必修5等差数列概念和性质教案

课题：3.1 等差数列

【学习目标】

1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

2.能力目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。

3.情感目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的

求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

【重点难点】

重点：等差数列的概念及通项公式。

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难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。

【教学内容】

一、复习引入：

1．回忆数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。

2．由生活中具体的数列实例引入

（1）．国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：

你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗？（2）某剧场前10排的座位数分别是：

48、46、44、42、40、38、36、34、32、30

引导学生观察：数列①、②有何规律?

引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题）

二. 教学内容

1. 等差数列的概念．

…

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。

符号语言描述：数列}{n a 中，如果d a a n n =-+1或11-+-=-n n n n a a a a ，则}{n a 为等差数列。

强调：

① “从第二项起”满足条件；

②公差d 一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）； 所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为 0.20 ， -2。

例1：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1和公差d ，如果不是，说明理由。

1. 3，5，7，……

2. 9，6，3，0，-3，……

2. 3. 0，0，0，0，0，0，……. 4. 1，2，3，2，3，4，……；

3. 5. 1，0，1，0，1，……

%

2、等差中项：

由三个数a,A,b 三项组成一个等差数列，则A 叫做是a 与b 的等差中项。即：b a A +=2，则2

b a A += 例2：等差数列}{n a 的前三项依次为24,12,++x x x ，则它的第5项为： 。

变式训练2-1 若2，a,b,c,9成等差数列，则c-a= 。

3、等差数列通项公式

~

a 2 - a 1 =d

a 3 - a 2=d

a 4 –a 3 =d

……

a n –a n-1 =d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到

a n - a 1 =(n-1)d

即 a n = a 1 +(n-1)d （Ⅰ）

当n=1时，（Ⅰ）也成立，所以对一切n ∈N ﹡，上面的公式（Ⅰ）都成立，因此它就是等差数列｛a n ｝的通项公式。

:

d

n d m d m a d n a a n )1()1()1()1(11-+---+=-+=

∴d m n a a m n )11(+--+= d m n a a m n )(-+=（Ⅱ）

等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=

例3：在等差数列}{n a 中，105=a ，3112=a 。求n a a ,20

.

例4：已知递增的等差数列}{n a 满足21=a ，652

2+=a a ，求通项公式n a

变式训练3-1：已知等差数列}{n a 中，11=a ，33-=a ，求数列}{n a 的通项公式。 变式训练3-2：已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足5563=a a ，1672=+a a 。求数列}{n a 的通项公式。

4. …

5. 等差数列的证明：

①定义法：d a a n n =-+1；

②构造法：根据所给的递推关系构造出等差数列，再利用等差数列定义证明。 例5：已知数列}{n a 满足41=a ，),2(441*-∈≥-

=N n n a a n n ，令2

1-=n n a b 。 （1）求证：数列}{n b 是等差数列；

（2）求数列}{n a 的通项公式。

$

变式训练4-1：已知数列}{n a 满足11=a ，且)(1

31*+∈+=N n a a a n n n （1）求证：数列?

?????n a 1是等差数列；

（2）求数列}{n a 的通项公式。

】

5、等差数列的性质

性质1：在等差数列}{n a 中，若),,,(,*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；若p n m 2=+，则p n m a a a 2=+。

例6：等差数列}{n a 中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，求104a a +的值。

]

例7：等差数列}{n a 中，465=+a a ，则)2222(log 103212a a a a ????????= 。

变式训练5-1：等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的20a = 。

变式训练5-2：在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于 。 性质2：若}{n a ，}{n b 是等差数列，则}{n a c +、}{n ca 、}{k n n a a ++、),,}({*∈+N q p c qb pa n n 仍为等差数列。

$

例8：若}{n a 是等差数列，则下列中仍为等差数列的个数是（ ）

①}3{+n a ②}{2n

a ③}{1n n a a -+ ④}2{n a n + A.1 B.2 C.3 D.4

性质3：若}{n a 是公差为d 的等差数列，则d ＞0，数列}{n a 是递增数列；d ＜0，数列}{n a 是递减数列；d=0，数列}{n a 是常数列。

例9：下面是关于公差d ＞0的等差数列}{n a 的四个命题，其中真命题为：

（1）数列}{n a 为递增数列， （2）数列}{n na 是递增数列

（2）数列?

?????n a n 是递增数列， （4）数列}3{nd a n +是递增数列。 性质4：等差数列的公差与直线的斜率关系：（1）一次函数b kx x f +=)()0(≠k 的图像是一条直线，斜率1

212)()(x x x f x f k --=)(21x x ≠，当0=k 时，对于常数函数b x f =)(上式仍然成立。（2）等差数列}{n a 的公差本质上是相应直线的斜率，如d m n a a m n )(-+=?m

n a a d m n --=

。

&

性质

5：（1）若}{n a 是公差为d 的等差数列，则md a a a a k k m n n m =-=-++),,(*∈N k n m ；（2）下标成等差数列，对应项数也成等差数列，即......,,,32k m k m k m m a a a a +++为等差数列。（3）项数相同的连续项的和仍为等差数列。

三、基础训练

1、若lg 2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ）

A.0

B. 2log 5

C. 32

D.0或32

2、在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）

A.84

B.72

C.60

D.48

3、在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若7321a a a a a k ++++= ，则k=（ ）

A.22

B.23

C.24

D.25

4、"

5、已知等差数列}{n a ，且284=+a a ，则)2(10626a a a a ++的值为（ ）。

A.4

B.6

C.8

D.10

6、等差数列}{n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则1193

1a a -的值是（ ） A.14 B.15 C.16 D.17

7、在等差数列}{n a 中，若102,a a 是方程08122=-+x x 的根，那么6a 的值是（ ）

A. -12

B.-6

C.12

D.6

8、已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且132a a =，则

4231a a a a ++的值为（ ） A.

65 B.54 C.43 D.32 9、|

10、在数列}{n a 中，41,121==a a ，若?

?????n a 1为等差数列，则数列}{n a 的第10项为（ ）。

A. 221

B.251

C.281

D.31

1 11、【九章算术】“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积

为

。

12、已知在数列}{n a 中，01=a ，22=a ，且)2)(1(211≥+=+-+n a a a n n n

（1）求证：数列}{1n n a a -+是等差数列。

（2）求数列}{n a 的通项公式。

#

四、高考真题或模拟题

1、在等差数列}{n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则=+82a a 。（2015.广东高考）

2、设等差数列}{n a 的公差为d ，若数列}2{1n a a 为递减数列，则（ ）。（2014.辽宁高考）

A. d ＞0

B.d ＜0

C.d a 1＞0

D.d a 1＜0

3、在等差数列}{n a 中，21=a ，1053=+a a ，则=7a （ ）(2014.重庆高考)

A.5

B.8

C.10

D.14

4、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 。（2015.陕西高考）

5、在等差数列}{n a 中，若)(642*+∈+=+N n n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 。（2015.江苏扬州三模）

6、等差数列}{n a 中，42=a ，1574=+a a ，求数列}{n a 的通项公式。