清华大学版理论力学课后习题答案大全
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 解：cos)(rRxA （1） sin)(rRyA
（2）
为常数，当t = 0时，0=0= 0
22
1t （3）
起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过
A
因动齿轮纯滚，故有CPCP0，即 rR
rR， r
rRA （4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：
222212sin)(2cos)(trrRtrRytrRx
AAA
6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为
hvACvAPvAB2000coscos
6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。 解：
RvRvAA
RvRvBB22 BA2
6－4 直径为360mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆
习题6-1图 A B C v0 h 习题6－2图 P AB vC A B C vo h 习题6－2解图
习题6-3解图 习题6-3图
vA = v vB = v A
B 习题6-6图 l
l2BO1
ABA
BO1O
AB
习题6-6解图
BC的角速度和点C的速度。 解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D BDvB
BPBDBPvBBC
30sin27030cos36012 rad/s8 PCvBCC m/s87.130cos27.08
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。 图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。
6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =21AB，曲柄OA的角速度= 3rad/s。试求当示。= 90°而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。 解：杆AB的瞬心在O
3OA
vA
ABrad/s
lvB3
习题6-5图 O O1
A
B C O O1
A B C
D
C B O C B O
vC
vB P
D 习题6-4图 习题6-4解图
BC
习题6-5解图 O O1
A
B C O O1
A B C
D
vB vC
vA vA vB vC
vD
P (a) (b) 90
DC
v
Bv
CAvAB
O
E (a)
DEDvvACB
CvAv
DO
E (b)
2.531l
vB
BOrad/s
6－7 绕线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图
333.16.08.03.09.0AO
vrad/s
2.1689.09.0OOvm/s 卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度1v和2v作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。 解：如图，以O为基点： rvvOO1
rvvOO2
解得：
221vvvO
rvvO221
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。
解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0 同理，= 270°时，vDE = 0 2．= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B
= 0°时，图（b），ACvv21（↑） 此时CD杆瞬时平移 421ACDDEvvvvm/s（↑） 同理= 180°时，vDE = 4m/s（↓）
习题6-7图 A 1v O B 2v A 1v
O
B 2v
vO O
习题6－8图 习题6－8解图
习题6－9图 习题6－9解图 r60
D
EGOAe
A
eCD
FF
EG
6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。
解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P
405.020r
vOO
rad/s
2202rvOAm/s
cos5.145sin220AP
vAAB
210=14.1 rad/s )45cos(cosABvv
9.12)tan45sin45(cos220Bvm/s
6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。 解：轮B瞬心在F点 vE = vC
112.012.0102603E
B
vrad/s
06.02121CEBDvvvvm/s
习题6－11图 6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。
解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
3π4.130π2.0nOAvAm/s π37.021eAvvm/s
12π74.03π7.0eeCAvrad/s 48π7254.0eDEvvm/s
397.02348π730cosEGvvm/s（→） 397.0GFvvm/s（←）
A O
A v
O
B A O
A v
O
B C
vA
vB
P 习题6－10图 习题6－10解图
O
AB
习题6－12图 习题6－12解图
F
3理论力学 课后答案 (范钦珊 刘燕 王琪 著) 清华大学出版社
RC
FR D
FR G
H
FR H
— 6 —
第 3 章 静力学平衡问题
3－1 图示两种正方形结构所受荷载 F 均已知。试求其中 1，2，3 各杆受力。
： 2 F3 cos 45° − F = 0 解：图（a）
F3 =
2 F （拉） 2
F1 = F3（拉）
F2 − 2 F3 cos 45° = 0
F2 = F（受压） 图（b） ： F3 = F3′ = 0 F1 = 0 F2 = F（受拉）
由于 FBC = FCB ； FEC = FCE ，联立式（1）、（ 2）、（ 3）解得： FH =
（3）
F 2 sin 2 α
3–7 三个半拱相互铰接，其尺寸、支承和受力情况如图所示。设各拱自重均不计，试计算支座 B 的 约束力。
FD′ FD FCx FCy FAy
习题 3-7 图 （a） （b）
习题 1－3 图
F
(a-1) (b-1) 或(b-2)
FAx
F
或(a-2) (c-1)
D B
F
C C
A
C
FAy
α
B
D
(d-1)
或(d-2)
FD
FD
(e-2)
FA FB (e-3)
FA
(e-1)
— 2 —
A F Ax
D A
D
(f-1)
(f-2)
(f-3)
1－4 图 a 所示为三角架结构。荷载 F1 作用在铰 B 上。杆 AB 不计自重，杆 BC 自重为 W。试画出 b、 c、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。
F
(b)
A
FA
(c)
清华理论力学课后答案5
第五章点的合成运动习题解答5-1在图a 、b 所示的两种机构中，已知20021==a O O mm ，31=ωrad/s 。
求图示位置时杆A O 2的角速度。
解：（1）取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系。
1a ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图a 所示），得a v v 1a e 2330cos ω==�，rad/s 5.1212e 2===ωωA O v ，（逆时针）（2）取滑块A 为动点，杆A O 1为动系，1e ωa v =，由r e a v v v +=作速度平行四边形（如题5-1图b 所示），得1ea 3230cos ωa v v ==�，rad/s 23212a 2===ωωA O v .（逆时针）5-2图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，杆DE 保持铅直。
曲柄长10.OA =m ，并以匀角速度20=ωrad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。
求当曲柄水平线的交角分别为0=ϕ、�30、�90时杆BC 的速度。
解：取滑块A 为动点，动系为BCE 杆。
m/s 2OA a =⋅=ϕ̇v .由r e a v v v +=得ϕsin a e v v =当�0=ϕ时，0e =v ；当�30=ϕ时，m/s 1e =v ；当90=ϕ时，m/s 2e =v .5-3图示曲柄滑道机构中，曲柄长r OA =，并以匀角速度ω饶O 轴转动。
装在水平杆上的滑槽DE 与水平线成�60角。
求当曲柄与水平线交角0=ϕ、�30、�60时，杆BC 的速度。
解：取滑块A 为动点，动系为杆BC ，ωωr v =⋅=OA a .作速度矢量图如图示。
题5-2图(a)(b)题5-1图课后答案网ww w.kh da w .c o m题5-3图由正弦定理)30-sin()60-sin(180ea ���ϕv v =，解得)30-sin(32-e �ϕω⋅=r v .当�0=ϕ时，e v r =；当30o ϕ=时，0=e v ；当60o ϕ=时，e v r =(向右).5-4如图所示，瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
清华理论力学课后答案2
kh da
（b）
w.
co
m
4
三角块 V4
V4 = 2 × 3 × 3 ÷ 2 = 9
(1, 7, 1)
2-5 均质折杆及尺寸如图示，求此折杆形心坐标。 解： 将图示折杆简化为折线计算。 折杆有 5 段直线组成， 每一段的长度及形心坐标如表所示。 按形心计算公式，有
xc =
∑iLi xi 200 × (−100) + 100 × (−50) + 100 × 0 + 200 × 100 + 100 × 200 = 200 + 100 + 100 + 200 + 100 ∑iLi = 21.43(mm)
kh da
，
w.
FRx ' = F1 cos 45� − F2 cos 45� = 0 ，
�
co
在坐标轴上的投影为
m
解： 各力均在与坐标平面平行的面内， 且与所在平面的棱边成 45°角。 将力系向 A 点简化， 主矢 FR '
a b c + + = 0。 F1 F2 F3
当主矢与主矩平行时，力系能简化为力螺旋，即从 FR '× M O = 0 得，
yc =
答
案
网
（200，100，-50）
ww w.
3
kh da
题 2-5 图
w.
co
m
题 2-6 图
解: 由对称性知，该图形的形心一定在 x 轴上，即 yc = 0 。用负面积法计算其横坐标。此平面图
按形心计算公式，有
xc =
2-7 工字钢截面尺寸如图示，求此截面的形心坐标。
题 2-7 图
理论力学清华大学姚林泉答案第一章
理论力学清华大学姚林泉答案第一章1.答：平均速度是运动质点在某一时间间隔/一）/+A/内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿A/对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。
在A/>0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。
2.答：质点运动时，径向速度V，和横向速度V。
的大小、方向都改变，而a中的只反映了V。
本身大小的改变，ao中的，陌+r6只是V。
本身大小的改变。
事实上，横向速度V。
方向的改变会引起径向速度V，大小大改变，，62就是反映这种改变的加速度分量：经向速度V，的方向改变也引起V。
的大小改变，另一个海即为反映这种改变的加速度分量，故a。
=-/62，ao=/6+2/6.。
这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况3.答：内禀方程中，a。
是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而a。
垂白于v指向曲线凹陷一方，故a，总是沿助法线方向。
质点沿空间曲线运动时，a。
=0，万0z何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力F，还受到被动的约反作川力R，二者在副法线方向的分量成平衡力2+R。
=0，故a。
=0符合牛顿运动率。
有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。
有人也许还会问：某时刻若E与R，大小不等，a。
就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来a。
所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足瓦+R，=0即a，=0.这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
4.答：质点在直线运动中只有a而无a，质点的匀速曲线运动中只有a，而无a；质点作变速运动时即有a又有a。
清华理论力学课后答案7
̇ ̇= y
̇ 2 sin ϑ + ϑ ̇̇cosϑ 2ϑ r cos 2 ϑ
̇ + g) F = m( ̇ y
将数据代入，求得此时的喷射反推力 F = 387.56 kN .
7-6 质量皆为 m 的两物块 A，B 以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所
受力图如图示，列出动力学方程 2）取物块 B 为研究对象，
课 后
力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为 λ。求质点在平衡位置附
λ ，受力图如图示，运动微分方程为 x λ ̇ = − mg . ṁ x x
答
案
2nω 2 ωn − ω2 代入数据，得 b = 1.90 mm , ϑ = −0.50 rad . 受迫振动的方程为 x = 1.90 sin (15.71t − 0.50) mm tan ϑ =
3）运动学分析
xB = l cosϑ ,
对时间求二次导数，得
̇ sin ϑ , y ̇ cosϑ ； ̇ B = −lϑ ̇ A = lϑ x ̇̇ sinϑ + ϑ ̇ 2 cos ϑ ) ̇̇cos ϑ − ϑ ̇ 2 sinϑ ) ̇ ̇B = −l (ϑ ̇ A = l (ϑ x ，y ̇ = 0 ，初加速度为 在初瞬时， ϑ
网
ww w.
b=
h
kh da
质点受力图 题 7-11
2 ̇ ̇ + 2nx ̇ + ωn x x = h sin ωt c k H 2 其中 n = ， ωn = ， h = ， ω = 2π f ， 2m m m
7-11 在图示振动系统中，已知：重物 A 的质量 m = 1 kg， 两串联弹簧的刚度系数分别为 k1 =12 N/cm, k2 = 4 N/cm ， θ = 30°，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物 A 无初速地释 放，同时 B 端以ξ = 1.5sin(10t) cm 沿斜面运动。试求重物 A 的 运动方程。 解：取重物 A 为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数 k 满足
清华理论力学课后答案9
及其变分
答 1
yC1 = 2 l sinϑ1 ，
1 δyC1 = 2 l cosϑ1 ⋅ δϑ1 ；
1
1
后 yC2 = l sinϑ1 + 2 l sinϑ2 ， δyC2 = l cosϑ1 ⋅δϑ1 + 2 l cosϑ2 ⋅δϑ2 。
G1 tan β − (G1 + G2 ) f ≤ F ≤ G1 tan β + (G1 + G2 ) f 。
(b) 解：本体与上题在于ϑ 是变量，只要将上题中的 β 表示成 h 的
函数即可。易见ϑ = 90� − β ， tan β = cotϑ =
上式结果，分别得到（1） F =
R2 − h
h2
.khdaw.co 题 9-13 图
题 9-13 图（a）
www 任一虚位移：AB 杆绕 A 的虚转动 δϑ ，BC 杆的瞬时虚平移 δrB = hδϑ = δrC ，CD 杆绕 D
的虚转动 δϕ = δrC 2h 。列出虚功方程：
网 Mδϑ − F1δrB − F2hδϕ = 0 ，解得： M A = (F1 + F2 / 2)h 。
题 9-11 图（a） 其中， δrD = hδr l 。
解得： FAy = F1 − F2h / l 。
9-12 水平力 F1 和 F2 分别作用于杆 BC 和杆 CD 的中点，如图示。不计`杆重，试计算固
定端 A 的约束力偶 MA。
m 解：解除固定端的转动约束而成为固定铰链，并代之以约束力偶，如图（ a）所示。给机构
G1
清华大学-理论力学-习题解答-2-23
2-23 在圆周轮传动装置中，半径为R 的主动齿轮以角速度0ω和角加速度0ε作反时针转向的转动，长为R 3的曲柄以同样的角速度和角加速度绕其轴作顺时针转向的转动，M 点位于半径为R 的从动齿轮上，且在垂直于曲柄的直径末端，如图所示，求M 点的速度和加速度。
解：由于在齿轮接触的点速度必须相等，所以以A 点为中心旋转的齿轮的旋转角速度也为0ω。
M 点的牵连速度为03e R ω=−V j ，相对速度为0r R ω=V i ，所以M 点的速度为：
003M R R ωω=−V i j
M 点的牵连加速度，即A 点的加速度为20033e R R εω=−−a j i ，M 点的相对于A 点的加速度为
200r R R εω=+a i j ，所以M 点的加速度为：
220000(3)(3)M R R R R εωωε=−+−a i j。
清华大学-理论力学-习题解答-2-24
2
（图中 e3 解： 建立如图 2-24 所示的杆 AB 的随体坐标系，e1 , e2 , e3 是该坐标系的单位向量 未画出，它垂直于纸面指向纸外。又设 a A 和 rAB 的夹角为 θ 。再设杆 AB 的角速度和角加速 度为 ω, ε ，由题意可判定它们的方向都垂直于纸面。在下面解答中，除非特别指明，长度和 位移的单位为 cm，速度单位 cm/s，加速度单位 cm/s2，角速度单位为 rad/s，角加速度单位 rad/s2。 由题意可知
由刚体平面运动的速度公式可知： υ D e2 = υD = υA + ω × rAD = −12e1 − 9e2 + ω e3 × 12.5e2 这样
−12 − 12.5ω = 0
即
ω = −0.96
或写作向量式
ω = −0.96e3
(1)
于是再由刚体平面运动的速度公式
υB = υA + ω × rAB = −12e1 − 9e2 + ( −0.96e3 ) × 19.53e2 = 6.75e1 − 9e2
(2)
如图(a)所示：
h = 10cm
D
Ah
E
= − θ
2 hx 2 xhx + x 2 + h 2 ( x 2 + h 2 )2
2
带入
= −υ A = −15 cm/s， x = 7.5 cm， x x = a A = 10 cm/s
得
= 2.02 rad/s2 θ
AD = 7.52 + 102 = 12.5 sin θ = 10 12.5 = 0.8 ， cos θ = 0.6
清华理论力学课后答案1
课 后
M ξ = M B ⋅ξˆ = −513.4 ( N ) 。 1-4 图示平面 Π 在各坐标轴上的截矩分别为 a, b, c ， 且a = b。 计算图示力 F 和力偶 M 对 x, y, z 轴的力矩和，以及对坐标原点 O 的力矩和。
题 1-4 图
答
案
网
1 (3i − 2k ) 。 ξ 轴方向的单位向量为：ξˆ = 13
课 后
力外仅有力偶作用， 因力偶只能与力偶平衡， 因此 A、 C 处的约束力必互相平行并组成力偶。
答
案
网
ww w.
4
kh da
w.
co
m
（a）
（b）
1-9 试画出图示物体系统以及标字母构件的受力图。除注明的外，物体的自重都不计。 解：（a）图示物体系统由多个物体组成，为确定约束力的方向，要考虑先后次序。我们按 以下次序进行受力分析：轮 D、杆 EB、杆 DC、结构 ABCDE、杆 AB。
ww w.
kh da
F = Fξ 0
1 M z = − F cos 60� r = − Fr 2
w.
3 F (h + r ) 4
；
co
1 F (h − 3r ) ； 4 M y = F cos 60� sin 60� h + F sin 60� r sin 30�
m
M x = F cos 2 60� h − F sin 60� r cos 30� =
（b） 按三力平衡汇交定理画出整体的受力图， 然后依次画出杆 CD、 杆 AB、 轮 D 的受力图。 （c）折杆 BC 为二力构件，约束力方向一定是沿着 BC 连线。因力偶只能与力偶平衡，所 以，铰链 A 和 B 处的约束力一定互相平行而组成力偶。
清华大学-理论力学-习题解答-8-13
简化得：
如以 θ 、 ϕ 的余角 θ 1 、 ϕ1 为广义坐标，则有：
!! = −θ !! θ = 90 o − θ 1 ， θ 1 2 o !! = −ϕ !!1 ， ϕ ! =ϕ ! 12 ϕ = 90 − ϕ 1 ， ϕ sin ϕ = cos ϕ1 ， cos ϕ = sin ϕ 1
d ∂r !!(1 + sin ϕ ) − 6 sin R 2θ!ϕ !! − 6mR 2θ ! sin ϕ = 8mR 2 ϕ ! d t ∂ϕ
∂T ∂V =0， =0 ∂θ ∂θ
∂V ∂T ! cos ϕ ， = −2mgR cos ϕ = −6mR 2θϕ ∂ϕ ∂ϕ
! 2 + 4mR 2 ϕ !ϕ ! 2 − 6mR 2θ ! (1 + sin ϕ ) + 2mgR sin ϕ L = 18mR 2θ
d ∂L ∂L ( )− =0 ! ∂θ d t ∂θ d ∂L ∂L ( )− =0 ! ∂ϕ d t ∂ϕ d ∂L ∂L = 0 ，由 (1)′ 得： ( ) = 0 因 L 中不显含 θ ，即 d t ∂θ! ∂θ ∂L = const . ， 积分得： ∂θ! ! − 6mR 2ϕ ! (1 + sin ϕ ) = C 即： 36mR 2θ
∴ T小 = m m ! 2 + 4 R 2ϕ !ϕ ! ! 2 − 12 R 2θ ! sin ϕ + R 2 2ϕ ! − 3θ 9 R 2θ 2 2 !ϕ ! (1 + sin ϕ ) = 9mR 2θ! 2 + 4mR 2ϕ 2 − 6mR 2θ ! 2 − 6mR 2θ!ϕ ! (1 + sin ϕ ) T = T大 + T小 = 18mR 2θ! 2 + 4mR 2ϕ