2020年江西省吉安市数学高二下期末预测试题含解析

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2020年江西省名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年江西省名校数学高二第二学期期末调研试题含解析

2020年江西省名校数学高二第二学期期末调研试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,动点E ,F 在棱11A B 上,动点P ,Q 分别在棱AD ,CD 上.若 2E F =,1 A E m =, D Q n =, D P p =(,,m n p 大于零),则四面体PEFQ 的体积A .与,,m n p 都有关B .与m 有关,与,n p 无关C .与p 有关,与,m n 无关D .与π有关,与,m p 无关【答案】C【解析】【分析】 连接1AD 、1A D 交于点O ,作1//PM AD ,证明1AD ⊥平面11A B CD ,可得出PM ⊥平面EFQ ,于此得出三棱锥P EFQ -的高为2PM p =,再由四边形11A B CD 为矩形知,点Q 到EF 的距离为142A D =,于此可计算出EFQ ∆的面积为42,最后利用锥体的体积公式可得出四面体PEFQ 的体积的表达式,于此可得出结论.【详解】如下图所示,连接1AD 、1A D 交于点O ,作1//PM AD ,在正方体1111ABCD A B C D -中,CD ⊥平面11AA D D ,且1A D ⊂平面11AA D D ,1AD CD ∴⊥,又Q 四边形11AA D D 为正方形,则11AD A D ⊥,且1CD A D D =I ,1AD ∴⊥平面11A B CD ,即1AD ⊥平面EFQ ,1//PM AD Q ,PM ∴⊥平面EFQ ,且1sin 2PM PD ADA p =⋅∠=,易知四边形11A B CD 是矩形,且1AD =∴点Q 到直线EF 的距离为1AD ,EFQ ∴∆的面积为111222EFQ S EF AD ∆=⋅=⨯⨯=所以,四面体PEFQ 的体积为1143323P EFQ EFQ p V S PM p -∆=⋅=⨯=, 因此,四面体PEFQ 的体积与p 有关,与m 、n 无关,故选C.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算,解题的关键在于寻找底面和高,要充分结合题中已知的线面垂直的条件,找三棱锥的高时,只需过点作垂线的平行线可得出高,考查逻辑推理能力,属于难题.2.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ,B 两点,若AB 4=,则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于( )A .74B .94C .4D .2【答案】B【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k (4x ﹣1)﹣4y=0,故可知直线恒过定点(14,0) ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为(14,0),准线方程为x=﹣74, ∴直线AB 为过焦点的直线∴AB 的中点到准线的距离222FA FB AB +== ∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B .点睛:本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的;平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化.3.斐波那契螺旋线,也称“黄金蜾旋线”,是根据斐波那契数列(1,1,2,3,5,8…)画出来的螺旋曲线,由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出.如图,矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的,在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形ABCD 内任取一点,该点取自阴影部分的概率为( )A .8πB .4πC .14D .34【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式,分别求出阴影部分面积和矩形ABCD 的面积,即可求得。

江西省吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

江西省吉安市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

3x
A. 8 3
B. 8 3
C.6
2.已知随机变量 X ~ H (7, 4,5) ,则 E(X ) ( )
D. 6
A. 20 7
B. 35 4
C.2
D. 28 5
3.记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和, S2 4 , S6 18 ,则 S4 ( )
A.8
B.9
C.10
D.11
4.某校高二年级组织春游,已知该校 1~8 班每班 30 人,9~20 班每班 40 人,且 1~8 班
A. 5
B. e 1
C. 2 5
D. 2e
6.已知函数
f
(x)
x
2
1
,在正项等比数列
an
中,
a1012
2023
1,则
i 1
f
ai


A.1011
B.1012
C.2023
D.2024
7.赣南脐橙果大形正,橙红鲜艳,光洁美观,已被列为全国十一大优势农产品之一,
荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金 800 万元,已知每
江西省吉安市 2022-2023 学年高二下学期期末教学质量检测 数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知函数 f (x) ln x 3x ,则 lim f (1 2x) f (1) ( )
x0
7
7
7
7
yi 266 , xi yi 1197 , yi y 2 25.8 , xi x yi y 133 .
i 1

江西省名校2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析

江西省名校2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析

江西省名校2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.已知命题p :“0a ∃>,有12a a+<成立”,则命题p ⌝为( ) A .0a ∀≤,有12a a +≥成立B .0a ∀>,有12a a+≥成立C .0a ∃>,有12a a+≥成立D .0a ∃>,有12a a+>成立 【答案】B 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题。

【详解】特称命题的否定是全称命题,所以0a ∃>,有12a a+<成立的否定是0a ∀>,有12a a +≥成立,故选B. 【点睛】本题考查特称命题的否定命题,属于基础题。

2.已知R a ∈,则“1a >”是“11a<”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a >1”⇒“11a <”,“11a<”⇒“a >1或a <0”,由此能求出结果. 【详解】a ∈R ,则“a>1”⇒“11a<”, “11a<”⇒“a >1或a <0”, ∴“a >1”是“11a<”的充分非必要条件. 故选A . 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假.并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件.2.等价法:利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件. 3.若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍,则0y =( )A .12B C .1 D .2【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义列等式可求出0y 的值. 【详解】抛物线216x y =的准线方程为4y =-,由抛物线的定义知,抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离为04y +,0043y y ∴+=,解得02y =,故选:D.【点睛】本题考查抛物线的定义,在求解抛物线上的点到焦点的距离,通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解,考查运算求解能力,属于中等题.4.()131x -的展开式中,系数最小的项为( ) A .第6项 B .第7项 C .第8项 D .第9项【答案】C 【解析】由题设可知展开式中的通项公式为11313()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-,其系数为13(1)r rC -,当r 为奇数时展开式中项的系数13(1)r rC -最小,则7r =,即第8项的系数最小,应选答案C 。

江西省吉安市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末达标测试试题

江西省吉安市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末达标测试试题

提高练习一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若展开式二项式系数之和为32,则展开式中含项的系数为( )A .40B .30C .20D .152.已知AB =(2,3),AC =(3,t),BC =1,则AB BC ⋅= A .-3 B .-2 C .2 D .33.曲线2y x=与直线1y x =-及直线1x =所围成的封闭图形的面积为( ) A .34 B .52C .42ln 2-D .12ln 22-4.安排5位同学摆成一排照相.若同学甲与同学乙相邻,且同学甲与同学丙不相邻,则不同的摆法有( )种 A .20B .24C .36D .485.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A .某校高三(1)班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人B .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A +∠B =180°C .由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n = (a n -1+)(n≥2),由此归纳出{a n }的通项公6.设实数x ,y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是( )A .2B .3C .4D .57.数列{}n a 中, 122,3a a ==, 11n n n a a a +-=-(2n ≥),那么2019a =( ) A .1B .-2C .3D .-38.在区间[]0,1上任取两个实数a ,b ,则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为( ) A .12B .14C .23D .349.912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是( ) A .0B .1C .256D .51210.某次运动会中,主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作,每个项目至少1人,若甲、乙两人不能到同一个项目,则不同的安排方式有( ) A .24种B .30种C .36种D .72种11.已知函数()sin(2)3f x x π=+,将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 为偶函数,则ϕ的最小值为( ) A .12πB .512π C .6π D .56π 12.某单位为了了解办公楼用电量(度)与气温(℃)之间的关系,随机统计了四个工作量与当天平均气温,并制作了对照表: 气温(℃) 18 13 10 -1 用电量(度)24343864由表中数据得到线性回归方程,当气温为℃时,预测用电量均为( )A .68度B .52度C .12度D .28度二、填空题:本题共4小题 13.如果1cos 2α=,且α为第四象限角,那么tan α的值是____. 14.已知()()()12ln f x a x x a R =-+∈在定义域上满足()0f x ≤恒成立,则a =______.15.若方程2334x m x --=有实根,则实数m 的取值范围是______. 16.已知正数x ,y 满足111x y+=,则4911x yx y +--的最小值为____________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2022-2023学年江西省吉安市高二(艺术类)下学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高二(艺术类)下学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高二(艺术类)下学期6月期末数学试题一、单选题1.直线310x y -+=的倾斜角为()A .0︒B .30︒C .45︒D .60︒【答案】B【分析】求出直线的斜率,进而得到倾斜角.【详解】310x y -+=的斜率为33,故倾斜角为30︒.故选:B2.将圆222440x y x y +--+=平分的直线是()A .10x y +-=B .30x y ++=C .10x y -+=D .30x y -+=【答案】C【分析】由题意可知所求的直线过圆心,所以先求出圆的圆心,然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.【详解】要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,由222440x y x y +--+=,得22(1)(2)1x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2),对于A ,因为12120+-=≠,所以直线10x y +-=不过圆心,所以A 错误,对于B ,因为12360++=≠,所以直线30x y ++=不过圆心,所以B 错误,对于C ,因为1210-+=,所以直线10x y -+=过圆心,所以C 正确,对于D ,因为12320-+=≠,所以直线30x y -+=不过圆心,所以D 错误,故选:C3.抛物线C :24x ay =过点(2,1)-,则C 的准线方程为()A .1y =B .1y =-C .1x =D .=1x -【答案】B【分析】先求得参数a 的值,进而求得C 的准线方程.【详解】抛物线C :24x ay =过点(2,1)-,则()224a -=,解之得1a =,则抛物线C 方程为24x y =,则C 的准线方程为1y =-故选:B4.已知向量()()1,3,0,2,1,1a b == ,则向量a 在向量b 上的投影向量c = ()A .555,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭B .555,,366⎛⎫ ⎪⎝⎭C .555,,488⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()2,4,4【答案】B 【分析】利用投影向量的定义求解作答.【详解】向量()()1,3,0,2,1,1a b == ,1231015a b ⋅=⨯+⨯+⨯= ,222||2116b =++= ,所以向量a 在向量b 上的投影向量5555=(,,)6366||||a b b c b b b ⋅=⋅= .故选:B5.两个数4,6的等差中项是()A .5±B .4±C .5D .4【答案】C【分析】利用等差中项的定义即可得出结论.【详解】两个数4,6的等差中项为4652+=.故选:C .6.在等比数列{}n a 中,已知134a a =,9256a =,则7a 等于()A .128B .128或-128C .64或-64D .64【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.【详解】设公比为q ,由已知得21181·4256a a q a q ⎧=⎨=⎩,解得121q a =±⎧⎨=⎩,所以67164a a q ==.故选:D7.曲线2e =+x y x 在0x =处的切线方程为().A .y x =B .1y x =+C .21y x =+D .31y x =+【答案】D【分析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】因为2e =+x y x ,所以212e x y '=+,则当0x =时,1y =,3y ¢=,故曲线2e =+x y x 在0x =处的切线方程为()130y x -=-,即31y x =+.故选:D8.若函数()3263f x x ax x =++-在R 上存在极值,则正整数a 的最小值为()A .4B .5C .6D .7【答案】B 【分析】求出函数的导数,由题意得()0f x '=有两个不等实数根,再由0∆>求出实数a 的取值范围,即可得到正整数a 的最小值.【详解】()2326f x x ax '=++,由函数()f x 在R 上存在极值,则()0f x '=有两个不等实数根,得24720a ∆=->,解得32a >或32a <-,又a 为正整数,所以a 的最小值为5.故选:B .二、多选题9.以下函数求导正确的有()A .()1x '=B .(sin 2)cos 2'=C .1()ln x x'=D .1()2x x '=【答案】AD【分析】利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论.【详解】11()1x x -'==,A 正确;(sin 2)0'=,常数的导数为0,B 错误;()12211()x x x x--''==-=-,C 错误;112211()22x x x x -'⎛⎫'=== ⎪⎝⎭,D 正确.故选:AD.10.对于数列{}n a ,若11a =,()*12n n a a n n ++=∈N ,则下列说法正确的是()A .43a =B .数列{}n a 是等差数列C .数列{}21n a -是等差数列D .221n a n =-【答案】ACD 【分析】由12n n a a n ++=,得()1221n n a a n +++=+,两式相减得22n n a a +-=,结合11a =可知数列{}n a 所有奇数项和所有偶数项各自构成等差数列,从而即可对选项进行逐一判断.【详解】由()*12n n a a n n ++=∈N ,11a =,得2121a a =-=,3243a a =-=,4363a a =-=,所以A 选项正确;又12n n a a n ++=,()1221n n a a n +++=+,两式相减得22n n a a +-=,令21n n =-,可得21212n n a a +--=,所以{}n a 不是等差数列,{}21n a -是等差数列,故B 选项错误,C 正确;同理,令2n n =,则2222n n a a +-=,所以{}2n a 是以21a =为首项,公差为2的等差数列,所以()211221n a n n =+-⨯=-,故D 正确.故选:ACD11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22n n n S a =-,*n ∈N ,则()A .12a =B .26a =C .数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D .{}1n a +为等比数列【答案】ABC 【分析】由22n n n S a =-可递推得{}n a 的通项公式,一一判定即可.【详解】由22n n n S a =-得()111222n n n S a n ---=-≥,两式相减得()11222n n n a n a --=+≥,111111222222n n n n n n n n a a a a ----=+⇒-=,又当1n =时,1122S a =-,则12a =,故2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是1,公差为12的等差数列,即()()()111112N 22n n n n a n a n n -*=+-⇒=+⋅∈.显然A 、C 正确;2326a =⨯=,故B 正确;由通项公式易得113a +=,217a +=,3117a +=,三者不成等比数列,故D 错误.故选:ABC .12.古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究,比如图1中的1,3,6,10,15,21,…这些数能够表示成三角形,所以将其称为三角形数,类似地,把1,4,9,16,…叫做正方形数,如图2,则下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A .36B .289C .1024D .1225【答案】AD 【分析】设三角形数从小到大排序,构成数列{}n a ,正方形数从小到大排序,构成数列{}n b ,根据题意分别求出两个数列的通项,再逐一检验即可.【详解】设三角形数从小到大排序,构成数列{}n a ,正方形数从小到大排序,构成数列{}n b ,则()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=,2n b n n n =⋅=,对于A ,889362a ⨯== ,26366b ==,36∴既是三角形数又是正方形数,A 正确;对于B ,21728917b == ,()12892n n +=无正整数解,289∴是正方形数,不是三角形数,B 错误;对于C ,232102432b == ,()110242n n +=无正整数解,1024∴是正方形数,不是三角形数,C 错误;对于D ,49495012252a ⨯== ,235122535b ==,1225∴既是三角形数又是正方形数,D 正确.故选:AD.三、填空题13.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 的值为.【答案】1-【分析】根据等比数列的前n 项和公式,求123,,a a a ,再结合等比数列的性质,列式求解.【详解】根据题意,等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则1133a a a =+=+,()()()()232221332336,3318a S S a a a S S a a =-=+-+==-=+-+=,则有()31836a +⨯=,解可得1a =-,故答案为:1-14.曲线11x y x+=-在点()2,3-处的切线方程为【答案】270x y --=【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】由11x y x +=-()1x ≠,所以()()()()22111211x x y x x --+⨯-'==--,所以()222212x y ===-',所以曲线11x y x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2,所以所求切线方程为()322y x +=-,即270x y --=.故答案为:270x y --=.15.一支车队有15辆车,某天下午依次出发执行运输任务,第一辆车于14时出发,以后每间隔10min 发出一辆,假设所有的司机都连续开车,并都在19时停下来休息.已知每辆车行驶的速度都是60km /h ,则这个车队当天一共行驶了千米?【答案】3450【分析】通过分析,这15辆车的行驶路程可以看作等差数列,利用等差数列求和公式进行求解即可.【详解】由题意知,第一辆车行程为()191460300-⨯=km ,且从第二辆车开始,每辆车都比前一辆少走10601060⨯=km ,这15辆车的行驶路程可以看作首项为300,公差为-10的等差数列,则15辆车的行程路程之和为()151514300151034502S ⨯=⨯+⨯-=(km ).故答案为:3450.16.如果函数()()42231f x cx c x =+-+在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,0-上单调递增,则c 的值为.【答案】1【分析】根据题意得到()10f '-=,求出3c =-或1c =,排除不合要求的解.【详解】由题意得,()()32423f x cx c x =+-',由()10f '-=,得()24230c c ---=,解得3c =-或1c =.当3c =-时,()()()1211f x x x x =--+',当1x <-时,()0f x ¢>,则()f x 在区间(),1-∞-上单调递增,不满足条件,舍去;当1c =时,()()()411f x x x x =-+',当1x <-时,()0f x '<,当10x -<<时,()0f x ¢>,满足()f x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,0-上单调递增,故1c =.故答案为:1四、解答题17.已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=.(1)若12l l ⊥,求实数a 的值;(2)若12l l ∥,求实数a 的值.【答案】(1)0或2(2)3-【分析】(1)根据两直线垂直的公式12120A A B B +=,即可求解;(2)根据两直线平行,1221A B A B =,求解a ,再代回直线验证.【详解】(1)若12l l ⊥,则()1230a a a ⎡⎤⨯+⨯--=⎣⎦,解得0a =或2;(2)若12l l ∥,则223a a ∴=-+,解得3a =-或1.3a =-时,12:330,:3950l x y l x y -+=-+=,满足12l l ∥,1a =时,12:10,:10l x y l x y +-=+-=,此时1l 与2l 重合,所以3a =-.18.圆C 经过点(2,1)A -,和直线1x y +=相切,且圆心在直线2y x =-上.(1)求圆C 的方程;(2)求圆C 在y 轴截得的弦长.【答案】(1)()()22122x y -+=+(2)2【分析】(1)设出圆心坐标,用几何法求解圆的方程即可;(2)利用直线与圆相交的弦长公式求解即可.【详解】(1)设圆心的坐标为(),2C a a -,则()()22212212a a a a ---+-+=.化简得2210a a -+=,解得1a =,所以C 点坐标为()1,2-,半径()()2212212r AC ==-+-+=,故圆C 的方程为()()22122x y -+=+.(2)圆心C ()1,2-到y 轴的距离为1,所以圆C 在y 轴截得的弦长为()222212-=.19.已知甲书架上有4本英文读物和2本中文读物,乙书架上有2本英文读物和3本中文读物.(1)从甲书架上无放回地取2本书,每次任取1本,求第一次取到英文读物的条件下第二次仍取到英文读物的概率;(2)先从乙书架上随机取2本书放在甲书架上,再从甲书架上随机取2本书,求从甲书架上取出的是2本英文读物的概率.【答案】(1)35(2)93280【分析】(1)利用古典概型的概率公式计算可得;(2)记从乙书架上取出两本英文读物为事件A ,从乙书架上取出一本英文读物、一本中文读物为事件B ,从乙书架上取出两本中文读物为事件C ,从甲书架上取出的是2本英文读物为事件D ,利用全概率公式计算可得.【详解】(1)依题意第一次取到英文读物,则甲书架上还有3本英文读物和2本中文读物,所以第二次仍取到英文读物的概率33325==+P .(2)从乙书架上随机取2本书放在甲书架上,记从乙书架上取出两本英文读物为事件A ,从乙书架上取出一本英文读物、一本中文读物为事件B ,从乙书架上取出两本中文读物为事件C ,从甲书架上取出的是2本英文读物为事件D ,依题意()2225C 1C 10P A ==,()112325C C 3C 5P B ==,()022325C C 3C 10P C ==,()2628C 15|C 28P D A ==,()2528C 5|C 14P D B ==,()2428C 3|C 14P D C ==,所以()()()()()()()|||P D P A P D A P B P D B P C P D C =++11535339310285141014280=⨯+⨯+⨯=.20.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AB AD ⊥,1224AA AB AD CD ====,E ,F ,G 分别为棱1DD ,11A D ,1BB 的中点.(1)求线段FG 的长度;(2)求CG EF ⋅ .【答案】(1)21(2)6【分析】(1)以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出FG 即可;(2)根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】(1)如图,以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系,则()()1,4,0,0,2,4F G ,故()1,2,4FG =-- ,所以141621FG =++= ,即线段FG 的长度为21;(2)()()2,0,2,2,2,0C E ,则()()2,2,2,1,2,0CG EF =-=- ,所以2406CG EF ⋅=++=.21.已知等差数列{}n a 的首项为1,其前n 项和为n S ,且42a 是2与511S -的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n T 是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,求证:12n T <.【答案】(1)()*21N n a n n =-∈(2)证明见解析【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由等比中项的性质即可得()()2452211a S =⨯-,在由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求出2d =,即可求出数列{}n a 的通项公式;(2)由裂项相消法求和即可;【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意()()2452211a S =⨯-,即()()413251011d d +=+-,解得2d =,()11221n a n n ∴=+-⋅=-,即数列{}n a 的通项公式为()*21N n a n n =-∈.(2)()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+,12233411111n n n T a a a a a a a a +∴=++++ 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 1111112212422n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.22.已知函数()2ln 2f x ax x =-+.(1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.【答案】(1)2(2)22(0,)e【分析】(1)求得2()ax f x x -'=,由()01f '=,求得2a =,经验证,当1x =时,函数()f x 取得极小值,符合题意;(2)由2()ax f x x-'=,当0a ≤时,()f x 单调递减,不符合题意;当0a >时,利用导数求得函数的单调性与最小值22()42ln f a a =-,结合2()0<f a,即可求解.【详解】(1)解:由函数()2ln 2f x ax x =-+,可得函数()f x 的定义域为()0,∞+,且22()ax f x a x x'-=-=,因为函数()f x 在1x =处取得极值,所以(1)20f a '=-=,解得2a =,当2a =时,可得2(1)()x f x x'-=,当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减当()1,x ∈+∞时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,所以当1x =时,函数()f x 取得极小值,符合题意.(2)解:由2()ax f x x-'=,其中0x >,当0a ≤时,可得()0f x '<,()f x 单调递减,函数()f x 至多有一个零点,不符合题意;当0a >时,令()0f x '=,解得2x a =,当2(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减;当2(,)x a∈+∞时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,当2x a =时,函数()f x 极小值,也是最小值,最小值为22()42ln f a a=-,当0x →时,()f x →+∞,且()e e 0f a =>,要使得函数()f x 有两个零点,则满足2()0<f a ,即242ln 0a -<,解得22e a <,所以实数a 的取值范围是22(0,)e .。

江西省吉安市2020年(春秋版)数学高二下学期理数期末考试试卷B卷

江西省吉安市2020年(春秋版)数学高二下学期理数期末考试试卷B卷

江西省吉安市2020年(春秋版)数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2019高二下·双鸭山月考) 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设是.()A . 三内角至少有一个小于60°B . 三内角只有一个小于60°C . 三内角有三个小于60°D . 三内角都大于60度2. (2分)椭圆的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是()A .B .C .D .3. (2分)(2017·江门模拟) 设i是虚数单位,若(2a+i)(1﹣2i)是纯虚数,则实数a=()A . 1B . ﹣1C . 4D . ﹣44. (2分)如果随机变量§~N(—2,),且P(—3≤§≤—1)=0.4,则P(§≥—1)=()A . 0.7B . 0.6C . 0.3D . 0.25. (2分) (2017高二下·故城期中) 下列四个命题中错误的是()A . 在一次试卷分析中,从每个考室中抽取第5号考生的成绩进行统计,不是简单随机抽样B . 对一个样本容量为100的数据分组,各组的频数如下:区间[17,19)[19,21)[21,23)[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33]频数113318162830估计小于29的数据大约占总体的58%C . 设产品产量与产品质量之间的线性相关系数为﹣0.91,这说明二者存在着高度相关D . 通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如表列联表:男女总计走天桥402060走斑马线203050总计6050110由,则有99%以上的把握认为“选择过马路方式与性别有关”6. (2分)已知直线,平面.则“”是“直线,”的()A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. (2分)如图,执行程序框图后,输出的结果为()A . 8B . 10C . 12D . 328. (2分)曲线y=(x>0)在点P(x0 , y0)处的切线为l.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,则△OAB(其中O为坐标原点)的面积为()A . 4+2B . 2C . 2D . 5+29. (2分) (2016高三上·厦门期中) 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .B .C .D . (4+π)10. (2分)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案()A . 300种B . 240种C . 144种D . 96种11. (2分) (2015高二下·乐安期中) 已知抛物线y2=﹣4 x的焦点到双曲线 =l(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为()A .B .C .D .12. (2分) (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f(x)= 在[1,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是()A . a≤eB . 0<a≤eC . a≥eD . 0<a<二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2016高二下·泗水期中) 已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)=________.14. (1分)一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所做的功为________J.15. (1分)一个球的体积在数值上等于其表面积的5倍,则该球的半径为________.16. (1分)(2017·潮州模拟) 已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y2=1的焦距为________.三、解答题 (共6题;共60分)17. (15分)(2016·运城模拟) 某省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[157.5,162.5),第2组[162.5,167.5),…,第6组[182.5,187.5],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生的平均身高;(2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数;(3)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.18. (10分) (2018高二下·孝感期中) 已知命题函数在上是减函数,命题,.(1)若为假命题,求实数的取值范围;(2)若“ 或”为假命题,求实数的取值范围.19. (5分) (2016高二上·温州期中) 如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,N是PC的中点.(Ⅰ)若PA=1,求二面角B﹣PC﹣D的大小;(Ⅱ)求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值.20. (10分)(2020·安阳模拟) 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱,一位农户发挥聪明才智,把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里,收到了很好的经济效益.根据资料显示,产出的新奇水果的箱数x(单位:十箱)与成本y(单位:千元)的关系如下:x13467y5 6.577.58 y与x可用回归方程 (其中,为常数)进行模拟.(1)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱,试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.(利润=售价-成本)(2)据统计,10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图,用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果,满载发车,否则不发车.若发车,则每辆车每趟可获利500元,若未发车,则每辆车每天平均亏损200元。试比较和时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设,则0.54 6.8 1.530.45线性回归直线中,, .21. (10分) (2018高二上·抚顺期末) 点在椭圆:上,且点到椭圆两焦点的距离之和为。

江西省吉安市2020年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷

江西省吉安市2020年数学高二下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则=()A . {1,2,3}B . {1,4,5}C . {1.2}D . {3,5}2. (2分) (2020高二上·青铜峡期末) 命题“ ”的否定是()A .B .C .D .3. (2分)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共()A . 24种B . 18种C . 12种D . 6种4. (2分)一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,在取到的都是红球的前提下,且至少有1个球的号码是偶数的概率是()A .B .C .D .5. (2分) (2017高二下·新余期末) 曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是()A .B . 2C .D . 16. (2分)下列四个条件中,p是q的必要不充分条件的是()A . p:a>b q:>B . p:a>b q:>C . p:a+b=c为双曲线q:ab<0D . p:a+bx+c>0 q:++a>07. (2分)(2016·福建模拟) 设a= (3x2﹣2x)dx,则(ax2﹣)6的展开式中的第4项为()A . ﹣1280x3B . ﹣1280C . 240D . ﹣2408. (2分) (2015高二下·哈密期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则,类比这个结论可知:四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ,内切球半径为R,四面体S﹣ABC的体积为V,则R=()A .B .C .D .9. (2分)(2018高二下·黄陵期末) 若,则=()A . -1B . 1C . 2D . 010. (2分) (2018高二下·张家口期末) 已知,则中()A . 至少有一个不小于1B . 至少有一个不大于1C . 都不大于1D . 都不小于111. (2分)(2018高二下·张家口期末) 且,可进行如下“分解”:若的“分解”中有一个数是2019,则()A . 44B . 45C . 46D . 4712. (2分) (2019高一上·玉溪期中) 已知,若关于的方程有三个实根,则实数的取值范围是()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)(2017·齐河模拟) 在某项测试中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2),若P(X<0)=0.2,则P(0<X<2)=________.14. (1分) (2018高二上·长春月考) 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温(℃)141286用电量(度)22263438由表中数据得回归直线方程= x+中,=-2,据此预测当气温为5℃时,用电量的度数约为________.15. (1分) (2019高二下·虹口期末) 用0,1,2,3,4可以组成________个无重复数字五位数.16. (1分)(2020·银川模拟) 牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿–拉夫逊方法(Newton–Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设是的根,选取作为初始近似值,过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的一次近似值,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值.重复以上过程,直到的近似值足够小,即把作为的近似解.设构成数列 .对于下列结论:① ;② ;③ ;④ .其中正确结论的序号为________.三、解答题 (共8题;共75分)17. (10分) (2016高二下·连云港期中) 计算(1)(﹣2﹣4i)﹣(7﹣5i)+(1+7i)(2)(1+i)(2+i)+ +(1﹣i)2.18. (15分) (2017高二上·景德镇期末) 如图,李先生家住H小区,他工作在C科技园区,从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线,L1路线上有A1、A2、A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1、B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.19. (5分)(2017·榆林模拟) 某校为提高学生身体素质,决定对毕业班的学生进行身体素质测试,每个同学共有4次测试机会,若某次测试合格就不用进行后面的测试,已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以为公差的等差数列,若他参加第一次测试就通过的概率不足,恰好参加两次测试通过的概率为.(Ⅰ)求该同学第一次参加测试就能通过的概率;(Ⅱ)求该同学参加测试的次数的分布列和期望.20. (10分) (2018高二上·汕头期末) 已知,函数(1)讨论的单调区间和极值;(2)将函数的图象向下平移1个单位后得到的图象,且为自然对数的底数)和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:。

2020年江西省吉安市自鹭洲中学高二数学文期末试题含解析

2020年江西省吉安市自鹭洲中学高二数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 对两个变量与进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关系数如下,其中拟合效果最好的模型是().模型Ⅰ的相关系数为.模型Ⅱ的相关系数为.模型Ⅲ的相关系数为.模型Ⅳ的相关系数为参考答案:A2. 如果不等式对任意实数都成立,则实数的取值范围是A. B.C. D.或参考答案:C3. 已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,且PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.参考答案:B【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】令x=﹣c,代入椭圆方程,解得|PF|,再由|AF|=a+c,列出方程,再由离心率公式,即可得到.【解答】解:由于PF⊥x轴,则令x=﹣c,代入椭圆方程,解得,y2=b2(1﹣)=,y=,又|PF|=|AF|,即=(a+c),即有4(a2﹣c2)=a2+ac,即有(3a﹣4c)(a+c)=0,则e=.故选B.4. 已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.?x∈R,f(x)≤f(x0)B.?x∈R,f(x)≥f(x0)C.?x∈R,f(x)≤f(x0)D.?x∈R,f(x)≥f(x0)参考答案:C【考点】26:四种命题的真假关系.【分析】由x0满足关于x的方程2ax+b=0得出x=x0是二次函数的对称轴,由a>0可知二次函数有最小值.【解答】解:∵x0满足关于x的方程2ax+b=0,∴∵a>0,∴函数f(x)在x=x0处取到最小值是等价于?x∈R,f(x)≥f(x0),所以命题C错误.答案:C.5. 如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值是()A. B. C. D.参考答案:D略6. 二项式的展开式中的第9项是常数项,则的值是()A.4B.8C.11D. 12参考答案:D7. 已知=+2+3,=-2+3-,=3-4+5,(其中, , 为单位正交基底),若,,共同作用在一个物体上,使物体从点M1(1,-2,1),移动点M2 (3, 1, 2),则这三个合力所作的功为( )A. 14B. 6C. -14 D. -6参考答案:A8. 已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9,记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则()A. 0.09B. 9C. 1D. 0.9参考答案:D【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则随机变量,利用方差的公式,即可求解.【详解】由题意,在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量,则随机变量,所以,故选D.【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算,其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.9. 已知是双曲线的左、右焦点,点在上,,则=()A.2 B. 4 C.6 D. 8参考答案:B略10. 给出以下四个命题:①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0;③若x=y=0,则x2+y2=0;④若x,y∈N*,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,那么( ).A.①的逆命题为真B.②的否命题为真C.③的逆否命题为假D.④的逆命题为假参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系xOy中,设P为两动圆的一个交点,记动点P的轨迹为C.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于x轴对称;③设点,则有.其中,所有正确的结论序号是__________. 参考答案: ②③12. 某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为80人,则n= . 参考答案: 19213. 圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的,比如圆可以看成特殊的椭圆,所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆,例如;如图所示,椭圆C :+=1(a >b >0)可以被认为由圆x 2+y 2=a 2作纵向压缩变换或由圆x 2+y 2=b 2作横向拉伸变换得到的.依据上述论述我们可以推出椭圆C 的面积公式为.参考答案:πab【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】根据圆的面积公式S=πR 2(R 是圆的半径),从而得到椭圆的面积公式. 【解答】解:∵圆的面积公式是S=πa 2或S=πb 2, ∴椭圆的面积公式是S=πab, 故答案为:πab.14. 已知圆C 1:(x ﹣a )2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2﹣6x+5=0外切,则a 的值为 .参考答案:8或﹣2【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【专题】计算题;直线与圆.【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径,利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和,列方程解a 的值. 【解答】解:由圆的方程得 C 1(a ,0),C 2(3,0),半径分别为1和2,两圆相外切, ∴|a﹣3|=3+2,∴a=8或﹣2, 故答案为:8或﹣2.【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相外切的充要条件是:两圆圆心距等于两圆的半径之和. 15. 如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为________.参考答案:【分析】几何体是一个圆柱,圆柱底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,圆柱的全面积包括三部分,上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱, 圆柱的底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,故圆柱的全面积是:.【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积,关键在于由三视图还原几何体.16. 曲线在点的切线方程为 .参考答案:略17. 设函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式恒成立,则正数k的取值范围是_____参考答案:对任意,不等式恒成立,则等价为恒成立,,当且仅当,即时取等号,即的最小值是,由,则,由得,此时函数为增函数,由得,此时函数为减函数,即当时,取得极大值同时也是最大值,则的最大值为,则由,得,即,则,故答案为.三、解答题:本大题共5小题,共72分。

2020年江西省吉安市冠朝中学高二数学文期末试题含解析

2020年江西省吉安市冠朝中学高二数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 将函数y=sin(x﹣)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为()A.y=sin(x﹣)B.y=sin(2x﹣) C.y=sin x D.y=sin(x﹣)参考答案:D【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解,注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减.【解答】解:将函数y=sin(x﹣)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的解析式为y=sin(x﹣),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为y=sin[(x+)﹣]=sin(x﹣),故选:D.2. 已知两个数列3,7,11,…,139与2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为()A. 4B. 5C.6 D. 7参考答案:B3. 已知函数,且.为的导函数,的图像如右图所示.若正数满足,则的取值范围是()A. B.C. D.参考答案:B略4. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为A.90°B.120°C.135°D.150°参考答案:B5. 极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是( )A.圆 B. 两条相交直线 C. 椭圆 D. 双曲线参考答案:D略6. 设,则A.0 B.410C.10·410D.90·410参考答案:A7. 已知方程表示双曲线,则的取值范围是()A. B. C. D.或参考答案:A略8. 过点M(1,1)的直线与椭圆=1交于A,B两点,且点M平分弦AB,则直线AB 的方程为()A.4x+3y﹣7=0 B.3x+4y﹣7=0 C.3x﹣4y+1=0 D.4x﹣3y﹣1=0参考答案:B【考点】椭圆的简单性质.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程,两式相减,结合中点坐标公式和直线的斜率公式,即可解出直线AB的斜率k,由点斜式方程可得直线AB的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程可得:+=1, +=1,两式相减可得: +=0,又x1+x2=2,y1+y2=2, =k,即为k=﹣=﹣,则直线AB的方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),化为3x+4y﹣7=0.故选:B.9. 已知函数在(1,+∞)上不单调,则m的取值范围是()A.(4,+∞)B. (-∞,4]C. (-∞,0)D. (0,+∞)参考答案:A【分析】求导,函数不单调,解得答案.【详解】.因为在上不单调,所以,故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性,意在考查学生的计算能力.10. 设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则A. 5B. 7C. 9D. 11参考答案:A,,选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同,离心率为2,则此双曲线的渐进线方程为。

2022-2023学年江西省吉安市高二下学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高二下学期6月期末数学试题一、单选题1.过点(1,3)P -且垂直于直线230x y +-=的直线方程为()A .250x y ++=B .250x y -+=C .250x y +-=D .250x y --=【答案】B【分析】根据两直线垂直关系,设出所求直线方程,()1,3-代入,即可求解.【详解】设所求的直线方程为20x y c -+=,()1,3-代入方程解得5c =,所求的直线方程为250x y -+=.故选:B.2.已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同的平面,且//m α,n ⊂β,则下列叙述正确的是()A .若//αβ,则//m nB .若//m n ,则//αβC .若n α⊥,则m β⊥D .若m β⊥,则αβ⊥【答案】D【分析】由直线与平面,平面与平面的位置关系判断,【详解】对于A ,当α//β时,直线m 与n 的位置关系是任意的,A 错误;对于B ,当m //n 时,只能表示两平面中各有一条线相互平行,不能得到α//β,B 错误;对于C ,由n ⊥α,可得β⊥α,但与α平行的直线m 与β的位置关系也是任意的,C 错误;对于D ,m ⊥β,可得α内存在m 的平行线m '⊥β,故α⊥β,D 正确.故选:D3.函数()e xf x x=的大致图象是()A .B .C .D .【答案】C【分析】利用0x <时,()0f x <,可判断B ,D ;利用函数的导数判断0x >时图像变化情况,可判断A ,C.【详解】当0x <时,()e 0xf x x=<,故B ,D 错误;又()()21e x x f x x-'=,当01x <<时,()0f x '<,当1x >时,()0f x ¢>,故0x >时的图象是先下降后上升,故A 错误,C 正确,故选:C4.已知等差数列{}n a 的前n 项和21n S n a =,且5a 是1a 与k a 的等比中项,则k =()A .39B .40C .41D .42【答案】C【分析】根据数列的递推式可得2n ≥时,()121n a n a =-,由此结合5a 是1a 利k a 的等比中项,可列出251k a a a =,即可求得k 的值,即得答案.【详解】由题意等差数列{}n a 的前n 项和21n S n a =,故2n ≥时,()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-,故519a a =,又5a 是1a 利k a 的等比中项,即251k a a a =,且2k ≥,则()()2111921a a k a =⋅-,由于10a ≠,故2181,41k k -=∴=,故选:C5.已知椭圆222x ky +=的焦点在y 轴上,若椭圆的焦距为4,则k 的值为()A .13B .14C .3D .4【答案】A【分析】将椭圆方程化为标准式,即可得到2a ,2b ,从而求出c ,即可得解.【详解】椭圆222x ky +=即22122x y k+=,焦点在y 轴上,所以22a k =,22b =,所以2222c a b k=-=-,又椭圆的焦距为4,所以222k-=,解得13k =.故选:A6.已知点()5,0M -,()5,0N,动点P 满足条件4PM PN -=.则动点P 的轨迹方程为()A .22)2(21x y x ≥-=B .22122x y x -=≤-()C .221(2)4x y x -=≥D .221(2)4x y x -=≤-【答案】C【分析】根据题意得到425P N N M P M -=<=,结合双曲线的定义,即可求解.【详解】由点()5,0M -,()5,0N,可得25MN =,又由4PM PN -=,可得425P N N M P M -=<=,根据双曲线的定义,可得点P 的轨迹表示以,M N 为焦点的双曲线的右支,且24,225==a c ,可得2,5a c ==,则2221b c a =-=,所以点P 的轨迹方程为221(2)4x y x -=≥.故选:C.7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()(注:()()22221211236n n n n ++++++=)A .1624B .1198C .1024D .1560【答案】C【分析】设该数列为{}n a ,令1n n n b a a +=-,设{}n b 的前n 项和为n B ,又令1+=-n n n c b b ,则n c n =,依次用累加法,可求解.【详解】设该数列为{}n a ,令1n n n b a a +=-,设{}n b 的前n 项和为n B ,又令1+=-n n n c b b ,则n c n =,依次用累加法,可求解.设该数列为{}n a ,令1n n n b a a +=-,设{}n b 的前n 项和为n B ,又令1+=-n n n c b b ,设{}n c 的前n 项和为n C ,易得n c n =,()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++- ,∴11n n b b C +=-,1213b a a -==,22n n nC +=,进而得21332n n n n b C ++=+=+,∴()21133222n n n n b n -=+=-+,()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+ ,同理:()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++-- ,11n n a a B +-=,∴11n n a B +=+,∴191024a =.故选:C .8.函数()()2ln e 10kxxf x k kx=-+≠,函数()ln g x x x =,若()()kf x g x ≥对()0,x ∀∈+∞恒成立,则实数k 的取值范围为()A .1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B .2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C .[)1,+∞D .[)e,∞+【答案】A【分析】不等式()()kf x g x ≥变形为22222e 2ln ln kx kx kx x x x +≥+,引入新函数()ln ln h t t t t =+,()0,t ∈+∞,利用导数判断函数()h x 的单调性,利用单调性化简不等式可得22e kx x ≥,取对数,变形为ln xk x ≥,再引入新函数()ln x v x x=,x ∈(0,+∞),求得它的最大值即可得参数范围.【详解】因为()()kf x g x ≥,对()0,x ∀∈+∞恒成立,又()()2ln e 10kxxf x k kx=-+≠,()ln g x x x =所以2ln eln kxxk k x x x-+≥,即22222e 2ln ln kx kx kx x x x +≥+,即222222e ln ln kx kx kx lne lne x x x +≥+,令()ln ln h t t t t =+,()0,t ∈+∞,∴()()11ln h t t u t t '=++=,设()11ln u t t t =++,则()22111t u t t t t-'=-=,当1t >时,()0u t '>,函数()u t 在()1,+∞上单调递增,当01t <<时,()0u t '<,函数()u t 在()0,1上单调递减,可得1t =时,函数()u t 取得极小值即最小值,()120u =>,∴()0h t '>恒成立,∴函数()h t 在()0,t ∈+∞上单调递增,又原不等式等价于()()22e kxh h x ≥,所以22e kx x ≥,即22ln kx x ≥,即ln xk x≥恒成立,令()ln xv x x =,()0,x ∈+∞,则()21ln x v x x -'=,当0e x <<时,()0v t '>,函数()u t 在()0,e 上单调递增,当e x >时,()0v t '<,函数()u t 在()e,+∞上单调递减,可得e x =时,函数()v x 取得极大值即最大值.()()max 1e e v x v ==,所以1ek ≥.故选:A.【点睛】关键点点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.二、多选题9.下列有关复数z 的叙述正确的是()A .若3i z =,则iz =B .若11i=+z ,则z 的虚部为i-C .若()i,R z a a a =+∈,则z 不可能为纯虚数D .若复数z 满足1R z∈,则Rz ∈【答案】ACD【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可.【详解】对A ,3i z =i =-,所以i z =,A 正确;对B ,111i iz =+=-,虚部是1-,B 错误;对C ,i,(R)z a a a =+∈,若0a =,则0z =是实数,若0a ≠,则i z a a =+是虚数,不是纯虚数,C 正确;对于D ,设()i,,R z a b a b =+∈,因为()()22221i i i i a b a b z a b a b a b a b-==-+-++,由1R z∈得0b =,则R z ∈,所以D 正确.故选:ACD .10.某儿童乐园有甲,乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7,如果他第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为0.6,则王同学()A .第二天去甲游乐场的概率为0.63B .第二天去乙游乐场的概率为0.42C .第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为23D .第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设1A :第一天去甲游乐场,2A :第二天去甲游乐场,1B :第一天去乙游乐场,2B :第二天去乙游乐场,依题意可得()10.3P A =,()10.7P B =,()210.7P A A =,()210.6P A B =,对A ,()()()()()21211210.30.70.70.60.63P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=,A 正确;对B ,()()2210.37P B P A =-=,B 错误;对C ,()()()()1211220.70.620.633P B P A B P B A P A ⨯===,C 正确;对D ,()()()()()()()()121121122210.310.790.3737P A P A A P A P B A P A B P B P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦====,D 错误,故选:AC.11.数列{}n a 中,()*12210,1,2n n n a a a a a n ++===+∈N .则下列结论中正确的是()A .{}1n n a a +-是等比数列B .113147a =C .01n a ≤≤D .8109a a a <<【答案】AC【分析】由已知递推关系式,可得2112()()n n n n a a a a +---=--,则可得到1{}n n a a +-是等比数列,进而得到1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,再利用累加法得到121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,然后逐项判断.【详解】因为数列{}n a 中,()12210,1,2n n n a a a a a n *++===+∈N ,所以()()2112n n n n a a a a +++-=--,即212112n n n n a a a a ++++-=--,则{}1n n a a +-是以211a a -=为首项,以12-为公比的等比数列,所以1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,故A 正确;由累加法得1121111111************n n n n a a ---⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ,所以121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,从而11341512a =,故B 不正确;当n 为奇数时,121132n n a -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦是递增数列,所以1203n a a >≥=,当n 为偶数时,121132n n a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦是递减数列,所以21n a a ≤=,所以01n a ≤≤,故C 正确;又7821132a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,1099821211,13232a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以9108a a a <<,故D 不正确.故选:AC.12.已知()()e xf x x a x a =-++,x ∈R ,a 是参数,则下列结论正确的是()A .若()f x 有两个极值点,则2a >B .()f x 至多2个零点C .若2a >,则()f x 的零点之和为0D .()f x 无最大值和最小值【答案】ACD【分析】求导,把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题,分离参数数形结合即可求解a 的范围,判断A ,求导,判断函数()f x 的单调性,再结合零点存在性定理,直接判断即可判断B ;问题等价于直线y =a 与函数e 1e 1x x y x +=⋅-图象的交点的横坐标之和是否为0,由函数e 1e 1x x y x +=⋅-的奇偶性容易判断C ,结合函数的的单调性及图象变化趋势判断D.【详解】对于A ,因为()()e xf x x a x a =-++,所以()()e 11x f x x a -+'=+,若()f x 有两个极值点,则()e 110xx a -++=有两个不同的解,分参得,11e xa x =++有两个不同的解,记1()1e x h x x =++,则1()1ex h x =-',令()0h x '=,得0x =,当(,0)x ∈-∞时,()0h x '<,()h x 单调递减,当,()0x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,又()02h =,作出函数()h x 的图象,要使11e xa x =++有两个不同的解,则直线y a =与函数1()1e xh x x =++有两个不同的交点,由图知,2a >,故A 正确;对于B ,当2a >时,()22e 10a f a --'=-+<,()110f a -'=>,结合A 选项知,存在()1,2x a ∞∈--,()22,1x a a ∈--,使得()12()0f x f x ''==,又()020f a '=-<,所以()120,x x ∈,又()00f =,x 趋向负无穷大时,函数()f x 无限趋向于负无穷大,x 趋向正无穷大时,函数()f x 无限趋向于正无穷大,且()()12()00,()00f x f f x f >=<=,由零点存在性可知,()f x 有三个零点,故选项B 错误;对于C ,令()e 0x x a x a -++=,当0x =时,()e 0xx a x a -++=;当0x ≠时,原方程的根即为e 1e 1x x a x +=⋅-的根,亦即直线y =a 与函数e 1e 1x x y x +=⋅-图象的交点的横坐标,又函数e 1e 1x x y x +=⋅-为偶函数,所以直线y =a 与函数e 1e 1x x y x -=⋅+图象的交点的横坐标之和为0,故选项C 正确;对于D ,当2a ≤时,由选项A 知,11e xa x ≤++,则()()e 110xf x x a =-++≥',函数()f x 在R 上单调递增,且x 趋向负无穷大时,函数()f x 无限趋向于负无穷大,x 趋向正无穷大时,函数()f x 无限趋向于正无穷大,此时函数()f x 无最大值和最小值;当2a >时,由选项B 知,函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减,且x 趋向负无穷大时,函数()f x 无限趋向于负无穷大,x 趋向正无穷大时,函数()f x 无限趋向于正无穷大,此时函数()f x 无最大值和最小值;综上,函数()f x 无最大值和最小值,故选项D 正确;故选:ACD【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.三、填空题13.已知向量a ,b满足||3a =r ,||4b = ,则||a b - 的最大值为.【答案】7【分析】根据向量减法的三角不等式分析求解.【详解】因为||7a b a b -≤+=r r r r ,当且仅当a ,b 反向时,等号成立,所以||a b -的最大值为7.故答案为:7.14.已知空间向量(2,1,)a m =- ,(1,1,2)b =- ,(1,2,)c t =- ,若a ,b,c 共面,则m t +=.【答案】6-【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.【详解】若a ,b ,c共面,则存在实数,x y ,使c xa yb =+ ,即(1,2,)(2,1,)(1,1,2)(2,,2)t x m y x y x y mx y -=-+-=-+-+所以2122x y x y mx y t -+=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩,解得=1x -,=3y -,6t m =--.所以6m t +=-.故答案为:6-15.已知函数()sin2ln2f x x =+,则()f x '=【答案】2cos2x【分析】直接利用初等函数导数公式,简单复合函数导数及导数运算律求解即可.【详解】因为()sin22cos2x x '=,()ln20'=,所以,由()sin2ln2f x x =+可得()f x '=2cos202cos2x x +=,故答案为:2cos2x .16.斐波那契数列,又称“兔子数列”,由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入.已知斐波那契数列{}n a 满足10a =,21a =,()*21N n n n a a a n ++=+∈,若记1352019a a a a M ++++= ,2462020a a a a N ++++= ,则2022a =.(用M ,N 表示)【答案】1M N ++【分析】根据题意分析可得20181=-=S M a M ,20191=-S N ,进而可得20192020,a a ,即可得结果.【详解】因为1352019a a a a M ++++= ,2462020a a a a N ++++= ,可得2020=+S N M ,所以()()()()11362018102451201728+++++++=+=++ a a a a a a a a a a SM ,可得20181=-=S M a M ,又因为2462020a a a a N ++++= ,所以()()()224201820192019251320911+++++++=-+=+= a a a a a a a S a a SN ,可得20191=-S N ,则()()20202020201911==+--+-=a S S N M N M ,()20192019201811=-=--=--a S S N M N M ,所以202120192020=+=a a a N ,2022202020211=+=++a a a M N .故答案为:1M N ++.四、解答题17.已知点0(1)A ,,(02)B ,,点(,)P a b 在线段AB 上.(1)求直线AB 的斜率;(2)求ab 的最大值.【答案】(1)2-(2)12【分析】(1)利用两点斜率公式可直接解答;(2)先确定,a b 满足的关系式,然后利用基本不等式可直接解答.【详解】(1)由题意知,直线AB 的斜率20201AB k -==--.(2)当点(,)P a b 在,A B 两点之间时,由点(,)P a b 在线段AB 上,易知AP AB k k =,即021b a -=--,即22(01)b a a =-+<<,当P 与,A B 重合时也满足22b a =-+,因此22(01)b a a =-+≤≤,亦即22a b +=,且01,02a b ≤≤≤≤,所以2222a b ab =+≥,12ab ∴≤,当且仅当2a b =,即1,12a b ==时,等号成立.故ab 的最大值为12.18.已知()()23n f x x =+展开式的二项式系数和为512,且()201223(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+++++++ (1)求2a 的值;(2)求(20)20f -被6整除的余数.【答案】(1)144(2)5【分析】(1)由已知求出9n =,然后变形根据()9211x ⎡⎤++⎣⎦的展开式通项,即可得出答案;(2)代入可得090187278890999999C 421C 421C 421C 421C 42120(20)20f =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-+- ,只需得出8890999C 421C 42120⨯⨯+⨯⨯-,即359被6整除的余数,即可得出答案.【详解】(1)由已知可得,2512n =,解得9n =.将9(23)x +变形可得()9211x ⎡⎤++⎣⎦,该式展开的通项为()()999199C 211C 21r r r r r r r T x x ---+=⋅+⨯=⋅+⎡⎤⎣⎦,0,1,2,,9r = ,由92r -=可得,7r =,所以7229=C 2144a ⨯=.(2)由已知可得,()99(20)20432042120f -=-=+-090187278890999999C 421C 421C 421C 421C 42120=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯- .显然0901*******C 421C 421C 421⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 能被6整除,且8890999C 421C 421203596595⨯⨯+⨯⨯-==⨯+,所以,(20)20f -被6整除的余数为5.19.如图,已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形,其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =,且PA ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30 角.(1)若8BC PD ⋅= ,求该几何体的体积;(2)若AE 垂直PD 于E ,证明:BE PD ⊥;(3)在(2)的条件下,PB 上是否存在点F ,使得//EF BD ,若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)833(2)证明见解析(3)存在3,0,42a F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】建立空间直角坐标系,(1)求出,BC PD ,利用228⋅== BC PD a 可得a ,再求体积即可;(2)求出BE 坐标,0⋅= PD BE 可得答案;(3)由//EF BD ,求出E 点的竖坐标、F 点的竖坐标,设3,0,2F x a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,由// FE BD ,得x 可得答案.【详解】(1)如图,建立空间直角坐标系,则()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,2,0A B a C a a D a ,230,0,3P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()230,,0,0,2,3BC a PD a a ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭,228,2∴⋅==∴= BC PD a a ,此时()1143834223233=⨯⨯+⨯⨯=V ;(2)()3330,,,0,,,0,0,,222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a E a BE a a a a ,222330,2,,,00322a PD BE a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,∴⊥∴⊥ BE PD BE PD ;(3)由//EF BD ,E 点的竖坐标为32a ,F ∴点的竖坐标为32a ,∴设3,0,2F x a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,由// FE BD ,得4a x =,∴存在3,0,42a F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.20.数列{}n a 满足11a =,()121n n a a n n *+=+-∈N.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记(1)n a n n b a =-⋅,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求使2700n S >成立的最小正整数n .【答案】(1)2,n n a n n *=-∈N(2)12【分析】(1)根据题意得到112n n a n a n+++=+,得出{}n a n +是以2为首项,2为公比的等比数列,进而求得数列的通项公式;(2)由(1)得()2(1)2n n n n b n -=-⋅-,求得2121221k k k b b --+=-,利用等比数列的求和公式,求得()22413k k S k -=-和22112233k k S k -=-⋅-+,解2700n S >,即可求解.【详解】(1)由题意知121n n a a n +=+-,可得()112n n a n a n +++=+,即112n n a n a n +++=+所以{}n a n +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列,所以122n n a n -+=⨯,可得2n n a n =-,所以数列{}n a 的通项公式为2,n n a n n *=-∈N .(2)解:由2n n a n =-,可得()2(1)(1)2n n a n n n n b a n -=-⋅=-⋅-,当n 为偶数时,n a 为偶数,当为奇数时,n a 为奇数,所以()212212122212221k k k k k b b k k ---+=--++-=-,所以{}n b 前2k 项的和()()3521224122223k k k S k k --=+++⋅⋅⋅+-=-,所以()()22212224112222333k k k k k k S S b k k k --=-=---=-⨯-+,所以210k S -<,不合题意,又因为()612241627003S -=->,且102700S <,所以使2700n S >的最小值为12.21.某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动,在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球(球的形状和大小都相同),抽奖规则有以下两种方案可供选择:方案一:选取一名员工在袋中随机摸出一个球,若是红球,则放回袋中;若是白球,则不放回,再在袋中补充一个红球,这样反复进行3次,若最后袋中红球个数为X ,则每位员工颁发奖金X 万元;方案二:从袋中一次性摸出3个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设袋中红球个数为Y ,则每位员工颁发奖金Y 万元.(1)若用方案一,求X 的分布列与数学期望;(2)比较方案一与方案二,求采用哪种方案,员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由;(3)若企业有1000名员工,他们为企业贡献的利润近似服从正态分布()2,N μσ,μ为各位员工贡献利润数额的均值,计算结果为100万元,2σ为数据的方差,计算结果为225万元,若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得,若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算,求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值(保留到整数)参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ,则()0.6826P μσξμσ-<≤+≈【答案】(1)分布列见解析,()30772=E X (2)方案二,理由见解析(3)28(万元)【分析】(1)根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式,计算出概率,列分布列即可得出期望;(2)根据方案二,按照(1)的方法计算期望,比较方案一的期望即可;(3)根据正态分布,利用给定区间的概率计算即可得解.【详解】(1)对于方案一,由条件可知X 有可能取值为3,4,5,6,()111132228P X ==⨯⨯=,()12211211137423322322272P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,()115121111152362332233P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,()1111623636P X ==⨯⨯=,∴X 的分布列为:X3456P 18377213136期望值()13711307345687233672E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2)对于方案二,由条件可得Y 值为3,4,5,6,()3336C 13C 20P Y ===,()123336C C 94C 20P Y ===,()123336C C 95C 20P Y ===,()3336C 16C 20P Y ===,∴Y 的期望值()199193456202020202E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=∵()()E Y E X >所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.(3)由(1)(2)可知,平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为() 4.5E Y =,则给员工颁发奖金的总数为4.510004500⨯=(万元),设每位职工为企业的贡献的数额为ξ,所以获得奖金的职工数约为()()()10001100011510002P P P μσξμσξξμσ--<≤+⎡⎤⎣⎦>=>+=.()100010.6826158.71592-≈=≈(人)则获奖员工可以获得奖金的平均数值为450028159≈(万元).22.已知函数()ln f x x a x =-(R)a ∈.(1)当e a <时,讨论函数()f x 零点的个数;(2)当(1,)x ∈+∞时,()ln e a x f x ax x x ≥-恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(,e]-∞【分析】(1)对函数求导,通过讨论函数单调性决定函数零点个数即可;(2)首先将原不等式转化为ln e ln ln e x a x x x a x a x +≥+⋅,再构造函数()e xg x x x =+,通过研究()g x 的单调性判断出ln x a x ≥,从而求解取值范围即可.【详解】(1)由()ln f x x a x =-得()x a f x x-'=,当0<a 时,()0f x '>,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,且x 无限趋近于0时,()0f x <,又(1)10f =>,故()f x 只有1个零点;当0e a <<时,令()0f x '>,解得x a >,令()0f x '<,解得0x a <<,故()f x 在区间(0,)a 上单调递减,在区间(,)a +∞上单调递增;所以当x a =时,()f x 取得最小值()ln (1ln )f a a a a a a =-=-,当0e a <<时,()0f a >,所以函数()f x 无零点,当0a =时,()0f x x =>恒成立,所以函数()f x 无零点,综上所述,当0e ≤<a 时,()f x 无零点,当0<a 时,()f x 只有一个零点;(2)由已知有ln ln e a x x a x ax x x -≥-,所以e ln ln x a x x a x a x x +≥+⋅,所以ln e ln (ln )e x a x x x a x a x +≥+⋅,构造函数()e xg x x x =+,则原不等式转化为()()ln g x g a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立,()g x '()1e 1x x =++,记()()1e 1x x x ϕ=++,所以()()e 2x x x ϕ=+',令()0x ϕ'>,解得2x >-,令()0x ϕ'<,解得<2x -,故()ϕx 在区间(,2)-∞-上单调递减,在区间(2,)-+∞上单调递增,所以21()(2)10e x ϕϕ≥-=->,所以()0g x '>,即()g x 单调递增,所以ln x a x ≥在(1,)x ∈+∞上恒成立,即ln x a x≤在(1,)x ∈+∞上恒成立,令()ln x h x x=,(1)x >,则()2ln 1()ln x h x x '-=,令()0h x '>,解得e x >,令()0h x '<,解得1e x <<,故()h x 在(1,e)单调递减,(e,)+∞单调递增,故()h x 的最小值为e (e)e lneh ==,故a 的取值范围是(,e]-∞.【点睛】方法点睛:导函数处理零点个数问题,由于涉及多类问题特征(包括单调性,特殊位置的函数值符号,隐零点的探索、参数的分类讨论等),需要学生对多种基本方法,基本思想,基本既能进行整合,注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势,从而判断零点个数,较为复杂和综合的函数零点个数问题,分类讨论是必不可少的步骤,在哪种情况下进行分类讨论,分类的标准,及分类是否全面,都是需要思考的地方.。

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