第三章经典效能评估方法

A
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第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
层次分析法的步骤： 1构建递阶层次结构 2建立判断矩阵群 3权重向量的确定与一致性检验 4多人单准则下权重向量的计算
A
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特征值法
假定有m个物体，他们的质量分别用 ww 1,w 2,w m T
m
（不妨假定 w j 1 ）
j1
来表示。在没有任何称重仪器的情况下，可
计算结果 wz (X）＝(0.300,0.246,0.456)T
结果表明，x 在旅游点的选择中占的比重 3
约为一半，应作为第一选择点
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述
客观世界中，存在着许多不确定的现象
“随机性” 、 “模糊性”
A
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1模糊集合概述
通过下面的方法确定出 w j
的值。将这m个物体的质量进行两两比较判断，其比
值可构成 mm矩阵。
矩阵 A具有如下性质：若用质量向量 ww 1,w 2,w mT
右乘矩阵 A ，则得矩阵 A的特征方程，即：
特征值法
(Am)w I0
w1
w1 w2
Aw wwm1
w1
w2 w2
w2 wm
w1
wm w2
A
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Zadeh表示法：
A＝ A （ u1） A （ u2） ＋ A （ un）
u1
u2
un
序偶表示法：
A ＝ { u 1 ,( A (u 1 ),( u )2 ,A ( u 2 ), ),( u n ,A ( u n ))
向量表示法：
A （ A （ u1 ） ,A （ u2 ） , ， A （ un ））
计算结果
2
3
4
0.595 0.429 0.633
0.277 0.429 0.193
0.129 0.142 0.175
5 0.166 0.166 0.668
xi在z中所占的比重是他们的相应项的两两乘积 之和 wz (x1）=0.475*0.082+0.263*0.595+0.055*0.429 +0.099*0.633 +0.110*0.166＝ 0.300（其余略）
隶属函数与隶属度：
A
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定义：设给定论域U， U到［0，1］的任一映
射 μA
μA：U ［ 0， 1］μ， μA(u)
都确定了U上的一个模糊集合，习惯上称为模 糊子集， U上的全体模糊子集构成的集合称为
模糊幂集，记作F(U)，这里 μ A 叫做A的隶
属函数，μA(u)叫做 μ 对A 的隶属度，也记作
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述
对于一个模糊集合来说，很难明确确定 某一元素是属于该集合，或不属于该集 合。
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识
1模糊集合概述
如：35岁的人是否属于中年这一集合？ 比较合理的回答应当是：35岁的人既有 一定程度的“青年成分”，也有某种程 度的“中年成分”
下的人完全不属于老年，Zadeh给出O的隶属
函数如下：
0,
0u50
μO(u)＝1＋
（ u-5 5
0） -2-1,5
0u1
0
0
μO (u) 的确定有一定的主观性。例如： μO (60)＝0.8
μO (80)＝0.97
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识
3模糊集合的表示
模糊集合则是打破隶属度只取0和1两种值的限 制，将二值逻辑｛0，1｝推广到可取［0，1］ 上任意的无穷多个值的连续逻辑，可以表现 “亦此亦彼”的模糊概念。因此，模糊集合的
隶属函数μ(u) 是特征函数的适当推广。
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度
集 R 来描述更为深刻完整。
表示u与v具有关系R的程度，当U=V时， R称 为U上的模糊二元关系，其中R由
μ R ( u ,v ) :U V [0 ( u ,v ) , 1 μ R ( u ] ,v ),
确定
例：按照医学上常规的公式，身高与体重的关 系是：
体重（公斤）＝身高（公分）－100
大多数人都不标准，因此用 UV 的模糊子
wm wm
w1
w2
wm
w1
mw2
wm
ห้องสมุดไป่ตู้
mw
w1 w2
wm
求解方程即可确定特征向量 w，亦即确定各物体的质
量
wj(j1,2,,m)
以上例子说明，将m个评估指标关于某个评估目标的重 要程度作两两比较（按表3.1所示的比例标度）后可获得 判断矩阵 A，再求 A
的与特征值m相对应的特征向量 w w 1,w 2,w m T
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述
从集合论的观点来看，模糊性导致的不 确定性是因为某些因素的排中率被破坏 而造成的。
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述
在普通集合中，任意元素只能是或属于 该集合，或不属于该集合，二者必居其 一，各元素具有非此即彼的性质。
用关系的特征函数来表示，这等价于
T ( x,z ) 1 y Y ,使 R( x, y ) S( y, z )＝1 由此推出 T ( x,z ) （R（x, y） S（y, z））
yY
这里关系 T是关系 R与S的合成，记作 T＝R S
模糊关系的定义：从U到V的一个模糊关系R，
是指 UV
上的一个模糊子集，其隶属度 μR (u,v)
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度
论域：被考虑的对象的全体这个集合称
为论域。一般用英文大写斜体U、V或X、
Y来表示。
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 2隶属函数与隶属度
集合特征函数的定义：
权重系数的确定
确定评估指标 x1,x2,… ,xm 单指标评估
依 {yi}的 大 小 对 {Si}排 序 或 分 类
第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法 第二节 模糊综合评估法
A
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第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
层次分析法:是将决策问题的有关因素 分解成目标、准则、方案等层次，并在 此基础上进行定性分析与定量分析的一 种决策方法
UV 上关系R的全体构成了 UV 的幂集
P(UV)
对(x, y) U V 如果 ( x, y) R， 则称 x与y有关系 R，记作 xRy 如果 ( x, y) R， 则称 x与y无关系 R，记作 xR c y
经典关系的合成：给定关系
R: X Y S :Y Z 则可导出R与S的合成关系： T :X Z 对任 (x,意 z)XZ,有 xT z yY, 使 xR且 yySz 即 (x,)zTyY,使 (x,)yR且 (y,)zS
隶属度函数曲线 μA(u)就是模糊集A的
表示形式，即对论域上的每一点u，其函 数值 A(u) 就表示为元素u属于模糊集A的
程度，一般用 A ( u ) 来表示
u
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 3模糊集合的表示
当U为有限集｛u1,u2,…，un｝时，通常 采用如下三种表示方法
5模糊关系
将 UV 的一个普通子集推广到 UV
上的一个模糊子集，即将经典关系扩展 成模糊关系，这就定义了一个“模糊关 系”。
A
38
经典关系的定义：设U、V为两个集合，UV 是卡氏积，它的一个子集 RUV
称为U到V的一个关系。R的特征函数表示为
1当 ,(x,y)R
R(x,y)R(x,y) 0当 ,(x,y)R
第三章 经典效能评估方法
A
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第三章 经典效能评估方法
评估的基础理论
综合论 综合论就是对系统方案采用定性与定 量相结合，各系统属性评价与全系统 综合评价相结合。
A
2
综合评估的逻辑框图
任务
明确评估目的
多指标评估
对 S1,…,Sn 排序或分类 指标预处理
{xij}
单指标或多 指标评估
选择评估模型 y=f(x1,… ,xm|w1,… ,wm)
A
［A］
U
集合A的特征函数
反之，若给定U上的一个特征函数 (x)，则由
它完全确定了U上的某一子集
Ax| (x)1
因此，U上的子集亦可由U上的特征函数来确 定，U上的全体子集构成的集合称为幂集，记 作P(U)。
特征函数的运算具有以下三个基本性质：
(1) λAB (x) λA(x) λB (x),
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识
4模糊集合的运算
设A，B，C，D为论域U上的四个普通子 集；A ，B，C， D为论域U上的四个模 糊子集
将普通子集的运算推广到模糊子集的运 算上去。
A
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第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识
并将其归一化即为评估指标的权重系数。这种方法称为 （多指标）权重排序的特征值法。
美国匹兹堡大学教授Saaty T．L．正是基于上面的基本 思想，在20世纪70年代初提出了层次分析法(analytical hierarchy process，简称AHP法)，这是一种定性分析与 定量分析相结合的系统分析方法
1 1/3 1/8 1 2 5 1 1 3 A1 3 1 1/3,A2 1/2 1 2,A3 1 1 3
8 3 1 1/5 1/2 1 1/3 1/3 1
1 3 4 1 1/4 1/4 A4 1/3 1 1,A5 4 1 1/4
1/4 1 1 4 4 1
i
1
0.082
wyi (X） 0.236 0.682
1 2 7 5 5
1/2 1 4 3
3
A 1/7 1/4 1 1/2 1/3
1/5 1/3 2 1
1
1/5 1/3 3 1 1
用代数平均法可求出Y关于z的权向量wz (Y）为 wz (Y）＝（0.475，0.263，0.055，0.099，0.110）T
设X＝｛ x1 ，x2 ， x3 ｝关于yi（i=1,2,…，5）的判断矩阵分别为
A
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定义：设A是论域U中的一个集合，对任
意的 xU令 , A(x)10xx,, A A
则称 A(x) 为集合A的特征函数。
A(x) 表示x对A的隶属程度，简称隶属度，这
里的隶属度只能取0和1两个值，反映了x绝对 属于A 或x绝对不属于A，因而只能表现“非 此即彼”的确切概念
集合A的特征函数的图形
随机性造成的不确定性是由于对事物的因果律掌 握不够，也就是说对事物发生的条件无法严格控制， 以致一些偶然因素使试验结果产生了不确定性，但 事物的本身却是有明确的含义的
模糊性是指某些事物或概念的边界不清楚，这种 边界不清楚的模糊概念，不是由于人的主观认识达 不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性， 是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。
A(u)＝μA（u）
模糊子集完全由其隶属函数所刻划，特别地当
μ A 的值取［0，1］的两个端点，亦即0，1
两个值时，A便退化为一个普通子集，隶属函 数也就退化为特征函数。由此可见，普通集合 是模糊集合的特殊情况
μA(u) 正是u属于A的程度的度量
例：以年龄作论域，取U＝［0，100］，以O
表示老年这个模糊子集，假设我们认为50岁以
λA(x) λB (x) max λA(x), λB (x);
(2) λA B (x) λA(x) λB (x),
λA(x) λB (x) min λA(x), λB (x);
(3) λA(x) 1- λA(x)。
由此可见，经典集合的运算完全可以借助其特 征函数来进行，由于经典集合论的特征函数只 允许取0和1两个值，故与二值逻辑相对应，从 而可以按照布尔代数的法则来进行运算：
如：区分青年、中年、老年
模糊概念的数学表达是必不可少，但是传统的集合 论在模糊概念面前就显得软弱无力
第三章 经典效能评估方法
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学的基础知识 1模糊集合概述
1965年，美国控制论专家Zadeh教授第一 次提出了模糊集合的概念，由此开创一 门新的数学分支——模糊数学
第三章 经典效能评估方法
第一节 层次分析法
应用举例：选择最佳旅游地点 考虑5个因素：费用y1 ，景色y2 ，居 住条件y3 ，饮食条件y4 ，旅游条件y5 给出三个预选地点x1 、x2 、x3
层次结构分析模型
A
10
选择最佳旅游地点z
y1
y2
y3
y4
y5
x1
x2
x3
用两两比较法得到Y关于z的判断矩阵为