空间向量与立体几何PPT教学课件

江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章空间向量与立体几何

3．1 空间向量及其运算

一、学习内容、要求及建议

二、预习指导

1．预习目标

(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；

(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；

(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；

(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．

(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质知识、方法要求学习建议

空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒

空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．

空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒

空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．

空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．

空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． ABCOMNG和计算方法及运算律．

(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．

2．预习提纲

(1)回顾平面向量的相关知识：

①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?

空间向量在立体几何中的应用

教学目标

1、知识与技能

(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；

(2)利用向量法证明线线、线面垂直；

(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；

2、过程与方法

通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观

通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，

从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点

建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键

建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法

启发式教学、讲练结合

教学媒体

ppt课件

学法指导

交流指导，渗透指导.

课型

新授课

教学过程

一、知识的复习与引人

自主学习

1.若OP=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量OP的坐标，也叫点P的坐标.

2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,

1AA．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及AC中点G的坐标．

3.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），那么

ba=（x1±x2，y1±y2，）， a⊥b⇔ ba=x1x2+y1y2+ =0.

4.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），则 12MM（2121,xxyy，）

[探究]

1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有个．

2．空间位置关系的向量表示

[合作探究]

二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直

例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．

高中几何知识解析解析几何中的向量模长与方向角计算

几何学中的向量是一个有大小和方向的量，它在解析几何中有重要的应用。为了准确计算向量的模长和方向角，我们需要掌握一些关键概念和计算公式。

一、向量的模长

向量的模长代表了向量的长度或大小，通常用两个不同点之间的直线距离表示。在坐标平面上，我们可以用勾股定理来计算向量的模长。

设向量A的起点为点P(x1, y1)，终点为点Q(x2, y2)，则向量A的模长为：

|A| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

例如，给定点P(1, 2)和Q(4, 6)，我们可以计算向量PQ的模长：

|PQ| = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)

= √(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

因此，向量PQ的模长为5。

二、向量的方向角向量的方向角表示了向量与坐标轴正方向之间的夹角，通常用角度（以度或弧度表示）来表示。

在坐标平面上，我们可以通过求解向量与坐标轴的夹角来计算向量的方向角。

设向量A的起点为点P(x, y)，终点为点Q(x + a, y + b)，其中(a, b)是向量A的坐标表示，则向量A的方向角为：

θ = arctan(b / a)

需要注意的是，应根据向量所在的象限，适当地对θ进行角度的修正，以确保其在合适的范围内。

例如，给定向量A(3, 4)，我们可以计算向量A的方向角：

θ = arctan(4 / 3)

≈ 53.13°

因此，向量A的方向角约为53.13°。

总结起来，我们可以通过以下方法计算向量的模长和方向角：

1. 计算向量的模长：

- 根据起点和终点的坐标，应用勾股定理计算直线距离。

2. 计算向量的方向角：

- 根据起点和终点的坐标，计算出向量所在的直角三角形的两条直角边的长度。 - 应用反正切函数来计算方向角，并进行必要的修正。

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案

课题：平面向量知识复习

教学目标：

复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备

教学重点：平面向量的基础知识

教学难点：运用向量知识解决具体问题

教学过程：

一、基本概念

向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

二、基本运算

1、向量的运算及其性质

运算类型几何方法坐标方法运算性质

向

量

的

加

法 1平行四边形法则

2三角形法则 ),(2121yyxxba abba

)()(cbacba

ACBCAB

向

量

的

减

法三角形法则 ),(2121yyxxba )(baba

BAAB

ABOAOB

向

量

的 1a是一个向量,满足:

2>0时,a与a同向;

<0时,a与a异向; ),(yxa aa)()(

aaa)(

乘

法 =0时, a=0 baba)(

a∥bab

向

量

的

数

量

积 ba是一个数

10a或0b时,

ba=0

20a且0b时,

),cos(||||bababa 2121yyxxba abba

)()()(bababa

cbcacba)(

22||aa22||yxa

||||||baba

2、平面向量基本定理：

如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，使a

；

注意)(21OBOAOP,OAOAOP)1(的几何意义

3、两个向量平行的充要条件：

⑴ //ab的充要条件是：；（向量表示）

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空间中点、直线和平面的向量表示(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修第一册

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示

（一）教学内容

空间中点、直线和平面的向量表示

（二）教学目标

1.会将空间中的点、直线、平面用规范的向量语言表示出来，通过学会空间中的点、直线、平面的向量表示再来研究空间的直、平面的平行、垂直的关系；

2.通过恰当选取几何体中的一个向量基底，加深理解向量基本定理，能够用向量规范表示空间中的点、直线、平面，体悟数学“元”思想，发展学生的数学抽象等数学核心素养.

（三）教学重点及难点

1.重点

空间中点、直线和平面的向量表示

2.难点

恰当选取基底及求平面的法向量

（四）教学过程

引导语：前几节课，我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的立体几何问题.在这个过程中，你有没有发现利用空间向量解决立体几何问题的关键是什呢？我们看下面的问题：

问题1：形成空间几何图形的基本元素是什么？

师生活动：

（1）教师给出问题，提醒学生回顾立体几何初步的的内容（2）学生独立思考后回答，空间几何图形的基本元素为点、直线、平面

（3）教师点评

教师追问：空间几何图形的基本元素点、直线、平面是不能进行运算的，你有什么办法能让不能运算的这些要素对应到另一个可运算的领域中？

（1）教师给出问题，提示学生回顾平面解析几何及平面向量的的研究方法进行思考

（2）学生阅读教科书26P结合教师提示独立思考后回答问题，教师点评；

（3）教师总结，先用规范的向量语言表示空间中的点、直线、平面，再在向量领域中通过代数运算解决元素之间的位置关系和度量问题.

设计意图：通过组成空间图形要素的提炼，引出点、直线、平面的向量表示.

这样我们得到,空间向量解决立体几何问题的关键是点、直线、平面的向量表示.

首先，让我们一起来研究

问题2.如何用向量表示空间中的一个点P？

师生活动：

（1）教师提出问题，并展示ppt，如图1，提示学生阅读教科书 26P后观察思考，

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析

【数学】2011版《3年高考2年模拟》：第八章立体几何第三节空间向量在立体几何中的应用

第三节空间向量在立体几何中的应用

第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

【答案】D

【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0,62） (B)（1,22）

(C) (62,62） (D) （0,22）

【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a<2+3，即22843(62)a，即有a<62

(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;

综上分析可知a∈（0,62）

3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

2015年高三数学(理)一轮复习讲义：7.7立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直(人教A版)

第7讲立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直

[最新考纲]

1．理解直线的方向向量及平面的法向量．

2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 n·a＝0，n·b＝0.

2．空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2. l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0

l⊥α n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m. α∥β n∥m⇔n＝λm

α⊥β n⊥m⇔n·m＝0

辨析感悟

1．平行关系

(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)

(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(√)

2．垂直关系

(3)已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是n0＝±13，－23，23.(√)

(4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．(√)

[感悟·提升]

1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．

2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.

用向量讨论垂直与平行

第1页共2页

《用向量讨论垂直与平行》教学设计

武屯中学李亚男

一、学情分析

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识，前面又学习

了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这

些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会

遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行

二、教学目标

1、知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。

2、过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法。

3、情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力。

三、教材分析

本节所涉及到的定理，学生都已经学习过，这里主要是要让学生体会用向量方法解决几何问题的过程。本节没有给出必修中线面关系的所有定理，只选取部分，目的是留给学生自

学的机会。

例1 （线面垂直判定定理）使学生认识到空间直线与平面的垂直本质是空间直线的方向向量与平面的法向量平行。

例2 （面面平行判定定理）使学生认识到空间两个平面的平行本质是空间两个平面的法向量平行。

三、重点和难点

重点：向量法与坐标法•

难点：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化

四、课前准备：ppt

五、课时安排：1课时

六、教学过程

1. 复习引入

向量是研究立体几何的基本工具，从本节开始，我们将用向量研究立体几何的一些问题。

2. 新课探究

例1、证明线面垂直判定定理（转化为证明直线的方向向量垂直）

第2页共2页

a _ b, a _ c a_b,a_c a・b=O,a・c=O

；直线b，c相交 • b与c不共线第3页共2页

a・p=O，即 a_ p

.直线a垂直于平面二

-a || 二2,b || 二2 又:因为直线b, c, p在同一平面二内