第2讲立体几何中的空间角问题
第2讲立体几何中的空间角问题
高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为空间角的求解,常以解答题的形式进行考查,高考注重以传统方法解决空间角问题,但也可利用空间向量来求解.
真题感悟
(2018·浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C
均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC
=B1B=2.
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
1.求异面直线所成角的方法
方法一:几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为:①利用定义构造角,可固定一条直线,平移另一条直线,或将两条直线同时平移到某个特殊的位置;
②证明找到(或作出)的角即为所求角;③通过解三角形来求角.
方法二:空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a,b所成角θ的步骤为:①
求出直线a ,b 的方向向量,分别记为m ,n ;②计算cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |;③
利用cos θ=|cos 〈m ,n 〉|,以及θ∈(0°,90°],求出角θ.
2.求直线与平面所成角的方法
方法一:几何法.用几何法求直线l 与平面α所成角的步骤为:①找出直线l 在平面α上的射影;②证明所找的角就是所求的角;③把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形来求角.
方法二:空间向量法.用空间向量法求直线AB 与平面α所成角θ的步骤为:①求
出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →;②计算cos 〈AB →,n 〉=AB →·n |AB →||n |
;③利用sin θ=|cos 〈AB →,n 〉|,以及θ∈[0°,90°],求出角θ.
3.求二面角的方法
方法一:几何法.用几何法求二面角α-l-β的平面角θ的步骤为:①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角);②证明所找的角就是要求的角;③把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀:点在棱上,边在面内,垂直于棱,大小确定.
方法二:空间向量法.用空间向量法求二面角αlβ的平面角θ的步骤为:①求两个
半平面α,β的法向量m ,n ;②计算cos 〈m ,n 〉=m ·n |m ||n |;③根据图形和计算
结果判断θ是锐角、直角,还是钝角,从而得出θ与〈m ,n 〉是相等关系还是互补关系.
热点一 求线线角
【例1】 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,P A ⊥底
面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB =2,AD =22,P A =2,求异面
直线BC 与AE 所成角的大小.
探究提高 求异面直线所成的角,可以应用向量法,也可以应用异
面直线的定义求解.
【训练1】 (1)(2018·浙江卷)已知四棱锥SABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,
E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角SABC的平面角为θ3,则()
A.θ1≤θ2≤θ3
B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2
D.θ2≤θ3≤θ1
(2)(2016·浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=
1,AD=5,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直
线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________.
热点二求线面角
【例2】(2017·浙江卷)如图,已知四棱锥P ABCD,△P AD
是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC
=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面P AB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
探究提高(1)传统法解决线面角问题的关键是先找出线面所成的角,再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.
【训练2】 如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =∠P AB
=90°,BC =CD =12AD ,E 为棱AD 的中点,异面直线P A 与CD
所成的角为90°.
(1)在平面P AB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理
由;
(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值.
热点三 求二面角
【例3】 (2016·浙江卷)如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面
BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE =EF =FC =1,BC =2,
AC =3.
(1)求证:BF ⊥平面ACFD ;
(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.
探究提高 (1)用传统法求解二面角的关键是:先找出二面角的平面角,再在三角形中求解此角.
(2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补,在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下,这种方法具有一定的优势,但要注意,必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”,在用法向量法求二面角的大小时,务必要作出这个判断,否则解法是不严谨的.
【训练3】 (2018·绍兴仿真考试)四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD
是边长为2的菱形,∠ABC =60°,E 为AB 的中点,P A ⊥平面
ABCD ,PC 与平面P AB 所成的角的正弦值为64.
(1)在棱PD 上求一点F ,使AF ∥平面PEC ;
(2)求二面角D-PE-A 的余弦值.
1.两条直线夹角的范围为????
??0,π2.设直线l 1,l 2的方向向量分别为n 1,n 2,其夹角为θ,则cos θ=|cos n 1,n 2|=|n 1·n 2||n 1||n 2
|. 2.二面角的范围为[0,π].设半平面α与β的法向量分别为n 1与n 2,二面角为θ,则|cos θ|=|cos n 1,n 2|=|n 1·n 2||n 1||n 2
|. 3.利用空间向量求解二面角时,易忽视二面角的范围,误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角,导致出错.
4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性,能把“非运算”问题“运算”化,即通过直线的方向向量和平面的法向量,把立体几何中的平行、垂直关系,各类角、距离以向量的方式表达出来,把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征,进而建立空间直角坐标系,通过向量的运算解答问题,达到几何问题代数化的目的,同时注意运算的准确性.
1.(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,∠BAD=90°.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
3.(2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别
为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到
达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
4.(2018·江苏卷)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
5.(2018·全国Ⅱ卷) 如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=22,P A
=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角MP AC为30°,求PC与平面P AM 所成角的正弦值.
6.(2018·北京卷)如图,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC , D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB =BC =5,
AC =AA 1=2.
(1)求证:AC ⊥平面BEF ;
(2)求二面角BCDC 1的余弦值;
(3)证明:直线FG 与平面BCD 相交.
7.如图,在四棱锥P ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD , P A =PD ,AB ⊥AD ,AB =1,AD =2,AC =CD = 5.
(1)求证:PD ⊥平面P AB ;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;
(3)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ?若存在, 求AM AP 的值;若不存在,说明理由.
立体几何空间角
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1:异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 (1)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 (2)一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0 ?的角 (3)直线和平面所成角的范围是[0?,90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则 叫做二面角的平面角. 注:①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究: 1、如图:表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-, 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中,2 AD BC ==,,E F分别是, AB CD的中点,3 EF=, 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中,求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩 形,AD⊥PD,BC=1, ,PD=CD=2. (I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD; (III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 : 如图 , 在 三棱锥 P ABC -中, PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC (Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ; (Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值; (Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=,∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . (Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1 2 DE BC = , 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD AB = , ∴在Rt △ABC 中,60ABC ? ∠=,∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中,sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==, 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。 因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ?=,所以AD ⊥ 平面DEF 。
高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1) 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围:,平移相交(找平行线替换)求法:向量法??? ??20π, 2) 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0,2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3) 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围:定义法(即垂面法)作二面角平面角的方法:三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时,n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时,n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中,若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解:法一:如图一所示, 设O为C B 1 、B C 1 的交点,D AC 为的中点,则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则,于是在DOB ?中, 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二:取 11 A B的中点O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位,则由
文科立体几何面角二面角专题-带答案
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、解答题 1.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值. 2.如图,在三棱锥中,,,为的中点.(1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. 3.(2018年浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1; (Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 4.如图,在三棱柱中,点P,G分别是,的中点,已知⊥平面 ABC,==3,==2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值; (II)求证:⊥平面; (III)求直线与平面所成角的正弦值. 5.如图,四棱锥,底面是正方形,,,,分别是,的中点.
(1)求证; (2)求二面角的余弦值. 6.如图,三棱柱中,侧棱底面,且各棱长均相等.,,分别为棱,,的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求直线与直线所成角的正弦值. 7.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠AB D=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF. (Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF; (Ⅱ)若二面角C BF D的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值. 8.如图,在四棱锥中,平面,,,
,点是与的交点,点在线段上,且. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9.在多面体中,底面是梯形,四边形是正方形,,,,, (1)求证:平面平面; (2)设为线段上一点,,求二面角的平面角的余弦值. 10.如图,在多面体中,四边形为等腰梯形,,已知,,,四边形为直角梯形,,. (1)证明:平面,平面平面;
立体几何之空间角(经典)
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点:运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点:二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:o o 900≤<α; 注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为o 0; ②线面垂直:线面所成的角为o 90; ③斜线与平面所成的角:范围o o 900<<α;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:S S ' cos =θ;其中θ为二面角βα--l 的大小,S 为α内的一个封 闭几何图形的面积;'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点. EF平面P AD; (1)求证:// (2)当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时, EF平面PCD? 直线 例2已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2a,AB = a, F为CD的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求异面直线AC,BE所成角余弦值; (Ⅲ)求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
建立空间直角坐标系-解立体几何题
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.