高中数学导数几何意义的必会题型
导数几何意义的必会题型
[题型分析·高考展望] 本部分题目考查导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x 0，y 0)的切线还是在点(x 0，y 0)处的切线．
体验高考
1．(2016·四川改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝?
????
－ln x ，0
线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是________． 答案 (0,1)
解析 ∵f (x )＝?
????
－ln x ，0 ln x ，x >1， ∴f ′(x )＝??? －1 x ，0 1 x ，x >1. 若k 1·k 2＝－1，则两个切点一个在x ∈(0,1)的图象上为P 1，一个在x ∈(1，＋∞)的图象上为P 2. 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则k 1＝－1x 1，k 2＝1 x 2. ∵k 1k 2＝－1，∴x 1x 2＝1. 令x 1＝x 0(0 x 0. ∴P 1(x 0，－ln x 0)，P 2??? ?1 x 0 ，－ln x 0. ∴l 1：y ＋ln x 0＝－1x 0(x －x 0)?y ＝－1 x 0x ＋1－ln x 0， ∴A (0,1－ln x 0)． l 2：y ＋ln x 0＝x 0(x －1 x 0)?y ＝x 0x －1－ln x 0， ∴B (0，－1－ln x 0)， ∴AB ＝1－ln x 0－(－1－ln x 0)＝2. 联立????? y ＝－1x 0x ＋1－ln x 0，y ＝x 0x －1－ln x 0， 得P ? ????2x 0x 20＋1，x 20－1x 20＋1－ln x 0. ∴S △P AB ＝12·2|x 0|x 20＋1·|AB |＝12·2x 0x 20＋1·2＝2x 0 x 20＋1 ＝ 2x 0＋ 1 x 0 . ∵x 0∈(0,1)，∴0＜2 x 0＋ 1x 0 ＜1，故S △P AB ∈(0,1)． 2．(2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2) 处的切线方程是________． 答案 2x －y ＝0 解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x － 1＋x ， 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝e x － 1＋x . 因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x － 1＋1，所以f ′(1)＝2， 所以曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 3．(2016·课标全国甲)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln2 解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1 x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2 x 2＋1 (设切点横坐标为x 2)， ∴??? 1x 1 ＝1 x 2＋1， ln x 1 ＋1＝ln (x 2 ＋1)－x 2x 2 ＋1 ， 解得??? x 1＝1 2，x 2 ＝－1 2 ， ∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2. 4．(2015·天津)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间； (2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )； (3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a 3＋1 34. (1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0,0)， 则x 0＝13 4，f ′(x 0)＝－12. 曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)·(x －x 0)， 即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)． 令函数F (x )＝f (x )－g (x )， 即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)． 由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减． 又因为F ′(x 0)＝0， 所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明 由(2)知g (x )＝－12(x -13 4). 设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋1 34. 因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′. 类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x . 对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )． 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a 4. 因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增， 且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1， 由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3 ＋1 34. 5．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1 x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2 ＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1) x ＋1， 则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2 ，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此g (x )>0； ②当a >2时，令g ′(x )＝0得， x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]． 高考必会题型 题型一 直接求切线或切线斜率问题 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝______. (2)曲线y ＝x e x －1 在点(1,1)处切线的斜率等于______． 答案 (1)1 (2)2 解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 在点(1，f (1))处的切线方程为 y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1. (2)∵y ＝x e x －1 ＝x e x e ， ∴y ′＝1e (e x ＋x ·e x )＝1 e ·e x ·(x ＋1)， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2，即2x ＋y ＋1＝0. 点评 导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0. (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 变式训练1 (2016·课标全国丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是____________． 答案 2x ＋y ＋1＝0 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1 x －3， f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0. 题型二 导数几何意义的综合应用 例2 (2015·山东)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2 e x .已知曲线y ＝ f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与 直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值； (2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由； (3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2， 又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，即f ′(1)＝a ＋1＝2，所以a ＝1. (2)当k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2 e x ， 当x ∈(0,1]时，h (x )＜0. 又h (2)＝3ln2－4e 2＝ln8－4 e 2＞1－1＝0， 所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1 x ＋1＋x (x －2)e x ， 所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞1－1 e ＞0， 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增， 所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )， x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝???? ? (x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞). 当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1 x ＋1＞0， 可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0)． 当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x ) e x ， 可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增； x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减． 可知m (x )≤m (2)＝4 e 2，且m (x 0)＜m (2)． 综上可得，函数m (x )的最大值为4 e 2. 点评 已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解． 变式训练2 (2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点； (3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3 a －2 e －1. (1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ，?x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立． ∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间． (2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ，且a >1， ∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0， ∴f (x )在(0，a )上有一零点． 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点． (3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝0e x (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1， 把x 0＝－1代入y ＝f (x )得y 0＝2 e －a ， ∴k OP ＝a －2 e . f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2 e ， 令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1. 令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增， 令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (m )min ＝g (0)＝0. ∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2 e ≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤ 3 a －2e ，即m ≤3a －2 e －1. 高考题型精练 1．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴? ???? y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1,0)， ∴f ′(1)＝1＋ln1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x ) 图象的切点为(1，f (1))，则m 等于________． 答案 －2 解析 ∵f ′(x )＝1 x ， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ， 设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m <0)， 于是解得m ＝－2. 3．已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为________． 答案 π4 解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P (x ，y )处的切线的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x ＞0，故2x ＋2 x ≥2 2x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2 x ，即x ＝ 1时取等号)，所以f ′(x )＝2x －3＋2 x ≥4－3＝1，即直线l 的斜率的最小值为1，此时直线的 倾斜角取得最小值π 4 . 4．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________． 答案 3x ＋y ＝0 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 又f ′(x )是偶函数，∴a ＝0，即f ′(x )＝3x 2－3. ∴k ＝f ′(0)＝－3， ∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为3x ＋y ＝0. 5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________． 答案 13 解析 因为y ′＝－2e －2x ，∴曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴ 切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A ???? 23，23， 所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13 . 6．若曲线f (x )＝13ax 3＋1 2bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上不存在斜率为0的切线，则f ′(1)b －1的取值 范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(1)b －1＝a ＋b ＋c b －1＝a ＋c b .函数f (x )图象上不存 在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2－4ac <0，即ac >b 24，所以a ＋c b ≥2ac b > 2b 2 4 b ＝1，即f ′(1)b －1＝a ＋c b 的取值范围是(1，＋∞)． 7．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1 x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________． 答案 (1,1) 解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1 x (x >0)的导 数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1 m 2 (m >0)，因为两切线垂直， 所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． 8．已知f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ，则f (x )的图象在点(23，f (2 3))处的切线斜率是________． 答案 －1 解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(2 3)x －1， 令x ＝23 ， 可得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×2 3－1， 解得f ′(2 3 )＝－1， 所以f (x )的图象在点(23，f (2 3 ))处的切线斜率是－1. 9．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案 27 8 解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式得， －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝3 2. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝27 4 －a ， 由题意它们互为相反数，得a ＝27 8 . 10．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________． 答案 x －y －2＝0 解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0. 11．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1 4，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线； (2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数． 解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即????? x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0， 解得??? x 0 ＝1 2， a ＝－3 4. 所以当a ＝－3 4时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)内无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5 4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x ) 的零点； 若a <－5 4，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． (ⅰ)若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)内无零点，故f (x )在(0,1)上单调． 而f (0)＝14，f (1)＝a ＋5 4，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1) 内没有零点． (ⅱ)若－3 ?? ? 0， －a 3上单调递减， 在( －a 3 ，1)上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ( －a 3)＝2a 3 －a 3＋14 . ①若f ( －a 3)>0，即－3 4 4 ，则f (x )在(0,1)内有唯一零点； ③若f ( －a 3)<0，即－3 4 时，f (x )在(0,1)内有两个零点；当－3 4 时，f (x )在(0,1)内有一个零点． 综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－5 4时，h (x )有两个零点；当－