高考数学总复习微专题立体几何中的动态问题初探公开课PPT课件
C
O
B
引申2:棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1 在空间直角坐标系中移动,但保持点A、B
分最别远在距D1 离x轴为、_y_轴__上_C_1移__4动,则y点C1到C原1 点O的
A1
B1
D1
B
•M
C
A
•
M
B
OA
x
引申3:在空间直角坐标系中棱长为2
的正四面体ABCD两个顶点A、B分别
在x轴、y轴上移动,M是棱CD的中点,
C. 一条直线
D.抛物线一部分
分析：
由AB1 ⊥平面A1BCD1，连接OP 点P到AB1的距离=OP，
由动点P到AB1和BC的距离相 等
到定点的距离与到定直线的距离相等
符合抛物线的定义。
点评：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及 到动点的轨迹问题，优先考虑定义法。
立体几何中常见的轨迹问题——坐标法
O在以AB为直径 的球面上运动
3 1
B
C
•M
O
y
A x
引 申1 : 如 图,直 线l 平 面,垂 足 为O, 在ABC
中,ABC 900 , AB 2, BC 1,该 三 角 形 作 符
合 条 件 的 运 动: (1)A l,(2)B ,求C、O两 点
之 间 的 最 大 距 离.
l
A
1 2
例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，
若点P到直线A1D1和CD的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ B ）
A.抛物线
B.双曲线
C. 椭圆
D.直线
.P
本题从几何的角度很难找到突破口，我们可以尝试从代数的角度处理。 如图，建立直角坐标系x-D-y,设P（x,y),则有
【注】偶尔会涉及到建立空间直角坐标系，但问题最终的方程一般只含有 两个变量。在个别问题中，还需要注意纯粹性与完备性。
则动点C的轨迹是（ A ）
A.一条直线
B.一个圆
C. 一个椭圆 D.双曲线的一支
分析：直线l运动后形成的轨迹为线段AB的垂面，点C刚好落在平面α与
线段AB的垂面的交线上，所以动点C的轨迹是一条直线。
点评：空间轨迹最简单的一种存在形式就是两个平面的交线，
在处理问题中注意识别即可。
例2
如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内
引申1 : 设m是平面内的一条定直线.P是平 面外 的 一 个 定 点, 动 直 线n经 过 点P且 与m 成30角,求 直 线n与 平 面的 交 点Q的 轨 迹
动直线n的轨迹是以点P为顶点、以平行于m的直线为轴的 两个圆锥面,而点Q的轨迹就是这两个圆锥面与平面的交 线．
双曲线
引申2 :圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方 形, M为正方形ABCD对角线的交点,动点P在
（2）代数法 建立坐标系，通过解析法，求出截口曲线的轨迹方程的方法称为代数法。
使用代数法时，一般需要选择合适平面，建立平面直角坐标系，在截口曲线上 任取点P(x,y)，依照题中的条件,建立方程并化简,得到方程f(x,y)=0(高中范 围内，通常只涉及到两个变量的方程）,最后结合方程的特征识别轨迹的类型。
化简可得：x2 y2，即1 动点P的轨迹所在的曲线为双曲线。
点评：从本题，我们可以体会到“数缺形时少直观，形缺数时难入微”
轨迹问题更是如此，从几何角度不好下手时，可以尝试从代数的角度， 利用解析法求解出相应轨迹，不失为此类问题解决的好方法。
例5 : 如图,空间直角坐标Oxyz中, 正ABC
的顶点A, B分别在xOy平面和z轴上移动, 若AB 2,求点C到原点O的最z 远距离.
圆 柱 的 下 底 面(包 括 圆 周), 若 直 线AM与 直 线 MP所成角为45 ,则点P所形成的轨迹为___
D
C
M
抛物线的一部分
A
B
P
立体几何中常见的轨迹问题——定义
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若四边形A1BCD1内
一动点P到AB1和BC的距离相等，则点P的轨迹为（ D ） A.椭圆的一部分 B.圆的一部分
则F 点M到原点O的取值范围为______
设N为AB的 中 点N 1
M D
O
A
(第17题)
O在以AB为直径 M 的球面上运动
C E
[ 2 1, 2 1]
A
N
B
例6 : 正方体ABCD A1B1C1D1中, E是
棱CC1的中点, F是侧面B1BCC1的动点,
A1F // 平面AED1,求动点F的轨迹.
D1
A1
线段
C1
G
B1
E
D C
F A
B
方法提炼
立体几何中轨迹问题及其轨迹相关的度量问题的两种常见处理办法：
（1）几何法 借助曲线的定义或几何图形的特征进行识别轨迹类型的方法称之为几何法。
使用几何法时，需要抓住几何不变量、关注圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义以及 生成过程。常见的被截面有平面、圆柱面与圆锥面等。如两平面的交线为直线，平 面截圆柱面所得截口曲线可以为圆或椭圆，平面截圆锥面所得截口曲线可以为圆、 椭圆、抛物线、双曲线等，具体可以结合前面的命题进行识别。
理论的依据——平面截圆锥
（二）平面截圆锥面所得的截口曲线
命题4 当截面与圆锥的轴垂直时，截面曲线为圆；当截面的焦点轴与圆锥 面的轴截面的两条母线都相交，且交点位于圆锥面的同一叶时，截得的曲 线为椭圆；当截面的焦点轴与圆锥面的轴截面的两条母线都相交，且交点 位于圆锥面的不同叶中时，截面曲线为双曲线；当截面的焦点轴与圆锥面 的轴截面的两条母线中的某一条平行时，截面曲线为抛物线。
运动， 使得ΔABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B）
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条直线
动中寻静
分析：
考虑到三角形的面积为定值，可以得到 P点在此圆柱面上。
由于AB是平面α的斜线段，故平面α与圆 柱面斜交,所以动点P的轨迹是椭圆。
理论的依据
（一）平面截圆柱面所得的截线曲线
命题1 圆柱面被与圆柱的轴斜交的平面截得的截线为椭圆。 命题2 圆柱面被平行于轴的截面截得的曲线为两条平行于轴的平行线。 命题3 圆柱面被垂直于轴的截面截得的曲线为圆。
高考数学总复习微专题
立体几何中的动态问题初探
立体几何中的轨迹问题在近几年各地区的模 拟考与高考中频频出现，本文就高中范围内，常见轨迹产生的原理 进行分析，给出立体几何中轨迹问题的两种常见的处理办法。
立体几何中常见的轨迹问题
例1 平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线 l与AB垂直，且交α于点C,
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微专题8 立体几何中的动态问题
微专题8 立体几何中的动态问题对应学生用书第154页立体几何中与角度有关的动态问题,常见的命题角度有折叠问题、存在性问题.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,AC 与BD 交于点O ,将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到三棱锥A-BCD.(1)求证:平面AOC ⊥平面BCD.(2)若三棱锥A-BCD 的体积为√63,且∠AOC 是钝角,求AC 的长. 解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形,所以BD ⊥AO ,BD ⊥CO.折起后仍有BD ⊥AO ,BD ⊥CO ,AO ∩CO=O ,所以BD ⊥平面AOC.因为BD ⊂平面BCD ,所以平面AOC ⊥平面BCD.(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ,所以V A-BCD =13S △AOC ·BD.又V A-BCD =√63, 所以13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD=√63, 即13×12×√2×√2×sin ∠AOC× 2√2=√63, 所以sin ∠AOC=√32. 因为∠AOC 是钝角,所以∠AOC=120°.在△AOC 中,由余弦定理,得AC 2=OA 2+OC 2-2·OA ·OC ·cos ∠AOC=(√2)2+(√2)2-2×√2×√2×cos 120°=6,所以AC=√6.点拨 对于翻折问题,应明确:在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值,这是解决翻折问题的主要方法.【微点练】已知在长方形ABCD 中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD 折起,使AC=a ,得到一个四面体ABCD ,如图所示.(1)在折叠的过程中,直线AB 与CD 能否垂直?若能,求出相应a 的值;若不能,请说明理由.(2)求四面体ABCD 体积的最大值.解析 (1)直线AB 与CD 能垂直.因为AB ⊥AD ,若AB ⊥CD ,因为AD ∩CD=D ,所以AB ⊥平面ACD ,又因为AC ⊂平面ACD ,从而AB ⊥AC.此时,a=√BC 2-AB 2=√16-9=√7,即当a=√7时,有AB ⊥CD.(2)由于△BCD 面积为定值,所以当点A 到平面BCD 的距离最大,即当平面ABD ⊥平面BCD 时,该四面体的体积最大,此时,过点A 在平面ABD 内作AH ⊥BD ,垂足为H ,则有AH ⊥平面BCD ,AH 就是该四面体的高.在△ABD 中,AH=AB ·AD BD =125, 所以S △BCD =12×3×4=6,此时V A-BCD =13S △BCD ·AH=245,则该四面体体积的最大值为245.。
高三立体几何总复习课件.ppt
线面平行判定定理——如果平面外
一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。
已知：a b a//b 求证：a//
(1) a,b确定平面，=b
(2) 假设a与不平行
a
则a与有公共点P
Hale Waihona Puke 则P =b(3) 这与已知a//b矛盾
(4) ∴a //
b
P
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面无公共点
α
α θ
α
θ
β
β
θ β
小结：三种平行关系的转化
线
线面平行判定
线 面面平行判定
面
平行
平行
平行
线
线面平行性质
面面平行性质
面
面
线面垂直的判定方法
（1）定义——如果一条直线和一个平面内的任 意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
（2）判定定理1——如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面。
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那 么截面和底面相似，并且它们面积的比 等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的 平方比
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组 成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
球面可看作与定点（球心） 的距离等于定长（半径） 的所有点的集合
球的大圆
球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
异面直线所成的角
(0°, 90°]
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
人教版高中数学高考一轮复习--高考中的立体几何(课件 共47张PPT)
∴CA,CB,CC1两两垂直.
以点C为坐标原点, , , 1 分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直
角坐标系,如图所示,
则 C(0,0,0),C1(0,0,2),A1(2 3,0,4),E(0,2,4λ).
设平面 A1EC1 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),
1 ·1 1 = 0,
3.用向量方法证明面面平行或垂直的方法:α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使
2 ⊥ ,
e2=λe1(e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0;α∥β⇔
其中α,β为不重合的
2 ⊥ .
两个平面,e1,e2为α,β的法向量,A,B,C为α内不共线的三个点.
例2 如图,CC1⊥平面ABC,平面ABB1A1⊥平面ABC,四边形ABB1A1为正
2
2 2
2 2 2
设平面 PDC 的法向量为 n=(x,y,z),=(-1,0,1), =(-1,1,1),
- + = 0,
· = 0,
则
即
取 n=(1,0,1).
- + + = 0,
· = 0,
1 1
∵n· = 2 − 2=0,∴ ⊥n.
又 EF⊄平面 DCP,∴EF∥平面 DCP.
2 31 + 21 = 0,
则
即
21 + (4-2)1 = 0,
1 ·1 = 0,
3
令 z1=1,则 x1=- ,y1=1-2λ,
3
3
可取 n1= - 3 ,1-2,1 .
设平面 A1EC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
2 ·1 = 0,
2 32 + 42 = 0,
〔高中数学〕立体几何总复习PPT课件 通用
角）为AM与CN所成的角. ∵ 正方体的棱长为a
例题二(3)
CN 5 a,NP 1 AM 5 a,
2
2
4
C P a2 (a )2 17 a.
4
4
cos C N P N P 2 C N 2 C P 2 2
2NP CN
5
C N P arccos 2 . 5
A M 与 C N 所 成 的 角 的 大 小 为 arccos 2 5
论证．解决这类问题要熟练掌握基本定理、公 理、定义;注意把立体几何问题转化成平面问题 来解决． ②空间量的计算问题．（如距离、角、 侧面积和体积），一般空间角和距离通过“作、 证、求”方法来解决，其中三垂线定理是做题 的重要工具．
❖ ③拆、割、补等方法是解决体积问题的常用方 法．
❖ 2.注重立体几何中蕴含的思想方法．如“转 化”，“平行移动”，“割补”，“等积变 换”，“立体图形平面化”的思想．
重难点突破
❖ 1. 在三种平行或垂直的判断中，如何创造条件， （即添辅助线、面）来实现线线、线面、面面 平行和垂直关系的转化．
❖ 2. 在求距离和空间角中，如何作出所求的角和 距离．其中三垂线定理和逆定理是重要的理论 依据，也是解题关键．
❖ 3.正确的作出垂线或垂面是应用定理和性质的 关键．
例题一（1）
AO 2 a, 2
即 A A '与 B D间 的 距 离 为 2 a. 2
例题二(6)
❖ 点评：本题的前两问是两条异面直线所成角的 问题.关键是构造异面直线所成的角，通常有如 下三种方法： （1）过一条异面直线上的已知点，作另一条 直线的平行线，使异面直线所成角成为相交直 线的交角. （2）当异面直线依附于某几何体且直接过异 面直线上的点平移直线有困难时利用几何体中 的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该 点.
例题二(3)
CN 5 a,NP 1 AM 5 a,
2
2
4
C P a2 (a )2 17 a.
4
4
cos C N P N P 2 C N 2 C P 2 2
2NP CN
5
C N P arccos 2 . 5
A M 与 C N 所 成 的 角 的 大 小 为 arccos 2 5
论证．解决这类问题要熟练掌握基本定理、公 理、定义;注意把立体几何问题转化成平面问题 来解决． ②空间量的计算问题．（如距离、角、 侧面积和体积），一般空间角和距离通过“作、 证、求”方法来解决，其中三垂线定理是做题 的重要工具．
❖ ③拆、割、补等方法是解决体积问题的常用方 法．
❖ 2.注重立体几何中蕴含的思想方法．如“转 化”，“平行移动”，“割补”，“等积变 换”，“立体图形平面化”的思想．
重难点突破
❖ 1. 在三种平行或垂直的判断中，如何创造条件， （即添辅助线、面）来实现线线、线面、面面 平行和垂直关系的转化．
❖ 2. 在求距离和空间角中，如何作出所求的角和 距离．其中三垂线定理和逆定理是重要的理论 依据，也是解题关键．
❖ 3.正确的作出垂线或垂面是应用定理和性质的 关键．
例题一（1）
AO 2 a, 2
即 A A '与 B D间 的 距 离 为 2 a. 2
例题二(6)
❖ 点评：本题的前两问是两条异面直线所成角的 问题.关键是构造异面直线所成的角，通常有如 下三种方法： （1）过一条异面直线上的已知点，作另一条 直线的平行线，使异面直线所成角成为相交直 线的交角. （2）当异面直线依附于某几何体且直接过异 面直线上的点平移直线有困难时利用几何体中 的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该 点.
高考数学一轮专项复习ppt课件-空间距离及立体几何中的探索性问题(北师大版)
第七章
§7.8 空间距离及立体 几何中的探索性问题
课标要求
1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离. 2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或 空间角存在的条件.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一 点，则点P到直线l的距离为d＝___|P→_A_|_2_－__|P→_A_·_l0_|2_.
→ u2＝|AA→EE|＝－2 5 5，0，
55，
A→F＝(0,2,1)，|A→F|2＝5，A→F·u2＝ 55，
所以直线 FC1 到直线 AE 的距离为
5－
52
5
＝2 530，故 B 错误；
设平面 AB1E 的法向量为 n＝(x，y，z)，—AB→1 ＝(0,2,2)，A→E＝(－2,0,1)，B→A＝(0，－2,0). 由nn··A—→AEB→＝1 ＝－22yx＋＋2zz＝＝00，， 令z＝2，则y＝－2，x＝1，即n＝(1，－2,2). 设点B到平面AB1E的距离为d，
d＝
|B→E|2－B→|EB→·CB→|C2＝
290－ 232＝23 2.
方法二
又B→C＝
23，23，0，B→E＝0，43，32，
所以|cos〈B→C，B→E〉|＝|B→→C·B→→E|＝ |BC||BE|
2 3×2 3
5＝
515，
则 sin〈B→C，B→E〉＝ 510，
所以点 E 到直线 BC 的距离为|B→E|sin〈B→C，B→E〉＝235×
则A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，C1(0,1,3)， 则A→C＝(－2,1,0)，—BC→1 ＝(－2,0,3)， 设A→C和—BC→1 的公垂线的方向向量 n＝(x，y，z)，
§7.8 空间距离及立体 几何中的探索性问题
课标要求
1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离. 2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或 空间角存在的条件.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一 点，则点P到直线l的距离为d＝___|P→_A_|_2_－__|P→_A_·_l0_|2_.
→ u2＝|AA→EE|＝－2 5 5，0，
55，
A→F＝(0,2,1)，|A→F|2＝5，A→F·u2＝ 55，
所以直线 FC1 到直线 AE 的距离为
5－
52
5
＝2 530，故 B 错误；
设平面 AB1E 的法向量为 n＝(x，y，z)，—AB→1 ＝(0,2,2)，A→E＝(－2,0,1)，B→A＝(0，－2,0). 由nn··A—→AEB→＝1 ＝－22yx＋＋2zz＝＝00，， 令z＝2，则y＝－2，x＝1，即n＝(1，－2,2). 设点B到平面AB1E的距离为d，
d＝
|B→E|2－B→|EB→·CB→|C2＝
290－ 232＝23 2.
方法二
又B→C＝
23，23，0，B→E＝0，43，32，
所以|cos〈B→C，B→E〉|＝|B→→C·B→→E|＝ |BC||BE|
2 3×2 3
5＝
515，
则 sin〈B→C，B→E〉＝ 510，
所以点 E 到直线 BC 的距离为|B→E|sin〈B→C，B→E〉＝235×
则A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，C1(0,1,3)， 则A→C＝(－2,1,0)，—BC→1 ＝(－2,0,3)， 设A→C和—BC→1 的公垂线的方向向量 n＝(x，y，z)，