,︒>是<S,*>的商代数10、在自然数集N上，下列定义的*运算满足结合律的是（ B ）。