九年级数学二次函数课件ppt
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《二次函数》PPT课件 图文
此式表示了两年后的产
即
y 20x2 40x 20
量y与计划增产的倍数x 之间的关系，对于x的 每一个值，y都有唯一 的一个对应值，即y是x
的函数。
式子①②③④有什么共同点?
y=6x2
d
1 2
n2
1 2
n
d
1 2
n
2
3n 2
y 20x2 40x 20
函数都是用自 变量的二次整
式表示的
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的 函数叫做二次函数。其中a为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。
解答过程
3、若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次 函数，求m、n的值。
解：根据题意得
①∵
2m+n=2②∵
2m+n=1
③∵
2m+n=2
④∵
2m+n=2
⑤∵
2m+n=0
m-n=1 m-n=2
m-n=2 m-n=0 m-n=2
∴ m=1
m=1
∴
n=0
n=-1
m=4/3
∴
n=-2/3
(2)现根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必 须是18平方米，在满足（1）的条件下，矩形的长 和宽各为多少米？
1、下列函数中，（x是自变量），哪些是二次 函数？为什么？
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
苏科版数学九年级下5.1二次函数课件(共23张PPT)
5.1 二次函数
问题1、用16米长的篱 笆围成长方形的生物 园饲养小兔,怎样围可 使小兔的活动范围较 大?
设长方形的长为x 米，则 宽为（8-x）米，如果将面 积记为y平方米，那么变量 y与x之间的函数关系式为：
y x2 8x
问题2、要给边长为x米的正方
形房间铺设地板，已知某种地 板的价格为每平方米240元， 踢脚线的价格为每米30元，如 果其他费用为1000元，门宽0.8 米，那么总费用y为多少元？
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
（3）当x=2、3、5 时，y分别是多少？
（4）当重叠？
AD
M
BC
N
如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线MN向正方形移 动，直线AB与CD重合，设x s时正三角形与正方形重叠部分的面 积为ym2。
（1）写出y与x 的关系表达式；
（2）当0≤x≤5，y的取值范围是什么？
（3）当x=2、3、5 时，y分别是多少？
（4）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了 多长时间？
AD
M
BC
N
如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线MN向正方形移 动，直线AB与CD重合，设x s时正三角形与正方形重叠部分的面 积为ym2。
（1）写出y与x 的关系表达式；
问题1、用16米长的篱 笆围成长方形的生物 园饲养小兔,怎样围可 使小兔的活动范围较 大?
设长方形的长为x 米，则 宽为（8-x）米，如果将面 积记为y平方米，那么变量 y与x之间的函数关系式为：
y x2 8x
问题2、要给边长为x米的正方
形房间铺设地板，已知某种地 板的价格为每平方米240元， 踢脚线的价格为每米30元，如 果其他费用为1000元，门宽0.8 米，那么总费用y为多少元？
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
（3）当x=2、3、5 时，y分别是多少？
（4）当重叠？
AD
M
BC
N
如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线MN向正方形移 动，直线AB与CD重合，设x s时正三角形与正方形重叠部分的面 积为ym2。
（1）写出y与x 的关系表达式；
（2）当0≤x≤5，y的取值范围是什么？
（3）当x=2、3、5 时，y分别是多少？
（4）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了 多长时间？
AD
M
BC
N
如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线MN向正方形移 动，直线AB与CD重合，设x s时正三角形与正方形重叠部分的面 积为ym2。
（1）写出y与x 的关系表达式；
26.3.1 建立二次函数模型解决实际问题 课件(共20张PPT)华东师大版数学九年级下册
直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距 离x（m）之间的函数关系式是 y x2 2x 5 .
4
y x2 2x 5 4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）y x2 2x 5 x 12 Nhomakorabea94
4
9
当x＝1时， y最大 4 .
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 9 .
D或E的坐标
抛物线的函 数表达式
可设抛物线表达式 为 y＝ax2（a＜0）
顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞
宽ED是多少？是否会超过1 m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0）
∵ AB＝1.6m ， ∴ CB AB 0.8 m 又由题可知OC＝2.4 m， 2
∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82
∴ a 15 因此，函数关系式是 y 15 x2
4
4
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
所以涵洞宽ED是 2 10 ，超过1m. 5
练 练习 习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向
通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，
并保持车辆顶部与隧道有不少于 1
3
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数 关系式. 利润=（售价－进价）×售出件数
4
y x2 2x 5 4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）y x2 2x 5 x 12 Nhomakorabea94
4
9
当x＝1时， y最大 4 .
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 9 .
D或E的坐标
抛物线的函 数表达式
可设抛物线表达式 为 y＝ax2（a＜0）
顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞
宽ED是多少？是否会超过1 m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0）
∵ AB＝1.6m ， ∴ CB AB 0.8 m 又由题可知OC＝2.4 m， 2
∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82
∴ a 15 因此，函数关系式是 y 15 x2
4
4
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
所以涵洞宽ED是 2 10 ，超过1m. 5
练 练习 习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向
通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，
并保持车辆顶部与隧道有不少于 1
3
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数 关系式. 利润=（售价－进价）×售出件数
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
华东师大版九年级数学下册 26.2 二次函数的图象与性质教学课件 (共14张PPT).
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
要记住公式哦！
a(
x
b 2a
)2
4
ac4 a2
b2
a(x
b )2 2a
4ac 4a
b2
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x 13
解 ： a
1 2
0
开口方向：向上。
解：a 2 0 开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a2Biblioteka 21 22
对称
轴
：x
b 2a
12 22
3
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
y
4ac b2 4a
4213 (12)2 42
顶点坐标：（3，- 5）
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是(0,3)， 与x轴的交点坐标是 (1,0)或（3。，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
• 2.会确定二次函数
的图象
的顶点，开口方向和对称轴.
自学指导
• 1.将函数y=2(x-1)2+3写成二次函数的一般形式。
• 2若要画二次函数y=2x2-4x+5的图象，你认为 应该怎样办？
• 3.尝试将y=2x2-4x+5转化成y=2(x-1)2+3的形式。
• 4.你能把y=ax2+bx+c改写成y=a(x-h)2+k的形式 吗？
当x>h时，
《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件
虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
《二次函数》示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
二次函数
教科书第30页习题2.1第1、3题
二次函数
二次函数
（1）能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；（2）会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；（3）在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想；（4）通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
重点
难点
上述解析式是我们学过的一次函数吗？
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？（1）正方形的周长与边长之间的函数关系式 . （2）正方形的面积与边长之间的函数关系式 .
新增的橙子树棵数
函数解析式等号两边必须是整式；化简后自变量的量），哪些是二次函数？ .
解：(1) 的最高次幂不是二次，不是二次函数.
先化简再判断
(4)
(3)右边不是整式，不是二次函数.
(2)
(5)
不是整式
【例2】已知正方体的棱长为 cm，表面积为 cm²，体积为 cm³.（1）分别写出 与与之间的函数关系式.（2）这两个函数中，哪一个是的二次函数？
解：因为正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，所以 故这个函数是二次函数.
增加的
3. 已知二次函数 ，当时，；当时，，求 的值.
解:解得
类比于一次函数待定系数法
函数自变量的取值范围：
二次函数：
一般地，形如 是常数，的函数叫做 的二次函数. 特殊形式： ，.
注意：
（1）关于的代数式一定是整式；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为零.
解:（1） ，
正方体表面积
正方体体积
（2）是的二次函数.
三次
二次
教科书第30页习题2.1第1、3题
二次函数
二次函数
（1）能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；（2）会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；（3）在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想；（4）通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
重点
难点
上述解析式是我们学过的一次函数吗？
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？（1）正方形的周长与边长之间的函数关系式 . （2）正方形的面积与边长之间的函数关系式 .
新增的橙子树棵数
函数解析式等号两边必须是整式；化简后自变量的量），哪些是二次函数？ .
解：(1) 的最高次幂不是二次，不是二次函数.
先化简再判断
(4)
(3)右边不是整式，不是二次函数.
(2)
(5)
不是整式
【例2】已知正方体的棱长为 cm，表面积为 cm²，体积为 cm³.（1）分别写出 与与之间的函数关系式.（2）这两个函数中，哪一个是的二次函数？
解：因为正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，所以 故这个函数是二次函数.
增加的
3. 已知二次函数 ，当时，；当时，，求 的值.
解:解得
类比于一次函数待定系数法
函数自变量的取值范围：
二次函数：
一般地，形如 是常数，的函数叫做 的二次函数. 特殊形式： ，.
注意：
（1）关于的代数式一定是整式；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为零.
解:（1） ，
正方体表面积
正方体体积
（2）是的二次函数.
三次
二次