立体几何大题
第1页（共30 页） 2016年7月9日数学周测试卷
一、解答题（共25小题；共325分）
1. 如图，正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 的棱长为 2．
（1） 在图中找出平面 𝐴𝐵𝐶𝐷，平面 𝐴𝐷𝐷1𝐴1，平面 𝐵𝐷𝐷1𝐵1 的一个法向量；
（2） 以点 𝐷 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标． 2. 如图，在正方体 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，求 𝐵𝐷 与平面 𝐴1𝐶1𝐷 所成角的余弦值．
3. 设 𝑎⃗，𝑏⃗⃗ 分别是两条异面直线 𝑙1，𝑙2 的方向向量，且 cos⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=−12，求异面直线 𝑙𝑙 和 𝑙2 所成的角．
4. 如图，直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√2，𝐴𝐴′=1，点 𝑀 、 𝑁 分别为 𝐴′𝐵 和 𝐵′𝐶′ 的中点．（锥体体积公式 𝑉=13𝑆ℎ，其中 𝑆 为底面面积，ℎ 为高）
（1） 证明：𝑀𝑁∥ 平面 𝐴′𝐴𝐶𝐶′；
（2） 求三棱锥 𝐴′−𝑀𝑁𝐶 的体积．
5. 三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 中，侧面 𝑃𝐴𝐶 与底面 𝐴𝐵𝐶 垂直，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=3．
（1） 求证：𝐴𝐵⊥𝐵𝐶；
（2） 设 𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√3，求 𝐴𝐶 与平面 𝑃𝐵𝐶 所成角的大小． 6. 如图，△𝐴𝐵𝐶 和 △𝐵𝐶𝐷 所在平面互相垂直，且 𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐵𝐷=2，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐶=120∘，𝐸，𝐹 分别为 𝐴𝐶，𝐷𝐶 的中点． 第2页（共30 页）
（1） 求证：𝐸𝐹⊥𝐵𝐶；
（2） 求二面角 𝐸−𝐵𝐹−𝐶 的正弦值
7. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 为正方形，𝑄𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐷∥𝑄𝐴，𝑄𝐴=𝐴𝐵=12𝑃𝐷．
（1） 证明：𝑃𝑄⊥ 平面 𝐷𝐶𝑄；
（2） 求棱锥 𝑄−𝐴𝐵𝐶𝐷 的体积与棱锥 𝑃−𝐷𝐶𝑄 的体积比值．
8. 如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐵=90∘，𝐴𝐶=152，𝐷，𝐸 两点分别在 𝐴𝐵，𝐴𝐶 上，使 𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶=2，𝐷𝐸=3．现将 △𝐴𝐵𝐶 沿 𝐷𝐸 折成直二面角，求：
（1） 异面直线 𝐴𝐷 与 𝐵𝐶 的距离；
（2） 二面角 𝐴−𝐸𝐶−𝐵 的大小（用反三角函数表示）． 9. 如图，直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐷，𝐸 分别是 𝐴𝐵，𝐵𝐵1 的中点．
（1） 证明：𝐵𝐶1∥平面𝐴1𝐶𝐷；
（2） 设 𝐴𝐴1=𝐴𝐶=𝐶𝐵=2，𝐴𝐵=2√2，求三棱锥 𝐸−𝐴1𝐶𝐷 的体积． 10. 如图，正四棱锥 𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷 的所有棱长均为 2，𝐸，𝐹，𝐺 分别为棱 𝐴𝐵，𝐴𝐷，𝑆𝐵 的中点．
第3页（共30 页） （1） 求证：𝐵𝐷∥平面𝐸𝐹𝐺，并求出直线 𝐵𝐷 到平面 𝐸𝐹𝐺 的距离；
（2） 求点 𝐶 到平面 𝐸𝐹𝐺 的距离． 11. 已知过球面上三点 𝐴，𝐵，𝐶 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 𝐴𝐶=𝐵𝐶=6，𝐴𝐵=4．计算球的表面积与体积． 12. 如图，三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，点 𝐴1 在平面 𝐴𝐵𝐶 内的射影 𝐷 在 𝐴𝐶 上，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=𝐶𝐶1=2．
（1） 证明：𝐴𝐶1⊥𝐴1𝐵；
（2） 设直线 𝐴𝐴1 与平面 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 的距离为 √3，求二面角 𝐴1−𝐴𝐵−𝐶 的大小．
13. 如图，四棱锥 𝑃－𝐴𝐵𝐶𝐷 的底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，𝐵𝐴=𝐵𝐷=√2，𝐴𝐷=2，𝑃𝐴=𝑃𝐷=√5，𝐸,𝐹 分别是棱 𝐴𝐷,𝑃𝐶 的中点．
（1） 证明：𝐸𝐹∥ 平面 𝑃𝐴𝐵；
（2） 若二面角 𝑃−𝐴𝐷−𝐵 为 60∘，
① 证明：平面 𝑃𝐵𝐶⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷；
② 求直线 𝐸𝐹 与平面 𝑃𝐵𝐶 所成角的正弦值．
14. 如图，在四棱柱 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，侧棱 𝐴1𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=1，𝐴𝐶=𝐴𝐴1=2，𝐴𝐷=𝐶𝐷=√5．用向量法解决下列问题：
（1） 若 𝐴𝐶 的中点为 𝐸，求 𝐴1𝐶 与 𝐷𝐸 所成的角；
（2） 求二面角 𝐵1−𝐴𝐶−𝐷1 （锐角）的余弦值． 15. 已知在四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 中，底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，且 𝐴𝐷=2，𝐴𝐵=1，𝑃𝐴⊥ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸，𝐹 分别是线段 𝐴𝐵，𝐵𝐶 的中点． 第4页（共30 页）
（1） 证明：𝑃𝐹⊥𝐹𝐷；
（2） 在线段 𝑃𝐴 上是否存在点 𝐺，使得 𝐸𝐺∥平面𝑃𝐹𝐷 ?若存在，确定点 𝐺 的位置；若不存在，说明理由．
（3） 若 𝑃𝐵 与平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 所成的角为 45∘，求二面角 𝐴−𝑃𝐷−𝐹 的余弦值．
16. 如图，直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐴1=𝐴𝐵，𝐷 为 𝐵𝐵1 的中点，𝐸 为 𝐴𝐵1 上的一点，𝐴𝐸=3𝐸𝐵1．
（1） 证明：𝐷𝐸 为异面直线 𝐴𝐵1 与 𝐶𝐷 的公垂线；
（2） 设异面直线 𝐴𝐵1 与 𝐶𝐷 的夹角为 45∘，求二面角 𝐴1−𝐴𝐶1−𝐵1 的大小． 17. 已知在四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝑃𝐴=𝑃𝐷=𝐴𝐷=2𝐵𝐶=2𝐶𝐷，𝐸，𝐹 分别为
𝐴𝐷，𝑃𝐶 的中点．
（1） 求证：𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐵𝐸；
（2） 求证：𝑃𝐴∥平面𝐵𝐸𝐹；
（3） 若 𝑃𝐵=𝐴𝐷，求二面角 𝐹−𝐵𝐸−𝐶 的大小． 18. 如图，在直三棱柱 𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1 中，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3，𝐷 为 𝐴𝐵 的中点．
（1） 求异面直线 𝐶𝐶1 和 𝐴𝐵 的距离；
（2） 若 𝐴𝐵1⊥𝐴1𝐶，求二面角 𝐴1−𝐶𝐷−𝐵1 的平面角的余弦值．
19. 如图 1，在等腰梯形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐵𝐶∥𝐴𝐷，𝐵𝐶=12𝐴𝐷=2 ． ∠𝐴=60∘，𝐸 为 𝐴𝐷 中点，点 𝑂，𝐹
分别为 𝐵𝐸，𝐷𝐸 的中点，将 △𝐴𝐵𝐸 沿 𝐵𝐸 折起到 △𝐴1𝐵𝐸 的位置，使得平面 𝐴1𝐵𝐸⊥ 平面
𝐵𝐶𝐷𝐸（如图 2） 第5页（共30 页）
（1） 求证：𝐴1𝑂⊥𝐶𝐸
（2） 求直线 𝐴1𝐵 与平面 𝐴1𝐶𝐸 所成角的正弦值
（3） 侧棱 𝐴1𝐶 上是否存在点 𝑃，使得 𝐵𝑃∥ 平面 𝐴1𝑂𝐹，若存在，求处 𝐴1𝑃𝐴1𝐶 的值，若不存在，说明理由． 20. 在正三角形 𝐴𝐵𝐶 中，𝐸，𝐹，𝑃 分别是 𝐴𝐵，𝐴𝐶，𝐵𝐶 边上的点，满足 𝐴𝐸:𝐸𝐵=𝐶𝐹:𝐹𝐴=𝐶𝑃:𝑃𝐵=1:2（如图1）．将 △𝐴𝐸𝐹 沿 𝐸𝐹 折起到 △𝐴1𝐸𝐹 的位置，使二面角 𝐴1−𝐸𝐹−𝐵 成直二面角，连接 𝐴1𝐵，𝐴1𝑃（如图2）．
（1） 求证：𝐴1𝐸⊥平面𝐵𝐸𝑃；
（2） 求直线 𝐴1𝐸 与平面 𝐴1𝐵𝑃 所成角的大小；
（3） 求二面角 𝐵−𝐴1𝑃−𝐹 的余弦值． 21. 如图，四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝑂 是 𝐵𝐷 的中点，△𝐴𝐵𝐷 和 △𝐵𝐶𝐷 均为等边三角形，𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=√6．
（1） 求证：𝐴𝑂⊥平面𝐵𝐶𝐷；
（2） 求二面角 𝐴−𝐵𝐶−𝐷 的余弦值；
（3） 求 𝑂 点到平面 𝐴𝐶𝐷 的距离．
22. 如图，已知 𝐴𝐵⊥平面𝐵𝐸𝐶，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，𝐶𝐷=2，△𝐵𝐸𝐶 为等边三角形．
第6页（共30 页） （1） 求证：平面𝐴𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐷𝐸．
（2） 求 二面角𝐴−𝐷𝐸−𝐵 的平面角的余弦值．
23. 如图，在四棱锥 𝑂−𝐴𝐵𝐶𝐷 中，底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 是边长为 1 的菱形，∠𝐴𝐵𝐶=π4，𝑂𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑂𝐴=2，𝑀 为 𝑂𝐴 的中点，𝑁 为 𝐵𝐶 的中点，以 𝐴 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（1） 证明：直线 𝑀𝑁∥平面𝑂𝐶𝐷；
（2） 求异面直线 𝐴𝐵 与 𝑀𝐷 所成角的大小；
（3） 求点 𝐵 到平面 𝑂𝐶𝐷 的距离．
24. 如图，已知边长为 4 的菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶∩𝐵𝐷=𝑂，∠𝐴𝐵𝐶=60∘．将菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 沿对角线 𝐴𝐶
折起得到三棱锥 𝐷−𝐴𝐵𝐶，设二面角 𝐷−𝐴𝐶−𝐵 的大小为 𝜃．
（1） 当 𝜃=90∘ 时，求异面直线 𝐴𝐷 与 𝐵𝐶 所成角的余弦值；
（2） 当 𝜃=60∘ 时，求直线 𝐵𝐶 与平面 𝐷𝐴𝐵 所成角的正弦值．
25. 如图，在四棱锥 𝐴−𝐵𝐶𝐷𝐸 中，底面 𝐵𝐶𝐷𝐸 为平行四边形，平面𝐴𝐵𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐸，𝐷𝐵=𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐷𝐸=90∘．
（1） 求异面直线 𝐴𝐵 与 𝐷𝐸 所成角的大小；
（2） 求二面角 𝐵−𝐴𝐸−𝐶 的余弦值．
专题03 立体几何大题拔高练(原卷版)
【一专三练】 专题03 立体几何大题拔高练-新高考数学复
习分层训练（新高考通用）
1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥PABCE中，1AB，2BC，
22BE，PA平面ABCE
，平面PAB平面PBC
(1)证明：ABBC
；
(2)
若
22PA，且ACAE
，G为PCEV的重心．求直线
CG与平面PBC
所成角的正
弦值．
2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体ABCD
中，G为ABCV
的重心，E，F
分别在棱BC，CD上，平面//ABD
平面EFG.
(1)
求DF
CF的值；
(2)若AB
平面BCD
，DCCB，且3ABBCCD
，求平面EFG与平面ACD
的夹
角的大小.
3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥
SABCD的底面是正方形，点P，Q
在侧棱SD
上，E是侧棱SC
的中点．(1)若SQQPPD
，证明：BE∥平面PAC
；
(2)
若每条侧棱的长都是底面边长的
2倍，从下面两个条件中选一个，求二面角
PACD
的大小．
①SD
平面PAC
；②P为SD
的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱
111ABCABC-
中，四边形
11AACC
是边长为4
的菱形，
13ABBC，点D为棱AC上的动点（不与A、
C重
合），平面
1BBD
与棱
11AC
交于点E.
(1)求证
1BBDE//
；
(2)若平面ABC
平面
11AACC
，
160AAC
，判断是否存在点D使得平面
11AABB
与平
面
1BBDE
所成的锐二面角为π
3，并说明理由.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体
1111ABCDABCD
中，1AB，
12BCBC
，π
3ABC
，侧面
11BBAA
是菱形，
1π
3BBA
．(1)求
1BC
与底面ABCD
所成角的正切值；
(2)点,EF分别在
1BA和
1BC
上，
11EFAC∥
，过点,,BEF
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
优质文本
1 / 6 A B C
第1题图 A B C
D
第1题图 立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.
4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．
5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；
（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
高中《立体几何》大题(附答案解析)
《立体几何》大题及答案解析
1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥SABCD−
中，底面ABCD
为矩形，SD⊥
底面ABCD
，2AD=
，
2DCSD==
，点M
在侧棱SC
上，
∠ABM=60
。
（I）证明：M
是侧棱SC
的中点；
()
ΙΙ
求二面角SAMB−−
的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，AB⊥AC,D、E分别为AA
1、B
1C的中点，DE⊥平面BCC
1
（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B
1C与平面BCD所成的角的大小
A
C
B A
1
B
1 C
1
D
E
3.（2009浙江卷）如图，DC⊥
平面ABC
，//EBDC
，22ACBCEBDC====
，120ACB∠=
，,PQ
分别为,AEAB
的中点．（I）证明：//PQ
平面ACD
；（II）求AD
与平面ABE
所成角的正弦值．
4.（2009北京卷）如图，四棱锥PABCD−
的底面是正方形，PDABCD⊥底面
，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：
平面AECPDB⊥平面
；
（Ⅱ）当2PDAB=
且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
5.（2009江西卷）如图，在四棱锥PABCD−
中，底面ABCD
是矩形，PA⊥
平面ABCD
，4PAAD==
，
2AB=
．以BD
的中点O
为球心、BD
为直径的球面交PD
于点M
．
（1）求证：平面ABM
⊥平面PCD
；
（2）求直线PC
与平面ABM
所成的角；
（3）求点O
到平面ABM
的距离．
6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD
所在平面与平面四边形ABEF
所在平面互相垂直，△ABE
是等腰直角
三角形，,,45ABAEFAFEAEF°
==∠=
（I）求证：EFBCE⊥平面
；
（II）设线段CD
、AE
的中点分别为P
、M
，求证： PM
∥BCE平面
（III）求二面角FBDA−−
的大小。
O A P
B
C M
D7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE
(完整)高中数学《立体几何》大题及答案解析.doc
高中数学《立体几何》大题及答案解析 ( 理)
1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，
AD2 ， DC o
SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ∠ ABM=60。
（ I ）证明： M 是侧棱 SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。
2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱
DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC
的角的大小
ABC-A 1B1C1 中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，
（Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成
A 1 C1
B1
D E
A C
B
3. （ 2009 浙 江 卷 ） 如 图， DC 平 面 ABC ， EB / / DC ， AC BC EB 2DC 2 ，
ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（ I ）证明： PQ / / 平面 ACD ；（ II ）求 AD 与平
面 ABE 所成角的正弦值． 4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，
PD 底面 ABCD ， 点 E 在 棱 PB 上 . （ Ⅰ ） 求 证 ： 平 面
AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，
求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .
5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ，
PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交
PD 于点 M ．
（ 1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ；
（ 2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；
立体几何大题练习(附答案)
1.(本小题总分值14分)如图,在四棱锥 P ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD
底面ABCD, PD DC 1, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
(I)证实： PA //平面EDB;
(II)证实：PB,平面EFD;
(III)求三棱锥P DEF的体积.
2 .(本小题总分值
(m)求三棱锥 (I )求证：B1 18.(本小题总分值 14分)如右图,在直角梯形 ABCD中, B=90 °,
1 DC//AB,BC=CD= -AB=2 , G 为线段 AB 的中点,将 VADG 沿 GD 2 折起,使平面 ADG 平面BCDG,得到几何体 A-BCDG.
(1)假设E,F分别为线段 AC,AD的中点,
求证：EF//平面ABG;
(2)求证：AG 平面BCDG;
(3)求 V C-ABD 的值.
4、(本小题总分值14分)
如图4, AA是圆柱的母线, AB是圆柱底面圆的直径,
C是底面圆周上异于 A,B的任意一点, AA AB 2.
(1)求证：BC 平面A〔AC ；
(2)求三棱锥A ABC的体积的最大值.
图4 〔I〕求证：BD 平面CDE ;
〔n〕求证：GH 〃平面CDE；
〔出〕求三棱锥D CEF的体积.
7.〔本小题总分值14分〕右图是一个直三棱柱 〔以 AiBiCi为底面〕被
6 .〔本小题总分值14分〕
如图,平行四边形 ABCD中,CD 1, BCD 60,且BD CD ,正方形ADEF
和平面ABCD成直二面角,G, H是DF , BE的中点.
(n ) 求证：EF 面PAC;
〔出〕 求三棱锥 B-PAC的体积. C 一平面所截得到的几何体,截面为 ABC.AiBi = BiCi = l, ZAiBiCi = 90 ,AAi = 4,
BBi=2, CCi=3.
(I)设点O是AB的中点,证实： OC//平面AiBiCi;
(II)求此几何体的体积.
高中数学立体几何大题练习与答案
1
一、解答题
1．（2023高一下·重庆沙坪坝·百强名校期末）如图，有一个正四棱柱，E
､F高中数学立体几何大题练习与答案
分别为底面棱
AD
11，DC
11的中点，=AB4，=AA6
1，点G
在AA
1上，且=
AAAG
32
1.
(1)
判断直线BG
是否在平面BEF
内？说明理由；
(2)
求二面角AEFG−−
1的余弦值.
【答案】(1)
直线BG
在平面BEF
内，理由见解析
(2)
33
【分析】（1
）建立空间直角坐标系，求平面BEF
的法向量，根据法向量与
BG的关系可判
断；
（2
）运用几何法，得到二面角的平面角即可求解.
【详解】（1
）以D
为坐标原点，DA
，DC
，DD
1分别为x
，y
，z
轴建立空间直角坐标系
则EFBG(2,0,6),(0,2,6),(4,4,0),(4,0,4)
所以(2,2,0)EF=
−，(2,4,6)BE=−
−，(0,4,4)BG=
−
设平面BEF
的法向量为(,,)nxyz
=
，则(1,1,1)n
=
−−+=−++=
xyzxyz
24602200
所以其
0BGn
=且点B
在平面BEF
内，故直线BG
在平面BEF
内.
2
（2
）
连接BD
11交EF
于O
，连接BO
因为平面EFG
与平面BEF
是同一平面，平面AEF
1与平面BEF
1是同一平面，
则BOB
1为二面角−−BEFB
1的平面角，记为
又==BOBD
4323
111，=BB6
1
所以=+=BOBBBO36
1122
所以===
BOBO
363cos323
1
2．（2023·江苏·百强名校期末）如图，在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，D
，E
分别为AB
，BC
的中点，点F
在侧棱B
1B
上，且⊥BDAF
11
，⊥ACAB
1111.
求证：（1
）直线
DE
平面A
1C
1F
；
3
（2
）平面B
1DE
⊥平面A
1C
1F.
【答案】（1
）详见解析（2
）详见解析
【详解】试题分析：（1
）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结
合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2
）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直
高三精选立体几何大题30题(含详细解答) 2
立体几何大题
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．
（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．
（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．
解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．
∵ △ABC是等腰直角三角形，
,cm22DBAD
又∵ AD⊥DC，BD⊥DC．
∴ ∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．
有时当,cm4AB,22DBAD
.90ADB.ABDBAD222
（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件
∵ △ABC为正三角形，且 AD＝BD＝CD．
∴ 三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，
∴ DP与平面内任意一条直线都垂直．
（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有ABCOABDOADCOBCDOBCDAVVVVV代入得3623r，即半径最大的小球半径为3623．
A B C
第1题图 A B C
D
第1题图 2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；
（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.
证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴D1D⊥ABCD.
立体几何大题练习(附答案) 2
.
. ABCDPEF1．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，1DCPD，E是PC的中点，作PBEF交PB于点F．
(I) 证明： PA∥平面EDB；
(II) 证明：PB⊥平面EFD；
(III) 求三棱锥DEFP的体积．
2 .（本小题满分14分）正方体1111ABCD-ABCD，1AA=2，E为棱1CC的中点．
(Ⅰ) 求证：11BDAE； (Ⅱ) 求证：//AC平面1BDE；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．
A1D1C1B1AEDCB.
. 0C-ABD18.(14ABCDB1DC//AB,BC=CD=AB=2GABADGGD2ADGBCDG,A-BCDG. 1E,FAC,ADEF//ABG;(2)AGBCDG; (3)V本小题满分分）如右图，在直角梯形中，=90，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面得到几何体（）若分别为线段的中点， 求证：平面 求证：平面求的值。
4、（本小题满分14分）
如图4，1AA是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，
C是底面圆周上异于,AB的任意一点，12.AAAB
（1）求证：BC平面1AAC；
（2）求三棱锥1AABC的体积的最大值.
A
G
B C A
B C D G E F
D
A1BCA4图.
.
5.(本小题满分14分）
如图，已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，2AB，
C是⊙O上一点，且BCAC，PC与⊙O所在的平面成45角，
E是PC中点．F为PB中点．
(Ⅰ)
求证： ABCEF面//；
(Ⅱ) 求证：PACEF面；
（Ⅲ）求三棱锥B-PAC的体积．
6．（本小题满分14分）
如图，平行四边形ABCD中，1CD，60BCD，且CDBD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，HG,是BEDF,的中点．
高考立体几何专题复习[1]
1 立体几何
一、考点分析
基本图形
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②22rRd（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
顶点侧面斜高高侧棱底面OCDABHSl侧棱侧面底面E'B'D'C'A'F'BDEAFCrdR球面轴球心半径AOO1BA'C'D'B'CDOABOC'A'Ac 2 注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
球面积、体积公式：2344,3SRVR球球（其中R为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★
1．求异面直线所成的角0,90：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移
另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；
三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；
2024届新高考数学大题精选30题--立体几何(解析版)
1大题 立体几何
1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A
1B
1C
1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的
中点，N是AB
1的中点，P是B
1C
1的中点．
(1)证明：MN⎳平面A
1CP；
(2)求点P到直线MN的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A-xyz，设平面A
1CP的一个法向量为n
=(x,y,z)，利用空间向量法
证明MN
⋅n
=0即可；
(2)利用空间向量法即可求解点线距.
【详解】(1)由题意知，AA
1⊥平面ABC，∠BAC=60°
，而AB⊂平面ABC，
所以AA
1⊥AB，在平面ABC内过点A作y轴，使得AB⊥y轴，
建立如图空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),A
1(0,0,2),B
1(2,0,2)，得M3
2,3
2,0
,N(1,0,1),P32,3
2,2
，
所以A
1C
=(1,3,-2),A
1P
=3
2,3
2,0
,MN
=-1
2,-3
2,1
，
设平面A
1CP的一个法向量为n
=(x,y,z)，
则n
⋅A
1C
=x+3y-2z=0
n
⋅A
1P
=32x+3
2y=0
，令x=1，得y=-3,z=-1，
所以n
=(1,-3,-1)，
所以MN⋅n
=-1
2×1+-3
2
×(-3)+1×(-1)=0，
又MN不在平面A
1CP内
即
MN⎳平面A
1CP；
(2)如图，连接PM，由(1)得PM
=(0,0,-2)，
则MN
⋅PM
=-2，MN
=2,PM
=2，
所以点P到直线MN的距离为d=PM
2-MN
⋅PM
PM
2
=3.
2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=
60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
2(1)求三棱锥M-ABC的体积；