高二数学《等比数列的前n项和》教学设计
《等比数列的前n项和》教学设计
《等比数列的前n项和》教学设计
一、教学目标
1.掌握等比数列的求和公式。
2.熟练运用等比数列的求和公式，解决实际问题。
3.培养学生数学思想和计算能力。
二、教学内容
4.等比数列的应用。
三、教学重点
五、教学方法
引入法、归纳法、演绎法、练习法。
六、教学过程
1.引入
教师通过图像、实例、问题等不同方式引入等比数列的概念和性质，使学生对等比数列的定义、通项公式和性质有了初步的了解。
2.归纳总结
让学生自己列举等比数列的几个前项，通过计算进一步体会等比数列的特征。
导出等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)和公比q=(an/a(n-1))。
3.运用
（1）推导等比数列的前n项和Sn。
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
（2）举一些实例，让学生掌握使用公式计算前n项和。
例1：求1，2，4，8，16的前5项和。
解：a1=1，q=2，n=5，
（3）将等比数列的求和公式应用到生活中，让学生意识到等比数列的实际应用。
如在连续10年内年利率为5％的情况下，每年定存10000元，根据定存金额与存款年限所形成等比数列，求10年后定存金额的总和。
七、教学反思
1.本课程通过让学生自己列举等比数列来归纳总结等比数列的特征和通项公式，更好地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效果。
2.通过实例让学生意识到等比数列的实际应用，提高了学生的应用能力和实际解决问题的能力。
3.教学中给予学生足够多的时间来演练，包括题目的引导和解答，帮助学生理解和掌握等比数列的公式和运用方法。
沪教版高二上册数学等比数列的前N项和教案二级第一学期
7．3（3）等比数列的前n项和（1）一、教学内容分析《数列》是高中数学的重要内容之一．学习了数列的概念、等差数列的通项公式和前n 项的求和公式、等比数列的通项公式等知识内容后，为过渡到本节的学习起着铺垫作用．研究等比数列前n项和的公式完整了数列体系，又为进一步学习数列求和、数列的极限等内容打下基础，有承前启后的作用．数列是函数的延续，它实质上是可以看作为一种特殊的函数，函数思想同样在本节渗透．等比数列求和在产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算中有着广泛的实际应用．学习数列需要观察、分析、猜想及综合运用其它知识解决数列中的一些问题，有利于学生数学能力的提高，是培养提高学生思维能力的好题材．二、教学目标设计1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法；2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用；3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力；4．进一步树立理论联系实际的观点．三、教学重点及难点重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用．难点：等比数列的前n项和公式的推导．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1、引入（1） 印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事．相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了．问国王将会给发明者多少粒麦粒？[说明] 以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用．（2）建立数学模型．求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？实际是计算1+2+4+8+…+632（=64S ）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和．（2） 求解数学模型．观察上式的特点，启发学生找到解决问题的方法．与等差数列类比．在推导等差数列的前n 项和时，充分利用了公差，即21a a d =+，31412,3,a a d a a d =+=+ …，1(1)n a a n d =+-；另外又可以写为1n n a a d -=-，22n n a a d -=-，…，1(1)n a a n d =--，这才有了逆序相加法．那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？方法一：每一项乘以2后都得到它的后一项．64S =1+2+4+8+…+632，264S =2+4+8+…+632+642，两式右边有62项相同．相减，得64642 1.S =-方法二：逆向思考，提取2，就得到前一项．64S =1+2+4+8+…+6362212(1242)=+++++=1+263S =636412(2)S +-解得，64642 1.S =-据查每千克小麦约10万粒，64S 约111.8410⨯吨．2004年世界粮食总产量为92.2510⨯吨，因此64S 相当于当今世界82年的粮食总产量． [说明] 解决问题的关键是意识到631242++++的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和．（4）反思抽象．以上解决了一个特殊等比数列前几项的和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决．[说明] 问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力．一般地，设等比数列{}n a 的公比为q ，则211231111.n n n S a a a a a a q a q a q -=++++=++++（5）解决问题．从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试．[说明] 板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为q 即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系．方法一：211111n n S a a q a q a q -=++++， 23111111n n n qS qa a q a q a q a q -=+++++相减，得11n n n S qS a a q -=-，即1(1)(1)nn q S a q -=-当1q ≠时，1(1).1n n a q S q-=- 当1q =时，12n a a a ===，则1.n S na =方法二：2122111111111()n n n S a a q a q a q a q a a q a q a q --=++++=+++++=111()n n n a qS a q S a -+=+- 即，1(1)n n q S a qa -=- 当1q ≠时，1.1nn a qa S q-=-当1q =时，12n a a a ===，则1.n S na =（方法一和方法二完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程．）（6）讨论探究．同学们还有其它的解法吗？[说明] 引起学生求胜心，激发积极性．启发引导学生自行完成．由等比数列的定义，得32121nn a a a q a a a -====，运用比例的性质， 23121n n a a a q a a a -+++=+++，即1n n nS aq S a -=-当1q ≠时，1.1nn a qa S q-=-当1q =时，12n a a a ===，则1.n S na =2、概念分析（1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法．要勤思考．（2）方法一称为错位相减法．这是一种重要的解题方法，不仅仅在解决数列问题时有重要应用，而且在类似问题（如：函数）中也将发挥它的作用．我们既重视公式的应用，也要重视公式的推导方法．（重结论，也重过程．）（3）使用等比数列的前n 项和公式，必须注意到公比是否等于1，1q =与1q ≠的公式形式是不一样的．（4）在1q ≠时，求和公式将根据已知条件有不同的选择．1(1)1n n a q S q -=-，1.1n n a qa S q-=- （5）求和公式中有5个量1,,,,n n a q n a S ，结合等比数列的通项公式，分析得到：若已知其中的3个量，则可以求得其它的2个量，即所谓的“知三求二”．3．例题例1．求下列等比数列的各项的和： （1）11111,,,,24816； （2）127,9,3,,.243- 选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．答案：（1）3116；（2）4921.243 例2．已知公比为12的等比数列的前5项和为318，求这个数列的1a 及5.a选题目的：逆向应用公式． 答案：12a =，51.8a =例3．已知等比数列11,,1,93，求使得n S 大于100的最小的n 的值.选题目的：综合应用公式．答案：使得n S 大于100的最小的n 的值为7.例4．设数列{}n a 的前n 项和为3nn S a =+．当常数a 满足什么条件时，{}n a 才是等比数列？ 选题目的：沟通n a 与n S 的关系，灵活应用公式． 答案：1a =- 4、练习P27—练习7.3(4)—1,2,3 5、小结先由学生进行小结，再由教师进行小结．本节课从一个实例出发，探索了等比数列的前n 项和公式．错位相减法是我们的重要收获．不仅重视探索得到的结论，更应重视探究的过程，重视思维方法（还有两种推导方法）．应用求和公式时一定要首先判断等比数列的公比是否等于1，再选择公式．本节课渗透的数学思想方法有方程思想、等价转化． 6、作业P9—10,P11—7,8 七、教学建议与说明（1）根据学生认知心理特点，采用从特殊到一般的方式推进教学．（2）具体实例是浅层次要求，使学生有概括印象，从而推广到一般情形．让学生自己推广，提出问题，培养学生思维能力．（3）重点是公式的推导，这是培养学生思维深刻性、灵活性、严密性的良好素材，要充分利用这一时机．（4）公式推导中，以启发性强的设问层层推进，让学生尝试探索，提供学生自主学习的时间和空间，创设宽松的、开放式的环境，可以小组讨论等，点燃学生思维火花，培养学生的创新意识和胆量． 八、教学反思现实课堂教学中必然会有教师备课中预想不到的问题出现，恰如其分地处理能反映教师的机智，更表现了尊重学生、以学生发展为本的理念．比如就有学生在求解64S =1+2+4+8+…+632时注意到了数字的特殊性，灵活解决1+64S =1+1+2+4+8+…+632=2+2+4+8+…+632=4+4+8+…+632=…=264，则64S =632-1. 简单明了．若将公比2改为3，则该方法就不能发挥作用，真正体现了具体问题具体分析，解决特殊性的方法不见得适用于一般性．抓住时机进一步理解特殊与一般的关系．由等比数列的定义，运用比例的性质探索求和的方法学生不容易想到，需要教师启发引导，“回到定义去！”，并及时进行数学文化渗透：这是两千多年前欧几里德的《几何原本》中提供的方法．解决问题的方法多样化，但都紧紧围绕等比数列的定义，所谓“一题多解，多解归一”，强调解决问题的突破点和实质，并强调错位相减法的重要性：在解决特殊数列求和中的价值体现．。
《等比数列的前n项和》教学设计
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已
知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
【学情预设】：在学生推导完成后，问：由 得 对不对？这里的 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？ 时是什么数列？此时 ？（这里引导学生对 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）
二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
七、教学过程设计：
（一）课前自主学习任务布置，学生通过网络平台自主学习。
（二）课堂自主学习任务疑难分析
结合自主学习任务单反馈，通过学生交流，板演展示与讲解，通过错位相减法、解方程法、等比定理法来解决棋盘麦粒问题，类比学习，为推导等比数列前n项和公式做铺垫。
（三）师生互动，合作探究，解难答疑，类比联想，解决问题。
再次追问：结合等比数列的通项公式 ,如何把 用 、 、 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）
【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认
识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。
人教版高中数学《等比数列的前n项和》教学设计
§3.5等比数列的前n项和（第一课时）教学目标1．知识目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，能初步应用公式解决问题．2．能力目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透由特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括的能力．3．情感目标通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．教学重点与难点重点:公式的推导和公式的运用；难点:公式的推导方法和公式应用中q是否为1的讨论．教学方法启发诱导与讲练结合.教学过程1．引入问题印度国际象棋发明者的故事.（国际象棋棋盘上共有8行8列，构成64格子，关于它有一个这样的传说.国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第三个格子里放上4颗麦粒，在第四个格子里放上8颗麦粒依次类推，每个格子的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述要求.”）2．探究新课引导学生写出麦粒总数为：1+2+22++263？探讨:发明者要求的麦粒总数是：=1+2+22++263①S64上式有何特点？①式两边同乘以2，得2S 64=2+22+23++263+264 ② 两式相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到 S 64= 264 -1．在此，强调错位相减法，同时反问： 纵观全过程，体会①式两边为什么要乘以2 ？问题：{}n n a a q s 1设等比数列,首项为,公比为， 如何求前n 项和？211111n n s a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+211111n n n q s a q a q a q a q -⋅=++⋅⋅⋅++探讨1：由11(1)n n q s a a q -=-，得：111nn a a q s q-⋅=-，对不对？q =1时n s =？ 探讨2：结合等比数列的通项公式11n n a a q -=⋅, 如何把n s 用1a 、n a 、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）得出：111nn a a q s q -⋅=-（1q ≠），或11n n a q a s q-⋅=-（1q ≠） 当1q =时，1n s n a =⋅.探讨3：引导学生从其他的途径求和：211111n n s a a q a q a q -=+++⋅⋅⋅+11231()n a q a a a a -=++++⋅⋅⋅+3.例题讲解例1．求等比数列1111,,,,24816前8项和？ 解：由等比数列前n 项和公式，得：11122111212n nn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- 所以，该等比数列的前8项和为255256. 变式练习：1.等比数列1111,,,,24816前多少项和是6364？ 2. 等比数列1111,,,,24816求第5项到第10项的和? 3.等比数列1111,,,,24816求前2n 项中所有偶数项的和? 答案：1.n=6; 2.104631024s s -=; 3.11134n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 例2.求和2311n a a a a -++++.解：当a=0时，2311n a a a a -++++=1；当a=1时，2311n a a a a -++++=n;当a ≠0,且a ≠1时, 2311n a a a a -++++=11na a--； 故2311n a a a a -++++(1)1(1)1nn a a a a =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩4. 总结归纳我学到了什么…我知道了什么…我收获到了什么…归纳、总结：1.等比数列的前n 项和公式；2.错位相减法；3.特殊到一般、类比与转化、分类讨论的思想.5.首尾呼应646419641221 1.8410()12s -==-≈⨯-粒 约7000亿吨6.课后作业必做： P 129练习1、2、3、4选作：(1)求和2323n x x x nx ++++(2) “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？” 这个问题的答案是多少？板书设计：等比数列的前n 项和错位相减法当1q =时，1n s n a =⋅.例.教学反思：本节课是《等比数列的前n 项和》的第一课时，学生在学习了等比数列的概念、等差与等比数列的通项公式及等差数列的前n 项和公式前提下学习的，对于本节课所需的知识点和探究方法都有了一定的储备。
等比数列前n项和公式教学设计
等比数列前n项和教学设计讲课人：宋海阳指导人：韩红松一、教材分析1．从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2．从学生的认知角度来看学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是认知的有利因素。
认知的不利因素有：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
二、学情分析教学对象是刚升入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。
三、教学目标分析1．知识与技能目标理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
2．过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
3．情感、态度与价值观通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四、教法分析对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。
在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。
五、教学过程分析（一）故事引入，提出问题播放故事视频，提出问题：国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求?他能兑现自己的诺言吗?（二）师生互动，探究问题上述问题实际上是求1,2,4,8⋯263这个等比数列的和.令S 64=1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 263 ①则2S 64= 2 + 4 + 8 + ⋯ + 263 + 264 ②由①-②得S 64=264-1当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
高中数学等比数列前n项和教学设计
高中数学等比数列前n项和教学设计高中数学等比数列前n项和教学设计数学是一门有趣而又重要的课程，等比数列前n项和是其中的重点内容，此概念不仅是中学数学课程的重要内容，而且是实际应用中的常见概念，具有重要的现实意义。
在实际的数学教学中，如何合理设计概念的教学，以便使学生更好地理解和掌握概念，是数学教师必须面对的一个问题。
本文从教学内容、教学方法、教学手段3个方面，对高中数学等比数列前n项和的教学设计进行探讨，以期提供一些有价值的参考。
一、教学内容1、等比数列的定义等比数列是指一组数字中，每一项都是前一项的某一个固定倍数。
严格来说，等比数列是指公比为正实数的等比数列。
公比的定义是每一项的比值，即第n+1项与第n项的比值。
2、等比数列前n项和的定义等比数列前n项和，即等比数列中前n项的总和，可以用Sn表示，其值可用公式Sn=a1(1-qn)/(1-q)来求解，其中a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比。
3、等比数列前n项和的特点等比数列前n项和具有如下特点：（1）等比数列前n项和随着n的增加而增加；（2）等比数列前n项和的增加速度与公比有关，公比越大，等比数列前n项和的增加越快；（3）当公比q＞1时，等比数列前n项和无限增大，当公比q=1时，等比数列前n 项和为n·a；当公比q＜1时，等比数列前n项和趋于某一限值。
二、教学方法1、演示法演示法可以让学生更容易理解等比数列前n项和的概念，教师可以采用实物演示、图片演示、实例分析等方式，让学生通过观察实物、试探尝试等方式，了解等比数列前n项和的概念及其特点，加深对其的理解。
2、案例分析法案例分析法是一种非常有效的教学方法，能够让学生更加直观、全面地了解等比数列前n项和的概念。
教师可以根据学生的特点，从实际生活中分析出一些例题，这些例题可以是实际中的例子，也可以是专业的例子，让学生在理解其概念的同时，也能够更深入地理解实际中的应用。
3、讨论法讨论法是一种有效的教学方法，能够让学生在学习过程中进行讨论，以便更加系统地理解概念。
等比数列的前n项和教案
等比数列的前n项和教案【篇一：等比数列前n项和教学设计】《等比数列的前n项和》教案一．教学目标知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。
情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
二．重点难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用；教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。
三．教学方法利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。
四．教具准备教学课件，多媒体五．教学过程（一）创设情境，提出问题故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？（二）.师生互动，探究问题问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+?+64=2080(千吨)结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,请给我这么多的麦粒数？问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数1?2?22?23?????263，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．问题3： 1，2，22，?，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探究一：1?2?22?23?????263，记为s64?1?2?22?23?????263??①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有2s64?2?22?23?????264??②式．比较①、②两式，你有什么发现？经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：s64?264?1 ，老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教学设计(第一课时)
《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计
10a +，但是不知道如何下手；）知道利用等比数列的前n 项和公式求10a +，但是把项数弄错了教师点拨：
解法一：把5610a a a ++看做首项为的等比数列的前6项和；
解法二：1010a a a S +++=
《等比数列的前n项和（第一课时）》教学点评
《等比数列的前n项和》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学5（必修）中的第2章的2.5节内容，教学课时为2课时，本节课为第1课时，教学对象是高二年级的学生，这个阶段的学生已经具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，思维特点是活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻，不够严谨.
这节课授课教师采用了研究学习和问题解决策略，即“以境激情——研探论证——反馈矫正——应用评价”四个阶段设计教学.其中，以境激情是浅层次要求，使学生对本节课的主题有概括印象；研探论证为中层次要求，由浅入深通过层层设问引导学生推导等比数列的前n项和公式，突破难点，同时在推导公式的过程中，培养了学生严谨的思维品质；重点在反馈矫正阶段通过三道训练题从不同角度培养学生的知识应用能力，使学生领悟类比、分类讨论和方程等数学思想；课后开放式作业，促进了学生思维创新.
该教师在这四步教学中，以学生的分组讨论和自主探究为主辅之以启发性强的问题诱导点拨，运用完整直观的板书和计算机等教辅用具，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路.
总之，这节课真实自然，体现了学生探索、练习、掌握和反思的过程.教师设计教学活动的思路清晰，例题和练习具有典型性，点评学生课堂练习时能够充分发现学生问题，具有很强的驾驭课堂的能力，与学生一起完成了教学目标.。
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案
高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案一、教学目标：1.了解等比数列的概念及特点；2.能够应用等比数列的通项公式和前n项和公式求解实际问题。
二、教学重点：1.掌握等比数列的基本概念、公式和特点；2.能够灵活应用等比数列的通项公式和前n项和公式求解实际问题。
三、教学难点：1.掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能够准确运用；2.解决实际问题时，要能正确地建立等比数列模型。
四、教学方法：1.讲授法：通过讲解，让学生掌握等比数列的基本概念、公式和特点；2.练习法：通过多种类型的例题让学生掌握等比数列的解题方法；3.探究法：通过引导学生探究等比数列的通项公式和前n项和公式的推导过程，提高学生的自主学习和创新思维能力。
五、教学过程：1.引入新知识（1）老师出示一组数据：1，2，4，8，16，……让学生观察、思考。
（2）引导学生从数据中找出规律，并提问：这组数据有什么特点？如何表示这组数据？（3）引入等比数列的概念，并结合学生前面学习的等差数列，让学生比较两者的区别和联系。
2.掌握等比数列的基本概念、公式和特点（1）教师讲解等比数列的基本概念、公式和特点，并通过例题来加深学生的理解。
（2）让学生通过练习掌握等比数列的解题方法及技巧。
3.探究等比数列的通项公式和前n项和公式（1）教师引导学生进行探究，推导出等比数列的通项公式和前n项和公式。
（2）通过多种实例讲解如何应用通项公式和前n项和公式来解决实际问题。
4.巩固与拓展（1）让学生自学本节课所学内容，总结一下等比数列的相关知识点；（2）通过课堂练习、考试等方式进行巩固和拓展。
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高二数学《等比数列的前n项和》教学设计 一、教学背景分析 1．教学内容分析 本节课是高中数学（北师大版必修5）第一章第3节第二课时,是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。本节以数学文化背境引入课题有助于提升学生的创新思维和探索精神,是提高数学文化素养和培养学生应用意识的良好载体。 2．学情分析 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二理科班的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不完全。 二．教学目标 依据新课程标准及教材内容，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 1.知识与技能目标: 理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。 2．过程与方法目标：感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。 3.情感与态度目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。 三．重点,难点 教学重点：等比数列前“等比数列的前n项和”教学设计项和公式的推导及其简单应用。 教学难点：公式的推导思想方法及公式应用中q与1的关系。 四．教学方法 启发引导，探索发现，类比。 五． 教学过程 （一）借助数学文化背境提出问题 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？ 【设计意图】：设计这个数学文化背境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容也紧扣本节课的主题与重点。 问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数“等比数列的前n项和”教学设计 （二）师生互动，探究问题 问题2：“等比数列的前n项和”教学设计 有些学生会说用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。） 问题3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？ （学生会发现，后一项都是前一项的2倍） 问题4：如果我们把（1）式每一项都乘以2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两边同以2，得到（2）式： “等比数列的前n项和”教学设计 比较（1）(2）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（1）、（2）两式有许多相同的项） 问题5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。（学生会发现：“等比数列的前n项和”教学设计 【设计意图】：这五个问题层层深入，剖析了错位相减法中减的妙用，使学生容易接受为什么要错位相减，经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种方法的神奇。 问题6：老师指出这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思为什么（1）式两边要同乘以2呢？ 【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫。 （三）类比联想，构建新知 这时我再顺势引导学生将结论一般化。 问题7：如何求等比数列“等比数列的前n项和”教学设计的前“等比数列的前n项和”教学设计项和“等比数列的前n项和”教学设计： 即:“等比数列的前n项和”教学设计 (学生相互合作,讨论交流，老师巡视课堂，并请学生上台板演。) 注：学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，教师可放手让学生探究。 将“等比数列的前n项和”教学设计两边同时乘以公比“等比数列的前n项和”教学设计后会得到“等比数列的前n项和”教学设计，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前“等比数列的前n项和”教学设计项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师在突出强调，加深印象。 两式作差得到“等比数列的前n项和”教学设计时，肯定会有学生直接得到“等比数列的前n项和”教学设计，不忙揭露错误，后面再反馈这个易错点，从而掌握公式的本质。 【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成就感。增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。 问题8:由 “等比数列的前n项和”教学设计 得 “等比数列的前n项和”教学设计对不对呢？这里的“等比数列的前n项和”教学设计能不能等于1呀？等比数列中的公比能不能为1？那么“等比数列的前n项和”教学设计时是什么数列？此时“等比数列的前n项和”教学设计？你能归纳出等比数列的前n项和公式吗？ （这里引导学生对“等比数列的前n项和”教学设计 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。） 再次追问：结合等比数列的通项公式“等比数列的前n项和”教学设计 ,如何把“等比数列的前n项和”教学设计 用“等比数列的前n项和”教学设计 、“等比数列的前n项和”教学设计 、“等比数列的前n项和”教学设计 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 公式： “等比数列的前n项和”教学设计 注：公式的理解 知三求二：n q a1 an Sn ； n的含义：项数（通项公式是qn－1）； q的含义：公比（注意q=1，分类讨论）； 错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。 【设计意图】：通过反问学生归纳，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。 （四）讨论交流，延伸拓展 问题9: 探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？ “等比数列的前n项和”教学设计（学生讨论交流，老师指导。依学生的认知水平可能会有以下几种方法） （1）错位相减法
“等比数列的前n项和”教学设计（2）提出公比q
“等比数列的前n项和”教学设计（3）累加法
【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 这有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用. (五) 应用公式，深化理解 例1：在等比数列{ an }中， (1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn； (2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn； (3)已知a1=－1.5，a4=96，求q与S4； (4)已知a1=2，S3＝26，求q与a3。 【设计意图】：初步应用公式，理解等比数列的基本量也可“知三求二”，体会方程思想。 例2：等比数列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1与q。 【设计意图】：注意公式中的分类讨论思想。 例3：求数列{n+ }的前n项和。 【设计意图】：将未知问题转化为已知问题，进一步体会等比数列前n项和公式的应用。 练习1：求等比数列“等比数列的前n项和”教学设计前8项和； 练习2：a3= ，S9= ，求a1和q； 练习3：求数列{n+an}的前n项和。 （先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予适时的表扬。) 【设计意图】：通过练习，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，渗透转化思想． （六）总结归纳，加深理解 问题10:这节课你有什么收获？学到了哪些知识和方法？ 【设计意图】：以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法等方面总结。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。 （学生小结归纳，不足之处老师补充说明。） 1．公式：等比数列前n项和 当q≠1时,Sn= = 当q=1时, Sn=na1 2．方法：错位相减法（乘以公比） 3．思想：分类讨论（公式选择） （七）故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺了。 【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。 （八）课后作业，分层练习 （1）阅读本节内容，预习下一节内容； （2） 书面作业：习题P30 8 .10； （3）拓展作业：求和：“等比数列的前n项和”教学设计 【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。