2020-2021南京市高一数学下期末试题附答案
2020-2021南京市高一数学下期末试题附答案一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．13．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-374．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．3B ．7C 15D 146．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．432⎛ ⎝⎭，B ．432⎡⎢⎣⎦，C ．432⎡⎢⎣⎭，D ．43⎛ ⎝⎦8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=11．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 15．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．16．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.17．函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.18．设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 19．若a 10=12，a m 2，则m =______．20．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________. 三、解答题21．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；23．如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.24．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.26．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．D解析：D【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．D解析：D 【解析】利用正弦定理化简sin5sin2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin5sin2A cB b=，有正弦定理可得：52a cb b=，即52a c=由于在ABC中，sin B=，ABCS=△1sin2ABCS ac B==联立521sin2sina cac BB⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a=，2c=由于B为锐角，且sin B=，所以3cos4B==所以在ABC中，由余弦定理可得：2222cos14b ac ac B=+-=，故b=（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．C解析：C【解析】当0k=时，不等式210kx kx-+>可化为10>，显然恒成立；当0k≠时，若不等式210kx kx-+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，则240kk k>⎧⎨=-<⎩解得：04k<<，综上k的取值范围是[)0,4，故选C.7．A解析：A【解析】【分析】已知,,a b B，若ABC有两组解，则sina Bb a<<，可解得x的取值范围.【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 8．C 解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.9．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．10．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．15．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.16．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.17．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 18．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．5【解析】解析：5 【解析】5,52a m ==== 20．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……解析：112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.三、解答题21．（1）的平均数为8,2,乙的平均数为8,标准差为305；（2）乙 【解析】【分析】 【详解】(1)根据题中所给数据,则甲的平均数为,乙的平均数为,甲的标准差为,乙的标准差为,故甲的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305; (2),且,乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差22．（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证. (2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC , 所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A ⋂= 所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】 【分析】 【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0, 解得MP=1或MP=3. (2)设∠POM=α,0°≤α≤60°, 在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OMOPM∠,所以OM=()sin 45sin 45+OP α。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P （4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．2.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（2，3）， b ⃗⃗ =（3，2），则| a ⃗ −b ⃗⃗ |=___ ．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ．5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ．6.（填空题，4分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=1，则S 7=___ ．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB 的长度，工程人员测得隧道两端的A ，B 两点到C 点的距离分别为AC=3km ，BC=4km ，且∠ACB=60°，则隧道AB 长度为 ___ km ．8.（填空题，4分）若 π2 ≤α≤3π2 ，且sin （2 α+π6 ）= 12 ，则α=___ ．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．11.（填空题，4分）已知数列{a n }为等差数列，a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0，设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n }的前n 项和S n 最小时，n 的值组成的集合为 ___ ． 12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x 的解的集合是___ ．13.（填空题，4分）已知复数Z n =a n +b n i （a n 、b n ∈R ），满足Z 1=1，Z n+1= Z n +1+2i （n∈N*），其中i 为虚数单位， Z n 表示Z n 的共轭复数，则Z 100=___ ．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 15.（单选题，4分）设复数z=a+bi （其中a 、b∈R ，i 为虚数单位），则“a=0”是“z 为纯虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，4分）已知单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ -2 a ⃗ |= √3 ，则 a ⃗ • b ⃗⃗ =（ ） A.- 12 B.-2 C. 12 D.217.（单选题，4分）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=3+4i ，则z 1z 2=（ ） A.-25 B.25 C.7-24i D.-7-24i18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（ ） A.若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c （a ，b ，c 为常数）则数列{a n }为等差数列 B.若数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2，则数列{a n }为等差数列C.数列{a n }是等差数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等差数列D.数列{a n }是等比数列，S n 为前n 项和，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n ，…仍为等比数列19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于 12的个数的最大值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.320.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题，② 是假命题D. ① 是假命题，② 是真命题π，|a⃗|=1，|b⃗⃗|=2．21.（问答题，12分）已知向量a⃗、b⃗⃗的夹角为23（1）求a⃗• b⃗⃗的值（2）若2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，求实数t的值．．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；处取得最大值，且最大值为（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6a3，求函数f（x）的解析式．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．2020-2021学年上海市闵行中学、文绮中学联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：25，总分：1501.（填空题，4分）已知P（4，-3）是角α终边上一点，则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- 35【解析】：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】：解：∵P（4，-3）是角α终边上一点，则x=4，y=-3，r=|OP|= √16+9 =5，∴sinα= yr = −35=- 35，故答案为：- 35．【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则| a⃗−b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据平面向量的坐标表示与模长公式，计算即可．【解答】：解：向量a⃗ =（2，3），b⃗⃗ =（3，2），则a⃗−b⃗⃗ =（-1，1），所以| a⃗−b⃗⃗ |= √(−1)2+12 = √2．故答案为：√2．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与模长计算问题，是基础题．3.（填空题，4分）1与9的等比中项为___ ．【正确答案】：[1]±3【解析】：直接利用等比中项的应用求出结果．【解答】：解：设1与9的等比中项为t ， 所以t 2=9，解得t=±3． 故答案为：±3【点评】：本题考查的知识要点：等比中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.（填空题，4分）已知复数z 满足z 2+4i=0，则|z|=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：将z=a+bi ，代入方程z 2+4i=0，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2，再结合复数的模的公式，即可求解．【解答】：解：∵z=a+bi ，a ，b∈R ，z 2+4i=0， ∴a 2+2abi-b 2+4i=0，∴ {a 2−b 2=02ab +4=0 ，解得 {a =√2b =−√2 或 {a =−√2b =√2， ∴ |z |=√a 2+b 2=2 ． 故答案为：2．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 5.（填空题，4分）已知复数z 满足方程z 2-3z+9=0，则|z|=___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：设z=a+bi ，a ，b∈R ，将z 代入方程中，可得 {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ，b =±3√32，再结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解：设z=a+bi ，a ，b∈R ， ∵z 2-3z+9=0，∴a 2-b 2+2abi-3a-3bi+9=0，∴ {a 2−b 2−3a +9=02ab −3b =0，解得a= 32 ， b =±3√32 ， ∴ z =32±3√32， ∴ |z |=√(32)2+(±3√32)2=3 ．故答案为：3．【点评】：本题考查了复数模的求法，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.（填空题，4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，则S7=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：先由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可．【解答】：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1+a7=2a4，则S7= a1+a72×7=7a4=7，故答案为7．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质应用，属于基础题．7.（填空题，4分）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC=3km，BC=4km，且∠ACB=60°，则隧道AB长度为___ km．【正确答案】：[1] √13【解析】：应用利用余弦定理求得AB的长度即可．【解答】：解：由余弦定理可得：AB=√AC2+BC2−2AC⋅AC⋅cosC=√9+16−2×3×4×12=√13 km．故答案为：√13．【点评】：本题主要考查余弦定理及其应用，属于基础题．8.（填空题，4分）若π2≤α≤3π2，且sin（2 α+π6）= 12，则α=___ ．【正确答案】：[1]π或4π3【解析】：由已知求解α的集合，再由α的范围得答案．【解答】：解：∵sin（2 α+π6）= 12，∴ 2α+π6=π6+2kπ或2α+π6=5π6+2kπ，k∈Z．则α=kπ或α=π3+kπ，k∈Z．又π2≤α≤3π2，∴α=π或α=4π3．故答案为：π或 4π3 ．【点评】：本题考查已知三角函数值求角，是基础的计算题．9.（填空题，4分）若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】：解：由函数的图象可知，（x 0，y 0）与（x 0+ π4 ，-y 0），纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（x 0+ π4 -x 0）= π2 ， 所以T= 2πω= π2，所以ω=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力． 10.（填空题，4分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：画出图形，判断P 的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．【解答】：解：建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为2，则B （2，0），C （2，2），D （0，2），点P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ， 所以P （2，1）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，1）， 所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．11.（填空题，4分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199=0，设b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{97，98，99，100}【解析】：根据{a n}是等差数列，a1+a2+a3+…+a199=0可得199a100=0，即a100=0，又a1＜0，所以{a n}满足：当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，从而数列{b n}满足：当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，所以S97=S98=S99=S100，所以{b n}的前n项和S n最小时，可知n的值组成的集合，【解答】：解：由{a n}是等差数列且a1+a2+a3+…+a199=0，得199a100=0，解得a100=0，又a1＜0，所以{a n}是首项小于零的递增数列，即当1≤n≤99时，a n＜0；当n=100时，a n=0；当n≥101时，a n＞0，又b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），则当n≤97时，b n＜0；b98=b99=b100=0，当n≥101时，b n＞0，即S97=S98=S99=S100，所以当{b n}的前n项和S n最小时，n的值组成的集合为{97，98，99，100}．故答案为：{97，98，99，100}．【点评】：本题主要考查等差数列的性质与前n项和，考查推理论证和运算求解的能力，属于基础题．12.（填空题，4分）方程16sinπxcosπx=16x+ 1x的解的集合是___ ．【正确答案】：[1]{- 14，14}【解析】：讨论x＞0时，方程的右边的最值，再由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，可得方程左边的最值，即可得到所求方程的解集．【解答】：解：当x＞0时，16x+ 1x ≥2 √16x•1x=8，当且仅当x= 14时，取得等号；而16sinπxcosπx=8sin2πx≤8，当且仅当2πx=2kπ+ π2，即x=k+ 14，k∈Z，于是，当x＞0时，有且只有一个实数解x= 14，由于y=16sinπxcosπx-16x- 1x为奇函数，可得x=- 14也是方程y=0的一个解，则原方程的解集为{- 14，14}，故答案为：{- 14，14}．【点评】：本题考查方程的解的集合，注意运用基本不等式和正弦函数的值域，考查函数的奇偶性的运用，考查运算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）已知复数Z n=a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，Z n表示Z n的共轭复数，则Z100=___ ．【正确答案】：[1]100+2i【解析】：先求出Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，结合Z n+1=a n+1+b n+1i，得到a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，由等差数列的定义和通项公式求出a n=n，由周期性求出b100，即可得到答案．【解答】：解：因为Z1=1，Z n+1= Z n +1+2i，则Z2=a2+b2i= Z1+1+2i=2+2i，所以a1=1，a2=2，b1=0，b2=2，则Z n=a n−b n i，所以Z n+1=Z n+1+2i=a n+1+(2−b n)i，又Z n=a n+b n i，则Z n+1=a n+1+b n+1i，所以a n+1=a n+1，b n+1=2-b n，故a n+1-a n=1，b n+1+b n=2，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n，故a 100=100，因为b 1=0，b 2=2，所以b 3=0，b 4=2，•••，b 100=2， 则Z 100=a 100+b 100i=100+2i ． 故答案为：100+2i ．【点评】：本题考查了复数与数列的综合应用，等差数列定义以及通项公式的运用，递推数列的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]-7【解析】：建立坐标系，根据 2OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为（a ，-2），（-a ，2），将 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值．【解答】：解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B （2，-2），C （2，2），∴2 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ） OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（2，-2）+（1-λ）（2，2）=（2，2-4λ），∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1-2λ） 即P 点坐标为（1，1-2λ），设M （a ，-2），则N （-a ，2），-2≤a≤2， ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1，2λ-3）， PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a-1，2λ+1） ∴ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1）（-a-1）+（2λ-3）（2λ+1）=1-a 2+4λ2-4λ-3， 当a=±2且λ=- −42×4 = 12 时， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值-7． 故答案为：-7．【点评】：本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.（单选题，4分）设复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据复数的概念可得当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．【解答】：解：复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a=0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：B．【点评】：本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．16.（单选题，4分）已知单位向量a⃗，b⃗⃗满足| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，则a⃗• b⃗⃗ =（）A.- 12B.-2C. 12D.2【正确答案】：C【解析】：由已知结合向量数量积的性质即可直接求解．【解答】：解：因为| a⃗ |=| b⃗⃗ |=1，| b⃗⃗ -2 a⃗ |= √3，两边同时平方得，b⃗⃗2+4a⃗2−4a⃗•b⃗⃗ =3，．故a⃗•b⃗⃗ = 12故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质，属于基础题．17.（单选题，4分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=（）A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i【正确答案】：A【解析】：由已知求得z2，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解z1z2的值．【解答】：解：由复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=3+4i，得z2=-3+4i，∴z1z2=（3+4i）（-3+4i）=（4i）2-32=-16-9=-25．故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18.（单选题，4分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（）A.若数列{a n}的前n项和S n=an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{a n}为等差数列B.若数列{a n}的前n项和S n=2n+1-2，则数列{a n}为等差数列C.数列{a n}是等差数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等差数列D.数列{a n}是等比数列，S n为前n项和，则S n，S2n-S n，S3n-S2n，…仍为等比数列【正确答案】：C【解析】：A、B选项利用和与项之间的关系求出前3项，通过前3项的规律来判断；C、D选项为等差等比数列的片段和性质．也可以通过等差等比数列的前n项和的函数性质进行判断．【解答】：解：A选项，a1=S1=a+b+c，a2=S2-S1=3a+b，a3=S3-S2=5a+b，当c≠0时，a3-a2≠a2-a1，故A选项说法错误．B选项，a1=S1=2，a2=S2-S1=4，a3=S3-S2=8，a1，a2，a3不成等差数列，所以B选项说法错误．D选项，若a n=(−1)n，则当n为偶数时，S n=0，所以S n，S2n-S n，S3n-S2n，⋯不成等比数列，所以D选项说法错误．C选项，设数列{a n}的公差为d，则（S2n-S n）-S n=（a n+1+⋯+a2n）-（a1+⋯+a n）=（a n+1-a1）+⋯+（a2n-a n）=n2d，同理可得(S(k+1)n−S kn)−(S kn−S(k−1)n)=n2d，所以C选项说法正确．故选：C．【点评】：本题考查数列中和与项之间的关系和等差、等比数列的判断，属于中档题．19.（单选题，4分）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：首先利用基本不等式确定sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα 的取值范围，确定个数的上限，然后利用特殊角确定满足题意的个数即可．【解答】：解：由基本不等式可得：sinαcosβ≤sin 2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα 不可能均大于12．取α=30°，β=60°，γ=45°，则sinαcosβ=14＜12，sinβcosγ=√64＞12，sinγcosα=√64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．20.（单选题，4分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：① 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；② 若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A. ① ② 都是真命题B. ① ② 都是假命题C. ① 是真命题， ② 是假命题D. ① 是假命题， ② 是真命题 【正确答案】：D【解析】：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，满足{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但是不满足c n =sinn 是递增数列， 对于 ② 根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】：解：对于 ① 不妨设a n =2n ，b n =3n 、c n =sinn ，∴{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是递增数列，但c n =sinn 不是递增数列，故为假命题， 对于 ② {a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，不妨设公差为分别为a ，b ，c ， ∴a n +b n -a n-1-b n-1=a ，b n +c n -b n-1-c n-1=b ，a n +c n -a n-1-c n-1=c ， 设{a n }，{b n }、{c n }的公差为x ，y ，z ， ∴ {x +y =a y +z =b z +x =c 则x=a−b+c 2 ，y= a+b−c 2 ，z= b+c−a2， 故若{a n +b n }、{b n +c n }、{a n +c n }都是等差数列，则{a n }、{b n }、{c n }都是等差数列，故为真命题， 故选：D ．【点评】：本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题． 21.（问答题，12分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ 的夹角为 23π，|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=2 ． （1）求 a ⃗ • b⃗⃗ 的值 （2）若 2a ⃗−b ⃗⃗ 和 ta ⃗+b ⃗⃗ 垂直，求实数t 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积公式直接求解得答案；（2）依题意， (2a ⃗−b ⃗⃗)(ta ⃗+b ⃗⃗)=0 ，展开即可求得实数t 的值．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cos2π3=1×2×(−12)=−1；（2）∵ 2a⃗−b⃗⃗和ta⃗+b⃗⃗垂直，∴ (2a⃗−b⃗⃗)•(ta⃗+b⃗⃗)=0，即2ta⃗2+(2−t)a⃗•b⃗⃗−b⃗⃗2=0，∴2t-（2-t）-4=0，∴t=2．【点评】：本题考查平面向量的数量积及两向量垂直的关系，属于基础题．22.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3= 133．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=π6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3= 133，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把x=π6代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】：解：（Ⅰ）由q=3，S3= 133得：a1(1−33)1−3= 133，解得a1= 13，所以a n= 13×3n-1=3n-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n-2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x= π6时，f（x）取得最大值，所以sin（2× π6+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ= π6．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+ π6）．【点评】：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．23.（问答题，14分）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求∠ABC的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【正确答案】：【解析】：（1）首先由正弦定理求得正弦值，然后结合大边对大角即可确定∠ABC的大小；（2）首先利用（1）的结合结合同角三角函数基本关系求得cos∠ABC的大小，然后结合余弦定理即可求得甲乙两船之间的距离．【解答】：解：（1）根据题意知，AC=24，BC=31，∠CAD=20°+40°=60°，在△ABC中，由正弦定理得，24sin∠ABC =31sin60°．解得sin∠ABC=12√331，由AC＜BC，知∠ABC为锐角，则∠ABC=arcsin12√331．（2）cos∠ABC=√1−sin2∠ABC=2331，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√312+202−2×31×20×2331=21（海里），所以，此时甲、乙两船之间的距为21海里．【点评】：本题主要考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，解三角形的实际应用等知识，属于中等题．24.（问答题，14分）已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．（2）求|z1• z2 |的值域．【正确答案】：【解析】：（1）由于z1，z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1= z2，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，n．（2）直接求出|z1• z2 |的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可．【解答】：解：（1）复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根，所以z1= z2，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以{2cosθ=1 sinθ=sinθ，所以cosθ= 12．m=-z1-z2=-（z1+z2）=-2cosθ-1=-2．n=z1•z2=1+sin2θ= 74．（2）|z1• z2 |=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）| =|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|= √(1+3cos2θ)(1+sin2θ)= √2+2cos2θ+34sin22θ= √3+cos2θ+34−34cos22θ= √154+cos2θ−34cos22θ= √4912−34(cos2θ−13)2∈ [√2，7√36]．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．25.（问答题，18分）若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n-k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）若数列{a n}为1级等差数列，a1=1，a3=9，求数列{a n}的前n项和S n；（2）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a5，a6及数列{a n}的前2n项和S2n；（3）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合．【正确答案】：【解析】：（1）当k=1时，a n-1+a n+1=2a n，数列{a n}为等差数列，根据条件，由等差数列前n项公式求得即可；（2）当k=2时，a n+2+a n-2=2a n，由条件得a5，a6，由数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式可得所求和；（3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合．【解答】：解：（1）若数列{a n}为1级等差数列，即为a n+1+a n-1=2a n对一切n∈N*，n＞1都成立．则数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1=1，a3=9，可得d= a3−a13−1 = 9−13−1=4，则S n=n+ 12n（n-1）•4=2n2-n；（2）数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得a n+2+a n-2=2a n对一切n∈N*，n＞2都成立．a5=2a3-a1=8-2=6，a6=2a4-a2=6-0=6，a7=2a5-a3=12-4=8，…，可得数列{a n}中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=2n+ 12 n（n-1）•2+ 12n（n-1）•3= 52 n2- 12n；（3）∵{a n}是3级等差数列，∴a n+3+a n-3=2a n，对一切n∈N*，n＞3都成立．即2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n-3）+sin（ωn-3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn-3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．，（k∈Z），cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴ω= 2kπ3∴ω∈{ω|ω= 2kπ，k∈Z}∪{ω|ω=kπ，k∈Z}．3【点评】：本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是新定义题，关键是对k级等差数列概念的理解，考查逻辑思维能力和推理论证能力，是有一定难度题目．。
徐州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题
江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试数学试题2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，则12i2i+-＝A ．45i 33+B ．5i3C ．iD ．﹣i2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，则向量AB在向量AC 上的投影向量为A ．ACB ．ABC ．CAD ．CB3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是A ．0.62B ．0.68C ．0.7D ．0.384．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是3345566677778888991010A ．7.7B ．8C ．8.5D ．95．在△ABC 中，AC ＝1，AB BC ＝3，则△ABC 的面积为A ．8B ．4C ．2D ．6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为A ．3B ．3C ．23πD ．3π7．已知cos()4πθ+=sin2θ＝A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24258．在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB ＝BD ＝DA ＝3，CD ＝A —BCD 的外接球的表面积为A ．154πB ．15πC ．32πD ．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中A ．女生人数多于男生人数B ．D 层次男生人数多于女生人数C ．B 层次男生人数为24人D ．A 层次人数最少10．设向量a，b 满足1a b == ，且3b a +=A ．a ⊥bB ．1a b -=C ．3a b +=D ．a 与b的夹角为60°11．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝34i -（其中i 为虚数单位），则A ．z 的虚部为45-iB ．复数z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．1z z ⋅=D ．当θ∈[0，2π)时，5cos isin z θθ--的最大值为612．在棱长为1的正方体ABCD–A 1B 1C 1D 1，中，E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，则A ．DD 1⊥AFB ．直线AF 与平面ABCD 所成的角的正弦值为13C ．平面AEF 截该正方体所得的截面面积为98D ．点C 到平面AEF 的距离为13三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．某工厂有A ，B ，C 三个车间，A 车间有1000人，B 车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B 车间8人，则样本中C 车间的人数为．14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为．（本题第一空2分，第二空3分）15．如图，等边三角形SAB 为该圆锥的轴截面，点C 为母线SB 的中点，D 为 AB的中点，则异面直线SA 与CD 所成角为．16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD＝λAB AC μ+ ，若AD 4AF =，则λμ-的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知a ，b 为平面向量，且a＝(﹣2，1)．（1）若a ∥b ，且b =，求向量b 的坐标；（2）若b ＝(3，2)，且ka b - 与2a b +垂直，求实数k 的值．已知1tan 3α=，cos 5β=且02πα<<，322πβπ<<．（1）求tan 2α的值；（2）求αβ+的值．19．（本小题满分12分）如图①，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面BB 1D 1D ；（2）将该正方体截去八个与四面体B —EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长．2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．sinC cosA c =；②B C 2sinB sin2a b +=-；③2A 2cos 128)4(π+=+．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求角A ；（2）已知a =22b c +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，M ，N 分别为棱AB ，PD 的中点，二面角P —AD —B 的大小为60°，AB ＝3，BC ＝4．（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求二面角A —PB —C 的余弦值．江苏省徐州市2020~2021学年高一下学期期末考试数学试题2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，则12i2i+-＝A ．45i 33+B ．5i3C ．iD ．﹣i【答案】C【解析】12i (12i)(2i)i 2i (2i)(2i)+++==--+．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，则向量AB在向量AC 上的投影向量为A ．ACB ．ABC ．CAD ．CB【答案】A【解析】根据投影向量的概念，易判断A 选项正确．3．从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3，其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在[4.8，4.85)(单位：g)范围内的概率是A ．0.62B ．0.68C ．0.7D ．0.38【答案】D【解析】根据互斥事件概率计算公式，可知所求概率＝1﹣0.3﹣0.32＝0.38，选D ．4．近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，徐州市入选．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是3345566677778888991010A ．7.7B ．8C ．8.5D ．9【答案】C【解析】首先可以看到表格中20个数据已经按从小到到顺序排列了，20×80%＝16，故是从小到大开始，第16个数与第17个数的平均数，为所求的80百分位数，即为8.5，故选C ．5．在△ABC 中，AC ＝1，AB BC ＝3，则△ABC 的面积为A ．8B ．4C ．2D ．【答案】B【解析】S ＝2222222114()491(913347)44a b a b c -+-=⨯⨯-+-=，故选B ．6．将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为22π，则该几何体的体积为A ．423πB ．223πC ．23πD ．3π【答案】C【解析】该几何体由两个全等的圆锥组合而成，故一个圆锥的侧面积为2π，设该圆锥底面半径为r ，则母线为2r ，故222r r ππ⋅⋅=，解得r ＝1，易得该圆锥的高h ＝1，所以一个圆锥体积＝211331ππ⨯⨯⨯=，从而旋转体的体积为23π，选C ．7．已知72cos()410πθ+=，则sin2θ＝A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】A 【解析】224cos(2)cos 2()2cos ()124425πππθθθ+=+=+-=，sin2θ＝﹣cos(2)2πθ+＝2425-．8．在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB ＝BD ＝DA ＝3，CD ＝3，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为A ．154πB ．15πC ．32πD ．6π【答案】B【解析】已知CD ⊥平面ABD ，根据“汉堡”模型，可得球心．可以取等边三角形ABD 的重心G ，过G 作GH ⊥平面ABD ，且GH ＝12CD ＝32，则H 即为球心，GA 即为外接球半径，在Rt △AGH 中，AG ＝3，GH ＝32，故HA ＝152，故外接球的表面积为15π．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中A ．女生人数多于男生人数B ．D 层次男生人数多于女生人数C ．B 层次男生人数为24人D ．A 层次人数最少【解析】女生人数＝18＋48＋30＋18＋6＝120人，则男生200﹣120＝80人，故A 正确；D 层次男生人数80×0.2＝16，D 层次女生人数18，故B 错误；80×(1﹣25%﹣20%﹣10%﹣15%)＝24人，故C 正确；A 层次26人，E 层次18人，显然D 错误．综上选AC ．10．设向量a ，b 满足1a b == ，且3b a +=A ．a ⊥bB ．1a b -=C ．3a b +=D ．a 与b的夹角为60°【答案】BD【解析】因为3b a +=229613b a a b ++⋅= ，12a b ⋅= ，故A 错误，D 正确；1a b -= ，B 正确；a b +== ，故C 错误．综上，选BD ．11．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝34i -（其中i 为虚数单位），则A ．z 的虚部为45-iB ．复数z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．1z z ⋅=D ．当θ∈[0，2π)时，5cos isin z θθ--的最大值为6【答案】BCD【解析】(3＋4i)z ＝34i -，即(3＋4i)z ＝5，所以55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z -===-++-，故z 的虚部为45-，A 错误；34i 55z =+，在复平面内对应的点坐标是(35，45)，B 正确；()3434i ()1i 5555z z ⋅=⋅+=-，C 正确；5cos isin z θθ--表示复平面内点(3，﹣4)与点(cos θ，sin θ)之间的距离，也就是以O 为圆心1为半径的圆上一点与点(3，﹣4)之间的距离，最大值确实为6，故D 正确．综上选BCD ．12．在棱长为1的正方体ABCD–A 1B 1C 1D 1，中，E ，F 分别为BC ，CC 1的中点，则A ．DD 1⊥AFB ．直线AF 与平面ABCD 所成的角的正弦值为13C ．平面AEF 截该正方体所得的截面面积为98D ．点C 到平面AEF 的距离为13【答案】BCD 【解析】取DD 1中点G ，则AG 是AF 在平面AA 1D 1D 的投影，显然投影AG 与DD 1不垂直，易知∠FAC是直线AF与平面ABCD所成的角，sin∠FAC＝CF1AF3=，故B正确；平面AEF截该正方体所得的截面是等腰梯形EFD1A，其中EF＝2，AD1，AE＝D1FE到AD1，所以S＝1(22⨯+⨯＝98，故C正确；S△AEF＝122⨯＝38，点C到平面AEF的距离＝11142338ACEAEFS CFS⨯⋅==，故D正确．综上选BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．某工厂有A，B，C三个车间，A车间有1000人，B车间有400人．若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为．【答案】16【解析】8 441000816400-⨯-=．14．甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】1 24，14【解析】三人都成功破译的概率＝12×13×14＝124，密码被两人成功破译的概率＝12×13×34＋12×23×14＋12×13×14＝14．15．如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为 AB的中点，则异面直线SA与CD所成角为．【答案】4π【解析】取AB中点O，OC∥SA，则∠OCD就是异面直线SA与CD所成角，令圆锥底面半径为r ，则OC ＝OD ＝r ，求得CD ＝r ，故∠OCD ＝45°，所以异面直线SA 与CD 所成角为4π．16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD ＝λAB AC μ+ ，若AD 4AF = ，则λμ-的值为．【答案】47【解析】131********AD AE AB (AC AF)AB (AC AD)AB 44444444444=+=++=+⨯+ ，即313AD AC AD AB 16644=++ ，所以164AD AB AC 2121=+ ，故164421217λμ-=-=．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知a ，b 为平面向量，且a ＝(﹣2，1)．（1）若a ∥b ，且b = ，求向量b 的坐标；（2）若b ＝(3，2)，且ka b - 与2a b + 垂直，求实数k 的值．【解析】（1）由//b a 可设()2,,b λλ=-所以b ==解得2λ=±，所以向量b 的坐标为()4,2-或()4,2-.（2）因为()()2,1,3,2a b =-=，所以()()23,2,24,5ka b k k a b -=---+=，因为ka b -与2a b +垂直，所以()()20ka b a b -⋅+=即()()423520k k --+-=，解得223k =-.18．（本小题满分12分）已知1tan 3α=，cos 5β=且02πα<<，322πβπ<<．（1）求tan 2α的值；（2）求αβ+的值．【解析】（1）因为1tan 3α=，所以22122tan 33tan21tan 4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）因为3cos ,252πββπ=<<，所以25sin 5β===-，所以25sin 5tan 2cos βββ-===-，所以()()12tan tan 3tan 111tan tan 123αβαβαβ-++===---⨯-，因为30,222ππαβπ<<<<，所以3522ππαβ<+<，所以74παβ+=.19．（本小题满分12分）如图①，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，BB 1的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面BB 1D 1D ；（2）将该正方体截去八个与四面体B —EFG 相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长．【解析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面ABCD ，所以1,BB EF ⊥连接AC ，在ABC 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以,EF BD ⊥又因为1,BB BD B BD ⋂=⊂平面111,BB D D BB ⊂平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11,BB D D 又因为EF⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面11.BB D D （2）设正方体的棱长为a ，由（1）知，四面体B EFG -的体积为311133248BEF a S BG BE BF BG ⋅=⨯⋅⋅= 所以所得多而体的体积为331608483a a -⨯=，解得4a =，即该正方体的棱长为4.20．（本小题满分12分）2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3＋1＋2”模式，其中语文､数学､外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理､历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入总分，在思想政治､地理､化学､生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2)，每科满分100分，进行等级赋分计入总分．为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分，以组距40分成8组：[80，120)，[120，160)，[160，200)，[200，240)，[240，280)，[280，320)，[320，360)，[360，400]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）试估计这100名学生的思想政治､地理､化学､生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理､化学､生物学四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【解析】（1）由()0.00050.00150.003250.004250.004520.001401,a ++++++⨯=解得0.005.a =（2）因为()0.00050.00150.003250.00425400.380.5+++⨯=<，()0.00050.00150.003250.004250.005400.580.5,++++⨯=>所以中位数在[240，280)，设中位数为x ，所以()2400.0050.12x -⨯=，解得264,x =所以思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分的中位数为264.（3）思想政治､地理､化学､生物四科成贯总分在[240，280)和[360，400]的两组中的人数分别为：0.0054010020⨯⨯=人，0.001401004⨯⨯=人，由分层抽样可知，从成绩在[240，280的组中应抽取2065204⨯=+人，记为,,,,a b c d e ，从成贯在[360，400]的组中应抽取1人，记为f ，以(),a b 表示“抽取的两人为a 和b "(余类推)，则样本空间为()()()()()()()()()()()()Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f =()()(),,,,,},d e d f e f 记“抽取的这2名学生来自不同组"为事件A ，则()()()()(){},,,,,,,,,A a f b f c f d f e f =，所以()51153P A ==，答；抽取的这2名学生来自不同组的概率为13.21．（本小题满分12分）sinC cosA c =；②B C 2sinB sin2a b +=-；③2A 2cos 128)(π+=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求角A ；（2）已知a =22b c +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1sin cos C c A=sin sin cos ,A C C A =因为C 为锐角，所以sin 0C ≠，所以cos A A=因为A 为锐角，所以cos 0A ≠，所以3tan ,3A =所以6A π=.若选择②：2sin sin 2B Ca Bb +=由正弦定理知2sin sin sin sin 2B C A B B +=，因为sin 0B ≠，所以2sin sin cos 22B C A A +==，即4sin cos cos 222A A A =，因为A 为锐角，所以cos 02A ≠，则sin ,cos ,2424A A ===所以1sin 2sincos 2,22442A A A +==⨯⨯=因为A 为锐角，所以6A π=.若选择③：2622cos 1284A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即cos 44A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又()cos cos cos sin sin cos sin 4442A A A A A πππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭所以31cos sin 2A A --=，因为22sin cos 1,A A A +=为锐角，所以1sin ,2A =因为A 为锐角，所以6A π=.（2）由（1）知6A π=，又a =1sin sin sin 2b c a B C A ===，即,b B c C==所以()()222212sin sin 62cos2cos2b c B C B C +=+=--()62cos2cos2B C ⎡⎤=-+⎣⎦562cos 2cos23C C π⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6223C π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为ABC 为锐角三角形，50,62B C ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以,32C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333C πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2,132C π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以22b c +的取值范围为(12.⎤+⎦22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，M ，N 分别为棱AB ，PD 的中点，二面角P —AD —B 的大小为60°，AB ＝3，BC ＝4．（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求二面角A —PB —C 的余弦值．【解析】（1）取PC 的中点E ，连接,NE EB ，又因为N 为PD 的中点，所以在PCD 中，//NE CD ，且1,2NE CD =又M 为棱AB 的中点，12MB AB =，因为底面ABCD 为矩形，所以//,AB CD AB CD =，所以//MB NE ，且MB NE =，则四边形MBEN 为平行四边形所以//,MN EB 又MN ∝平而,PBC EB ⊂平面PBC ，所以直线//MN 平面.PBC （2）取AD 中点,F BC 中点G ，连接,,PF FG PG .在PAD 中，PA PD =，则PF AD ⊥，在矩形ABCD 中，可得FG AD ⊥，所以PFG ∠为二面角P AD B --的平面角，即60.PFG ∠= 又因为,,PF FG F PF FG ⋂=⊂平面PFG ，所以AD ⊥平面PFG ，又因为PG ⊂平面PFG ，所以AD PG ⊥，又因为//BC AD ，所以BC PG ⊥，所以PBC 是等腰三角形，即.PB PC =在PFG 中，12,3,602PF AD FG PFG ∠==== ，由余弦定理可知，PG ==，所以PB PC ==在PAB 中，过点A 作AH PB ⊥于点H ，由余弦定理可知，cosABP ∠==，所以BH =，则AH =，由余弦定理可知，cosCBP ∠==，在PBC 中，过点H 作HK PB ⊥，可知,3,HK BC K BK HK == 于点，则AHK ∠为二面角A PB C --的平面角.在矩形ABCD 中，可求得AK =在AHK 中，由余弦定理可知，63631841111cos 637AHK ∠+-==--，所以二面角A PB C --的余弦值为47-.。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1C.2D ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )． A ．－3B ．－10C ．9D ．15 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．A ．10B ．15C ．4D ．174．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( ▲ )． A ．－113B ．－13C ．23D ．435．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则C ＝( ▲ )．A ．π6B ．π3C ．π4D ．π26．若α，β∈(π2，π)，且sin α＝255，sin(α－β)＝－1010，则sin β＝( ▲ )．A ．7210B ．22C ．12D ．1107．已知|AB →|＝3，|AC →|＝2，若对于任意的实数m ，不等式|AB →＋AC →|≤|AB →＋mAC →|恒成立，则 cos ∠BAC ＝( ▲ )． A ．53 B ．－53 C ．－23 D ．238．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c b ＋(2ba)2的最小值为( ▲ )．A ．－1B ．73C ．3D ．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是( ▲ )．A ．若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1z 2为实数B ．若i 为虚数单位，则i 3＝iC ．若复数z ＝1＋i ，则z 2＝2iD ．若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＝010．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )． A ．AG ⊥△EFH 所在平面B ．AH ⊥△EFH 所在平面C ．EF ⊥△AGH 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．A ．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且同向B ．若非零向量a ､b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°C ．若单位向量的e 1､e 2的夹角为60°，则当|2e 1＋t e 2| (t ∈R )取最小值时，t ＝1D ．在△ABC 中，若(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．A ．c ＝a cosB ＋b cos A B ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BC ．若A ＝30º，a ＝4，b ＝6，则满足条件的三角形有两解D ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A ·tan C ＜1三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(sinα，4)，b ＝(1，cosα)，且a ⊥b ，则sin2α＋2sin 2α＝▲________．14．已知函数f (x )＝2cos 2(π2x －π4)－1，g (x )＝x 3，设函数F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )所有的零点之和为▲________．15．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN →＝λ1AM →＋λ2BN →，λ1，λ2∈R ，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC 中，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →＝12AB →2．证明如下：取AB 中点E ，连接OE ，可知OE ⊥AB ，则AB →·AO →＝2AE →·AO →＝2|AE →||AO →|cos ∠OAE＝2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )＝2AE →2＝12AB →2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，满足a ＞c 且2b cos A ＝3c ，3(c ＋a )＝2b ． 设O 为△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x －2y ＝▲________．DC A B MNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位(1) 求复数z ；(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a ＝(3cos α，sin α)，b ＝(sin β，3cos β)，c ＝(cos β，－3sin β)． (1)若a 与b －c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b －c |的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC ＝π4， OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)； (2)证明：直线MN ||平面OCD ； (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．ABCDOM N21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设∠COB ＝θ． (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若∠COD ＝π3， 则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC ， CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总 长l 最长，并求l 的最大值．22．（本小题12分）已知ΔABC 为锐角．．三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为ΔABC 外接圆半径． (1)若R ＝1，且满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A ，求b 2＋c 2的取值范围； (2)若b 2＋c 2＝2aR cos A ＋a 2，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1 C.2 D ．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )．A ．－3B ．－10C ．9D ．15答案：D3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期期末高一数学卷及答案
A．(1，2)
B．(1，2]
C．(－2，1)
3．设实数 x 满足 x＞0，函数 y＝2＋3x＋x＋4 1的最小值为
D．[－2，1)
A．4 3－1
B．4 3＋2
C．4 2＋1
D．6
4．已知 a，b，m 都是负数，且 a＜b，则
A．1a＜1b
B．ab＜ba
5．有一组实验数据如下表所示：
C．a＋m＞b＋m
解得 tanα＝4－ 15或 tanα＝4＋ 15．··················································10 分
因为 0＜α＜π4，所以 0＜tanα＜1，
所以 tanα＝4－ 15． ·······································································12 分
A．π4
B．π3
C．π2
D．23π
高一期末调研 数学试卷
第1页共5页
7．函数 f(x)＝csoinsxx＋＋xx2 在[－π，π]上的图象大致为 y
1
－π
O
πx
－π
y 1
O
πx
A y
1
π
－π
O
x
B y
－π
1
O
πx
C
D
8．若函数 f(x)同时满足：①定义域内存在实数 x，使得 f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任 意 x1，x2，当 x1≠x2 时，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；则称函数 f(x)为“DM 函数”．下 列函数中是“DM 函数”的为
D．ba＋ ＋mm＞ba
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题(原卷+解析)
D选项，正方体与以 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是 ，D错误.
故选：ABC
三．填空题
13.化简： ＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】化简得原式为 ，再进一步化简即得解.
【详解】原式＝
.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
A.-6B.6C.8iD.-8i
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，
所以 .
故选：B
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得
2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研
数学学科
一．单选题
1.设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （）
南京市2020-2021学年度第一学期期末调研测试高一数学答案(终稿)
南京市2020－2021学年度第一学期期末学情调研 高一数学参考答案 2021.01一、单项选择题1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A二、多项选择题9．AB 10．BD 11．ACD 12．AB三、填空题13．1214．4 15．119 16．32 四、解答题17．（本小题满分10分）解：（1）由 2x ＋1x －1＜1，得 x ＋2x －1＜0，所以A ＝{x |－2＜x ＜1}． B ＝{x |2x 2＋(m －2)x －m ＜0}＝{x |(x －1)(2x ＋m )＜0}．当m ＝1时，B ＝{x |－12＜x ＜1}． ·························································· 3分 所以A ∪B ＝{x |－2＜x ＜1}． ······························································· 4分（2）因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，所以B －⊂A ． ······························· 6分若－m 2＞1，不符合题意； ···································································· 7分 若－m 2＝1即m ＝－2时，B ＝∅，符合题意； ··········································· 8分 若－m 2＜1，则B ＝{x |－m 2＜x ＜1}， 所以－2≤－m 2＜1，解得－2＜m ≤4．····················································· 9分 综上，m ∈[－2，4]． ········································································· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为sin (π＋α)cos (π－α)＝sin αcos α，且sin (π＋α)cos (π－α)＝18， 所以sin αcos α＝18． ············································································· 2分 故 (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34． ········································ 4分 又因为0＜α＜π4，所以cos α＞sin α，即cos α－sin α＞0， 所以cos α－sin α＝32． 所以cos α＋cos(π2＋α)＝cos α－sin α＝32． ················································ 6分（2）法一：由（1）知sin αcos α＝18，又因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以 sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝18． 因为0＜α＜π4，cos α≠0， 所以tan α tan 2α＋1＝18，即tan 2α－8tan α＋1＝0， ············································ 9分 解得tan α＝4－15或tan α＝4＋15． ··················································· 10分因为0＜α＜π4，所以0＜tan α＜1， 所以tan α＝4－15． ········································································· 12分法二： 由（1）知⎩⎨⎧cos α－sin α＝32，sin αcos α＝18． 因为0＜α＜π4，所以cos α＞sin α＞0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＝3＋5 4，sin α＝－3＋54， ······························································ 10分所以tan α＝sin αcos α＝4－15． ································································· 12分 19．（本小题满分12分）解：（1）原式＝5＋[(2)－3]－23＋log 3( 3)4＝5＋4＋4＝13． ··············································································· 4分 （2）法一：因为y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上递减，y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以a ＝log 0.43＜log 0.41＝0，b ＝log 43＞log 41＝0，故ab ＜0． ························································································ 6分因为1a ＋1b＝log 30.4＋log 34＝log 3(0.4×4)＝log 31.6， 且y ＝log 3x 在(0，＋∞)递增，所以0＝log 31＜log 31.6＜log 33＝1，即0＜1a ＋1b＜1． ································· 10分 所以0＞ab (1a ＋1b)＞ab ，即ab ＜a ＋b ＜0． ·············································· 12分 法二：因为a ＝log 0.43，b ＝log 43，所以a ＋b ＝log 0.43＋log 43＝lg3lg0.4＋lg3lg4＝lg3×lg4＋lg0.4lg0.4·lg4＝lg3×lg1.6lg0.4·lg4， 因为lg3＞0，lg4＞0，lg1.6＞0，lg0.4＜0，所以a ＋b ＜0． ·················································································· 6分(a ＋b )－ab ＝lg3×lg1.6lg0.4·lg4－lg3lg0.4×lg3lg4＝lg3×lg1.6－lg3lg0.4·lg4 ＝lg3×lg 1.63lg0.4·lg4＝lg3×lg 815lg0.4·lg4． ········································ 10分 因为lg3＞0，lg4＞0，lg 815＜0，lg0.4＜0， 所以(a ＋b )－ab ＞0，即a ＋b ＞ab ，综上，ab ＜a ＋b ＜0． ········································································ 12分解：（1）因为函数f (x )＝x |x －a |为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x ) 对任意x ∈R 成立，即(－x )·|－x －a |＝－x ·|x －a |对任意x ∈R 成立， ···································· 2分 所以|－x －a |＝|x －a |，所以a ＝0． ····················································· 4分（2）由f (sin 2x )＋f (t －2cos x )≥0得f (sin 2x )≥－f (t －2cos x )，因为函数f (x )为R 上的奇函数， 所以f (sin 2x )≥f (2cos x －t )． ························ 6分由（1）得，f (x )＝x |x |＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，是R 上的单调增函数， 故sin 2x ≥2cos x －t 对任意x ∈[π3，7π6]恒成立． ·········································· 8分 所以t ≥2cos x －sin 2x 对任意x ∈[π3，7π6]恒成立． 因为2cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋2cos x －1＝(cos x ＋1)2－2，令m ＝cos x ，由x ∈[π3，7π6]，得cos x ∈[－1，12]，即m ∈[－1，12]． ·············· 10分 所以y ＝(m ＋1)2－2的最大值为14，故t ≥14， 即t 的最小值为14． ············································································ 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm ，所以A ＝102＝5． ·· 2分 因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s ，所以周期为2，即T ＝2＝2πω，所以ω＝π． ··································································· 4分 所以h ＝5sin(πt ＋π4)，t ≥0． ································································· 5分 （2）由题意，当t ＝14时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， ··················································· 7分 因为小球在t 0 s 内经过最高点的次数恰为50次，所以14＋49T ≤t 0＜14＋50T ． ··································································· 9分 因为T ＝2，所以9814≤t ＜10014， 所以t 0的取值范围为[9814，10014)． ······················································· 12分 （注：t 0的取值范围不考虑开闭）解：（1）当a ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋1．方程f (x )＝x 可化为2x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝12， 所以f (x )的不动点为－1和 12． ······························································ 2分 （2）①因为函数f (x )有两个不动点x 1，x 2，所以方程f (x )＝x ，即ax 2－x ＋1＝0的两个实数根为x 1，x 2，记p (x )＝ax 2－x ＋1，则p (x )的零点为x 1和x 2，因为x 1＜2＜x 2，所以a ·p (2)＜0，即a (4a －1)＜0，解得0＜a ＜14． 所以实数a 的取值范围为(0，14)． ·························································· 6分 ②因为g (x )＝log a [f (x )－x ]＝log a (ax 2－x ＋1)．方程g (x )＝x 可化为log a (ax 2－x ＋1)＝x ，即⎩⎨⎧a x ＝ax 2－x ＋1，ax 2－x ＋1＞0．因为0＜a ＜14，△＝1－4a ＞0，所以p (x )＝0有两个不相等的实数根． 设p (x )＝ax 2－x ＋1＝0的两个实数根为m ，n ，不妨设m ＜n ．因为函数p (x )＝ax 2－x ＋1图象的对称轴为直线x ＝12a ，p (1)＝a ＞0，12a ＞1，p (1a)＝1＞0， 所以1＜m ＜12a ＜n ＜1a． 记h (x )＝a x －(ax 2－x ＋1)，因为h (1)＝0，且p (1)＝a ＞0，所以x ＝1是方程g (x )＝x 的实数根，所以1是g (x )的一个不动点． ······························································· 8分 h (n )＝a n －(an 2－n ＋1)＝a n ＞0，因为0＜a ＜14，所以1a ＞4，h (1a)＝a 1a －1＜a 4－1＜0， 且h (x )的图象在[n ，1a]上的图象是不间断曲线， 所以∃x 0∈(n ，1a)，使得h (x 0)＝0， ························································· 10分 又因为p (x )在(n ，1a)上单调递增，所以p (x 0)＞p (n )＝0， 所以x 0是g (x )的一个不动点，综上，g (x )在(a ，＋∞)上至少有两个不动点． ········································· 12分。
2020-2021学年江苏省徐州市高一下学期期末考试数学试题 PDF版
高一数学试题答案第1页（共4页）2020~2021学年度徐州市高一年级第二学期期末抽测数学试题参考答案与评分标准一、单项选择题：1．C 2．A 3．D 4．C5．B 6．C 7．A 8．B 二、多项选择题：9．AC 10．BD 11．BCD12．BCD 三、填空题：13．1614．124；1415．π416．47四、解答题：17．（1）由b ∥a 可设(2,)λλ=-b ，……………………………………………2分所以||==b ，……………3分解得2λ=±，所以向量b 的坐标为(4,2)-或(4,2)-．………………5分（2）因为(2,1)=-a ，(3,2)=b ，所以(23,2)k k k -=---a b ，2(4,5)+=a b ，………………………7分因为k -a b 与2+a b 垂直，所以()(2)0k -⋅+=a b a b ，…………8分即4(23)5(2)0k k --+-=，解得223k =-．…………………………10分18．（1）因为1tan 3α=，所以22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--．……………4分（2）因为5cos 5β=，3π2π2β<<，所以sin 5β===-，……………………6分所以25sin 5tan 2cos βββ-===-，………………………………………8分所以12tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ-++===---⨯-，…………………10分因为π02α<<，3π2π2β<<，所以3π5π22αβ<+<，……………11分所以7π4αβ+=．…………………………………………………………12分高一数学试题答案第2页（共4页）19．（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面ABCD ，所以1BB EF ⊥，……………………………2分连接AC ，在ABC △中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以EF BD ⊥，………………4分又因为1BB BD B = ，BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11BB D D ，……………………………………………………6分又因为EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面11BB D D ．……………………………………………8分（2）设正方体的棱长为a ，由（1）知，四面体B EFG -的体积为311133248BEF a S BG BE BF BG ⋅=⨯⋅⋅=△，………………………………10分所以所得多面体的体积为331608483a a ⨯=-，解得4a =，即该正方体的棱长为4．……………………………………12分20．（1）由(0.00050.00150.003250.004250.004520.001)401a ++++++⨯=，…1分解得0.005a =．………………………………………………………………3分（2）因为(0.00050.00150.003250.00425)400.380.5+++⨯=<，(0.00050.00150.003250.004250.0050.58)040.5=+⨯>+++，…4分所以中位数在[240,280)，设中位数为x ，所以(240)0.0050.12x -⨯=，解得264x =，…5分所以思想政治、地理、化学、生物四科成绩总分的中位数为264．……6分（3）思想政治、地理、化学、生物四科成绩总分在[240，280)和[360，400]的两组中的人数分别为：0.0054010020⨯⨯=人，0.001401004⨯⨯=人，由分层抽样可知，从成绩在[240，280)的组中应抽取2065204⨯=+人，记为,,,,a b c d e ，从成绩在[360，400]的组中应抽取1人，记为f ，…………………………………8分以(,)a b 表示“抽取的两人为a 和b ”(余类推)，则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e Ω=(,),(,),(,),(,),b f c d c e c f (,),(,),(,)}d e d f e f ，…………………………………………………………10分记“抽取的这2名学生来自不同组”为事件A ，则{(,),(,),(,),(,),(,)}A a f b f c f d f e f =，所以51()153P A ==，答；抽取的这2名学生来自不同组的概率为13．…………………………12分21．（1）若选择①sin cos C c A =，由正弦定理得sin sin cos A C C A =，…………………2分因为C 为锐角，所以sin 0C ≠cos A A =，因为A 为锐角，所以cos 0A ≠，所以tan A =，…4分所以π6A =．……………………………………………………5分高一数学试题答案第3页（共4页）若选择②：2sin sin 2B C a B b +=，由正弦定理知2sin sin sin 2B C A B B +=，因为sin 0B ≠，所以2sin 22B C A A +==，即4sin cos cos 222A A A =，因为A为锐角，所以cos 02A ≠，则62sin 24A =，cos 24A ==，………3分所以1sin2sin cos 2222A A A ==，…4分因为A 为锐角，所以π6A =． (5)分若选择③：22cos (1284A π+=，即cos()4A π+=，………………………………………2分又cos()cos cos sin sin =(cos sin )4442A A A A A πππ+=--所以31cos sin =2A A --，因为22sincos 1A A +=，A 为锐角，所以1sin 2A =，…4分因为A 为锐角，所以π6A =．…………………………………5分（2）由（1）知π6A =，又a ，由正弦定理得31sin sin sin 2b c a B C A ===，即b B =，c C =，…7分所以222212(sin sin )6(2cos2cos2)b c B C B C +=+=--6[2(cos 2cos 2)]B C =-+5π6[2cos(2)cos 2]3C C =---π6[2)]3C =+-，……………………………………9分因为ABC △为锐角三角形，5π(0,)62B C π=-∈，又π(0,)2C ∈，所以ππ(,)32C ∈，…………………………………………………………11分高一数学试题答案第4页（共4页）所以ππ2π2(,333C -∈，所以πsin(23C -∈，所以22b c +的取值范围为．………………………………12分22．（1）取PC 的中点E ，连接NE ，EB ，又因为N 为PD 的中点，所以在PCD △中，NE ∥CD ，且12NE CD =，…………………………1分又M 为棱AB 的中点，12MB AB =，因为底面ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ，AB CD =，所以MB ∥NE ，且MB NE =，则四边形MBEN 为平行四边形，………3分所以MN ∥EB ，又MN ⊄平面PBC ，EB ⊂平面PBC ，所以直线MN ∥平面PBC ．…………………………………………………5分（2）取AD 中点F ，BC 中点G ，连接PF ，FG ，PG ．在PAD △中，PA PD =，则PF AD ⊥，在矩形ABCD 中，可得FG AD ⊥，所以PFG ∠为二面角P AD B --的平面角，即60PFG ∠=︒．…………6分又因为PF FG F = ，,PF FG ⊂平面PFG ，所以AD ⊥平面PFG ，又因为PG ⊂平面PFG ，所以AD PG ⊥，又因为BC ∥AD ，所以BC PG ⊥，所以PBC △是等腰三角形，即PB PC =．在PFG △中，122PF AD ==，3FG =，60PFG ∠=︒，由余弦定理可知，PG ==，所以PB PC ==．…………8分在PAB △中，过点A 作AH PB ⊥于点H ，由余弦定理可知，cos ABP ∠==，所以BH =，则AH =由余弦定理可知，cos CBP ∠==在PBC △中，过点H 作HK PB ⊥，可知HK 交BC 于点K ，3BK =，HK =，则AHK ∠为二面角A PB C --的平面角．…………………………………10分在矩形ABCD 中，可求得AK =，在AHK △中，由余弦定理可知，63631841111cos 637211AHK +-∠==-⨯，所以二面角A PB C --的余弦值为47-．…………………………………12分（注：其它方法，相应给分）PA B C D M NKE FG H。
江苏省南京市2020-2021学年度第一学期高一期末统考数学试卷
18．（1） ；（2） 时， .
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形中的三角函数定义得到相关边长，利用周长公式和三角恒等变换进行求解；（2）利用三角函数的性质进行求解.
试题解析：（1） ，
，
（2） ， ，当 时， ，
所以 时， .
19．（1） ；（2）
【详解】
（1）因为 是线段 的中点，
所以 ，
（3）利用特殊函数值：如 .
6．
【解析】
因为 ，所以 ， ，因为向量 与向量 共线，所以 ，解得 .
7．
【解析】
因为角 的终边经过点 ，所以 ，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
8．5
【解析】
由题意，得 ， ，则 .
9．
【解析】
由题意，得 ，且 ，则 .
10．
【解析】
因为在平行四边形 中， ，所以 ，又因为 ， 与 的夹角为 ，所以 .
15．（1） ； （2） .
【分析】
(1)先求 与 的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得 ，解方程即得解.
【详解】
（1）∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ；
又∵ ，∴ ；
（2）当 时， ，
∴ ，则 ，∴ ．
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
故 .
（2）
故 ；
设 ，则 ，
为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即 时， .
所以 的最小值为 .
20．（1）见解析；（2）
【详解】
试题分析：（1）利用“和谐函数”的定义将问题转化为 ，再验证进行求解；（2）利用“和谐函数”的定义将问题转化为 和 的图像至少有2个交点，再利用整体换元和数形结合思想进行求解.