四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试文科数学试题卷(含答案解析)
四川省宜宾市普通高中2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
四川省宜宾市普通高中2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 23．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．514．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ） A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π6．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．47．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -8．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．329．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --10．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 11．20201i i=-（ ） A ．22B ． 2C ．1D ．1412．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试文科数学试题(wd无答案)
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试文科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．4(★★) 2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知角的终边过点，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线（，）的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A．甲家庭用电量的中位数为33B．乙家庭用电量的极差为46C．甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D．甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值(★★★) 6. 过点，且与原点距离最大的直线的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知平面向量，不共线，，，，则（）A．，，三点共线B．，，三点共线C．，，三点共线D．，，三点共线(★★) 8. 已知直线与圆相交于，两点，若，则（）A．B．5C．3D．4(★★) 9. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表：下列说法正确的是（）参考公式：，其中．附表：2.706A．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”(★★) 10. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 设i是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为 ______ ．(★★) 14. 函数，则 ______ ．(★★) 15. 已知，为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为 ______ ．(★★★★) 16. 已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是 ______ ．三、解答题(★★★) 17. 已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的值．(★★★) 18. 某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元．(1)根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；(2)某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．(★★)19. 在中，内角、、的对边分别为、、，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．(★★★★) 20. 已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．(★★★★)21. 已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的方程是．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值．(★★★) 23. 已知函数．(1)当时，求函数的定义域；(2)设函数的定义域为，当时，，求实数的取值范围．。
四川省达州市2025届高三上学期第一次诊断性测试语文试题(含答案)
四川省达州市2025届高三第一次诊断性测试语文试题(满分150分, 考试时间150分钟) 2024.12注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束以后，将答题卡收回。
一、现代文阅读(35分)(一) 现代文阅读Ⅰ (本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：借助北斗卫星提前对田块打点定位，规划最优作业路径；利用摄像头实时监控作业情况，画面同步回传后台；通过无人值守气象站，实时监测空气温湿度、光照度、降水量等信息……如今，不少地方推进无人农场建设，越来越多的机械化设备在田间地头大展身手，为农业生产注入澎湃科技动力。
无人农场，顾名思义，就是在人工不进入农场的情况下，通过对农场设施、装备、机械等远程控制，或通过智能装备与机器人的自主决策、自主作业，完成农场生产、管理任务的一种全天候、全过程、全空间的无人化生产作业模式。
如今，随着物联网、5G、大数据、人工智能等新一代信息技术的广泛应用，传统农业正朝着智慧农业加速转变。
无人农场的兴起，本质上是信息技术与农业农村深度融合的产物，也是农业高质量发展的生动缩影。
一方面，种管收全过程的少人化和无人化，不仅节约人力成本，也能吸引更多年轻技术人才从事农业生产，培养新型农民。
另一方面，通过智慧农业系统为农作物管护提供数据支持，能够指导调控农作物生长环境，使其更好满足作物生长需要。
与此同时，全流程机械化也能起到提高生产、作业效率，促进增收减损的效果。
数据显示，当前，全国农业科技进步贡献率超过60%，农作物耕种收综合机械化率达到71%。
我国粮食产量不断迈上新台阶，现代农业装备和技术的运用功不可没。
四川省绵阳市2022届高三上学期第一次诊断性考试(11月) 数学(理) Word版含答案
秘密★启用前绵阳市高中2019级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|－1<x ≤1}，B ＝{x|log 2x<1}，则A ∩B ＝A.{x|－1<x ≤1}B.{x|－1<x<1}C.{x|0<x ≤1}D.{x|0<x<1}2.若0<a<b ，则下列结论正确的是A.lna>lnbB.b 2<a 2C.11a b <D.11()()22a b > 3.设D ，E 为△ABC 所在平面内两点，AD DC =，CB 2BE =，则DE ＝ A.3AB AC 2-+ B.3AB AC 2- C.3AB AC 2- D.3AB AC 2-+ 4.设x ，y 满足约束条件x y 502x y 80y 3+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩，则z ＝3x ＋4y 的最大值是A.12B.17C.18D.3925.通常人们用震级来描述地震的大小。
地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M 表示，强制性国家标准GB17740－1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定，计算公式如下：M ＝lg(A/T)max ＋1.66lg △＋3.5(其中△为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为A.58B.78C.98D.1186.“()()1122a 132a +<-”是“－2<a<23”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.函数f(x)＝sinx x cosx +在(－2π，2π)上的图象大致为8.已知a ＝1416()81-，b ＝log 32＋log 23，c ＝23log 23，则a ，b ，c 的大小关系为 A.c>b>a B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a9.已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a n a n ＋1＝16n ，则下列说法不正确的是A.数列{a n }是等比数列B.数列{S n }为单调递增数列C.a 5＝256D.4a n ＝3S n ＋4n －1 10.设函数f(x)＝211x 21log x x 2⎧-<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，，，则满足f(2x －1)<f(x)的x 的取值范围是A.(12，34]B.[34，1)C.(－∞，34]D.(12，1) 11.已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的1≤x 1<x 2≤2，都有f(x 1)>f(x 2)；②y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称； ③对任意的x ∈R ，都有f(x)＝f(x ＋2)。
四川省绵阳市2021届高三上学期第二次诊断性测试 文科数学答案
将直线 l： = (− ) ， R 代入上式得 2 − 4cos − 2 = 0 ，
2
2
∴ 1 + 2 = 4cos ， 12 = −2 0 ． ………………………………………………7 分
设 OA = 1 ， OB = 2 ．
∴|AB |=| 1 − 2 |= 16cos2 + 8 ． ∵曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos 2 = 4( cos≥2) ，
15． 2 −1
16． [1，2)
17．解：（1）由已知得， x= 1 (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4 ， 5
y= 1 (3 + 5 + 6.5 + 8 +10.5) = 6.6 ， ………………………2 分 5
n
n
(xi − x)( yi − y) = 18 ， (xi − x)2 = 10 ， ………………………………………6 分
∴该年 7 月份所得回归方程预测的生产量与实际市场需求量的误差为 1.5 万 件． …………………………………………………………………………………12 分
18．解：（1）∵数列{an}是单调递增的等比数列，且 a1 + a5 = 17 ，a2a4=16，
∴a1a5=a2a4=16，
设{an}的公比为 q(q>1)． ………………………………………………………2 分
文科数学答案 第5页（共 5 页）
函数 f(x)在 (0，2 ) ， (2，+ ) 上单调递减， m
当 x 4 + 4 2 时，f(x)在 (2，+ ) 上单调递减， m
∴ f (x) = x(2m + 2 − 1 mx) − 4 ln x f (4 + 4 ) 0 ,
四川省绵阳市2021届高三第三次诊断性考试数学(理)试题
四川省绵阳市2021年高三第三次诊断性考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集，，，则 ( ) A．B．C．D．（0,1）2．已知是虚数单位，则 ( )A．1B．C．2D．3．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( )A．B．C．D．4．等比数列的各项均为正数，且，，则 ( ) A．B．C．20D．405．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( )A．-6B．12C．6D．-126．在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( )A．16B．8C．D．7．已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( )A．2B．-2C．D．8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A．50B．75C．25.5D．37.59．已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )A．B．1C．D．10．已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )A．3B．4C．5D．611．三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A．B．C．D．12．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )A．B．C．D．二、填空题13．若实数,x y满足205yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2x y+的最小值是__________.14．过定点的直线：与圆：相切于点，则________．15．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）16．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是__________．三、解答题17．在中，，，分别是内角，，的对边，且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求的面积.18．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2021年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++19．已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角的正弦值.20．已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.21．函数，.（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）时，解不等式；（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.参考答案1．C 【解析】由题意得，集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<，{|1}B x x =≥， 所以{|1}U C B x x =<，所以(){|2}U A C B x x ⋃=<，故选C . 2．D【解析】 由题意得|2i 1+i|=|2i(1−i)(1+i)(1−i)|=|1+i|=√2，故选D .3．A【解析】 由题意得，看见不是黄灯的时间为30+40=70秒，所以不是黄灯的概率为P =7075=1415， 故选A . 4．B 【解析】设等比数列的公比为q ，由24374a a a =，则22454a a =，所以225411()42a q q a ==⇒=±， 又因为数列的各项均为正数，所以12q =， 又因为1224a a +=，所以111112242a a q a a +=+⨯=，解得12a =， 所以4451112()28a a q ==⨯=，故选B . 5．A【解析】 由题意得，建立如图所示的直角坐标系，因为BC =3BM,N 为DC 的中点，则A(0,0),B(6,0),M(6,2),N(3,6)，所以AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,6)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6×(−3)+2×6=−6，故选A .6．A【解析】 由题意得，当a =−16时，第1次循环得：b =f(a)=log 1216=−4， a =f(b)=log 124=−2，第2次循环：b =f(a)=log 122=−1， a =f(b)=log 121=0，第3次循环：b =f(a)=20=1， a =f(b)=21=2， 第4次循环：b =f(a)=22=4， a =f(b)=24=16，故选A . 7．B【解析】 由题意得f(x)=4cos(ωx +ϕ)为奇函数，所以f(0)=4cos(ϕ)=0，所以φ=π2， 所以f(x)=−4sin(ωx)，又A(a,0)，B(b,0)是其图像上两点，若|a −b|的最小值是1，所以12T =1，解得T =2，所以T =2πw=2，所以w =π，即f(x)=−4sin(πx)，所以f(16)=−4sin π6=−2，故选B . 8．D 【详解】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上， 截去一个四棱锥111C MNB A -，所得的几何体， 所以截去后剩余的几何体的体积为121155535537.523V V V =-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选D .9．D 【解析】由题意得211()cos 2(2)sin (12sin )(2)sin 22f x m x m x m x m x =+-=-+- 21sin (2)sin 2m x m x m =-+-+设sin [1,1]t x =∈-，即()21(2)2f t mt m t m =-+-+，所以二次函数开口向下，对称轴为22m x m-=， 所以函数的最大值为()2234414()(3)1244m m m g m g m m m m--+===+-，因为[]1,2m ∈，所以()141(3)11144g m m m =+-≥=，所以()g m 1. 10．C【解析】由题意得，因为DF ⊥x 轴， 设E(c,y 0)，则在ΔAEF 中，OM EF =a a+c，所以OM =a a+c⋅y 0，又ΔBEF ∼ΔONB 中，ON EF=a c−a，所以ON =a c−a⋅y 0，又由3|OM|=2|ON|，即3aa+c ⋅y 0=2ac−a ⋅y 0，解得ca =5，所以e =5. 11．B【解析】 如图所示，过点P 作PM ⊥BC ，连接AM ， 则∠AMP 为直线AM 与平面PBC 所成最大角， 设PC =x ，则ΔPBC 中，PM =√1+x 2，所以tan∠AMP =1PM =√1+x 2x=√62，解得x =√2，此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径， 即2R =√12+12+(√2)2=2，所以球的表面积为S =4πR 2=4π，故选B .点睛：本题主要考查了的直线与平面所成的角的应用和组合体的性质等知识点，解答此类问题的关键在于正确作出几何体的结构图，找到线面角的最大值，确定PC 的长，进而利用组合体得到球的直径，计算球的表面积. 12．B【解析】 由题意得，定义域为[1,5]，则f ′(x)=2(1−ax 2)x，当a ≤0时，f ′(x)>0恒成立，不符合要求， 当a >0时，由f ′(x)=0，得x =√1a ，因为存在m,n ∈[1,5],n −m ≥2时，f(m)=f(n)成立，所以1<√1a <5，此时f(x)在[1,√1a )上递增，在(√1a ,5]单调递减， 由于f(1)=−a +3,f(5)=2ln5−25a +3,f(3)=2ln3−9a +6， ①当f(5)≥f(1)，即a ≤ln512是，只需f(3)≥f(5)，即a ≥12ln 53， 所以18ln 53≤a ≤ln512；②当f(5)<f(1)，即a >ln512时，只需f(3)≥f(1)，即a ≤ln34，所以ln512<a ≤ln34综上所述18ln 53<a ≤ln34，所以实数a 的最大值为ln34.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，解答的关键在于正确的理解题设条件，转化为函数的单调性与极值（最值）的应用，其中根据f(1),f(3),f(5)值之间的关系是解答本题的难点. 13．0 【分析】画出满足条件的可行域，令2z x y =+，根据图象求出目标函数的最小值. 【详解】画出满足0205y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩的可行域，如下图所示，设2z x y =+，由图形可得，目标函数过原点O 时， 取得最小值，所以2x y +的最小值为0. 故答案为：0【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 14．4【解析】 由直线kx −y +1−2k =0，即y −1=k(x −2)，直线经过点P(2,1)， 又圆(x +1)2+(y −5)2=9，则圆心坐标C(−1,5)，半径为r =3所以|PC|=√(2+1)2+(1−5)2=5，所以|MN|=√|PC|2−r 2=√52−32=4. 15．120 【解析】由题意得，令1x y ==，则2(2)232n nx x y +-==，解得5n =，即2525(2)[(2)]x x y x x y +-=++展开式的通项为2515(2)r r r r T C x x y -+=+，令2r，则323235(2)T C x x y =+，又二项式23(2)x x +的展开式中5x 项为122153(2)12C x x x ⋅=， 所以2(2)n x x y +-展开式中52x y 的系数为3512120C ⨯=.点睛：本题主要二项展开式的通项的应用，本题解答的关键在于把三项式转化为二项式25[(2)]x x y ++，再利用二项式23(2)x x +的展开式的通项，找到5x 的系数，其中合理转化为二项式问题时解答的难点. 16．9【解析】 由题意得，因为a 2,a 5,a 11成等比数列，得a 52=a 2a 11，即(a 1+4d)2=(a 1+d)(a 1+10d)，解得a 1=2d ， 又a 11=2(S m −S n )，所以a 1+10d =2(ma 1+m(m−1)2d −na 1−n(n−1)2d)，整理得12=(m −n)(m +n +3)，因为m >n 且m,n 为整数， 所以m −n =1且m +n +3=12，所以m +n =9点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式以及数列的求和问题，其中利用题设条件a 11=2(S m −S n )，利用等差数列的求和公式得出12=(m −n)(m +n +3)是解答的关键，再根据m >n 且m,n 为整数进行整体赋值和代换是解答的难点. 17．（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理有cosB =12，即可得到.（Ⅱ）在中，利用两角和与差的三角函数，得到，再由正弦定理，得，即可求得，进而，利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ） 把整理得，,由余弦定理有,∴.（Ⅱ）中，，即，故，由已知可得, ∴,整理得.若，则，于是由，可得，此时的面积为.若，则，由正弦定理可知，， 代入整理可得，解得，进而，此时的面积.∴综上所述，的面为.18．（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3． 【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得2 2.083 2.072K ≈>，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量X 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望. 【详解】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=． 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题. 19．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，得，进而得到直线平面，利用平行线的性质.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，进而得到面，得到，，以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的大小. 试题分析：（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.证明：连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.∵，，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又面面，面面，面，所以面.故，.以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则.设平面的一个法向量，则由，可得令，则.则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为.20．（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程.（Ⅱ）由题意知，当直线恰好过原点，可求得.当直线不过原点，设直线：，得到−2−2t ×y1+y2y1y2，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，得到.试题解析：（Ⅰ）由题意知，，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：.（Ⅱ）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，∴，，则，，，则，∴.若直线不过原点，设直线：，，，，.则，，，，由，得，从而；由，得，从而；故.联立方程组得：整理得，∴，，∴.综上所述，.21．（1）−6（2）.，令，【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知f(x)，求得f′(x)=(x+1)(1−exe x)xμ′(x)=−e(x+1)e x<0，进而判定出函数f(x)的单调性，求得函数的最大值.（Ⅱ）由题意等价于，令，求得ℎ′(x)，令，则，即在上单调递增，求得|ℎ(1)|，|ℎ(2)||ℎ(3)|，|ℎ(4)|的值，进而得到实数a的取值范围.试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知，于是令，，∴在上单调递减.又，，所以存在，使得，综上存在唯一零点.解：当，，于是，在单调递增；当，，于是，在单调递减；故，又，，，故.（Ⅱ）解：等价于.，令，则，令，则，即在上单调递增. 又，，∴存在，使得.∴当，在单调递增；当，在单调递减.∵，，，且当时，，又，，，故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.22．（1）（2）1【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，进而得到的极坐标方程，再得极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入解得，即|OA|=2，进而得到|OB|=1，即可求得|AB|的值. 试题解析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，∴的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入：整理得，解得，即.∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线与相交，即，即.故.23．（1）（2），或.【解析】试题分析：（Ⅰ）去掉绝对值号，分类讨论，解求解不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值不等式得f(x)≥|(3x−a)−(3x−6)|=|6−a|，g(x)≥1，得，即可求解实数a的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，当时，，显然不成立，当时，，由解得，综合得，所以的解集是.（Ⅱ），，∴根据题意，解得，或.。
专题5.5 三角恒等变换(解析版)
专题5.5 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z 2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=（3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+， 其中cos ϕϕ==tan baϕ=.4．半角公式：（1）sin2α=（2）cos 2α=，（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+.5．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-； 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.5．三角函数式的化简（1）化简原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．（2）化简要求：①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；②式子中的分母尽量不含根号.（3）化简方法：①切化弦，②异名化同名，③异角化同角，④降幂或升幂． 6．三角函数式的求值（1）给角求值：给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. （2）给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： ①先化简所求式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．（3）给值求角：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： ①已知正切函数值，则选正切函数．②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. （4）常见的角的变换：①已知角表示未知角，例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.②互余与互补关系，例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. ③非特殊角转化为特殊角，例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.一、单选题1．已知sin 2cos 0αα-=，则tan 4πα⎛-⎫⎪⎝⎭=A ．-4B ．4C ．1-3D ．13【试题来源】云南省昆明市第八中学2020-2021学年高一特色班下学期第一次月考 【答案】C【分析】已知sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，根据两角差的正切公式计算即可得出结果． 【解析】已知sin 2cos 0αα-=，则tan 2α=，∴ tantan 1tan 1214tan ===41tan 1231tan tan 4παπααπαα---⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭+．故选C ．2．422cos sin 1212ππ=A ．1B ．12 C ．14D ．12-【试题来源】广西桂林市第十八中学2021-2022学年高二上学期期中考试 【答案】C【分析】本题利用二倍角公式和特殊角三角函数值，即可得到答案． 【解析】222214cossin (2cossin)(sin )1212121462πππππ===．故选C ． 3．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．79-B ．23-C ．23D ．79【试题来源】四川省绵阳东辰国际学校2020-2021学年高三下学期三诊 【答案】D【分析】利用倍角公式2cos 212sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将条件代入计算即可．【解析】217cos 212sin 123699ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．4．已知tan 2α=，则22cos 2sin cos sin 2αααα--的值为A ．13-B ．13C ．73-D ．73【试题来源】山东省菏泽市一中系列学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学（A ） 【答案】D【分析】利用倍角公式及同角的商的关系将式子转化为用tan α表示，然后带值计算即可．【解析】222222cos 2sin cos 2sin 12tan 1247cos sin 2cos 2sin cos 12tan 1223ααααααααααα----⨯====----⨯．故选D ． 5．22sin 36sin 54sin15cos15++=A B ．1C ．97100D ．54【试题来源】四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试 【答案】D【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系，以及降幂公式即可求得答案． 【解析】原式=22115cos 54sin 54sin 301244++=+=．故选D ．6．关于函数sin (sin cos )y x x x =+描述正确的是 A．最小正周期是2π B C ．一条对称轴是4x π=D ．一个对称中心是1,82π⎛⎫⎪⎝⎭【试题来源】北京市第三十五中学2022届高三上学期期中考试 【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简y 得解析式，再利用正弦型函数的图象和性质得出结论． 【解析】由题意得sin (sin cos )y x x x =+21sin sin 22x x =+1cos 21sin 222x x -=+1)42x π=-+， 选项A ：函数的最小正周期为min 222T πππω===，故A 错误；选项B ：由于sin(241)1x π≤-≤-12，故B 错误；选项C ：函数的对称轴满足242x k πππ-=+，328k x ππ=+， 当4x π=时，14k Z =-∉，故C 错误；选项D ：令8x π=，代入函数的11())828422f πππ=⨯-+=， 故1,82π⎛⎫⎪⎝⎭为函数的一个对称中心，故D 正确；故选D7．已知函数2()sin cos f x x x x =，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称【试题来源】重庆市江津中学校2021-2022学年高二上学期开学考试 【答案】D【分析】化简函数的解析式()1sin(2)62f x x π=-+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【解析】由题意，函数21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==1112cos 2sin(2)2262x x x π=-+=-+， 由函数()f x 的最小正周期，可得22T ππ==，所以A 错误； 由函数()f x 的最大值为()max 13122f x =+=，所以B 错误； 因为5,36x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得32,622x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以C 错误；由()1sin(2)62f x x π=-+，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈， 当1k =-时，可得6x π=-，所以()f x 的图象关于直线6x π=-对称，所以D 正确．故选D ．8．已知角α的终边经过点(-，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．19-C ．19D 【试题来源】四川省攀枝花市2021-2022学年高三第一次统一考试 【答案】B【分析】由角终边上的点可得sin α=，根据诱导公式、二倍角余弦公式有2sin 212sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可求值．【解析】由题设，sin α=，21sin 2cos 212sin 29πααα⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭．故选B9．已知角α的终边经过点(-，则cos2=αA ．B ．19-C ．19D 【试题来源】四川省攀枝花市2021-2022学年高三第一次统一考试 【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出cos α，再利用二倍角公式计算可得；【解析】因为角α的终边经过点(-，所以2222cos 325α，所以2221cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭，故选B10．已知函数()cos sin f x x x =+，则()f x 的最大值为A ．2B ．1 CD ．2【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中 【答案】C【分析】利用辅助角公式化简后求最值．【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，定义域为R ，所以()f x C 11．cos80cos50sin80sin50︒︒+︒︒=A ．BC ．12-D ．12【试题来源】陕西省咸阳市泾阳县2021-2022学年高三上学期期中 【答案】B【分析】根据两角差的余弦公式计算即可．【解析】cos80cos50sin 80sin 50cos(8050)cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故选B 12．若tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则()tan αβ+= A ．-1 B ．1 C ．-2D ．2【试题来源】福建省长乐第七中学2022届高三上学期期中考试 【答案】A【分析】结合一元二次方程根与系数的关系、两角和的正切公式计算即可． 【解析】由于tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根， 所以tan tan 6,tan tan 7αβαβ+=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 6αβαβαβ++===--⋅-．故选A13．在平面直角坐标系中，点P 在射线()403y x x =>上，点Q 在过原点且倾斜角为θ（θ为锐角）的直线上．若4POQ π∠=，则sin 2θ的值为A ．2425- B ．2425C ．725-D ．725【试题来源】江苏省南通市海门中学、泗阳中学2021-2022学年高三上学期第二次诊断测试 【答案】D 【分析】设射线()403y x x =>的倾斜角为1θ，从而可得14πθθ=-，且14tan 3θ=，再利用两角差的正切公式以及二倍角正弦公式即可求解． 【解析】设射线()403y x x =>的倾斜角为1θ，且142ππθ<<，14tan 3θ=， 由题意可得14πθθ=-，所以111tan 11tan tan 41tan 7θπθθθ-⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭， 2222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 125θθθθθθθθθ====++．故选D14．已知1sin()sin()25ππαα-+-=，且(0,)απ∈，则tan()4πα+=A ．17-B ．17C ．7D ．17-【试题来源】广东省江门市新会陈瑞祺中学2022届高三上学期10月月考 【答案】A【分析】由题意化简得1sin cos 5αα+=，平方求得242sin cos 25αα=-，进而求得7sin cos 5αα-=，联立方程组，求得sin ,cos αα，得到4tan 3α=-，结合两角和的正切公式，即可求解．【解析】由1sin()sin()25ππαα-+-=，可得1sin cos 5αα+=，两边平方得112sin cos 25αα+=，可得242sin cos 025αα=-<， 因为(0,)απ∈，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 0αα->，所以22449(sin cos )1()2525αα-=--=，所以7sin cos 5αα-=， 联立方程组，可得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-，所以41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα-++===--+-．故选A ． 15．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解． 【解析】()1cos 3αβ-=，0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()sin αβ∴-=3cos 4β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin β∴=，()0,απ∴∈， 又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故选B16．若tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos2=αA ．35B ．45-C ．45D ．35【试题来源】河北省石家庄市藁城新冀明中学2021届高三上学期10月月考 【答案】B【分析】根据两角和的正切公式展开得到tan α，同时根据两角和的余弦公式展开并进行齐次化，将弦转化为切，最后计算即可．【解析】由tan tantan 14tan 241tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-⋅，得到tan 3α=， 又22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++，所以22221tan 134cos 21tan 135ααα--===-++，故选B17．将函数()sin cos f x x x =+的图象向左平移4π个单位，得函数()y g x =的图象，则34g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．12 B ．1C ．D ．1-【试题来源】陕西省西安市八所重点中学2021-2022学年高三上学期联考 （一） 【答案】D【分析】先对()f x 变形，然后通过三角函数图象变换规律求出()g x 的解析式，从而可求出34g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【解析】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则将()f x 的图象向左平移4π个单位后得，()442g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以33144g ππ⎛⎛⎫===-⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选D18．若sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin2α=A ．B ．89-CD ．89【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次验收考试 【答案】B【分析】根据整体换元法结合二倍角公式即可求出．【解析】设4παθ+=，则4παθ=-，sin θ=218cos 22sin 1214189sin 2sin 2πθθθα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭=⨯．故选B ．19．已知()()212sin 02f x x παα⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，且在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则α的取值范围是 A ．,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,64ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【试题来源】云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第四期联考 【答案】C【分析】利用余弦二倍角公式可得()()cos 22f x x α=+，再由正弦函数的中心对称点以及单调性即可求解．【解析】()()()212sin cos 22f x x x αα=-+=+，由()0f x =得22π+()2x k k Z πα+=∈，解得()π+24k x k Z πα=-∈， 因为()f x 在π06⎛⎫⎪⎝⎭，内有零点，所以ππ046α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，解得ππ124α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，又2222,k x k k Z παππ≤+≤+∈，解得,2k x k k Z ππαπα-≤≤+-∈由()f x 在ππ66⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，所以266ππαπα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得63ππα≤≤，即ππ63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以ππ64α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，故选C ．20．已知1tan 3α=，则sin2α=A ．45B ．35C ．310D ．110【试题来源】江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期12月月考 【答案】B【分析】根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值． 【解析】由1tan 3α=知，sin α=cos α=或sin α=，cos α=则3sin 22sin cos 25ααα===，故选B 21．函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的一个对称中心是(,)m n ，则m n +的值为A ．8π B ．38π C ．28π+D ．328π+ 【试题来源】河南省部分重点高中2021-2022学年高三上学期12月适应性检测【答案】D【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据图象性质求参数值． 【解析】由题得1cos 21cos 2()sin 23sin 2cos 2222x xf x x x x -+=++⋅=++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令24x k ππ+=，则28k x ππ=-，当1k =时，38m π=，2n =，故m n +的值为328π+．故选D ． 22．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=A ．10-B ．10C ．D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次校内检测 【答案】A【解析】3,4424ππππααπ<<∴<+<，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， sin 44444cos cos cos cos sin 4ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫α+-=α++α+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭∴⎭α=4355=-=A 23．函数()()44cos tan 1f x x x =+在()0,π上的一个递增区间为A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭【试题来源】河南省重点中学2021-2022学年高三上学期模拟调研（一） 【答案】D【分析】化简函数解析式为()31cos 444f x x =+，然后利用余弦型函数的单调性可求得结果． 【解析】()()444422cos tan 1sin cos 12sin cos f x x x x x x x =+=+=-=211cos 4311sin 21cos 42444x x x --=-=+，令242k x k πππ-<<，k Z ∈，得11242k x k πππ-<<，取1k =得递增区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取2k =，得递增区间3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．24．将函数()2ππ2cos 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象关于π6x =对称，则ϕ的最小值为 A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π6【试题来源】“超级全能生”2022届高三全国卷地区11月联考试题（甲卷） 【答案】A【分析】先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再由图象的平移可得()g x 的图象，由()g x 的图象的对称轴列方程结合0ϕ>即可求得ϕ的最小值．【解析】()2πππ1π2cos 21cos 236323f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π1π1ππ12cos 2sin 23232362x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππ11sin 2cos 23622x x ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，所以()()()11cos 2cos 2222x x g x ϕϕ=-+=-+，因为函数()g x 的图象关于π6x =对称，所以()π22πZ 6k k ϕ⨯-=∈， 所以()ππZ 62k k ϕ=-∈，因为0ϕ>，所以0k =时，π6ϕ=最小，故选A ． 25．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边上有一点37tan ,46M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1cos 2sin 22αα++的值为 A ．12-或710B ．710C ．2110D ．12-【试题来源】山东省青岛市4区市2021-2022学年高三上学期期中考试 【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值可得点(1,3)M --，再根据三角函数的定义和三角恒等变换，即可得到答案；【解析】(1,3)M --，∴sin α=cos α=，∴214cos 22cos 121105αα=-=⋅-=-，3sin 22sin cos 25ααα⎛⎛=⋅=⋅⋅= ⎝⎝， 411cos 2375sin 222510αα-+∴+=+=，故选B 26．将函数()cos2sin 222x x x f x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0)>ω的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版） 【答案】B【分析】先把函数化为()sin y A x B ωϕ=++的形式，利用图象变换规律，得到g (x )的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论． 【解析】()cos 2sin 222x x x f x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cossin222xxxωωω=-sin x x ωω=2sin 3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3ωπ个单位，得到函数()2sin y g x x ω==的图象，由()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则42ππω≤，所以2ω≤，故ω的最大值为2．故选B27．已知1sin 24α=-，则2πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．18B ．38CD ．58【试题来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期中 【答案】B【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】由二倍角的降幂公式可得211cos 211sin 2324sin 42228παπαα⎛⎫-+-⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭．故选B ．28．若α，β均为锐角，sin α=3sin()5αβ+=，则cos β=A BCD ． 【试题来源】吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次摸底考试 【答案】B【分析】根据角度范围得到cos α=，()4cos 5αβ+=-，再根据和差公式展开得到答案．【解析】α，β均为锐角，sin α=cos α==，sin sin()ααβ>+，故αβ+为钝角，()4cos 5αβ+==-．()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++4355==B29．已知函数()()2πsin πsin 2f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则下列正确的是A ．()f x 最小正周期为2πB ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心C ．将()f x 图象向右平移π2个单位长度后得到()g x 的图象，此时()5πsin 26g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个减区间【试题来源】“四省八校”2021-2022学年高三上学期期中质量检测考试 【答案】B【分析】应用三角恒等变换可得()sin 23πx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质判断各选项的正误．【解析】())21sin cos 2cos 1sin 22sin 22π3x x x x x x f x ⎛⎫=-⋅-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期22T ππ==，A 错误；π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，B 正确；()π4()sin(2)sin(2)233g x f x x x ππ=-=--=-，C 错误；令π222232k x k ππππ--+≤≤可得1212k x k π5ππ-≤≤π+，()f x 在5[,]1212k k ππππ-+上递减，显然ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是子区间，故D 错误．故选B30．已知点P 在圆O ：2214x y +=上，从1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭出发，沿圆周逆时针方向运动了弧长x （0πx <<）到达B 点，且1tan 2x =，又B 点在角π4β+终边上，则cos 2β=A ．2425-B ．45-C ．45D ．2425【试题来源】“四省八校”2021-2022学年高三上学期期中质量检测考试 【答案】D 【分析】易知212xAOB x ∠==，由1tan 2x =，进而得到4tan 3π4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1tan 7β=求解．【解析】因为212xAOB x∠==，22tan 4tan tan 21tan 3x AOB x x ∴∠===-，4tan 43πβ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，1tan 7β∴=，222222cos sin 1tan 24cos 2cos sin 1tan 25βββββββ--===++．故选D 31．若53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ．cos sin αα-B ．cos sin αα--C ．cos sin αα+D ．cos sin αα-+【试题来源】山东省临沂市2021-2022学年高三上学期期中 【答案】D【分析】再结合α的范围确定cos α和sin α的符号即可求解．【解析】由二倍角公式可知，221cos 2cos αα+=，21cos 22sin αα-=，|cos ||sin |αα-，因为53,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α<，sin 0α<，cos sin αα-+．故选D ． 32．已知函数()()211sin sin 0222xf x x ωωω=+->在区间()π,2π内没有零点，则ω的取值范围是A ．1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃B ．1170,,868⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃C ．1150,,8612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃D ．1150,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃【试题来源】天津市南开中学2021-2022学年高三上学期第二次月考 【答案】A【分析】先将()f x 解析式化为同名函数，再根据()f x 在区间()π,2π内没有零点则22Tππ-≤；假设()f x 在区间()π,2π内有零点，解出ω的表达式；从而推导()f x 在区间()π,2π内没有零点时ω的取值范围．【解析】()()211sin sin 0222x f x x ωωω=+->，()()111111cos sin sin cos 222224f x x x x x x πωωωωω⎛⎫∴=-+-=-=- ⎪⎝⎭， ()f x 在区间()π,2π内没有零点，22Tππ∴-≤即2T π≥， 2=2T ππω≥，且0>ω，01ω∴<≤，当()f x 在区间()π,2π内有零点时，则,4x k k z πωπ-=∈，即4,k x k z ππω+=∈，42,k x k z ππππω+∴<=<∈，11,824k k k z ω∴+<<+∈，又01ω<≤，1184ω∴<<或518ω<≤，()f x 在区间()π,2π内没有零点，ω∴的取值范围是1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⋃．故选A33．一列波沿x轴正方向传播，其波函数的表达式为()()111111()cos 0,0,0,02f x A x A x ωϕωπϕ=+>>>>≤≤，511,1212是函数f （x ）相邻的两个零点；另一列波沿x 轴负方向传播，其波函数的表达式为()sin 2(02)3g x x x ππ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭；在某一时刻，两列波的图象如图所示；函数()()()h x g x f x =+表示两列波叠加之后的波函数（叠加后的波函数为原来两个波函数的和），则下列说法正确的有①12ωπ=；②13x =是函数()g x 的一个零点；③函数h （x ）的最小正周期是12；④函数h（x ）的振幅为1；⑤函数h （xA ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【试题来源】云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（五） 【答案】B【分析】根据()f x 相邻的两个零点求得T ，进而求得1ω，从而判断①的正确性．由13g ⎛⎫⎪⎝⎭来判断②的正确性．结合三角恒等变换化简()h x ，由此求得()h x 的最小正周期、振幅，从而判断③④⑤的正确性． 【解析】因为5111212，是函数()f x 的两个相邻的零点，设()f x 的最小正周期为T ， 所以1151212122T =-=，则1T =，所以12π2πT ω==，故①正确； 12ππsin 0333g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以②正确； 由图知，11A =，512是函数()f x 单调增区间上的一个零点， 所以153π2π2π()122k k ϕ+=+∈Z ，由于1π0ϕ>>，所以12π3ϕ=，则2π()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2π()()()cos 2π3h x g x f x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭πsin 2π2π2π3x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭π2π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故函数()h x 的最小正周期是1，函数()h x 的振幅为A = 所以③④错误，⑤正确．故选B 34．已知1sin 3α=，sin3α=A ．2027B ．2227C ．2327D ．2527【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期11月测试 【答案】C【分析】首先利用两角和的正弦公式和二倍角公式求得2sin 3sin cos 22sin cos ααααα=+，然后结合已知条件求cos2α和2cos α，进而得到答案． 【解析】由两角和的正弦公式和二倍角公式可知，2sin 3sin(2)sin cos 2sin 2cos sin cos 22sin cos ααααααααααα=+=+=+，因为1sin 3α=，所以2cos21279sin αα=-=，228cos 1sin 9αα=-=，从而171823sin 32393927α=⨯+⨯⨯=．故选C ．35．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和两个圆弧弧AB ，弧BC 围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，则tan ∠AOB 的值是A ．247-B ．724-C ．43-D ．34-【试题来源】江苏省扬州大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中 【答案】A【分析】根据题意，结合勾股定理，以及正切的二倍角公式，即可求解． 【解析】如图所示，过点O 作⊥OD AB ，交AB 于点D ，设AB a ，圆O 的半径为r ，由题意知OD r =，OA a r =-，2a AD =，因为222OA OD AD =+，得()2222a a r r ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得38a r =， 因此42tan 3aAD AOD OA r ∠===， 故2422tan 243tan tan 2161tan 719AOD AOB AOD AOD ⨯∠∠=∠===--∠-．故选A ． 36．若tan 2tan10α=，则()()cos 80sin 10αα-=- A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月第三次月考 【答案】C【分析】利用诱导公式、两角和公式可得()()cos 80sin 10αα-=-sin cos10cos sin10sin cos10cos sin10αααα+-，再利用弦化切即得．【解析】因为tan 2tan10α=，所以()()()()cos 80cos 1090sin 10sin 10αααα-+-=--()()sin 10sin 10αα+=-sin cos10cos sin10sin cos10cos sin10αααα+=-tan tan10tan tan10αα+=-3tan103.tan10==故选C ．37．设α为锐角，若cos ()6a π+＝－35，则sin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值为A ．－725B ．1625C ．－15D ．725【试题来源】海南省华侨中学2022届高三11月第三次月考 【答案】D【分析】由二倍角公式可得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式即可得解．【解析】因为3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7sin 2sin 2cos 2632325ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选D ．38．函数π()cos(3π))2f x x x =--的单调增区间为A ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2,33ππk πk πk Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，D ．52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【试题来源】山西大学附属中学2022届高三上学期11月期中 【答案】C【分析】利用三角恒等变换得到π()2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算单调区间得到答案．【解析】()ππ()cos 3πcos π2sin 26f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，k Z ∈，解得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k Z ∈．故选C ．39．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()cos αβ+=cos2β= A ．35B ．25C ．45D 【试题来源】宁夏中卫市第一中学2022届高三上学期第三次月考 【答案】C【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出sin α，()sin αβ+再利用两角差的余弦公式求出cos β，最后利用二倍角公式解得．【解析】依题意，α为锐角，tan 17α=，sin α∴=，又α，β为锐角，得0αβπ<+<，()cos αβ+=()sin αβ∴+=；()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++⎣⎦，得cos β===因此，294cos22cos 121105ββ=-=⨯-=，故选C ． 40．函数的()π2sin cos 6x x x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所有零点为A ．π,Z 2k x k =∈ B ．ππ,Z 2x k k =+∈C ．π,Z x k k =∈D ．2π,Z x k k =∈【试题来源】华大新高考联盟（全国版）2021-2022学年高三上学期11月教学质量测评 【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式化简()f x ，再令()0f x =即可求解． 【解析】由题可知()π2sin cos 6x x x f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin c πos π66x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos cos x x x x =-+=，令()0f x x ==，可得π,Z x k k =∈，所以()f x 零点为π,Z x k k =∈，故选C ． 二、多选题1．下列式子正确的是 A．sin15cos15+︒︒=B．cos 75︒=C．2tan 151︒+︒= D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=【试题来源】山东省济南市实验中学2021-2022学年高三上学期10月月考 【答案】ACD【分析】对于A ，利用两角差的正弦余弦公式求出sin15,cos15︒︒的值即可，对于B ，利用两角和的余弦公式求解，对于C ，求出tan15︒的值代入化简即可，对于D ，利用两角和的正切公式求解【解析】对于A，因为sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30︒=︒-︒=︒︒+︒︒=，所以sin15cos15+︒︒=A 正确， 对于B，因为cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin30︒=︒+︒=︒︒-︒︒=，所以B 错误，对于C，因为11tan 30tan15tan(4530)21tan 30-︒︒=︒-︒===+︒，所以((22tan 15221︒+︒=+=，所以C 正确，对于D ，因为()tan 33tan12tan 45tan 331211tan 33tan12︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan33tan121tan33tan12︒+︒=-︒︒，所以tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=，所以D 正确，故选ACD2．已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考 【答案】BC【分析】将条件变形为用tan α表示的形式，进而可求出tan α，则可判断选项AB ，再将选项CD 变形，用tan α表示，代入tan α的值即可判断． 【解析】由sin 3cos 53cos sin αααα+=-得tan 353tan αα+=-，解得tan 2α=，故A 错误，B 正确； 222221cos sin cos 1tan 123cos sin22sin cos tan 1415ααααααααα++++====+++，故C 正确；22222222sin cos 2tan 17sin cos2s ta in cos 15n αααααααα---===++，故D 错误．故选BC ．3．达芬奇是意大利著名的画家、数学家、物理学家和机械工程师．悬链线问题（固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？）起源于他的画作《抱银貂的女人》（如图所示），他苦苦思索，去世时仍没找到问题的答案．随着后人深入的研究，得出了悬链线的函数解析式为()e e 2ax axf x a-+=，其中a 为悬链线系数．当1a =时，()e e 2x x f x -+=称为双曲余弦函数，记为e e ch 2x x x -+=．类似的双曲正弦函数e e sh 2x xx --=，若直线x t =与ch x 和sh x 的图象分别交于点A ，B ，则下列结论中正确的是A ．()sh sh ch ch sh x y x y y x +=⋅+⋅B ．()ch ch ch sh sh x y x y x y +=⋅-⋅C ．线段AB 的长度随着t 的增大而变短D ．ch sh y x ⋅是偶函数 【答案】AC【分析】根据函数的新定义，结合两角和与差的正弦、余弦函数的公式，逐项运算，即可求解．【解析】由()sh 2x y x ye e x y ++-+=，可得sh ch ch sh 22222x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e x y x y ----+---++--⋅+⋅=⋅+⋅=， 所以A 正确；由()ch 2x y x ye e x y +--++=，可得()ch ch sh sh ch 22222x x y y x x y y x y y xe e e e e e e e e e x y x y x y ------++--+⋅-⋅=⋅-⋅=≠+，所以B 错误；由线段AB 的长度为ch sh 22t t t tt e e e e t t e ---+--=-=，且随着t 的增大，t e -越来越小，所以C 正确；因为()ch ch 2x x e e x x -+-==，()sh h 2x xe e x s x ---==-，所以chx 是偶函数，shx 是奇函数，所以ch sh x x ⋅是奇函数，所以D 错误．故选AC ． 4．已知函数f (x )＝2 cos 2x －cos (2x －θ)(0)2πθ<<的图象经过点3(0,)2，则A ．点(,1)12π是函数f (x )的图象的一个对称中心B ．函数f (x )的最大值为2C ．函数f (x )的最小正周期是2πD ．直线x ＝3π是y ＝f (x )图象的一条对称轴 【试题来源】海南省华侨中学2022届高三11月第三次月考 【答案】ABD【分析】根据题意求出函数 ()f x 的解析式 ， 再结合函数的定义与性质判断选项中的命题是否正确．【解析】因为函数 2()2cos cos(2),02f x x x θπθ=--<<，()f x 的图象经过点3(0,)2， 所以32cos(2θ=--），解得1cos 2θ=，因为02πθ<<，所以3πθ=，21()2cos cos(2)1cos 2cos 22221cos(2)1323f x x x x x x cos x x ππ=--=+-=+=++因为y cosx =图象的对称中心是点(,0)()2k k Z ππ+∈，所以令2,3210x k k Z y πππ⎧+=+∈⎪⎨⎪-=⎩得,1221k x k Z y ππ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩当0k = 时，12x π=所以点(,1)12π是函数()f x 图象的一个对称中心，所以A 正确；因为1cos(2)13x π-+，所以()f x 的最大值为2，所以B 正确；因为函数 ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以C 错误； 因为y cosx = 图象的对称轴方程是,,x k k Z π=∈ 所以令2,3x k k Z ππ+=∈，得,26k x k Z ππ=-∈， 当1k =时，3x π=，所以直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以D 正确．故选ABD5A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒【试题来源】湖南省长沙市雅礼教育集团2021-2022学年高二上学期期中联考 【答案】AB【分析】结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案．【解析】选项A sin 60==︒=选项B ：22cos sin cos12126πππ-==选项C ：()1cos15sin 45sin15cos 45sin 4515sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=︒=；选项D ：22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⨯=︒==-︒-︒AB ．6．已知函数()2sin 2x x f x =+ A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称【试题来源】福建省宁德市部分达标中学2022届高三上学期期中联合考试 【答案】ABC【分析】化简得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算函数周期得到A 正确，将BCD 选项带入函数判断函数单调性和对称性得到答案．【解析】())2sin 2sin 21cos2sin 2x x x x f x x x =++=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π2,333x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，B 正确；π2ππ2sin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 正确； πππ2sin 2633f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选ABC ． 7．关于函数()sin cos ()f x x x x =+∈R ，则下列说法中正确的是 A．()f x B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【试题来源】山东省济宁市嘉祥县第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试 【答案】ACD【分析】计算()π()2f x f x +=得到π2是()f x 的一个周期，B 错误，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算最值得到A 正确，()π()2f x f x -=得到C 正确，计算单调性得到D 正确，得到答案．【解析】因为()πππ()sin cos cos sin 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π2是()f x 的一个周期，故B 错误；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4x =时，()max f x A 正确；因为()πππ()sin cos cos sin 222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的图象关于直线π4x =对称，故C 正确；当2,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为5,4412x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选ACD ． 8．下列函数的周期为π的是 A ．sin y x =B ．sin y x =C ．2sin 23cos y x x =+D ．tan cot y x x =-【试题来源】山东省临沂市重点高中2021-2022学年高三上学期第一次月考 【答案】BC【分析】根据三角函数的周期公式依次计算每个选项的周期得到答案． 【解析】sin y x =，2πT =，A 不满足；sin y x =的图象如图所示：根据图象知周期为π，B 满足；21cos 233sin 23cos sin 23sin 2cos 2222x y x x x x x +=+=+=++()322x ϕ=++，其中3tan 2ϕ=，2ππ2T ==，C 满足；22sin cos sin cos cos 22tan cot 1cos sin sin cos tan 2sin 22x x x x x y x x x x x x x --=-=-===-，π2T =， D 不满足．故选BC ．9．已知tan 4α=，1tan 4β=-，则A ．tan()tan 1αβ-=B ．α为锐角C ．3tan()45πβ+=D ．tan 2tan 2αβ=【试题来源】河北省保定市部分学校2022届高三上学期期中 【答案】ACD【分析】由诱导公式可判断A ，由正切函数的定义可判断B ，由正切函数的两角和公式可判断C ，由二倍角公式可判断D ．【解析】对于A ，因为tan 4α=，1tan 4β=-，所以tan()tan tan tan 1αβαβ-=-=，故A正确；对于B ，因为tan 40α=>，所以α为第一象限角或第三象限角，故B 错误；对于C ，因为1tan 4β=-，所以1tan 3tan()41tan 5πβββ++==-，故C 正确； 对于D ，因为tan 4α=，1tan 4β=-，所以222122tan 24884tan 2,tan 21tan 141515114ααβα⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭===-==---⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故D 正确．故选ACD10．对于函数()sin f x x x =，给出下列选项其中正确的是 A ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间5ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]【试题来源】浙江省绍兴市诸暨中学2021-2022学年高一（实验班）上学期期中 【答案】CD【分析】由辅助角公式化简()f x ，利用正弦函数的对称中心可判断A ；由正弦函数的周期公式可判断B ；利用正弦函数的单调性可判断C ；利用正弦函数的性质可判断D ，进而可得正确选项．【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对于A ：令()πππZ 63k k +=∈，可得1Z 2k =∉，故选项A 不正确； 对于B ：()f x 的最小正周期为2π=2π1，故选项B 不正确； 对于C ：若5ππ66x -<<，则πππ232x -<+<， 所以()f x 在区间5ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确； 对于D ：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π336x ≤+≤，所以1πsin 123x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]，故选项D 正确；故选CD ．三、填空题 1．若2sin 3α=，则cos2=α____________． 【试题来源】河南省焦作市温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期11月月考【答案】19【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解﹒【解析】2221cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故答案为192．已知角θ的终边过点P （1，2），则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】沪教版（2020） 必修第二册 堂堂清 阶段测试二 【答案】3-【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出tan θ的值，再利用两角和的正切公式求解即可【解析】因为角θ的终边过点P （1，2），所以tan 2θ=，所以tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，故答案为3- 3．已知α____________．【答案】tan α-【分析】利用余弦的二倍角公式及同角之间的关系，即可得解．tan α==， 因为α为钝角，则tan 0α<，所以原式tan α=-，故答案为tan α-. 4．已知1tan 3α=，则5tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭____________． 【试题来源】天津市部分区2021-2022学年高三上学期期中 【答案】2【分析】利用诱导公式和两角和的正切公式可求得结果．【解析】1151tan 3tan tan tan 214441tan 13πππααπααα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．故答案为2． 5．已知tan 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 2θ=____________．【试题来源】2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（七）【分析】由两角和的正切公式可得tan θ=，再利用二倍角公式即求．【解析】由题意得tan 3πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭7tan θ=tan θ=，则2222tan 7tan 21tan 1θθθ===--⎝⎭6．若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】广东省八校2022届高三上学期第二次联考 【答案】725-【分析】依题意sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【解析】因为4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2662πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2247cos 22cos 12166525ππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦．故答案为725-．7．已知sin 0,2πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试 【答案】7【分析】根据已知条件求出cos θ，再求出tan θ和tan2θ，用正切的差角公式将tan 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开，代入数值计算即可﹒【解析】sin sin 0cos tan 22cos πθθθθθθ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭，＝＝， 所以22tan 44tan 21tan 143θθθ---＝＝＝，所以41tan2tantan2134tan 27441tan21tan2tan 143πθπθθπθθ----⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝＝＝＝＋＋﹒故答案为7﹒ 8．若()4cos 5πα-=，α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．【试题来源】海南热带海洋学院附属中学2021届高三10月份月考。
2021年3月四川省成都市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考诊断性考试文科数学试题
绝密★启用前四川省成都市普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考诊断性考试数学(文)试题2021年3月本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,只将答题卡交回。
第I卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|lgx<1},B={x|x>3},则A∪B=（A)(0,+∞) （B)(3,10) （C)(-∞,+∞) （D)(3,+∞)2.已知i为虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的虚部为·（A)-i （B)i （C)-1 （D)13.命题“∀x>0,x2+x+1>0”的否定为（A) ∃x o≤0,x02+x o+1≤0 （B) ∀x≤0,x2+x+1≤0（C) ∃x o>0,x02+x o+1≤0 （D) ∀x>0,x2+x+1≤04.袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中3个红球和2个白球,从中不放回地依次随机摸出两个球,则摸出的两个球颜色相同的概率为（A) 15 （B) 25 （C) 35 （D) 455.已知sin(α+β)= 23,sin(α-β)= 13,则tan tan αβ的值为 （A) -13 （B) 13（C)-3 （D)3 6.在ΔABC 中,已知AB=AC,D 为BC 边中点,点O 在直线AD 上,且BC BO ⋅=3,则BC 边的长度为（（（（D)67.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为323π的球O 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为（A)4π （B)8π （C)12π （D)16π8.已知P 是曲线y=-sinx (x ∈[0, π］）上的动点,点Q 在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P 的横坐标为（A) 4π （B) 2π （C) 23π （D) 56π 9.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2,记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ,n ∈N*.则使得T 20大值为（A) 1939 （B) 3839（C) 2041 （D) 4041 10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P=P 0e -kt .如果前2小时消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61)（A)4h （B)6h （C)8h （D)10h。
四川省绵阳市2021届高三第三次诊断文科数学答案
四川省绵阳市2021届高三第三次诊断文科数学试题参考答案1．B 【思路点拨】先求出集合A ，再根据补集的定义即可求出. 【解析】{}{211A x x x x ==<-或}1x >，{}[]R111,1A x x ∴=-≤≤=-.故选：B.2．D 【思路点拨】先求出复数z ，进而得到其对应点所在象限. 【解析】()11,z i i -=+()211112i i iz i i i ++∴=+=+=-, ∴复数z 在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限， 故选：D3．B 【思路点拨】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3z x y =+的最小值.【解析】作出可行域如下图所示：当直线3z x y =+经过点A 时，此时纵截距最小，即z 有最小值，又2220y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,2A --，所以()()min 3228z =⨯-+-=-， 故选：B.【名师指导】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤：（1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起； （3）通过平移直线确定出直线纵截距的最值，从而目标函数最值可求. 4．D 【思路点拨】根据同比与环比的概念，结合图中数据对选项一一判断即可.【解析】对于A ，观察图中同比曲线，除11月份同比为-0.5，其余均是正值，所以2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，A 正确.对于B ，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8，3月份-1.2，环比有涨有跌，B 正确. 对于C ，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C 正确.对于D ，观察图中环比曲线，3月份环比值-1.2，4月份-0.9，易知4月份消费价格比3月份低，故D 错误. 故选：D.5．A 【思路点拨】由已知圆关于直线对称，把圆心代入直线求出a ，利用垂径定理求AB .【解析】圆22:240C x y ax y +-+-=的标准方程为：()2221524a a x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，圆心C ：,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径R =因为圆22:240C x y ax y +-+-=关于直线:10l x y +-=对称， 所以1102a--=，解得：a =4，所以圆心C ：()2,1-，R =.所以圆心到x 轴距离为1，由垂径定理得：AB =. 故选：A【名师指导】求圆锥曲线的弦长：（1）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：12||AB x x p =++；（2）“设而不求法”，利用弦长公式12|||AB x x =-求弦长，这是求弦长的一般方法.6．C 【思路点拨】讨论当0x ≥时，可得()0f x >；当0x <，由偶函数性质得出()()1f x x x =-+，由不等式()0f x <可求解.【解析】当0x ≥时，()()1f x x x =-，由()0x f x ⋅>可得()0f x >，即()10x x ->，解得01x <<；当0x <时，0x ->，则()()1f x x x -=-+，又()f x 是偶函数，()()1f x x x ∴=-+，由()0x f x ⋅>可得()0f x <，即()10x x -+<，解得1x <-， 综上，()0x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C.7．C 【思路点拨】建立平面直角坐标系，利用坐标法即可得到结果. 【解析】∵0AF DF ⋅=，∴AF AB ⊥，如图建立平面直角坐标系，()()()0,2,1,2,2,0F C B ，∴()()1,2,2,2AC BF ==-， ∴242BF AC ⋅=-+=， 故选：C8．B 【思路点拨】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【解析】∵log log ma a mb b =，∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c =因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<， 所以b a c >>. 故选：B【名师指导】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.9．C 【思路点拨】由已知关系求得数列1{}n n a a ++是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．【解析】由题意124a a +=，由()12343n n n a a a n --=+≥得1124()n n n n a a a a ---+=+，即1124n n n n a a a a ---+=+(3)n ≥，所以数列1{}n n a a ++是等比数列，仅比为4，首项为4， 所以99104a a +=． 故选：C ．10．A 【思路点拨】根据图象可以确定最小正周期的取值范围，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可,【解析】因为()20f =，所以1sin 2=02=()()4428k k Z k k Z πππωωπωπ⎛⎫-⇒-∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，设函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由图可知：5242T T ⎧>⎪⎨⎪<⎩， 因为0>ω，所以有52254242ππωπωπω⎧⋅>⎪⎪⇒<<⎨⎪<⎪⎩，因为1()28k k Z πωπ=+∈，所以79244k k Z k ππ<<∈∴=，所以98ωπ=，因此216998Tππ==，故选：A11．A【思路点拨】由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．【解析】设圆锥母线为l，底面半径为r，则2223133rllππππ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得31lr=⎧⎨=⎩，如图，ABC是圆锥轴截面，外接圆O是球的大圆，设球半径为R，1cos3rABCl∠==，22sin ABC∠=，922sin422lRABC===∠，92R=，所以球表面积为2292814488S Rπππ⎛⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭．故选：A．【名师指导】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．12．D【思路点拨】由题知3,0,32F p⎛⎫=⎪⎝⎭，设点()00,A x y，进而得233262yAF x=+=+，再求出线段OA 的垂直平分线的方程为：20002612y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，进而得20312B y x =+，再计算即可得答案.【解析】因为点F 为抛物线2:6E y x =的焦点，故3,0,32F p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设点()00,A x y ，则2006y x =，由抛物线的定义得：20033262y AF x =+=+故直线OA 的斜率为0006y k x y ==，线段OA 的中点坐标为：20000,,22122x y y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以线段OA 的垂直平分线的方程为：20002612y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故令0y =得2312B y x =+，所以2020113933122443262y OB y AF ⎛⎫+-=-= ⎪=+⎝⎭- 故选：D【名师指导】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设点()00,A x y ，进而求得2312B y x =+，再结合抛物线的定义计算即可.13．0【思路点拨】由455S a =，可得：()11434542a d a d ⨯+=+，从而可得结果. 【解析】设等差数列{} n a 的公差d ， 由455S a =，可得：()11434542a d a d ⨯+=+， ∴1140a d +=， 即150a =， 故答案为：014．2e 【思路点拨】求导得()()2'2x mf x x x e x=+-，进而得()()1,13f e f e m '==-，故切线方程为()()31y e e m x -=--，再结合切线过点()0,0即可得2m e =.【解析】解：函数()2ln xf x x e m x =-，求导得()()22xm f x x x e x'=+-， 所以()()1,13f e f e m '==-，所以函数()2ln xf x x e m x =-在点()()1,1f 处的切线方程为：()()31y e e m x -=--，又因为切线过点()0,0，所以()()0301e e m -=--，解得：2m e =. 故答案为：2e【名师指导】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题. 导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.15由平行得切线方程，由直线与抛物线相切得,,a b c 的关系式，从而可得离心率．【解析】因为抛物线与双曲线共焦点，所以2pc =，2p c =，抛物线方程为24y cx =， 双曲线的左焦点为1F (,0)c -，过1F 与一条渐近线by x a =平行的直线方程为()b y x c a=+， 由24()y cxby x c a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22440by acy bc -+=， 所以222216160a c b c ∆=-=，所以a b =，从而c =，离心率为ce a==【名师指导】关键点点睛：本题考查考查求双曲线的离心率．解题关键是求出双曲线是,a c （,,a b c ）的关系．建立等量关系的途径是利用直线与抛物线相切，用,,a b c 写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后，判别式等于0．16根据正三棱锥的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、余弦定理进行求解即可.【解析】取AC 的中点H ，连接SH BH 、，因为ABC 是边长为4的正三角形，所以AB BC =，因此AC BH ⊥，又因为SA SC =，所以AC SH ⊥，因为=SH BH H ，SH BH ⊂，平面SBH ，因此AC ⊥平面SBH ，而SH ⊂平面SBH ，所以AC SB ⊥，又因为点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，所以//EF SB ，而EF SD ⊥，所以SB SD ⊥， 而ACSD D =，AC SD ⊂，平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，因为SH ⊂平面SAC ，所以SB SH ⊥，因为ABC 是边长为4的正三角形，所以122CF BC ==，122CH AC ==，在ABC 中，222212cos 94222DF DC CF DC CF ACB DC DC =+-⋅⋅⋅∠⇒=+-⋅⨯，解得1DC =，设SA SB SC x ===， 因为AC SH ⊥，所以22224SH SC CH x =-=-， 因为AC BH ⊥，所以22216412BH BC CH =-=-=，因为SB SH ⊥，所以22222124BH SB SH x x x =+⇒=+-⇒=（负值舍去），因为AC SH ⊥，所以cos 452CH SCH SCH SC ︒∠===⇒∠=， 在DEC 中，22222cos (122(17DF DC CE DC CE ACS =+-⋅⋅⋅∠=++-+=，所以DE =，【名师指导】关键点睛：本题通过取AC 的中点H ，得到AC ⊥平面SBH ，结合已知再得到SB ⊥平面SAC ，进而得到SB SH ⊥是解题的关键.17．【思路点拨】（1）根据茎叶图的特点，结合平均数、数据的集中情况进行分析即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式用列法法进行求解即可.【解析】（1）由图知：高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级考核成绩的平均分；高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的同学成绩比较分散.∴高二年级的学生学习效果更好.（2）由图知：高一､高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为4，6， 若用分层抽样法抽出5人，则应从高一､高二两个年级各抽出2人､3人. 设“5位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同年级的同学”为事件A . 将高一选出的2人记为；a ､b ，高二选出的3人记为：1，2，3. 可得ab ，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，12，13，23共有10种选法， 事件A 包含1a ､2a ､3a ､1b ､2b ､3b 共有6种.()35P A ∴=.∴选出的2人是来自不同班的同学的概率等于35.18．【思路点拨】（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据等面积法将BCD △的面积转化为ACD △的面积，又由于ACD △为直角三角形，求出边长，进而计算面积即可.【解析】解：()1在锐角ABC 中，3AB =，7AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得sin sin 14AB ABC ACB AC ⋅∠∠==， 又因为ABC 为锐角三角形cos ACB ∴∠=. sin sin sin 33BAC ACB ACB πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+∠=+∠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin BAC ∴∠=1sin coscos sin332ACB ACB ππ∠⋅+∠⋅=+=. ()2//AB CD ，∴∠=∠ACD BAC ，sin sin ACD BAC ∴∠=∠=.在Rt ADC 中，sin 7AD AC ACD =⨯∠==，2CD ∴==， BCDACD SS=，又12ACDSAD CD =⨯=BCDS∴=【名师指导】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．【思路点拨】（1）取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，再根据点F 为BD 的中点，易证四边形AEFG 为平行四边形，从而//EF AG ，再利用线面平行的判定定理证明； （2）易证CD ⊥平面ABC ，进而得到平面BCD ⊥平面ACDE ，再由CD BC ⊥，得到BC ⊥平面ACDE ，由13B ACDE ACDE V S BC -=⋅梯形求解. 【解析】（1）证明：取BC 的中点G ，连接GF ，GA .点F 为BD 的中点，//GF CD ∴，且12GF CD =. 又//CD AE ，2CD AE =，//GF AE ∴，且GF AE =，∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC .（2）EF CD ⊥，CD AG ∴⊥，又AC CD ⊥，,AC AG A ⋂=CD 平面ABC ，CD BC ∴⊥.又平面BCD ⊥平面ACDE ，平面BCD平面ACDE CD =，BC ∴⊥平面ACDE ，BC ∴为四棱锥B ACDE -的高，222CD CB AE AC ====，()()111112213326B ACDE ACDE V S BC AE CD BC -∴=⋅=⨯+⨯=⨯+⨯=梯形.【名师指导】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 20．【思路点拨】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）由题设知MN 的斜率不可能为0，可设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理可得1212y y my y +=，再由点斜式表示直线DN ：()2233y y x x =--，则()12233P y x x y -=+即可判断是否为定直线. 【解析】（1）由题意，22611a b +=且2c a =，又222a b c =+，解得28a =，24b =. ∴椭圆的方程为22184x y +=.（2）设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222,1,84x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222440m y my ++-=，2221616(2)32(1)0m m m ∆=++=+>，由12242my y m -+=+，12242y y m -=+，即1212y y my y +=. 直线DN 的方程为()2233y y x x =--.① 过M 且与y 轴垂直的直线的方程为1y y =.② 联立①②可得()()1212121222313334P y x y my y y yx y y y --+-=+=+=+=. ∴点P 在定直线4x =上.【名师指导】关键点点睛：第二问，设直线MN 的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定1212,y y y y +的关系，进而由P 的位置用12,y y 表示出其横坐标.21．【思路点拨】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得0x xe ax -≥在()0,∞+恒成立，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，即可得解； （2）易知()2xe f x e x'=-在()0,∞+上单调递增，再根据零点存在性定理可得存在()01,2x ∈，使得()00f x '=，即可得到()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，即可得证.【解析】解：（1）由()xf x e alnx =-，得()()0xaf x e x x'=->. 函数()f x 在定义域内为增函数，()0x xa xe af x e x x-'∴=-=≥在()0,∞+恒成立.当0a ≤时，()0f x '≥，满足题意；当0a >时，设()()0xh x xe a x =->. 易得()()10xh x x e '=+>，∴函数()h x 在()0,∞+上为增函数，()()00h x h a ∴>=-≥，即0a ≤与 0a >矛盾.综上，实数a 的取值范围为(],0-∞.（2）易知()2xe f x e x'=-在()0,∞+上单调递增，又()210f e e '=-<，()2202ef '=>，∴存在()01,2x ∈，使得()00f x '=，即02x c e x =，002lnx x ∴=-.当()00,x x ∈时，()0f x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.()()02222222000001 22220x e f x e e lnx e x e x e e e x x ⎛⎫∴≥-=--=+->- ⎪⎭=⎝.()0f x ∴>.【名师指导】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．【思路点拨】（1）将圆的参数方程化为普通方程，在将普通方程化为极坐标方程，根据直线的参数方程得直线l 过坐标原点，且倾斜角为β，再写极坐标方程.（2）设()2,N ρβ，()1,M ρβ，将直线():,0l θβρβπ=∈≤<R 代入曲线E 的得128sin ρρβ+=，126ρρ=，再结合3ON OM =得213ρρ=，解方程得sin β=，故直线l 的斜率为±1.【解析】解：()1由,4,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得()22410x y +-=.由sin ,cos ,y x ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线E 的极坐标方程为28sin 60ρρθ-+=.直线l 的极坐标方程为(),0θβρβπ=∈≤<R .()2将直线():,0l θβρβπ=∈≤<R ，代入曲线E 的方程得28sin 60ρρβ-+=. 由264sin 240β∆=->，解得2sin 38β>. 设()2,N ρβ，()1,M ρβ，由韦达定理得128sin ρρβ+=，126ρρ=.3ON OM =，213ρρ∴=，所以1213ρρρ==所以sin 2β=，满足0∆>. 0βπ≤<，4πβ∴=或34π， tan 1k β∴==±，∴直线l 的斜率为±1.【名师指导】本题主要考查了极坐标与直角坐标，以及参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程的应用，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义取绝对值号，解不等式即可； （2）对x 讨论后，分离参数，利用绝对值的三角不等式求出a 的范围.【解析】解：（1）不等式()4f x ≥即22214x x -+-≥ 当1≥x 时，434x -≥，解得74x ≥； 当112x <<时，14≥不成立； 当12x ≤时，344x -≥，解得14x ≤-. 综上，不等式()4f x ≥的解集为17,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由题意得()()24|1||1|f x g x x x -=--+， 当0x =时，03≥，显然成立. 要使()()2||f x g x a x -≥成立， 即()()()20||f xg x a x x -≤≠，令()()()()20||f xg xh x x x -=≠，即()4|1||1|114|1||1|||x x h x x x x--+==--+11|1||1|x x ≥--+(当且仅当1x =时取得等号) 11|11|2x x≥--++=-(当且仅当01x <≤时取得等号).∴当1x =时函数()h x 取得最小值2-.2∴≤-a .即实数a 的取值范围为(],2-∞-.【名师指导】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x 的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；（2）利用绝对值三角不等式，可以减少绝对值的个数，求最大值或最小值.。
四川省宜宾市2024届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷含答案
宜宾市普通高中2021级第二次诊断性测试文科数学（答案在最后）（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合{33},{14}∣∣=-<<=-<<A xx B x x ，则A B = （）A.{34}xx -<<∣ B.{13}xx -<<∣C.{31}xx -<<-∣ D.{14}x x -<<∣【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{33},{14}∣∣=-<<=-<<A x x B x x ，所以{13}A B xx =-<< ∣.故选：B.2.命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是（）A.1,ln 0x x ∀><B.1,ln 0x x ∀>≤C.1,ln 0x x ∃>≤D.1,ln 0∃≤≤x x 【答案】C 【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.【详解】根据全称量词命题的否定有：命题“1,ln 0x x ∀>>”的否定是：1,ln 0x x ∃>≤.故选：C3.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出红球的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】A 【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】记1个白球为A ，2个红球分别为a 、b ，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有Aa 、Ab 、aA 、ab 、bA 、ba 共6个，其中两次都摸出红球的有ab 、ba ，所以所求概率2163P ==.故选：A4.已知向量()()1,2,3,1a b == ，向量c 满足c a ⊥ ，()//a c b + ，则c =（）A.()2,1-- B.()2,1- C.()2,1- D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设出(),c x y =，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.【详解】设(),c x y = ，则()3,1c b x y +=++，由c a ⊥，得20x y +=，又()//a c b + ，得()1230y x +-+=，即25y x =+，联立2025x y y x +=⎧⎨=+⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩.()2,1c ∴=-.故选：C.5.已知0.356log 2,5,log 2===a b c ，则（）A.c<a<bB.a c b<<C.c b a <<D.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质结合中间量法求解即可.【详解】0.356log 21,5,log 211a b c =>=<=<，又562211log 2,log 2log 5log 6a c ====，且221log 5log 6<<，所以221110log 5log 6>>>，即01b a <<<，所以c<a<b .故选：A.6.根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型011e -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭px Ny N y ，其中y （单位：万辆）为第x 年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，0y 为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：ln0.8870.12,ln0.30 1.2≈-≈-）A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆【答案】B 【解析】【分析】把已知数据代入模型011e px Ny N y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年的为初始值，则2033年底该省新能源汽车的保有量为1.20.1210130013001300164e 11e20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20.30e -≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯，所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.故选：B.7.已知点P 是直线30x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)1C x y ++=的一条切线，切点为A ，则线段PA 长度的最小值为（）A. B. C.D.1【答案】D 【解析】【分析】由题意可得PA =PC 取得最小值时，线段PA 长度的最小，利用点到直线的距离公式求出PC 的最小值即可得解.【详解】圆22:(1)1C x y ++=的圆心()1,0C -，半径1r =，由题意可得PA AC ⊥，则PA ===，则当PC 取得最小值时，线段PA 长度的最小，min PC ==，所以min 1PA =.故选：D .8.若πcos 65⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.15-B.15C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】化πsin 26x ⎛⎫+⎪⎝⎭为πcos 26x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用二倍角公式即可即可求解.【详解】因为πππ22662x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππsin 2sin 2cos 26266x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π2532cos 121655x ⎛⎫⎛⎫=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D9.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A.4B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，将三视图还原成直观图，根据几何体中的线面关系，分别求出各棱长即可求解.【详解】根据几何体的三视图，将几何体还原成直观图如图：根据已知条件有2AB =，2SB =，SB ⊥平面ABC ；过C 作AB 的垂线垂足为D ，2BD =，CD =，在Rt ACD 中，有4=AD ，CD =，222161228AC AD CD =+=+=，所以AC =；在Rt BCD △中，CD =，2BD =，22241216BC BD CD =+=+=，所以4BC =；因为SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以SB AB ⊥，同理SB BC ⊥；在Rt SBA 中，2SB =，2AB =，2224148SA SB AB =+=+=，所以SA =Rt SBC △中，2SB =，4BC =，22241620SC SB BC =+=+=，所以SC =综上所述，三棱锥中最长棱的长度为AC =.故选：C10.在数列{}n a 中，已知122,1a a ==，且满足21n n n a a a +++=，则数列{}n a 的前2024项的和为（）A.3B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得321n n n a a a +++=-，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解.【详解】由题意得21n n n a a a ++=-，用1n +替换式子中的n ，得321n n n a a a +++=-，两式相加可得3n n a a +=-，即63n n n a a a ++=-=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期函数.又12a =，21a =，34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=.所以数列{}n a 得前2024项和()2024126123373S a a a a a =+++++=L .故选：A.11.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是渐近线:b l y x a=-上位于第二象限的点，若2,cos 3∠==OP a F PO ，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出2sin POF b c ∠=，2cos aPOF c∠=-，进而求出2sin PF O ∠，在2 POF 中，由正弦定理列式求得ba=.【详解】如图，根据题意可得2tan bPOF a∠=-，2sin b POF c ∴∠=，2cos aPOF c∠=-，又23cos 3F PO ∠=，26sin 3F PO ∴∠=，()222πPF O OPF POF ∠=-∠+∠ ，()2226336sin sin 333a b PF O OPF POF c c c⎛⎫∴∠=∠+∠=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，在2 POF 中，由正弦定理可得，222sin sin OP OF PF OOPF =∠∠，33c=ba=，3e ∴===.故选：D.12.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分离参数转化为1ln exx xa x -->，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数法求出()min f x ，()min a f x >即为所求.【详解】不等式e 1ln xax x x +>-有解，即1ln e x x xa x -->，0x >，只需要min1ln e x x x a x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()1ln exx xf x x --=，()()()212ln e xx x x f x x +-+∴='，0x >，令()2ln g x x x =-+，0x >，()110g x x∴=+>'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()110g =-<，()2ln 20g =>，所以存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即002ln 0x x -+=，()00,x x ∴∈，()0g x <，即()0f x '<；()0,x x ∞∈+，()0g x >，即()0f x '>，所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()000001ln e x x x f x x --∴=，又由002ln 0x x -+=，可得020e e x x =，()0000002201ln 121e e e x x x x xf x x ---+-∴===-.21e a ∴>-.故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为1ln exx xa x -->，0x >，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数求出()f x 的最小值，即只要()min a f x >.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则|z |＝__.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算计算得z i =-，再根据复数的模长公式可得结果.【详解】∵21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，∴|z |＝1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的模长公式，属于基础题.14.数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知131,7==a a ，数列(){}2log 1n a +为等差数列，则5S =__________.【答案】57【解析】【分析】根据题意，求出数列(){}2log 1n a +的通项，进而求得n a ，利用分组求和得解.【详解】令()2log 1n n b a =+，131,7a a ==Q ，11b ∴=，33b =，又数列{}n b 为等差数列，所以公差1d =，11n b n n ∴=+-=，即()2log 1n a n +=，21n n a ∴=-，()()5255125212222555712S a a a -∴=+++=+++-=-=-L L .故答案为：57.15.所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点M N ､，则线段MN 长度的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径R ，内切球半径r ，线段MN 长度的最大值为R r +得解.【详解】由正四面体的棱长为6，则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，设球心为O ，如图，连接AO 并延长交底面BCD 于H ，则AH ⊥平面BCD ，且H 为底面BCD △的中心，所以63BH =⨯=，在Rt AHB △中，可求得AH ==，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，则()222212R BH OH R =+=+，解得2R =，2r OH R ===，所以线段MN 长度的最大值为R r +=.故答案为：16.已知F 为抛物线2:8C x y =-的焦点，过直线:4l y =上的动点M 作抛物线的切线，切点分别是,P Q ，则直线PQ 过定点__________.【答案】()0,4-【解析】【分析】设()()()1122,,,,,4P x y Q x y M t ，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点M ，从而可确定直线PQ 的方程，进而可得出答案.【详解】设()()()1122,,,,,4P x y Q x y M t ，由28x y =-，得218y x =-，则14y x '=-，则抛物线C 在点P 处得切线方程为()11114y y x x x -=--，即21111144y x x x y =-++，又2118x y =-，所以1114y x x y =--，又因为点(),4M t 在切线MP 上，所以11144x t y =--，①同理可得22144x t y =--，②由①②可得直线PQ 的方程为144xt y =--，所以直线PQ 过定点()0,4-.故答案为：()0,4-.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b A c A a C =+（1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求bc 的值．【答案】（1）3π（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角A ，（2）利用余弦定理结合已知条件直接求解【小问1详解】因为2cos cos cos b A c A a C =+，所以由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+,所以()()2sin cos sin sin sin B A A C B B π=+=-=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=【小问2详解】因为4a b c =+=，3A π=，所以由余弦定理得22222cos ()22cos 3a b c bc A b c bc bc π=+-=+--，所以7163bc =-，解得3bc =18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,//ABCD AB DC ，,2224,AB AD AB PD CD AD E ⊥====是PA 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCE -的体积.【答案】（1）证明见详解（2）43【解析】【分析】（1）先证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明；（2）根据题意P BCE C PBE V V --=，又//CD 平面PAB ，所以P BCE C PBE D PBE V V V ---==得解.【小问1详解】因为PD AD =，E 是PA 的中点，所以DE PA ⊥，又PD⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PD AB ∴⊥，又AB AD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ，DE AB ⊥∴，,PA AB ⊂平面PAB ，DE ∴⊥平面PAB .【小问2详解】根据题意，得P BCE C PBE V V --=，又//CD AB ，CD⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以点C 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离，又11422PBE S PE AB =⋅==V ，又DE ⊥平面PAB ，DE =1433P BCEC PBED PBE V V V ---∴===⨯.19.某企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价，该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),i 1,2,,5= i i x y ，如表所示：单价x （千元）45678销量y （百件）6764615850（1）若变量,x y 具有线性相关关系，求产品销量y （百件）关于试销单价x （千元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的产品销量的估计值ˆi y.当销售数据(),i i x y 对应的残差的绝对值ˆ1i i yy - 时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个，求“精准销售”至少有1个的概率.参考数据：552111760,190====∑∑iii i i x yx 参考公式：线性回归方程中ˆˆ,b a 的估计值分别为1221ˆˆˆ,niii nii x ynx y bay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】19.4ˆ84yx =-+20.910【解析】【分析】（1）按照所给的参考公式，计算可得到线性回归方程；（2）先求出5个销售数据中精准销售的个数，再根据古典概型的概率公式计算.【小问1详解】由题意，5n =，6x =，6764615850605y ++++==，结合参数数据得217605660419056b -⨯⨯==--⨯$，()6064ˆ48a ∴=--⨯=，所以线性回归方程为484yx =-+$.【小问2详解】当4x =时，168y =$，167y =，则11ˆ11y y -=≤，所以()11,x y 为一个精准销售，当5x =时，264y =$，264y =，则22ˆ01y y -=≤，所以()22,x y 为一个精准销售，当6x =时，360y =$，361y =，则33ˆ11y y -=≤，所以()33,x y 为一个精准销售，当7x =时，456y =$，458y =，则44ˆ21y y -=>，所以()44,x y 不是一个精准销售，当8x =时，552y =$，550y =，则55ˆ21y y -=>，所以()33,x y 不是一个精准销售.记三个精准销售为,,A B C ，两个非精准销售为,m n ，则从5个销售数据中任选2个，对应的基本事件有：AB ，AC ，Am ，An ，BC ，Bm ，Bn ，Cm ，Cn ，mn ，其中满足要求的共有9个，所以“精准销售”至少有1个的概率为910p =.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为，若椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【答案】20.22195x y +=21.证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆C 上的一点(),T m n ，则a m a -≤≤，表达出(),T m n 到右焦点的距离cmd a a=-，从而得到最大值，最小值，得到方程，求出3a =，根据四边形1122A B A B 的面积求出ab =，得到b =，求出椭圆方程；（2）先考虑过点()1,0-且斜率不存在时，得到点M 在直线9x =-，再考虑过点()1,0-且斜率存在且不为0时，设直线l 方程为1x my =-+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，得到121244my y y y =--，表达出12,A P A Q 的方程，联立后结合121244my y y y =--得到()()12290y y x +--=，求出点M 在直线9x =-上，证毕.【小问1详解】设右焦点坐标为()2,0F c ，椭圆C 上的一点(),T m n ，则a m a -≤≤，故22221m n a b +=，即22222b m n b a=-，则(),T m n 到右焦点的距离d ==cm a a==-，因为c m c -≤≤，所以cm c c a -≤≤，cmc a a c a a--≤-≤-，故cma c a a c a-≤-≤+，即椭圆C 上的点到右焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c -，故26a c a c a ++-==，解得3a =，又四边形1122A B A B 的面积为12121122222A AB B a b ab ⋅=⨯⋅==，故ab=，所以b =，椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】当过点()1,0-且斜率不存在时，直线l 方程为10x +=，22195x y +=中，令=1x -得，3y =±，不妨设1,,1,33P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线()23:313A P y x =---，即()2:36A P y x =--，同理可得()1:33A Q y x =-+，联立12,A P A Q 得，9x =-，故点M 在直线9x =-上，当过点()1,0-的直线斜率存在且不为0时，设直线l 方程设为1x my =-+，联立22195x y +=得()225910400m y my +--=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212221040,5959m y y y y m m -+==++，两式相除得121244my y y y =--，直线()121:33y A P y x x =--，直线()212:33yA Q y x x =++，联立12,A P A Q 得，()()12123333y yx x x x -=+-+，故()()1212331313y y x x my my -=+-+--++，解得()()()()1211222343my y y x my y y x +-=-+，将121244my y y y =--代入上式中，得()()12290y y x +--=，要想()()12290y y x +--=恒成立，则9x =-，故点M 在定直线9x =-上，综上，点M 在定直线9x =-上.【点睛】方法点睛：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数()e ,,R =++∈xf x ax b a b .（1）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当0a =时，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）0a ≥（2）1b ≥【解析】【分析】（1）根据函数解析式，求出函数导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可；（2）根据已知条件先对函数放缩，探究1b ≥时，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立；再利用换元法探究当1b ≥与1b <时的情况，从而求得b 的取值范围.【小问1详解】因为()e ,,R =++∈x f x ax b a b ，所以()e xf x a '=+，若()f x 是R 上的单调递增函数，则在R 上有()0f x '≥恒成立，即e 0+≥x a ，所以有e x a ≥-()R x ∈，令()e xg x =-，根据指数函数e x y =的性质有：e 0x >，则e 0x -<，所以()(),0g x ∈-∞()R x ∈，所以0a ≥，综上，()f x 是R 上的单调递增函数，0a ≥.【小问2详解】当0a =时，令()()sin e sin xF x f x x x b =+=++，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立，即()0F x >对x ∈R 恒成立，()e sin e 11x x F x x b b b =++≥+-≥-，当1b ≥时，()0F x >对x ∈R 恒成立，即()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立；当1b <时，令12π2x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12π212πe 12k F k b ⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为12π2F k ⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为单调递增函数，令12π2e 10k b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+-=，解得()ln 1112π2b k -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，Z k ∃∈，()ln 1112π2b k -⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，12π212πe 102k F k b ⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫-=+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时，()0F x >不恒成立，即()sin 0+>f x x 不恒成立；综上，当0a =时，()sin 0+>f x x 对x ∈R 恒成立，1b ≥.【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式(),0f x λ≥（x D ∈，λ为参数）恒成立问题中参数范围的步骤：1.将参数与变量分离，不等式化为()()12≥f f x λ或()()12≤f f x λ的形式；2.求()2f x 在x D ∈时的最大值或者最小值；3.解不等式()()12max ≥f f x λ或()()12min ≤f f x λ，得到λ的取值范围.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，点P 是曲线133cos :3sin x tC y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M 的坐标为π8,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线π:(0)3θρ=>l 与曲线12C C ､分别交于,A B 两点，求MAB △的面积.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=（2）)61-【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可求出曲线1C 的极坐标方程，结合已知，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）先求出点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离，再分别求出,A B ρρ，即可求出AB ，进而可得出答案.【小问1详解】将曲线133cos :3sin x tC y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程，得()2239x y -+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以()222cos 3sin 9ρθρθ-+=，整理得6cos ρθ=，即曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，以极点O 为中心，将线段OP 逆时针旋转90 得到OQ ，设Q 点的极坐标为(),ρθ，则P 点的极坐标为π,2ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，又点P 在曲线1C 上，所以π6cos 6sin 2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=；【小问2详解】由题意点M 到射线π:(0)3θρ=>l 的距离π8sin 46d ==，联立π36cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3A ρ=，联立π36sin θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得B ρ=，故)31B A AB ρρ=-=，所以MAB △的面积为)1612d AB =.[选修4-5：不等式选讲]23.已知定义在R 上的函数()2122=++-f x x x .（1）若对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若()f x 的最小值为n ，设,,R a b c ∈，满足2225322++=a b c n ，求证：53210a b c ++≤.【答案】（1）[]3,2-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用绝对值的三角不等式求出()min f x ，在分类讨论去绝对值符号即可得解；（2）利用柯西不等式求证即可.【小问1详解】()()()2122212421245f x x x x x x x =++-=++-≥+--=，当且仅当()()21240x x ++≤，即122x -≤≤时取等号，所以()min 5f x =，因为对任意x ∈R ，不等式()12f x m m ≥-++恒成立，所以125m m -++≤，则2125m m m ≤-⎧⎨---≤⎩或21125m m m -<<⎧⎨-++≤⎩或1125m m m ≥⎧⎨-++≤⎩，解得32m -≤≤-或21m -<<或12m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]3,2-；【小问2详解】由（1）可得()min 5f x =，所以5n =，则22253210a b c ++=，由柯西不等式可得))))()2222532a b c ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，即()21010532a b c ⨯≥++，所以53210a b c ++≤，当且仅当1a b c ===时取等号.。