江苏省最新高中全国卷一高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)
1 / 6 高考一轮复习备考试题(附参考答案) 平面向量 一、填空题 1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形ABCD中，已知5,8ADAB，
2,3BPAPPDCP，则ADAB的值是 ．
2、（2013年江苏高考）设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，若ACABDE21 （21，为实数），则21的值为 。 3、（2012年江苏高考）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是 ．
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a， 则实数λ＝ ． 5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC中，∠C=90°，34CACB，，DE、分别为边CACB、上的点，且6BDCA， 8AECB，则AEBD ．
6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于,AB的一点 Q是线段AP上靠近A的三等分点,且4,AQAB则BQBP的 值为 2 / 6
7、（南京市2014届高三第三次模拟）在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM→·CN→的取值范围为 ▲ ． 8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形ABC中，C=90°，6AC，4BC．若点D满足2ADDB，则||CD ▲ ．
9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O，A，B，C满足2OABC，3OBCA，则OCAB = ▲ ． 10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△ABC中，已知π3BAC，2AB，3AC， 2DCBD，3AEED，则BE ．
11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB＝2π3，OC→＝12OA→＋14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 12、（2014江苏百校联考一）如图，PQ是半径为1的圆A的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则CQBP的最大值为
13、（2014南通二模）在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则ABAC的值为 ．
14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，2BGGO， 3 / 6
设CD∥AG，若15ADABAC()R，则的值为 15、（兴化市2014届高三上学期期中）已知在ABC中，3BCAB，4AC，设O是ABC的内心，若ACnABmAO，则nm:3:4．
二、解答题 1、（2013年江苏高考）已知(cos,sin)(cos,sin)ab＝，，0
。
（1）若||2ab，求证：ab；（2）设(0,1)c，若abc，求,的值。
2、（2012年江苏高考）在ABC中，已知3ABACBABC． （1）求证：tan3tanBA； （2）若5cos5C，求A的值．
3、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在△ABC中，已知π6C，向量(sin,1)Am，(1,cos)Bn，且mn．
（1）求A的值； （2）若点D在边BC上，且3BDBC，13AD，求△ABC的面积．
4、（2014江苏百校联考一）知(3,cos())ax，(sin(),3)bx，其中0，函数()fxab的最小正周期为. (1)求()fx的单调递增区间；
(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且()32Af，3ab，求角A、B、
C的大小 4 / 6
5、（2014南通二模）在△ABC中，已知916ABACABBC，．求： （1）AB的值； （2）sin()sinABC的值．
6、（徐州市2014届高三上学期期中）设向量(2,sin),(1,cos),ab为锐角。
（1）若136ab，求sincos的值； （2）若//ab，求sin(2)3的值。
参考答案 一、填空题 1\、22 2、2121 3、2 4、5 5、－14
6、24 7、[32，2] 8、10 9、－5 10、134 11、60° 12、12 13、－36 14、65 15、答案：3:4
提示一：利用夹角相等，则有ACACAOABABAO||． 提示二：利用角平分线定理，根据相似比求得ACABAO103104． 二、解答题 1、解：（1）∵2||ba ∴2||2ba 即22222bbaaba，
又∵1sincos||2222aa，1sincos||2222bb∴222ba∴0ba∴ba
（2）∵)1,0()sinsin,cos(cosba ∴1sinsin0coscos即sin1sincoscos 两边分别平方再相加得：sin221 ∴21sin ∴21sin ∵0 ∴ 5 / 6
61,6
5
2、解：（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。 由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。 又∵0B>，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。
（2）∵ 5cos05C∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。 由 （1） ，得24tan213tanAA，解得1tan=1 tan=3AA，。 ∵cos0A>，∴tan=1A。∴=4A。 3、（1）由题意知sincos0ABmn， ………………………………2分 又π6C，πABC，所以5πsincos()06AA， ………………………4分
即31sincossin022AAA，即πsin()06A， ……………………………6分 又5π06A，所以ππ2π()()663A,，所以π06A，即π6A． …………7分 （2）设BDx，由3BDBC，得3BCx， 由（1）知π6AC，所以3BAx，2π3B， 在△ABD中，由余弦定理，得2222π(13)=(3)23cos3xxxx， ……10分 解得1x，所以3ABBC， ………………………12分 所以112π93sin33sin2234ABCSBABCBΔ． …………………………14分
4、解：(1)()3sin()3cos()fxxx23sin()6x，2T， 故2， ………………3分 ()23sin(2)6fxx，由222,262kxkkZ，
得：,63kxkkZ. 所以()fx的单调递增区间为[,]()63kkkZ． ………………6分 (2)因为()32Af，所以21)6sin(A． 6 / 6
因为A0，所以6566A．所以3A． ………………9分 因为BbAasinsin，ba3，所以21sinB. ………………12分 因为ab，所以3A，6B，2C. ………………14分 5、【解】（1）（方法1）因为916ABACABBC，， …………… 4分 所以91625ABACABBC，即25ABACCB， 亦即225AB，故5AB． …………………………… 7分 （方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c， 则由条件得cos9cos16bcAacB，． …………………………… 3分
两式相加得(coscos)91625cbAaB，即225c，故5ABc． ……………… 7分 （方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c， 则由条件得cos9cos16bcAacB，． …………………………… 3分
由余弦定理得2222221191622bcacab，， 两式相加得225c，故5ABc． …………………………… 7分 （2）sin()sincoscossinsinsinABABABCC ………………………… 10分
由正弦定理得sin()coscossinABaBbACc22coscos169725acBbcAcc． ………… 14分 6、解：（1）因为a·b =2 + sinθcosθ = 136 , 所以sinθcosθ = 16 ， ……2分 所以（sinθ +cosθ）2 = 1+2sinθcosθ = 34 ．又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = 233 …6分 （2）因为a∥b，所以tanθ = 2， ……8分 所以sin2θ = 2sinθcosθ = 2sinθcosθsin2θ+cos2θ = 2tanθtan2θ+1 = 45 ， ……10分
cos2θ = cos2θ-sin2θ = cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ = 1-tan2θtan2θ+1 = — 35 ． ……12分 所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-3310 ． ……14分
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：平面向量(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练平面向量一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， E 为边BC 上一点，且AB →·AE →＝6，AD →·AE →＝32，则AB →·AD →的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则CD BE ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ ．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知等边三角形ABC 的边长为2，AM 2MB =u u u u r u u u r ，点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点，则AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r取值的集合为 ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在等腰三角形ABC 中,底边2BC =,AD DC =u u u r u u u r ,12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则CE AB ⋅=u u u r u u u r ▲ ．6、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=r r r ，若52a b +=r r ，则b r的值是 ．7、（盐城市2019届高三上学期期中）已知向量(1m =u r ，1)-，(cos n α=r，sin )α，其中 [0α∈，]π，若m u r ∥n r，则α＝ ．8、（苏州市2019届高三上学期期中）已知向量(2,)m =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则实数m 的值是 ▲ ．9、（苏州市2019届高三上学期期中）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为 ▲ ．10、（无锡市2019届高三上学期期中）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|2a ＋b|的值为 11、（徐州市2019届高三上学期期中）在平行四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，若2CE ED =u u u r u u u r ,则AE BE ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12、（常州市2019届高三上学期期末）平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||2OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13、（海安市2019届高三上学期期末）在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，且AM ＝1，点P 满足 P A ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)的取值范围是 ．14、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）在ABC △中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC △所在平面内一点，满足322CP PB PA =+u u u r u u u r u u u r，则CP AB ⋅u u u r u u u r 的值为 ．15、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值是 ．16、（泰州市2019届高三上学期期末）已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r ，0PA PB PC λμ++=u u u r u u u r u u u r r，则λμ＝17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅u u u r u u u r ＝83，则AQ CP ⋅u u u r u u u r的最小值为18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为19、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知⊙O 的半径为2，点A.B.C 为该圆上的三点，且AB=2，0>⋅→→BC BA ，则)(→→→+⋅BA BO OC 的取值范围是_____.20、（江苏省2019年百校大联考）在平面凸四边形ABCD 中，22AB =，3CD =，点E 满足2DE EC =uuu r uu u r ，且2AE BE ==．若85AE EC =uu u r uu u r g ，则AD BC uuu r uu u r g 的值为 ．21、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）已知AD 时直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=u u u r u u u r u u u r.若2AD =，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的值为 . 22、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面四边形OABC 中，已知||3OA =u u u r，OA ⊥OC ，AB ⊥BC ，∠ACB ＝60°，若OB AC u u u r u u u r g ＝6，则||OC =u u u r＿＿二、解答题1、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=r ，(1,sin())4b πα=+r .（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.2、（（南京市13校2019届高三12月联合调研）在如图所示平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，||1OC =u u u r，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点.（Ⅰ）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +u u u r u u u r 的最小值;（Ⅱ）若[0,]2x π∈，向量m BC =u r u u u r ，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--r ，求m n ⋅u r r 的最小值及对应的x 值.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B sinB ==-u r r，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥u r r，求证：C 为直角； （2）若//m n u r r，求证：B 为锐角.4、（泰州市2019届高三上学期期末）已知向量(sin ,1)a x =r ，1(,cos )2b x =r ，其中(0,)x π∈。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积练习-人教版高三全册
5.3 平面向量的数量积1．(2019·某某省某某第一中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则m 的值为( ) A ．1B ．3C ．1或3D ．4 答案 B解析 因为a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)， 所以a －b ＝(2－m ,2)，因为a ⊥(a －b )，则a ·(a －b )＝2(2－m )＋2＝0， 解得m ＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·某某模拟)已知向量a ，b 的夹角为π2，且a ＝(2，－1)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( )A ．23B ．3C.21D.41 答案 C解析 由已知|a |＝22＋(－1)2＝5，a ·b ＝|a ||b |cosπ2＝0， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(5)2＋4×22＝21， ∴|a ＋2b |＝21.故选C.4．(2019·某某省桃江县第一中学模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22B.23C.28D.24答案 D解析 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24，故选D. 5．(2019·某某模拟)已知非零向量m ，n 满足|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，则m ，n 的夹角为( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案 D解析 ∵|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，∴m ·(2m ＋n )＝2m 2＋m ·n ＝2|m |2＋|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝0， 且|m |≠0，|n |≠0，∴2|m |＋|n |cos 〈m ，n 〉＝0， ∴cos〈m ，n 〉＝－2|m ||n |＝－12，又0≤〈m ，n 〉≤π，∴〈m ，n 〉＝2π3.故选D.6．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a －b |的最大值为( )A ．2B.5C ．3D ．5 答案 B解析 由已知可得|a －b |2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a －b |2的最大值为5－0＝5，故|a －b |的最大值为 5.7．(多选)设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 答案 ABD解析 对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |， 则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题； 对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |， 得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题． 对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0， 因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |， 所以D 不正确． 故选ABD.8．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案 BD解析 由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误； 由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误；根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的． 故选BD.9．(2020·某某模拟)已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝m a ＋(1－m )b ，b ·c ＝0，则m ＝________.答案 4＋2 3解析 b ·c ＝b ·[m a ＋(1－m )b ]＝m a ·b ＋(1－m )b 2＝m |a ||b |cos30°＋(1－m )|b |2＝32m ＋1－m ＝0， 所以m ＝4＋2 3.10．(2019·某某模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，BE →＝12(BA →＋BD →)，DF →＝13DC →，则BE →·BF →＝________.答案223解析 连接AC ，BD 交于点O ，以O 为原点，以OC →，OD →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，∵菱形边长为2，∠ABC ＝60°，∴A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)， ∵BE →＝12(BA →＋BD →)，∴E 为AD 的中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∵DF →＝13DC →，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，332，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，533，∴BE →·BF →＝－16＋152＝223.11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2019·某某模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23B.63C.23D.53 答案 B解析 设BC 的中点为D ， 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos120°＝－3，所以bc ＝6， 所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.14．(多选)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P 为线段AD (含端点)上一个动点，设AP →＝xAD →，PB →·PC →＝y ，对于函数y ＝f (x )，以下四个结论中正确的是( )A ．当a ＝2时，函数的值域为[1,4]B ．∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立C ．∀a ∈(0，＋∞)，函数f (x )的最大值都等于4D ．若f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2] 答案 BCD解析 如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)， ∴B (0,0)，A (－2,0)，D (－1，a )，C (0，a )． ∵AP →＝xAD →(0≤x ≤1)．∴BP →＝BA →＋AP →＝(－2,0)＋x (1，a )＝(x －2，xa )， PC →＝PB →＋BC →＝－(x －2，xa )＋(0，a )＝(2－x ，a －xa )． ∴y ＝f (x )＝PB →·PC →＝(2－x ，－xa )·(2－x ，a －xa ) ＝(2－x )2－ax (a －xa )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4(0≤x ≤1)．当a ＝2时，y ＝f (x )＝5x 2－8x ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋45，∵0≤x ≤1，∴当x ＝45时，f (x )取得最小值45；又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1，因此A 不正确．由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可得∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立，因此B 正确； 由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4. 可知对称轴x 0＝4＋a22(a 2＋1).当0＜a ≤2时，x 0≥1，∴函数f (x )在[0,1]上单调递减，因此当x ＝0时，函数f (x )取得最大值4.当a ＞2时，0＜x 0＜1，函数f (x )在[0，x 0)上单调递减，在(x 0，1]上单调递增． 又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.因此C 正确．f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]，因此D 正确． 故选BCD.15．若向量a ，b ，c 满足a ≠b ，c ≠0，且(c －a )·(c －b )＝0，则|a ＋b |＋|a －b ||c |的最小值是( )A.3B ．22C ．2D.32答案 C解析 设向量a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →， 则由(c －a )·(c －b )＝0得AC →·BC →＝0，即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点M ，半径为12|AB →|，因此|c |＝|OC →|≤|OM →|＋r ＝12|OA →＋OB →|＋12|AB →|＝12|OA →＋OB →|＋12|OA →－OB →| ＝12|a ＋b |＋12|a －b |， 从而|a ＋b |＋|a －b ||c |≥2，故选C.16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解 (1)设D (t ,0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)， 则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1，即m ·n 取得最小值1－ 2.所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
江苏省南京市高考数学(苏教版,理)一轮题库：第5章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一、填空题1．与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________．解析 设e 为所求的单位向量，则e ＝±a |a|＝±⎝⎛⎭⎫1213，513. 答案 ⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 2．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ＝________.解析 由a －λb ＝(1＋λ，2－λ)与a ＝(1,2)垂直，得1＋λ＋2(2－λ)＝0，解得λ＝5.答案 53．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.解析 由a ∥b 得1×m ＝2×(－2)，得m ＝－4.∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案 (－4，－8)4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.解析 AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．答案 (－3，－5)5. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3，且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝______.解析 建立直角坐标系如图，则由AC →＝λAB ＋μAD →，得(3，0)＝λ⎝⎛⎭⎫32，－12＋μ⎝⎛⎭⎫0，12，即⎩⎨⎧ 32λ＝3，－12λ＋12μ＝0，解得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.答案 46．已知向量p ＝(2，－3)，q ＝(x,6)，且p ∥q ，则|p ＋q|的值为________．解析 p ∥q ⇔12＋3x ＝0，解得x ＝－4.∴p ＋q ＝(－2,3)，∴|p ＋q|＝13.答案 137．已知：如图，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R)，则λμ等于________． 解析 过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于D.由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°，∴OD＝2CD ，又∵OD →＝λOA →，DC →＝μOB →，∴λ|OA →|＝2μ|OB →|，∴λ＝2μ，∴λμ＝2.答案 2[来]8．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q ＝(1，S)满足p ∥q ，则C ＝________.解析 由p ＝(4，a2＋b2－c2)，q ＝(1，S)且p ∥q ，得4S ＝a2＋b2－c2，即2abcos C ＝4S ＝2absin C ，所以tan C ＝1.又0＜C ＜π，所以C ＝π4. 答案 π49．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos2 α)和b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是________．解析 由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos2α＝m ＋2sin α. 由λ2－m ＝cos2α＋2sin α＝2－(si n α－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m －2，则－2≤4(m －1)2－m≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m2－9m ＋2≤0，4m2－9m ＋6≥0. 解得14≤m≤2，而λm ＝2m －2m ＝2－2m ，故－6≤λm≤1. 答案 [－6,1]10. 如图，在边长为单位长度的正六边形ABCDEF 中，点P 是△CDE内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．解析 不妨以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设P(x ，y)．则(x ，y)＝α⎝⎛⎭⎫12，32＋β⎝⎛⎭⎫12，－32，∴α＋β＝2x ，当点P 在CE 上时，α＋β＝3，当P 在D 点时，α＋β＝4.答案 [3,4]二、解答题11．已知a ＝ksin θe1＋(2－cos θ)e2，b ＝e1＋e2，且a ∥b ，e1，e2分别是x 轴与y 轴上的单位向量，θ∈(0，π)．(1)求k 与θ的关系式：(2)求k ＝f(θ)的最小值．解 (1)由a ∥b ，得a ＝λb ，即ksin θe1＋(2－cos θ)·e2＝λ(e1＋e2)．因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ksin θ＝λ，2－cos θ＝λ，即ksin θ＝2－cos θ，所以k ＝2－cos θsin θ，θ∈(0，π)． (2)k ＝2－cos θsin θ＝2－⎝⎛⎭⎫1－2sin2θ22sin θ2cos θ2＝3sin2θ2＋cos2θ22sin θ2cos θ2＝1＋3tan2θ22tan θ2＝32tan θ2＋12tan θ2≥3， 当且仅当tan θ2＝33，即θ＝π3时等号成立， 所以k 的最小值为 3.12．已知向量v ＝(x ，y)与向量d ＝(y,2y －x)的对应关系用d ＝f(v)表示．(1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f(ma ＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．(1)解 f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y)，则由f(c)＝(y,2y －x)＝(p ，q)，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p)．(3)证明 设a ＝(a1，a2)，b ＝(b1，b2)，则ma ＋nb ＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(ma ＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)故f(ma ＋nb)＝mf(a)＋nf(b).13．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t1OA →＋t2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t1＝a2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．解 (1)OM →＝t1OA →＋t2AB →＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t2<0，2t1＋4t2≠0， 故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM →＝(4t2,4t2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)当t1＝a2时，OM →＝(4t2,4t2＋2a2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－14a2，故OM →＝(－a2，a2)． 又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a2－a2＋2|2＝2|a2－1|. ∵S △ABM ＝12，∴12|AB|·d ＝12×42×2|a2－1|＝12， 解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.14．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，si n β)，c ＝(－1,0)．(1)求|a ＋c|的最大值；(2)若α＝π3，且a ⊥(b ＋c)，求cos β的值． 解 (1)解法一：a ＋c ＝(cos α－1，sin α)，则|a ＋c|2＝(cos α－1)2＋sin2α＝2(1－cos α)．∵－1≤cos α≤1，∴0≤|a ＋c|2≤4，即0≤|a ＋c|≤2.当cos α＝－1时，有|a ＋c|＝2，∴|a ＋c|的最大值为2.解法二：∵|a|＝1，|c|＝1，|a ＋c|≤|a|＋|c|＝2，当cos α＝－1时，有|a ＋c|＝2，∴|a ＋c|的最大值为2.(2)解法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a·(b ＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c)，∴a·(b ＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.由α＝π3，得cos ⎝⎛⎭⎫π3－β＝cos π3，即β－π3＝2kπ±π3(k ∈Z)． ∴β＝2kπ＋2π3或β＝2kπ(k ∈Z)， 于是cos β＝－12或cos β＝1. 解法二：若α＝π3，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32. 又b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)，∴a·(b ＋c)＝⎝⎛⎭⎫12，32·(cos β－1，sin β)＝12cos β＋32sin β－12. ∵a ⊥(b ＋c)，∴a·(b ＋c)＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π3－β＝12，∴β－π3＝2kπ±π3(k ∈Z)， ∴β＝2kπ＋2π3或β＝2kπ(k ∈Z)， 于是cos β＝－12或cos β＝1.。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章 平面
§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b . 3．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (5)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P90习题T18]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P90练习T19]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为________． 答案 －32解析 由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)， 因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32.题组三 易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积是________．答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)， 由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________． 答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.2. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 18解析 如图，由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝________. 答案34解析 依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.(2)(2017·江苏沛县中学质检)已知AD 是△ABC 的中线，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________． 答案 1解析 ∵AB →·AC →＝－2＝|AB →||AC →|cos A ，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4， ∵|AD →|＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥14(2|AB →||AC →|－4)＝1， 当且仅当AB ＝AC ＝2时取等号，∴|AD →|min ＝1. 命题点2 求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______． 答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度．如若向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当向量坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a·b |a||b |，其中两个向量的夹角θ的取值范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2| ＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·江苏三市调研)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0. 解 (1)∵B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得，A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示：现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π，即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1， 故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·江苏天星湖中学月考)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 答案2π3解析 由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2， 即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )＝________.答案 1解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 32解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝________. 答案109解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等腰解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0， 因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形．7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.8．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos 10°，sin 10°)，b ＝(cos 70°，sin 70°)，则|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．答案 90°解析 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2，则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°.10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2017·江苏四校联考)已知平面向量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为________．答案 6解析 令OA →＝a ，OB →＝b ，则b －a ＝OB →－OA →＝AB →，如图，∵b 与b －a 的夹角为30°，∴∠OBA ＝30°，∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理|OA →|sin ∠OBA ＝|OB →|sin ∠OAB得， |b |＝|OB →|＝6·sin ∠OAB ≤6.14．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 的中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ， BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ， 则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292. 又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ， CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ， 则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为________．答案 7解析 ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0，即a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)． 设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)，c －b ＝(x －1，y )．又∵(c －2a )·(c －b )＝0，∴(x －1)2＋y (y －3)＝0.即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆． 又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7. 16．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为________． 答案 ±4 3解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ， ∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2. ∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2， ∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：5.2 平面向量基本定理及坐标表示 (含解析)
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB →的坐标是( )A ．(2,2)B ．(－2，－2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)答案 D解析 因为A (2,2)，B (1,1)，所以AB →＝(－1，－1)．故选D. 2．(2020·苏州模拟)向量AB →＝(2,3)，AC →＝(4,7)，则BC →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)答案 B解析 BC →＝AC →－AB →＝(2,4)．故选B.3．(2019·北京市石景山区模拟)已知平面向量a ＝(k ,2)，b ＝(1,1)，k ∈R ，则k ＝2是a 与b 同向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 若a 与b 同向，则a ＝m b (m >0)， 即(k ,2)＝m (1,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝m ，2＝m ，得m ＝2，k ＝2， 即k ＝2是a 与b 同向的充要条件，故选C.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 D解析 由题意知向量a ，b 不共线， 故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2 答案 A解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)， 又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)， 所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C 解析 ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3， ∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， ∵A ∈(0，π)， ∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．(多选)设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题(向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( ) A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋cB ．给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μcC ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μcD ．给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc答案 AB解析 ∵向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线， ∴b ≠0，c ≠0，给定向量a 和b ，只需求得其向量差a －b ， 即为所求的向量c ，故总存在向量c ，使a ＝b ＋c ，故A 正确；当向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ，c 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确； 取a ＝(4,4)，μ＝2，b ＝(1,0)，无论λ取何值，向量λb 都平行于x 轴，而向量μc 的模恒等于2， 要使a ＝λb ＋μc 成立，根据平行四边形法则，向量μc 的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；因为λ和μ为正数，所以λb 和μc 代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这就使得向量a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使a ＝λb ＋μc 成立，故D 错误． 故选AB.8．(多选)已知向量e 1，e 2是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当OP →＝x e 1＋y e 2时，则称有序实数对(x ，y )为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，关于下列命题正确的是( ) A ．线段AB 的中点的广义坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22B ．A ，B 两点间的距离为(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2C ．向量OA →∥OB →的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1 D ．向量OA →⊥OB →的充要条件是x 1x 2＋y 1y 2＝0 答案 AC解析 由中点的意义知A 正确；只有在e 1，e 2互相垂直时，两点间的距离公式B 才正确，B 错误； 由向量平行的充要条件得C 正确；只有e 1，e 2互相垂直时，OA →与OB →垂直的充要条件为x 1x 2＋y 1y 2＝0，D 不正确； 故选AC.9．(2019·德阳模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，λ)，若(a ＋2b )∥(2a －b )，则实数λ＝________. 答案 －12解析 a ＋2b ＝(4,2λ－1)，2a －b ＝(3，－2－λ)，(a ＋2b )∥(2a －b )，∴4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－12.10．(2019·河南省六市联考)设向量a ＝(－3,4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为________． 答案 (6，－8)解析 不妨设向量b 的坐标为b ＝(－3m ,4m )(m <0)， 则|b |＝(－3m )2＋(4m )2＝10， 解得m ＝－2(m ＝2舍去)， 故b ＝(6，－8)．11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)方法一 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.方法二 AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．解 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4， 所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎨⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.13.(2020·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则向量AD →等于( )A ．a ＋bB.12a ＋bC ．a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析 设圆的半径为r ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，所以∠BAC ＝π3，∠ACB ＝π6，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ， 所以∠ACB ＝∠BAD ＝∠CAD ＝π6，则根据圆的性质得BD ＝CD ＝AB ， 又因为在Rt △ABC 中，AB ＝12AC ＝r ＝OD ，所以四边形ABDO 为菱形， 所以AD →＝AB →＋AO →＝a ＋12b .故选C.14.(2019·南充模拟)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上， ∠AOB ＝150°， ∠BOC ＝90°，|OA →|＝2, |OB →|＝1, |OC →|＝3，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ等于( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 答案 D解析 由题意知A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，C ⎝⎛⎭⎫－32，－332，因为OC →＝λOA →＋μOB →，由向量相等的坐标表示可得， ⎩⎨⎧2λ－32μ＝－32，12μ＝－332，得⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝－33，即μλ＝3，故选D.15．(2019·上海市崇明区模拟)已知关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0，其中a ，b ，c 都是非零向量，且a ，b 不共线，则该方程的解的情况是( ) A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解 D ．可能有无数个解答案 B解析 由平面向量基本定理可得，c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则方程a x 2＋b x ＋c ＝0可变为a x 2＋b x ＋λa ＋μb ＝0， 即(λ＋x 2)a ＋(μ＋x )b ＝0，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋x 2＝0，μ＋x ＝0，可知方程组可能无解，也可能有一个解． ∴方程a x 2＋b x ＋c ＝0至多有一个解，故选B.16．(2019·大连模拟)A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB (包含端点)上一动点，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的取值范围．解 如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，∵ A ，B 为单位圆(圆心为O )上的点，O 到弦AB 的距离为32，∴ 点A ⎝⎛⎭⎫－12，32，点B ⎝⎛⎭⎫12，32，∴ OA →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OB →＝⎝⎛⎭⎫12，32，即λOA →＝⎝⎛⎭⎫－λ2，3λ2，μOB →＝⎝⎛⎭⎫μ2，3μ2，∴OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3(λ＋μ)2， 又∵ C 是劣弧AB (包含端点)上一动点， 设点C 坐标为(x ，y )，∴ ⎩⎨⎧－12≤x ≤12，32≤y ≤1，∵ OC →＝λOA →＋μOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－λ2，3(λ＋μ)2＝(x ，y )， ∴32≤y ＝3(λ＋μ)2≤1 ，解得1≤λ＋μ≤233， 故λ＋μ的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，233.。
江苏省2023届高三数学一轮总复习专题训练：平面向量
江苏省2023届高三数学一轮总复习专题训练平面向量一、单项选择题1、已知向量m ，n 满足||1m =，||2n =，若2|2|m n m n ⋅=-，则向量m ，n 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．6π或πD ．3π或π 2、已知向量，a b 满足||2||1==⊥，，a b a b ，若()()λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为A ．2B ．C ．4D ．923、已知b a ,为单位向量，且(4)(3)a b a b -⊥+，则a b 与夹角的余弦值为 （ ） A ．－711 B ．711 C ．111 D ．－1114、在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A. 32m n -B. 23m n -+C. 32m n +D. 23m n +5、设向量(1,)a x =，(,9)b x =，若//a b ，则(x = ) A ．3- B ．0C ．3D ．3或3-6、如图，已知2OA =，3OB =，1OC =，060AOB ∠=，090BOC ∠=，若OB xOA yOC =+，则xy=（）A B ．12 C D ．237、在平面直角坐标系xOy 中，设(1,0)A ，(3,4)B ，向量OC xOA yOB =+，6x y +=，则||AC 的最小值为()A ．1B ．2CD ．8、如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，P 是线段AB 上的动点，则|4|PC PD +的最小值为A ．B ．6C ．D ．49、已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，且||1a b -=，则()()a b b c -⋅-的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．3210、如图，在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，AC 与DM 交于点O ，则(OM = )A ．1163AB AD -B ．1233AB AD -C ．1122AB AD - D ．1143AB AD -11、设12,e e 为平面内一个基底，已知向量12AB e ke =-，1242CB e e =-，1233CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是( ) A ．2B ．1C ．2-D ．1-12、已知ABC 中，点M 是线段BC 的中点，14AN AM =，则BN =（ ） A. 7188AB AC -+ B. 21312AB AC -+C. 7144AB AC -+ D. 51612AB AC -+13、在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的动点，且||||CA CBCP x y CA CB =⋅+⋅，则21x y +的最小值为( )A ．116B ．116C ．1112 D ．1112参考答案1、B2、C3、D4、B5、D6、C7、D8、B9、B 10、A 11、D 12、A 13、C13、【解析】设||AB c =，||AC b =，根据题意得cos 9cos 1sin 62bc A b c A bc A ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得3b =，5c =，4sin 5A =，3cos 5A =， ∴||4CB =，∴34||||CA CB x y CP x y CA CB CA CB =⋅+⋅=+，又A 、P 、B 三点共线，∴134x y+=， ∴2121111111()()234123212312x y x y x y x y y x +=++=+++=+， 当且仅当13432x yx y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立．【答案】C二、多项选择题1、定义两个非零平面向量的一种新运算*sin ,a b a b a b =⋅⋅<>，其中,a b <>表示a ，b 的夹角，则对于两个非零平面向量a ，b ，下列结论一定成立的有（ ） A ．a 在b 方向上的投影向量为sin ,b a a b b<>⋅ B ．()()2222*a b a ba b +⋅=⋅C ．若()()*a b a b λλ=⋅ D ．若*0a b =，则a 与平行b2、折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则(图1) (图2)A ．→EH ∥→FCB ．→AH ·→BE ＝0C ．→EG ＝→EH ＋→EFD ．→EC ·→EH ＝→EC ·→ED 3、设a ，b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( ) A ．22||a a = B ．2a b ba a⋅= C ．222()a b a b ⋅=⋅ D ．222()2a b a a b b -=-⋅+ 4、在ABC ∆中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有( ) A ．若||||a b >，则sin sin A B > B ．若0a b ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形 C ．若0a b ⋅=，则ABC ∆为直角三角形D ．若()()0b c a b a c +-⋅+-=，则ABC ∆为直角三角形5、已知平面向量()1,0a =，(1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30°D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a6、在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()1,0B ，C 是平面内一动点，则下列条件中使得点（ ） A ．AC BC = B ．2AC BC = C ．0AC BC ⋅=D ．2AC BC ⋅=7、设,m n 是大于零的实数，向量()()cos ,sin ,cos ,sin a m m b n n ααββ==，其中[),0,2αβπ∈，定义向量1122()cos ,()cos 2222a m b n ααββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭，记θαβ=-，则（ ）A. 1122()()a a a ⋅= B. 1122()()cos 2a b mn θ⋅=C. 211222()()44a b mn θ≥-D. 211222()()44a b mn θ≥+参考答案1、BD2、BCD3、AD4、ACD5、BD6、BCD7、BCD7、【详解】因为向量1122()cos ,()cos 2222a m b n ααββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭，所以1122()()a b ⋅=cos cos sin sin 2222αβαβ⎫+⎪⎭cos()222αβθ=-=是一个实数，不是向量，所以A 不正确，B 正确；因为1122()()2222a b m αβαβ⎛⎫-=- ⎪⎭，所以1122|()()|a b -====≥===m n =时，取得等号，所以112222|()()|44a b mn θ-≥，故C 正确；因为1122()()2222a b m αβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎭，所以1122|()()|a b +====≥===，当且仅当m n =时，取得等号，所以112222|()()|44a b mn θ-≥，故D 正确.故选：BCD三、填空题1、在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线3x ＋2y ＋1＝0上任意一点，则向量→OP 与向量n ＝(3，2)的数量积为▲________．2、已知向量()6,2a =，与a 共线且方向相反的单位向量b =___________.3、已知,M N 分别是ABC ∆的边,AB AC 上的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，若AP xAB y AC =+，则x y += ▲ ．4、在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是________.5、已知平面凸四边形ABCD ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，满足2AE ED =，2BF FC =，且2EF =，AB 与DC 的夹角为π3，设AB m =，DC n =，则2m n +的最大值为__________． 6、平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b a c b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b c b⋅+=+⋅，则()2b c-=______．参考答案 1、－1 2、1010⎛-- ⎝⎭3、124、9 5、5、【详解】∵EF ED DC CF =++①，且EF EA AB BF =++②， 则①×2+②得：()()32EF ED DC CF EA AB BF =+++++， 即()()3222EF ED EA DC AB CF BF =+++++， ∵2AE ED =，2BF FC =，∴32EF DC AB =+， 两边平方可得，()22222π3644cos 42223m n mn m n mn m n mn =++=++=+-， ∴()()2222362364m n m n mn ++=+≤+，解得2m n +≤当且仅当2m n == 故答案：6、26、【详解】()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+可变形为()222b a c b a c b c +⋅-⋅+=--， 即()()22b a bc b c -⋅-=--， 如图，两圆为半径为1的圆，则()()2cos b a b c b a b c CBA b c -⋅-=-⋅-∠=--，从而3π4CBA ∠=-，设,a b α=，,c b β=，21cos 122cos cos a b b a b b cb ααβ⋅+⎛⎫+=+⇒=+ ⎪⋅⎝⎭，解得：22coscos 2αβ=，所以2αβ=， 在△AOC 中，由余弦定理得：()()2112cos 22cos AC αβαβ=+-+=-+，在三角形BAC 中，2223π12cos14AC BC BC BC =+-⋅=+，从而()222cos 1BC αβ-+=+，即()2312cos 12cos 2BC ααβ=-+=-，因为OA AB =，所以OBA AOB α∠=∠=，所以3π4OBC α∠=-，3ππππ424OCB OBC αβαβ∠=-∠-=-+-=+，在△OBC 中，由正弦定理得：sin sin OB OCOCB OBC =∠∠，即1π3πsin sin 244OB αα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在三角形OAB 中，由正弦定理得：sin sin OB AB OAB AOB =∠∠，即()1sin π2sin OB αα=-，1sin 2sin OB αα=，从而πsin sin 2243πsin sin 4αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得：cos 2sin 2cos sin 122αααα+=+-，解得：π3α=，所以23π12cos12cos 122BC α=-=-=，解得：0BC =>或0BC =<（舍去），故()222b cCB -==-故答案：2。
高三数学一轮复习专题突破训练平面向量 Word版含答案
江苏省年高考一轮复习专题突破训练
平面向量
一、填空题
、（年江苏高考）如图，在△中，是的中点，，是上的两个三等分点，，
，则的值是▲ .
、（年江苏高考）已知向量，，若，则的值为。
、（年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，
，则的值是▲ ．
、（南京市届高三三模）如右上图，在梯形中，∥，＝，＝，＝，＝．若·＝－，则·＝．
、（南通、扬州、泰州三市届高三二模）如图，在同一平面内，点位于两平行直线的同侧，
且到的距离分别为，．点分别在，，则
的最大值是▲．
、（南通市届高三一模）已知边长为的正三角形
,与交点,则的值为
、（苏锡常镇四市届高三一模）在平面直角坐标系中，设是函数()
(>)的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则.
、（苏锡常镇四市市届高三二模）在平面直角坐标系中，
设点，，，，若不等式
对任意实数都成立，则实数的最大值是▲．
、（镇江市届高三一模）已知向量＝(－，)，＝(，)，则＋＝．
、（常州市届高三上期末），，若，
则＝
、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市届高三上期末）已知，且
，若点满足，则的取值范围是．
、（南京、盐城市届高三上期末）如图，在中，，，
，则的值为▲
、（南通市海安县届高三上期末）在正五边形中，已知，则该正五边形的对角
线的长为；
、（苏州市届高三上期末）已知向量(，)，(，)，且⊥()，则实数▲
、（镇江市届高三第一次模拟）已知向量＝(－，)，＝(，)，则＋＝．
二、解答题
、（年江苏高考）已知，。
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)
平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习（含答案）《平面向量》单元测试考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(),3a k =，()1,4b =，()2,1c =，且()23a b c -⊥，则实数k 的值为（ ）A ．32-B ．152C ．32D ．32．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133ab C ．3144a b +D ．1233a b +3．如图，ABC 中，3BD DC =，AE mAB =，AF nAC =，0m >，0n >，则13m n+=（ ）A ．3B ．4C ．43D ．344．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．45．已知平面向量,,a b c 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，当1c b -=时，a c ⋅的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF x AE yDC =+，且0x m >>，0y >，则()my x m -的最大值为（ ）A ．8243B ．4243C ．381D ．4817．已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤，则PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．5CD 8．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=，24b a +=，32CA CD CB =-，则线段CD 长度的最小值为（ ）A ．2B C ．3 D 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b =，则下列说法正确的是（ ） A ．4a b +=B ．()2a b a +⋅=C ．向量a b +与a 的夹角为30︒D ．向量a b +在a 上的投影向量为2a10．已知向量()3,1a =，()2,3b =，()1,2c =-，若()()ma c a nb ++∥（m ，n ∈R ），则(),m n 可能是（ ） A ．()2,1B ．()0,1-C ．()3,2D ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<，则下列命题正确的是（ ） A ．·a bB ．存在θ，使得=+a b a b +C ．若a b ⊥，则tan θ=D ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为2π3 12．下列说法正确的是（ ）A ．已知向量()2,3a =-，(),21b x x =-，若a ∥b ，则2x =B ．若向量a ，b 共线，则a b a b +=+C ．已知正方形ABCD 的边长为1，若点M 满足12DM MC =，则43AM AC ⋅= D ．若O 是ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为8-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，()5a a b ⋅+=，则cos ,a b =____________. 14．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 15．在ABC 中，点D 在边BC 上，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=____16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且2||2AC AB AC S -⋅=，则C =______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量,a b 满足||2,||1a b ==，且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +；(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ.18．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点．(1)若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； (2)若9AB =，43CA CE ⋅=，求解AD .19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值．20．已知向量()cos ,sin OA a αα==，()2cos ,2sin OB b ββ==，()0,OC c d ==（0d >），其中O 为坐标原点，且π0π2βα<<<<． (1)若()a b a ⊥-，求βα-的值；(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=，求AOB 的面积，21．已知函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间；(2)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =，求ABC 的面积.22．已知向量(1,3=-m ，()sin ,cos n x x =，函数()()f x m n n =+⋅，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1f C =． (1)求C 的大小；(2)若ABC D 在边AC 上，且12CD DA =，求BD 的最小值．《平面向量》课时作业参考解析1．D【解析】由已知得，()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥，所以()230a b c -⋅=，即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得，3k =.故选：D. 2．D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.3．B【解析】由题意得：()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， AE mAB =，AF nAC =，1344AD AE AF m n∴=+， ,,E D F 三点共线，13144m n ∴+=，即134m n+=.故选：B. 4．B【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD -=-，所以11AE AB m =++1m AD m+，又∵AB DC AC AD ==-， ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++，∴()()11AC m AE m AD =++-， 又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=-，（平面向量基本定理的应用） 又∵20λμ+=，∴()1210m m ++-=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭，∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=，∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-，将其代入①得3m =，故选：B. 5．B【解析】1a =，2b =，a 与b 的夹角为45，∴可设()1,0a =，()1,1b =，设(),c x y =，由1c b -=得：()()22111x y -+-=，则点C 轨迹是以()1,1为圆心，1为半径的圆，a c x ⋅=，∴当2x =时，a c ⋅取得最大值2.故选：B.6．B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+，所以，1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+，因为F 为线段BD 上的点，所以，存在()0,1λ∈，使得DF DB λ=， 所以，()AF AD AB AD λ-=-，则()1AF AB AD λλ=+-，所以，121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，则312x y +=，因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩，则203x <<， 所以，()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中203m <<， 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当209m <<时，()0f m '>，此时函数()f m 单调递增， 当2293m <<时，()0f m '<，此时函数()f m 单调递减，所以，()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当且仅当29m =，49x =时，()my x m -取最大值4243.故选：B. 7．C【解析】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ=，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC ⊥时AO 取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形，当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A ，3,0B，)C，()3AB =--，()3,3AC =-()226AB μμ=--，())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---，故),3Pμ-因为2BQ QA =，所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ 取最小值，min 23PQ =:C 8．D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理， 得2()()a c a c b ab +-+=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==，∵()0,C π∈，∴3C π=． 由32CA CD CB =-，1233CD CA CB =+，两边平方，得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+，即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+， 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩时取等号，即2214(2)123CD b a ≥+=，∴线段CD D ． 9．ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=， 所以(224a b +=+，故A 正确；()21202a b a +⋅=⨯+=，故B 正确；()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+， 0,πa a b ≤+≤，∴π,3a ab +=，故C 错误；向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=，故D 正确，故选：ABD . 10．ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++，()31,2ma c m m +=-+， 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-，整理得1mn n =+. 对于选项A ，2111⨯=+，故选项A 正确； 对于选项B ，()0111⨯-=-+，故选项B 正确； 对于选项C ，3221⨯≠+，故选项C 错误； 对于选项D ，()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确，故选：ABD . 11．ABD【解析】对于A ，()2cos sin a b θθθϕ⋅=++，其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以当=2πθϕ+，a b ⋅A 正确.对于B ，因为0πθ<<，所以当a b λ=，且0λ>时，a b a b +=+，即θ使得cos θ=，sin θ=时，符合题意，所以B 正确. 对于C ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅=+=，此时tan θ=C 错误. 对于D ，b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-， 所以1cos ,2a b =-，所以a 和b 的夹角为2π3，D 正确. 故选：ABD. 12．CD【解析】对于A ，因为()2,3a =-，(),21b x x =-，a ∥b ， 所以2(21)3x x --=，解得27x =，故错误；对于B ，因为向量a ，b 共线，当向量a ，b 同向时，则有a b a b +=+；当向量a ，b 反向时，则有||a b a b +=-，故错误；对于C ，因为12DM MC =，所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点， 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确；对于D ，因为O 是ABC 的外心，所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得：8OA OC OA OB ⋅-⋅=-，即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-，故正确. 故选：CD.13．【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=，∴1cos ,2a b =14．【解析】由题意|2||3|6a b ==，所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15．【解析】由2BD DC =，得23BD BC =， 则在ABC 中，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 因AD λAC μAB =+，故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此2λμ=. 16．【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===，则()cos sin b c A A =+，由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦，故 ()sin cos sin 0C C A -=，∵sin 0A ≠，∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∵()0,πC ∈，∴π4C =.17．【解析】（1）因为()(2)9a b a b -⋅-=，所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==，所以2223219a b -⋅+⨯=，所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+（2）因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+，所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18．【解析】（1）因为点E 在边AB 上，且2AE EB =，所以23AE AB =， 因为M 是线段CE 的中点，所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+， 因为AM mAB nAD =+，,AB AD 不共线，所以51,62m n ==， 所以514623m n +=+=；（2）由题意可得CA CD CB AB AD =+=--，13CE CB BE AD AB =+=--， 因为43CA CE ⋅=，所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=，所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=，所以22144333AD AB AB AD ++⋅=，因为9AB =，0AB AD ⋅=，所以2219433AD +⨯=，得216AD =，所以4AD =. 19．【解析】（1）因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ． 所以O 为MN 的中点，所以OM ON =-， 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-．因为Q 是BC 的中点，所以||1QO =，1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤， 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-；（2）令2OT OP =，则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-，∴OT OB OC OC λλ=+-，即：OT OC OB OC λλ-=-，∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上，又因为O 为MN 的中点，所以||1OT ≥，从而1||2OP ≥，()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-，因为1||2OM ≤≤，所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-， 即PM PN ⋅的最小值为74-．20．【解析】（1）由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--，因为()a b a ⊥-， 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=，因为π0π2βα<<<<，所以0αβπ<-<，所以3παβ-=，所以3πβα-=-（2）由题知sin a c d d c α⋅==sin α=， 因为2απ<<π，所以23πα=，又2sin b c d d β⋅==，即1sin 2β=，因为02βπ<<，所以6πβ=，易知，2AOB π∠=，1,2OA OB ==，所以112AOBSOA OB =⨯=21．【解析】（1）因为函数()f x a b =⋅，其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈，所以，()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭，由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）结合（1）得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0A π<<，所以132666A πππ<+<，所以，5266A ππ+=，解得3A π=，因为3sin 2sin B C =，所以332,2b c c b ==，又在ABC 中，a =所以，由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=，解得3,2c b ==，所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】（1）()1sin ,cos m n x x +=+，()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π03C ∴-=，解得：π3C =.（2）1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=；12CD DA =，13CD b ∴=， 在BCD △中，由余弦定理得：2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭，2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==（当且仅当13a b =，即a =，b 时取等号），BD ∴≥BD .。
高考数学一轮复习平面向量与复数.平面向量的数量积及其应用练习(含解析)苏教版
课时作业25 平面向量的数量积及其应用 一、填空题 1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为__________．
2．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值是__________．
3．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b＜0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝__________. 4．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝__________. 5．(2013届江苏徐州高三质检)如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，
CA＝CB＝2，若AB→·AE→＋AC→·AF→＝2，则EF→与BC→的夹角＝__________.
6．O是平面α上一点，A，B，C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，若λ＝12，则PA→·(PB→＋PC→)的值为__________．
7．(2012天津高考改编)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→
＝(1－λ)AC→，λR.若BQ→·CP→＝－32，则λ＝__________. 8．平面向量OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)，OP→＝(2,1)，点M为直线OP上一动点，当MA→·MB→取最小值时，OM→的坐标为__________． 9．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，则|a×b|＝__________. 二、解答题
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋1tb，mR，k，t为正实数． (1)若a∥b，求m； (2)若a⊥b，求m； (3)当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．