人教版数学八年级上册分式方程课件

人教版八年级数学上册15.3.1《分式方程》(第1课时)一等奖优秀教学设计

- 1 - 人教版义务教育教科书八年级数学上册

15.3.1《分式方程》（第1课时）教学设计

一、教材分析

1、地位作用：本课内容选自人教版八年级上册第十五章《分式》的第三节第1课时分式方程。本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。

2、教学目标：

（1）理解分式方程的意义；

（2）掌握解分式方程的基本思路和解法；

3、教学重、难点

重点: 解分式方程的基本思路和解法。

难点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

二、教学准备：多媒体课件、导学案

三、教学过程：

教学内容与教师活动学生活动设计意图

一、创设情景引入课题

（一）、忆一忆

（1）什么叫方程？什么叫方程的解？

（2）我们学过的方程有哪一些？

（二）、情景问题创设引入新课。

一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它

沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?（设未知数，列出方程）

引出新课题------分式方程

二、自主探究合作交流建构新知

活动1：1．分式方程的定义回忆思考回答。

学生读题，尝试思考解决问题.

根据教师的引导作总结。

故而知新，为本课的顺利进行做好铺垫。通过学生熟悉的例子出发，让学生初步感受到与我们学过的方程的不同，为下一环节归纳新知作铺垫。90603030vv

- 2 - 像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。

2、练习：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程.

活动2：再探新知：怎样解分式方程？

1、解整式方程

分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版

教育

1 / 8 第十五章分式的方程

15.3分式的方程

第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）

1教学目标

1.1 知识与技能：

[1]理解分式方程的意义。

[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。

[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。

1.2过程与方法：

经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。

1.3 情感态度与价值观：

[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.

[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

2教学重点/难点/易考点

2.1 教学重点

[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。

[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.2 教学难点

[1]理解解分式方程时可能无解的原因。

[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。

3 专家建议

本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。从下一节起将开始分式方程的应用。因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。

教育

2 / 8 4 教学方法

[1]分组讨论。

[2]类比推理。

[2]启发引导探索的教学方法。

5 教学用具

多媒体，黑板

6教学过程

6.1复习提问

【师】同学们好。同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？

【生】答：

八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章分式方程一二三四

一、理解分式方程的定义

分母中含有未知数的方程，叫做分式方程．

例如，，都是分式方程．分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数）．

例1 关于x的方程：①；②；③；④；⑤.其中是分式方程的有．（只填序号）

解析：根据分式方程的定义，填②③⑤．

二、掌握分式方程的基本解法

解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解；否则这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．

例2 (2013年济宁)解方程.

解：方程两边乘x（x﹣2），得x=3(x-2).

解得x＝3．

检验：当x=3时，x（x﹣2）≠0．

所以，原分式方程的解为x=3．

三、了解分式的增根

将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常被称为增根．所以解分式方程一定要进行检验．

分式方程检验的方法：一是将整式方程的解代入到最简公分母中，看这个最简公分母的值是否为0；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等．

例3 解方程．

解：两边同乘以，得．

解得．

检验：当时，，因此不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解．

四、学会用分式方程解决实际问题

列分式方程解实际问题的一般步骤：

①审清题意：弄清题目中的已知量和未知量，并能找出表示问题含义的全部等量关系； ②设未知数：有设直接未知数和间接未知数两种，并用所设的未知数表示有关的量；

③找出相等关系，列出方程；

④解方程；

⑤检验：检验时要检验所求未知数的值是否为原分式方程的解，还要检验是否符合题目的实际意义，也就是“双重检验”；

⑥写出答案：注意不要忘记答案的单位．

例 4 （2013年咸宁）在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树.

人教版八年级数学分式方程部分

分式方程应用题

班级姓名

1、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

2、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

5、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

6、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

7、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

8、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的

1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

10、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

11、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册

15.3分式方程-增根（教案）-人教版八年级数学上册

一、教学内容

本节课选自人教版八年级数学上册第15章“分式方程”中的15.3节“增根”。教学内容主要包括以下两个方面：

1. 理解增根的概念：通过实例引导学生认识增根，即分式方程在化简过程中产生的使分母为零的根。

2. 学会求解含增根的分式方程：教授学生如何判断分式方程是否存在增根，掌握求解含增根分式方程的方法，并能够运用到实际问题的解决中。

具体内容包括：

（1）理解增根的定义及特点；

（2）掌握求解含增根分式方程的步骤；

（3）通过练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二、核心素养目标

1. 培养学生的逻辑推理能力：通过分析分式方程的增根问题，让学生掌握逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。

2. 提升学生的数学建模素养：使学生能够运用所学知识，建立含增根的分式方程模型，解决实际生活中的问题。

3. 强化学生的数学运算能力：培养学生熟练运用数学运算法则，求解含增根分式方程，提高运算速度和准确性。

4. 增强学生的数学抽象思维：让学生从具体实例中抽象出增根的概念，培养学生的数学抽象思维能力。

5. 激发学生的自主学习与合作交流：鼓励学生在课堂中主动探索、合作交流，培养团队协作意识，提高自主学习能力。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。

举例：分式方程 $\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。

（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。

举例：求解分式方程 $\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-2}$，先识别增根$x=2$，然后去分母，求解整式方程，最后检验解。

人教版初二数学上册分式方程及其解法

15.3 分式方程

第1课时分式方程及其解法

学习目标：

1. 通过从简单的实际问题中找出等量关系，列出方程，通过观察，对比整式方

程，了解分式方程的概念,掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法。理解解分式方程时可能产生增根及产生的原因，会检验整式方程的解是否为原分式方程的解。了解增根的历史。

2. 感受把分式方程化为整式方程的化归思想。

重点难点预测：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法及思想方法。理解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法。

学习过程：

一、创设情境，形成概念：

问题1:我国海警船驶入钓鱼岛附近进行正常巡航。从 A地以18km/h匀速巡航到达B地，原路匀速返回时需要为民间船只护航，比原来的速度减少了 6km/h，比去时多用了 2h才能到回到A地，求A、B两地的距离？（路程=速度x时间）

1•这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？

2•如果设海警船从A地去B地所用时间为t,列方程为 _____________________

3. _______________________________________________ 如果设 A、B两地的距离x千米，列方程为 ___________________________________________

问题2: 一艘海警船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行

90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？（顺流速度=静水船速度+ 水流速度，逆流速度=静水船速度-水流速度）

1•这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？

2•如果设江水的流速为 V千米/时轮船顺流航行速度为 ____________ 千米/时,逆流航行速度

为 _______ 千米/时，顺流航行90千米所用时间为 _________ 小时，逆流航行60千米所用

时间为 ________ 小时,列方程为 __________________

人教版初二数学上册：分式方程的解法及应用(基础)知识讲解

分式方程的解法及应用（基础）

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2. 会列出分式方程解简单的应用问题．

【要点梳理】

【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】

要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程

分式方程（第1课时）教学设计

设计教师工作单位

学科数学课型新授课

所教内容新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时

课程标准讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程. 从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.

教材分析

《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。

教学目标 1．理解分式方程的意义;

2．了解解分式方程的基本思路和解法

3．掌握分式方程的验根方法教学

重点

难点

教学重点：解分式方程的基本思路和解法

教学难点：分式方程的验根方法

学情分析

学生已经学习了用方程解决简单的实际问题以及分式的基本运算，积累了必要的学习经验。但是学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生会对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备.学生在解整式方程时往往会有一种思维定式，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”会产生疑惑和不解，尤其会不明白昌盛增根时，为什么有些方程“无解”.在教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程产生增根的原因.对实际问题进行建模有初步地了解，具备分析问题，处理问题的能力。分式方程的学习将进一步应用数学知识解决更复杂的数学问题，体现了数学来源于生活，应用于生活。

八年级数学教案：分式方程(全3课时)

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课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期

教学课题 §10.5分式方程（1）

教学目标 1、经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。

2.知道分时方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程

教学重点知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程

教学难点知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程

教学方法

教具准备

教学过程个案补充

一．自学检测

1、什么叫做分式方程？解分式方程的步骤有哪几步？

2、判断下面解方程的过程是否正确，若不正确，请加以改正。

解方程：2x－1 ＝3－x＋1x－1

解：两边同乘以（x－1），得

2＝3－x+1， ①

x＝3＋1－2， ②

所以x＝2。 ③

二．探究交流

探索点一：可以采用不同方式，探寻各个实际问题中的相等关系

1、甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同。甲每天加工多少件服装？

2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是74 。原两位数的十位数字是几？

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3、某校学生到距离学校15km的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发40min后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍，求自行车速度。

思考：

上面所得到的方程有什么共同特点？这些方程与整式方程有什么区别？

探索点二：分式方程的解法

例1 解分式方程：

（1）24x＋1 ＝20x （2） 3x －2x－2 ＝0

解分式方程的一般步骤

- 3 - 三．交流展示

解方程：

（1） 3x －2x－2 ＝0 （2）－1x－2 ＋3＝1－x2－x