128503-管理运筹学-习题-06-动态规划
习题
6-1. 考虑下面的网络图，箭头上的数字代表相连两个节点之间的距离。
14327651098
10
7
8
5
8
7
4
6
10
5
9
11
8
10
6
（1）用动态规划找出从节点1到节点10的最短路。
（2）从节点4到节点10的最短路呢？
6-2. 从北京到上海的包机的剩余装载能力为2000kg，某一运输公司现有4种货物需要
从北京运输到上海。每种货物的单位、单位重量和单位运输费用如下表所示。
货物类型 单位数 单位重量（100kg） 单位运费元/kg
1 2 8 22
2 2 5 12
3 4 3 7
4 3 2 3
（1）用动态规划找出包机应该运输的每种货物的单位数。
（2）假设包机同意装载另一批货物，剩余装载能力降为1800kg，计算结果会怎样变化？
6-3. 假定有一个3阶段的过程，每一阶段的产量是需要做出决策的函数。使用数学符
号，问题表述如下：
Max332211drdrdr
s.t.
1000321ddd
每个阶段的决策变量和相应的返回值如下所示：
阶段1 阶段2 阶段3
1d 11dr 2
d
22
dr
3
d
33
dr
0 0 100 120 100 175
100 110 300 400 500 700
200 300 500 650
300 400 600 700
400 425 800 975
用动态规划解决此问题。
6-4. 某制造公司为一家汽车工厂提供发动机的部件，以下是3个月的生产计划的数据。
能力限制 单位成本（单位：元）
月 需求 生产 仓库 生产成本 持有成本
1 20 30 40 2.00 0.3
2 30 20 30 1.50 0.3
3 30 30 20 2.00 0.2
用动态规划为该制造公司找出每个阶段的最佳产量和库存水平。假定1月初的初始库存
量是10单位，并且生产批量是10的倍数（例如，10,20或者30单位）。
6-5. 某物流公司雇佣了8名新员工，现决定如何把他们分配到4项作业上。公司给出
了以下每项作业分配不同的作业人员的估计利润表。
分配的新员工的数目
作业
0 1 2 3 4 5 6 7 8
客服
22 30 37 44 49 54 58 60 61
运输
30 40 48 55 59 62 64 66 67
仓储
46 52 56 59 62 65 67 68 69
报关
5 22 36 48 52 55 58 60 61
(1) 用动态规划决定每项作业应该分配的新员工数目。
(2) 如果公司只雇佣了6名新员工，应该把这些员工分配给哪些作业？
6-6. 一个锯木厂采购了一批20ft长的原木，想要把这些原木切成更短的原木，然后把
切后的小原木卖给制造公司。制造公司已经订购了一批4种尺寸的原木：l1=3ft，l2=7ft，
l3=11ft，l4=16ft。锯木厂现在有2000个长度为20ft的原木的库存，并希望有选择地裁截原
木以最大化利润。假定锯木厂的订单是无限的，唯一的问题就是确定把现有原木裁成的类型
以最大化利润。原木的利润如下表所示：
长度（ft）
3 7 11 16
利润（$）
1 3 5 8
任何裁截类型的长度限制如下：
201173321ddd
其中，id是长度为il的类型的裁截数目，4,3,2,1i.
（1）为这个问题建立动态规划模型，并使用模型解决问题。你需要设立哪些变量？状态变
量有哪些？
（2）简要介绍如果总的长度l被截成l1，l2，……lN这样N中长度的话，如果扩展现有模
型以找到最优解？
6-7. 一家港口公司建立了良好的管理训练计划，希望每一个员工完成一个4阶段的作
业。但是在训练计划的每个阶段，员工都会被分配一系列艰难的作业。以下是训练计划的每
个阶段员工可能被分派的作业和任务估计完成时间。
阶段1 阶段2 阶段3 阶段4
A-13 E-3 H-12 L-10
B-10 F-6 I-6 M-5
C-20 G-5 J-7 N-13
D-17 K-10
次级阶段的作业取决于其先前的作业。例如，在阶段1接受作业A的员工在阶段2只能接
受作业F或者作业G——即每一项作业都存在优先关系。
作业 可行的后续作业 作业 可行的后续作业
A F,G H L,M
B F I L,M
C G J M,N
D E,G K N
E H,I,J,K L
完成
F H,K M
完成
G J,K N
完成
（1）公司想要决定各项作业的先后顺序以最小化整个训练计划的总时间。把此问题作为动
态规划问题建立方程并解决。（提示：建立作业网络，其中每个节点代表每项任务。）
（2）如果一个员工刚完成作业F，并想以最短的时间完成剩余的作业，那么他下一项应该
完成那项作业？
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
动态规划练习题(含答案)
动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下：对于从1到N的连续整集合合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。
举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：and {1,2}这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。
程序不能预存结果直接输出。
PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行，且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数，如果不存在则输出0。
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下：#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
第五章 物流运筹学——动态规划
表5-2 设i 仪器换成 j 仪器所需中断试验的时间
tij
j
1 10 9 6
仪器 2 9 12 5 3 14 10 8
i 仪器
1 2 3
• 【例5-4】（机器负荷问题）设某机器可以在高、 低两种不同的负荷下进行生产。若年初有 x 台 机器在高负荷下进行生产，则产品年产量a = 8x ， 机器的年折损率 β = 0.3 ；若年初有 y 台机器在低 负荷下进行生产，则产品年产量 b = 5 y ，机器的 年折损率α = 0.1。若初始时有性能正常的机器1000 台，要求制定机器负荷的四年分配计划，确定每年 年初分配正常机器在不同负荷下工作的台数，使四 年内产品总产量最大。
• 状态转移方程(state transfer equation)：动 态规划中本阶段的状态往往是上一阶段状 态和上一阶段的决策结果。如果给定了第 k 段的状态sk ，本阶段决策为uk (sk ) ，则第 k +1 段的状态s k + 1 也就完全确定，两者的关系可 用下式表示： sk +1 = Tk ( sk , uk ) （5-1） 由于它表示了由 k 段到 k +1 段的状态转移 规律，所以称为状态转移方程。
• •
动态规划的求解方法
动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向 动态规划方法）和顺序解法（前向动态规划方 法）。 • 在对例5-5的求解中，寻优的方向与多阶段决策过 程的实际进行方向相反，即从最后一段开始计算 逐步前推，从而求得全过程的最优策略，这样的 解法称为逆序解法；与之相反，顺序解法的寻优 方向与过程的前进方向相同，计算时从第一段开 始逐段向后递推，后一阶段要用到前一阶段的求 优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优 结果。
第六章 动态规划习题课
* u5 s5
max {3u4 5s4 8[0.7u4 0.9( s4 u4 )]} max {1.4u4 12.2s4 } 13.6s4
0 u4 s4 0 u4 s4
* u4 s4
f 3 ( s3 ) max {8u3 5( s3 u3 ) 13.6s4 }
0 u1 s1
f 3 ( s3 ) max {8u3 5( s3 u3 ) 13.6s4 } 900 s3 810 s4 567 s5 397 s6 278 s1 1000 0s2u3s3 max {3u3 5s3 13.6[0.7u3 0.9( s3 u3 )]} * * * * 0* 3 s3 u u1 0 u2 0 u3 810 u4 567 u5 397 * max {0.28u3 17.24s3 } 17.52s3 u3 s3 0 .6912 f1 ( s1 ) 23u3 s3 1000 236912 .
1 4 2 6 3 11 4 12 5 12
0 1 2 2 1,2 2
f(s3)
f1 ( s1 ) max { p1 ( x1 ) f 2 ( s2 )} max { p1 ( x1 ) f 2 ( s1 x1 )}
0 x1 s1 0 x1 s1
其计算如下表 ：
x1
s1
（ } k f（sk ) max { gk ( xk ) f k 1 sk xk） 0 x k s k k n, n 1,,2,1 f n1 ( sn1 ) 0
例1 某部门拟建某种高效设备五台分配给所 属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂获得这种设备 后，可以提供的盈利如下表，问应如何分配，才 能使总盈利最大？
[管理学]运筹学 动态规划
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多阶段决策过程图示
决策 决策
决策
第第
第
1
2
n
阶阶
阶
段段
段
动态规划的基本概念
C1 5
2
8 D1 3
4
A
B1 3
4
6
C2
5
58
3
5 6 D2 2
E1 4 3
F
B2 7 C3 4
1
E2
7
8
D3 3
C4 4
1
2
3
4
5
阶段: k=1,2,3,4,5
基本概念（续一）
C1 5
2
8 D1 3
B1 3
4
4
A
6
C2
第七章 动态规划
动态规划简介
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程， 它们可以按时间顺序分解成若干个相互联 系的阶段，称为“时段”，在每个时段都 要做决策，全部过程的决策是一个决策序 列。多阶段决策问题也称为序贯决策问题。 多阶段决策问题的目标是要达到整个活动 过程的总体最优。在每个阶段进行决策时 不应仅考虑本阶段最优，尤其应考虑对最 终目标的影响，从而做出对全局来说最优 的决策。 动态规划是符合这种要求的一种决策方法。
C1 5
2
8 D1 3
4
A
B1 3
4
6
C2
5
58
3
5 6
D2
2
E1 4 3
F
B2 7 C3 4
1
E2
7
8
D3 3
C4 4
第二步，k=4，状态变量s4可以取三个值D1，D2，D3。于是
f
运筹学第八章动态规划
B1 C2
□例1中，指标函数是 距离。
□如 v2(B1, C2) 表示 由B1 出发，采用决策 到C2 点的两点间距
离，即
v2( B1, C2) = 5。
26
②过程指标函数：是指从第 k 阶段的某状态 xk 出发，采取子策 略 pkn 时所得到的效益，记作
Vkn( xk, uk, xk+1, uk+1, … , xn )
2 动态规划的根本概念
学习目标： 1 准确、熟练地掌握动态规划的根本概念、特别
是状态 变量、决策变量、状态转移律、指标函数、根 本方程 等。
12
〔1〕阶段〔stage〕
□为了便于求解和表示决策及过程的开展顺序，而把所给问题恰 当地划分为假设干个相互联系又有区别的子问题，称之为多段决 策 问题的阶段。一个阶段，就是需要作出一个决策的子问题。 □通常，阶段是按决策进展的时间或空间上先后顺序划分的。 □描述阶段的变量称为阶段变量，常记为k，k=1,2, …,n。 □如本例可按空间分为4个
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的根本概念 3 动态规划的根本思想与根本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
5
1 动态规划实例
运筹学 动态规划-作业及答案
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。
求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。
已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。
每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。
求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。
4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
运筹学第八章动态规划
2 动态规划的基本概念
学习目标：
1 准确、熟练地掌握动态规划的基本概念、特别是状态 变量、决策变量、状态转移律、指标函数、基本方程 等。
12
（1）阶段（stage）
□为了便于求解和表示决策及过程的发展顺序，而把所给问题恰 当地划分为若干个相互联系又有区别的子问题，称之为多段决策 问题的阶段。一个阶段，就是需要作出一个决策的子问题。 □通常，阶段是按决策进行的时间或空间上先后顺序划分的。 □描述阶段的变量称为阶段变量，常记为k，k=1,2, …,n。 □如本例可按空间分为4个
Vkn( xk, uk, xk+1, uk+1, ···, xn ) = vk(xk, uk) vk+1(xk+1, uk+1) ··· vn(xn, un)
式中，表示某种运算，可以是加、减、乘、除、开方等。
28
□多阶段决策问题中，常见的目标函数形式之一是取各阶段效应
之和的形式，即:
n
23
□子策略：从k阶段到第n阶段，依次进行的阶段决策构成的 决策序列称为k部子策略，表示为
pkn = { uk(xk), uk+1(xk+1), …, un(xn) }
□如从第3阶段的C2
状态开始的一个子策
C2
略可表示：
p34={u3(C2) = D1,
u4(D1) = E }
24
（6）指标函数
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决 定选择C2（也即确 定了下一阶段的状 态）。
B1 C2
20
□一般来说，下一阶段状态变量xk+1的取值是上阶段的某一状 态
变量xk和上阶段决策变量uk(xk)的函数，记为
第七章运筹学动态规划
f2(B1)=20
f3(C1)=8
12 14
B1
2 10 6
C1
f3(C2)=7
9 6
3
f4(D1)=5
D1
5
f5(E)=0
A
5
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1
B3
12
11
C3
f3(C3)=12
10
( B1 , C1 ) f 3 (C1 ) 12 8 20 f 2 ( B1 ) min ( B1 , C 2 ) f 3 (C 2 ) min 14 7 min 21 20 ( B , C ) f (C ) 10 12 22 3 3 1 3 最优决策B1 C1
2
贝尔曼(Ballman)最优化原理
作为整个过程的最优策略具有 这样的性质，即无论过去的状态和 决策如何，对前面的决策所形成的 状态而言，余下的诸决策必须构成 最优策略。这就是说，不管引导到 这个现时状态的头一个状态和决策 是什么，所有的未来决策应是最优 的。
3
第一节
一、 问题的提出
• 多阶段决策：
24
f2(B1)=20
f3(C1)=8
12 14
B1
2 10 f2(B2)=14 6
C1
f3(C2)=7
9 6
3
f4(D1)=5
D1
5
f5(E)=0
A
5
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1