液体在缝隙中的流动.

第七章 液体在缝隙中的流动在液压传动和机械润滑等方面，经常需要利用缝隙流的理论计算泄漏量和阻力损失。

凡有相对运动的两个零件或零件间，必然有一定的间隙（或称缝隙），如活塞与缸筒间的环形缝隙、轴与轴承间的环形缝隙、工作台与导轨间的平面缝隙，圆柱与支承面间的端面间隙等等。

这些间隙确定的合理直接影响到机械的性能。

缝隙流动对液压传动的影响尤其显著。

油泵、油马达、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动问题。

缝隙过小则增加了摩擦，缝隙过大又增加了泄漏。

因此，正确分析液体在缝隙中的流动情况，合理地确定间隙的大小，是非常重要的问题。

下面就平行平面缝隙、环形缝隙以及环形平面缝隙等分别加以研究。

7.1流经平行平面的流动两平行平面夹成的缝隙称为平行平面缝隙，沿缝隙宽度上各流线互相平行的流动称为平行流动。

在液压技术上，齿轮泵齿顶与泵壳之间的流动，滑块与滑动导轨之间的流动等，均属于这种流动。

由于液体都有一定的粘性，而间隙很小，故雷诺数一般低于临界值，液压传动装置中的平面缝隙的雷诺数均在1000～2000以下，故属于层流。

设有两块平行平面相距h ，长度为l ，宽度为b ，b h <<；l b <<；其间充满油液从一端向另一端流动。

在缝隙流中取一微元流体y x b d d ，作用其上的各种力如图7-1所示。

在缝隙流中设直角坐标如图7-1，于是沿流动方向（x 轴）可列出力的平衡方程如下 0d d y -d d d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-x b y x b y b x x p p y pb τττ 化简后得y∂∂=∂∂-τx p （7.1.1） 由于平行平面流动的p 仅是τ、x 仅是y 的函数，故上式可改写为xpd d dy d -＝τ （7.1.2） 根据牛顿内摩擦定律有 yud d μτ-= 22d d dy d yuμτ-= （7.1.3）代入式（7.1.2）得xpy u d d 1d d 22μ= （7.1.4）式中，xpd d 为压力在x 轴方向的变化率，如果沿缝隙长度l 的压力降为p ∆，则lp x p ∆-=d d lpy u μ∆=22d d （7.1.5） 将上式对y 进行两次积分可得 2122C y C y lp u ++∆-=μ （7.1.6） 式中，C1、C2为积分常数，由边界条件确定。

7.1.1两平行平面不动，0≠∆p如图7-1所示，当两平行平面不动，0≠∆p （21p p >），即靠两端的压力差来产生流动的，为压差流或泊肃叶流。

这种流动的边界条件是2h y +=时，；0=u 2hy -=时，0=u ，分别代入式（7.1.6），解联立方程可得相应的两个积分常数01=C 228h lp C μ∆=将C1和C2的值代入式（7.1.6）得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=2242y h l p u μ （7.1.6） 上式说明，在平行平面中间，任意过水断面上的速度u 是按抛物线规律分布的（如图7-2）。

0=y 处有最大流速max u 为2max 8h lp u μ∆=（7.1.8） 通过缝隙的流量为⎰⎰+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆==222222d 42d hh h h y y h l p b y Q μ 即p lbh Q ∆=μ123（7.1.9）缝隙断面上的平均流速v 应为p lh bh Q v ∆==μ122（7.1.10）平均流速与最大流速之比32max =v v （7.1.11） 由式（7.1.10）流体流过缝隙的压力降（压力损失） 2v12h l p μ=∆ （7.1.12） 如以λ代表阻力系数，ρ代表液体密度，则上式可写为2v 22ρλh l p =∆ （7.1.13）从式（7.1.12）和式（7.1.13）可知 Re96=λ （7.1.14） 式中，Re 为雷诺数，νμρvhvh22Re ==。

7.1.2上平面以速度U 移动，下平面固定不动，0=∆p如图7-3所示，当上平面以恒速度U 移动，下平面不动，0=∆p （21p p =），即靠上 平面移动而产生流动的，称为剪切流或库艾特流。

这时边界条件为 2hy +=时，U u = 2hy -=时，0=u分别代入式（7.1.6），解联立方程可得相应的两个积分常数为 hU C =1 3282h lp U C μ∆+=将C1和C2的值代入式（7.1.6）并考虑0=∆p ，得⎪⎭⎫⎝⎛+=y h U u 212（7.1.15） 上式表明，在两个平行平面之间的流体层流运动，其速度按直线规律分布。

如图7-3所示。

流经缝隙的流量为⎰⎰+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2222d 212d h h h h y y h U b y ub Q h bUQ 2=（7.1.16） 7.1.3 上平面以速度U 移动，下平面不动，0≠∆p当上平面以恒速度U 移动，下平面不动，0≠∆p （21p p >或21p p <），即前述压差流与剪切流叠加的情况。

如图7-4所示。

这时的边界条件为 2hy +=时，U u ±= 2hy -=时，0=u分别代入式（7.1.6），解联立方程可得相应的两个积分常数为 hU C ±=1 3282h lp U C μ∆+±= 将C1和C2的值代入式（7.1.6）得⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=24222U y hU y h l p u μ 或⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=1224222y h U y h l p u μ （7.1.17） 流量为b h U l ph y ub Q hh ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±∆==⎰+-212d 322μ （7.1.18）式中 “＋”――表示上平面移动方向与液体的流动方向相同；“－”――表示上平面移动方向与液体的流动方向相反。

由图7-4可以看出，这种平面之间的流速分布规律正是前面两种速度分布的合成。

7.2流经倾斜平面缝隙的流动两平面互不平行，流道高度沿流道方向缓慢变化，形成锲形缝隙，缝隙的高度逐渐减小的缝隙为渐缩缝隙，缝隙高度逐渐增大的缝隙为渐扩缝隙。

图7-5所示，设倾斜平面缝隙入口处的高度为1h ，压力为1p ；出口处的高度为2h ，压力为2p ，上平面静止，下平面以恒速U 移动。

将坐标原点置于缝隙入口处，研究一距原点为x ，长为x d ，高为h 的微元缝隙。

由于x d 很小，故可认为此微元缝隙为平行平面缝隙即等高缝隙，因此式（7.1.4）仍成立，即xpy u d d 1d d 22μ= 将上式对y 进行积分，则得 2122C y C y lp u ++∆-=μ （7.2.1） 从图7-5 可以看出其边界条件为0=y 时，U u =h y =时，0=u分别代入式（7.2.1），解联立方程求得C1和C2后再代入（7.2.1），得hyh y x p h h y U u ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1d d 212μ （7.2.2）通过的流量xpbh bhU y ub Q hd d 122d 30μ-==⎰ （7.2.3） 从而就有32126d d bhQ h U x p μμ-＝ （7.2.4） 由于 αsin 1x h h += 式中，α为上平面对下平面的倾角。

所以h x d tan 1d α=)(tan 112h h l -=α代入式（7.2.4）整理得h h Uh bh Q p d tan 6d tan 12d 23αμαμ--=积分，并利用边界条件确定积分常数，得 )11(tan 611tan 612121h h U h h b Q p p --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=αμαμ （7.2.5） 利用边界条件，当1h h =时，2p p =，可得 )11(tan 611tan 612212212h h U h h b Q p p --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=αμαμ （7.2.6） （7.2.6）或 21212221222112tan 6tan 6h h h h U h h h h b Q p p p -+--=-=∆αμαμ （7.2.7） 流量公式U h h h bh p h h h h l b Q 21212122216++∆+=μ （7.2.8）如果上下平板均固定不动，式（7.2.5）、（7.2.7）及（7.2.8）分别变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=212111tan 6h h b Q p p αμ （7.2.9） 2221222112tan 6h h h h b Q p p p --=-=∆αμ （7.2.10） p h h h h l b Q ∆+=2122216μ （7.2.11）由式（7.2.9）可知，液体在倾斜平面缝隙中的压力分布，随沿程x 的变化而变化，对于收缩断面则如图7-2(a)所示，压力分布曲线为上凸，比平行平面缝隙中呈线性分布的压力为高。

对于扩展断面则如图7-6(b)所示，压力分布曲线为下凹，比平行平面缝隙中呈线性分布的压力为低。

7.3流经环形缝隙的流动由内外两个圆柱面围成的缝隙叫圆柱环形缝隙。

在液压技术上，油缸、柱塞或活塞缝隙中的流动，圆柱滑阀阀芯和阀孔缝隙中的流动等，均属于这种流动。

7.3.1 同心环形缝隙如图7-7(a)所示，当环形缝隙h 与直径d 相比很小时，完全允许把很小缝隙展开，近似看成是平行平面缝隙，此时缝隙宽度d b π=。

故这种同心环形缝隙的流量，可用平行平面缝隙的流量公式进行计算。

当0≠∆p ，内外环不动时，按式（7.1.9）即p ldh Q ∆=μπ123（7.3.1）当0≠∆p ，一环对另一环以速度U 轴向移动时，按式（7.1.18）即d h U l ph Q πμ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±∆=2123 （7.3.2）式中，当移动速度U 与油液通过缝隙的泄漏方向相同时取“＋”号，相反时取“－”号。

如图7-7(b)所示，当h r r =-21较大时，内外环不动，0≠∆p 的流量计算公式为()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---∆=12221224142ln 8r r r r r r l p Q μπ （7.3.3） 7.3.2 偏心环形缝隙在实际问题中，出现上述同心环形缝隙一般是不多见的，偏心环形缝隙却时常出现。

例如油缸与活塞之间的缝隙，滑阀芯与阀体之间的缝隙，由于受力不均匀，经常呈现偏心的现象。

如图7-8所示的偏心环形缝隙中，其中r 1、r 2 分别为内外环的半径，e 为两环的偏心距离。

设在任一角度ϕ时，两环表面的缝隙量为y ，y 是ϕ的函数，由于它是个微量，所以偏心距e 更是个微量。

从图中可以看出()ϕγcos cos 12e r r y +-=由于缝隙很小，角γ很小，故1cos ≈γ，于是上式可写为 ()ϕϕcos cos 12e h e r r y -=+-= 其中h r r =-21为同心时的环形缝隙量。