均匀与非均匀采样下信号的周期检测

中山大学硕士学位论文均匀与非均匀采样下信号的周期检测姓名：朱锦华申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：冼军20090601论文摘要本篇硕士论文主要讨论的是采用Ｈ丌方法和Ｌｏｍｂ．Ｓｃａ嘈ｅ方法对模拟信号的周期进行检测。众所周知，时间序列的周期表达式对基因工程来｝兑，意义十分重大，我们通常应用ＦＦｒ算法实现对均匀采样周期函数的周期检测，这种检测方法可以说是理想化的，毕竟通过实验采样而得到的数据不仅含有噪音（操作过程误差，实验仪器测量误差造成的噪音等等），而且采样得到的数据并非是均匀采样的，这就给模拟信号的周期检测的过程造成不便。通常情况下经过有限点列采样后进行插值，经过均匀化后再检测其周期性，但是插值过程造成的局部或整体误差很大。本文主要通过Ｌ０ｍｂ．Ｓｃａ珂ｅ的方法对模拟信号进行周期性检测。同时对比ｎ可方法与ｈｍｂ．Ｓｃａ唧ｅ方法的优缺点，并通过数值模拟实验数据来分析各种方法的优缺点。最后，对于含有噪音列的周期性采样点集，本文也设法通过滤波器方法直接过滤噪音，对过滤后的非均匀采样集，如何才能使用ＦＦｒ方法对其进行周期性检测呢？由此，本文首先采用三次样条函数对非均匀采样集进行均匀化插值，再采用ＦＦｒ方法对处理后的数据进行周期检测。其次，本文第三章内容引进平移不变空间的性质，对周期性模拟信号进行局部快速重构，再均匀化选取部分数据进行周期检测，用ＦＦｒ方法检测周期性数据的差异，以及讨论这种局部重构方法是否能够实现对采样集的均匀化处理。实验数据结论说明，这两种均匀化处理方法都取得了良好效果，而且，平移不变空间的局部重构法，可以直接对噪音采样集进行重构处理，显示出比三次样条插值法更为简洁的有效方法。由于基因表达的时间序列理想模型是余弦曲线（见【４４】），所以本文着重就对余弦性质的模拟信号进行周期性检测，但是，Ｉ，Ｓ方法和ＦＦｒ方法对周期性的非余弦性质的模拟信号的周期检测效果如何呢？本文采用太阳黑子的数据进行分析，最后的模拟实验数据结果说明，这两种方法对非余弦性质的周期函数检测，仍然有效可行。关键词：功ｍｂ．Ｓｃａｒｇｌｅ方法，快速傅立叶变换，三次样条插值，均匀采样，非均匀采样，平移不变空间，生成子。Ｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｅｘｐｆｅｓｓｉｏｎｏｆｇｅｎｅｉｓ觚ｉｄｅａｌｃｏｓｉｎｅｃｕⅣｅ，ｓ０ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ

ｍａ瑚ｙ

ｆｏｃｕｓｅｓｏｎｄｅｔｅＣｔｉｎｇｔｈｅｐｅｒｉｏｄｏｆｔｈｅｓｉｇｎａｌｗｉｔｈｔｈｅｎａｔ塞ｍ耄耋萎琴ｉ羹主。京霎纠薹妻；蚕薹登羹

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五四运动促进了马克思主义在大学中的传播；第四五四运动影响了近代中国教育模式的转变。还有学者对国外五四运动的研究状况做了梳理和研

究，李春来的《西方学者五四运动研究述评》认为对于五四运动的研究，无论是中国大陆的学者还是西方国家的

学者都非常重视。作为海外中国学研究重镇的西方学界。

多年来对五四运动的研究取得了巨大的成就。无论是从学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：抹钾哗日期：即降多月弓日ｌ

学位论文使用授权声明

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入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论学位论文作者签名：童澎牵年翩签名：冼蓼～

日期：哆年占ｑ；日＼中山大学硕士学位论文而Ｍ的选择依赖于相对独立的频率Ⅳｏ，经过多次的蒙特卡罗（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ）模拟实验可以检测出Ｍ和Ⅳｏ的关系，采用最小平方公式估计出频率数量Ⅳｏ和实验次数Ｎ的关系如下：（见【１】）Ⅳｏ一一６．３６２＋１．１９３Ⅳ＋０．０００９８Ⅳ２２．２ＦＩ呵方法介绍由于分布理论的引进，傅里叶级数可以作为傅里叶积分的一种特殊情况从理论上导出。这种方法是有意义的，因为它是把离散傅里叶变换看作为离散傅里叶积分的一种特殊情况的基础，这种方法对离散傅里叶变换是采样波形的傅里叶变换的理解也同样基础的意义。下面用一个表示式把一个周期为瓦的周期函数ｙＯ）表示成一个傅里叶级数。一．），ｏ）一等＋Ｚｈ

ｃｏｓ（幼·，靠）＋吃ｓｉｎ（幼·吮）】

（２－２．１）

其中厶一軎的基频。各正弦曲线的幅值或系数由下列积分给出％。钨儿灿文加舭∥Ｉｏ＾２’３’…通过应用恒等（２．２．２）

吃。缸摹ｙｏ）ｓ址（纫·瞬渺，加ｏ＇垅轧。

叫纫·哪）一三＠胁哪仃胁哪）＇ｓｉｎ（幼·，靠）一寺ｐ胁哪ｑ。撕哪），从而表示式（２．１．１）可写为

（２．２．３）

），（ｆ）一≥＋三薹【（口。一以）Ｐ胁哪＋（％＋以）Ｐ。押嘲】（２．２．４）

引入ｎ的负值，定义（见【４１】）如下：

第４页共６３页中山大学硕上学位论文口一－鹈ｙ帅ｓ（－纫·吮渺。去鹰ｙ＠ｃｏｓｃ纫·矾ｒ渺

一口。，刀一Ｏ，Ｌ２，３＇…，，墨Ｌ。携ｙ∽ｍ（勘·删班

，’互一私摹ｙ㈣ｎ（幼·吮渺

一—吃，厅。１’２，３，…因此我们可以写成

酗ｅ。～。荟∥～善吃ｅ。加虬一薹如胁嗍

将（２．１．６）代入方程（２．１．４）得到

（２．２．５）（２．２．６）ｙｍ警专耋№一璁妙哪】－∑叩胁哪其中口。一去（ｑ一线），疗－ｏ，±１’±２，…结厶方程式（２．１－２．）’砸Ⅱ％。艟ｙ缈黼蛳一呲珠（２．２．７）

以上推导可知，用指数形式可以简洁地表示傅里叶级数的表示式，同时，本文引进等距脉冲函数的定义（见【３０】）如下：６０一％）｝ｏ，ｆ，气，姒。６ｐ一％渺一１则脉冲函数具有积分性质如下：Ｌ６０一气Ⅻｏ渺ｔ≯瓴），其中≯Ｏ）是一个在ｆｏ点连续的任意函数。

第５页共６３页中山大学硕士学位论文以写成Ｊ｝ｌＯ）△。Ｏ），△。Ｏ）是时域采样函数，采样间隔是瓦。从而采样函数为』｝ｌｏ）△。ｏ）一ＪＩｌｏ）．∑６０一尼ｒ）一．∑ＪＩｌ旧）６（ｆ一后丁）（２．２．８）

其次，做矩形函数ｘ（ｆ）；Ｊ１一；“＜瓦一吾与采样函数相乘，从而对已采样ｌｏ其它

㈤啪㈨一【耋煅ｍ“ｚ）ｐ。荟＾（七丁）６（ｆ一七丁）（２·２－９’

其中Ⅳ一争。在时域截断的结果是在频域内出现波纹。最后对傅里叶变换进行采样，在时域内这个乘积等于己采样波形与时间函数Ａ，１０ｆ）一死妻６０一，．瓦）的卷积，从而得到胁（ｆ）△。ｏ弦ｏ）］事△。ｏ）（２．２·１０）

因此有丽－瓦耋》㈣ｍ小叫旺２ｍ）

对于以上傅里叶级数的讨论可知，Ｊ｝ｌＯ）的傅里叶变换是一个等间距脉冲的序列而々日（争

一塾町圳，其岷。丢

ｑ·援喁硫。榔如地扎±２”·（２．２－１２）

扣（２１．１１）式代入（２１．１２）式得到

第７页共６３页中山大学硕士学位论文％一援嗝瓦骓归ｍ嵋坩，卜儡蛳一ｏ，址２，－．．一剥蓑…¨咔汹蛹西晓２彤）

－罗＾∞户。掀吖毛岗

将瓦一胛代入上式得％２乏＾㈣Ｂ叫～儡。荟＾（七丁声。删胪ｏ，虬（２．２．１４）

从而得到（２．１－１４）的傅里叶变换为日（焉一一薹薹办＠ｚ弦吖掀，Ⅳ６（厂一，吮）可以证明上式是周期为Ｎ的傅里叶变换，即日（静一日喏）（２．２．１５）

所以方程式（２．１－１５）只需对Ｎ个不同值进行计算；日（焉＿）是以Ｎ个采样点为一个周期的周期性函数。故上式的傅里叶变换可以等价的表示为日臼一薹＾泔∥～，咒一ｏ＇协．．，Ⅳ一１（２．２－１６）

Ｗ譬一ｅ－ｊ∞憾Ｎ即取。日ｏ）ｌ芝ＪＩｌ＠孵加０，‰，Ⅳ－１＋‘２各１７）

岗表达式（２．１．１７）通过连续傅里叶变换把时域上的Ｎ个采样点和频域上的Ｎ个采样点联系起来，因此，离散傅里叶变换是连续傅里叶变换的特殊情况。傅立叶变换（ＤＦｒ）在数字信号中起着重要的作用，但是直接计算工作量很大，由上式可以看出，ＤＦｒ的运算量需要将输入Ｎ个数据点ｈ（ｎ），经过与赠依

次相乘再求和，因此计算出Ｈ（ｎ）的值的总共计算量是Ⅳ２次复数相乘。在实际

第８页共６３页中山大学硕士学位论文数据处理中，由于Ｎ的值是很大的，所以计算机直接计算ＤＦＴ就要耗费较长的计算时间和占据整个计算机的储存容量，常常使得数据的处理既不经济又不及时。由于这个原因，１９６５年美国Ｃｏｏｌｅｙ和Ｔｕｋｅｙ（见【９】）为了计算ＤＦ．ｒ而提出的快速傅立叶变化（ＦＦｒ）发表以后，引起了世界各国广泛的注意，使得傅立叶变换运算速度在近２０年发展极快。ＦＦｒ仅仅是一种快速算法，其基本原理及计算公式是ＤＦｒ，其方法主要是采用傅立叶变换公式中变换系数孵的周期性和对称性的性质，将ｈ（ｎ）序列逐

次分解成较短的子序列来计算，减少计算过程中重复的不必要的计算，从而使得ＤＦｒ的计算速度提高了Ⅳｌｏｇ多倍。当然，该方法使得ＤＦｒ计算速度提高的同时，也使得某些数据的事后处理及系统的模拟研究进入到数据的实时处理，广泛的应用于数字系统的频谱分析。在Ｍａｔｌａｂ中，其快速傅立叶变换的计算方式是先将序列样本（一般是２Ⅳ个样本，如果样本数不足，可以增添一定量的值为Ｏ的样本点，使其个数达到２Ⅳ，如果多余，可以适量截断样本点，这样可以方便ＤＦｒ计算，但不影响计算结果。）套入快速傅立叶变换公式，再利用变换系数的周期性和对称性，将计算过程化简。即使２Ⅳ点的Ｄ兀＇分解成２么点的ＤＦｒ并逐步化简，从而计算出全部Ｈ（ｋ）。

当然，也可以采用计算接近样本数为２Ⅳ的样本点的傅立叶变换，再将剩余点数进行ＨＴ计算。

２．３三次样条函数插值方法介绍对于样本点｛“，咒）长ｏ，构造三次样条函数满足

Ｓ＠）一％Ｇ），．．工∈【气，气】＇‰·Ｊ∈【气，刎，（２．３．１）

：

％一。０），。Ⅸ∈吨一，，乙】

其中墨一。（‘）一墨一，（‘），ｆｓ

１’２，…，以一１．

由于有ｎ个三次多项式，每个多项式有４个未知系数，所以样条函数总共有

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