弹性力学 薄板弯曲
力和横向体力），板上面的边界条件为:
z z t q 2
将 z的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:
4 q
D
14
其中
D
12
Et 3
1
2
称为薄板的弯曲刚度。
薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。
15
第三节 横截面上的内力
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
yz
0 可知
u z
w x
0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
Ez
1 2
2
x
zy Ez 2 z 1 2 y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
12
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的
边长为dx和dy，载荷作用后，
弯成曲面A’B’C’D’。设A点
的挠度 为 ，弹性曲面沿x和
y方向的倾角分别为 和 ， x y
则
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
7
B点的挠度为 dx
x
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和 位移。
2
2w xy
所以应变分量又可写成
x kxz y kyz
xy kxyz
9
（2）物理方程
不计 z 所引起的应变，物理方程为：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
xy
21
E
xy
把应力分量用应变分量表示，得：
x
将上列二式对z 进行积分，得：
zx
E
2 1 2
z2
t2 4
x
2
zy
E
2 1 2
z2
t2 4
y
2
再由平衡微分方程第三式，得：
z zx zy
z x y
将 zx , zy 用挠度 表达式代入，并化简得：
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t
x
xy
E
1
2
xy
z
上式说明，主要的应力分量 x , y , xy 沿板的厚度线 性分布。
（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：
11
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
在薄板横截面上取一微分六面体， dy
其三边的长度分别为 dx, dy,t ,如图所
示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着
t 2
正应力 x和剪应力 xy, xz。由于 x 和
t 2
x
在板厚上的总和为零，只能分别合
y
成为弯矩
M
和扭矩
x
M
x
y
；而
x
只能合
z
成横向剪力Qx。
显然，在垂直于x 轴的横截面上，
x
y
于是应变分量用 表示为:
x
u x
2w x2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
8
小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的
曲率可近似地用挠度 表示为:
kx
2w x 2
ky
2w y 2
kxy
z
z
E
21 2
t2 4
z2
4
（1）
13
由于挠度 不随z 变化，且薄板有边界条件:
z z t 0 2
将（1）式对z 积分，得:
z
Et3
6 1 2
1
z
2
1
z
4
2 t t
设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面
xz 0,
yz 0
（3）板面为中性层假设
即
uz0 0, vz0 0
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
z 0
6
第二节 基本方程
按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知 量，把所有其它物理量都用 来表示。
4
第一节 基本假设
薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设： （1）板厚不变假设
垂直于中面方向的正应变 z 很小，可以忽略不计。
即 z 0
，由几何方程得
z
0 ，从而有：
x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。
（2）中面法线保持不变假设
5
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
E
1 2
x y
y
1
E
2
y x
xy
E
21
xy
10
将应力分量用挠度 表示，得：
x
1
E
2
2
x 2
2
y 2
z
y
E
1 2
2
y 2
2
x 2
z
1
第十二章 薄板弯曲
概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移
2
概述
薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的 最小尺寸b的比值满足如下条件。
1 ~ 1 ＜ t ＜ 1 ~ 1 80 100 b 5 8
第九章弹性薄板弯曲问题
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
薄板弯曲问题
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz
h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
清华大学弹性力学-薄板弯曲问题
t/2 t/2 y z dz
My
Qy
Mxy
Qx Mx
x
Myx
•扭矩 Mxy, Myx ：
使板截面z＞0上产生正号 剪应力xy， yx时为正。
xy xz
dy
x
z dx
•剪力 Qx, Qy ：
使板截面上产生正号剪 应力xz， yz时为正。
16
Mxy t/2 t/2 y
t 2
x
Mx
z dz z dx
(u v 0 ( z 0) )
10
2.物理方程：
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
2(1 ) yz yz E 2(1 ) zx zx E 2(1 ) xy xy E
Mx
t 2
z x dz
t 2
Et 3
2
12(1 ) x
(
2w
2
2w y
2
Байду номын сангаас
)
Et 3 2 w M xy z xy dz 12(1 ) xy t
2
17
Qx t/2 t/2 y z dz z dx
x
xy xz
dy
x
由于放弃了相应的物 理方程，需要依靠平 衡方程。
引入假设： z 0, xz 0, yz 0
8
w z 0 z
o
a A
M
z
x
b a’
A’
M’
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
弹性力学第八章 薄板弯曲
t 2
0
zy z t 2
0
2 t2 2 Ez zx z w 2 2(1 ) 4 x 2 t2 2 Ez zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
即
y xz yx z x y
z Ez t 2 2 4 z w 2 z 2(1 ) 4
2 3 Ez t z 4 积分得 z w F3 ( x, y ) z 2 2(1 ) 4 3
根据薄板下面内的边界条件： 可求得F3(x,y), 最后得到：
其中：
Et 3 D 12(1 2 )
4 w 2 2 w
§8-3 薄板横截面上的内力
x
z
yx
y
x
z
My
xy
xz
x
M xy
M yx
Mx
Qx
Qy
yz
y
t 2 t 2
y
t Ez 2 w 2w 2 2 M x z x dz z dz t 2 2 2 1 x y 2 2w 2w D 2 2 y x
yx
y b
0
Q
y
y b
0
因为薄板的挠度方程为一四阶偏微分方程，根据偏微 分方程的理论，在每个边界上只能有两个独立的边界 条件，这里的三个边界条件中后两个是有联系。根据 圣维南原理，可将扭矩和剪力用静力等效来代替。
M yx
M yx
M yx dx x
M yx d xd x M yx x
2 2 2 2 w w w 1 w 1 w 2 w 2 2 2 2 2 x y r r r r
第五章薄板弯曲
e
T
p( x, y)dxdy
其中[N]为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11) 决定。
当横向分布载荷为常值p时（均布载荷）， 对图5-5所示的矩形板单元，M yk
Zl
M xl 1 b 4 12
M yl a 12
Zm 1 4
M xm b 12 a 12
其中V为板的体积域。
将式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积 分，可得
1 2 1 1 U D p z dV 2 V
T
1 1 1 D dS 2 S
T
(5.6)
其中S为板中面的面积域，[D]为薄板弯曲的弹性 系数矩阵。 •由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的 弹性应变能为其曲率的二次型。 •板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯 曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。
N ( x, y) N k
Nl
Nm
Nn
(5.11)
对于图5-4所示的矩形单元，其 任一节点i的形状函数矩阵[Ni}是 一个1X3的行阵，表达如 (5.12)(p80)
单元刚阵
将式(5.10)代入式(5.1)，可得单元的曲率为
2 2 x2 1 e e N [ B] 2 y 2 2 xy
例如：在单元ij边界y=b (常数) 上 有
w( x, b) A0 A1 x A2 x A3 x
2
3
其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四 个条件wi,wj,
yi
w
及 x
i
yj
w
薄板弯曲问题
略不计。取 εz =0
，因而有：
• 因此，板内各点的挠度w 与z 坐标无关，只是x、y 的函数。
• 2. 直线假设
• 在薄板弯曲变形前垂直于板中面的直线，在簿板弯曲变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的中面。这说明在平行于中面的面上没有剪应变，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
• 3. 正应力假设 • 中面上的正应力远小于其他应力分量的假设：平行于中面的各层相互
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7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
• 或者写成标准形式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中 • 如果把形函数写成通式，即：
上一页 下一页 返回
7.2 矩形薄板单元分析
• 于是有：
• 其中，
上一页 下一页 返回
第八章 班级气氛的经营与管理
• 知道最好的一切，且将之发挥至极致，才 是成功的生活。
• 未来我们会创造一个更经济、更有效率的 世界，但是让人担心的是，人们却没有现 在过得幸福。
• 为学生营造良好的班级气氛，提供给学生优质的 学习和生活环境，让学生快乐、健康地在班级中 成长是班级管理者的义务和责任。
2022/8/29
24
一、班级气氛的涵义与作用
弹性力学 薄板弯曲
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
【弹塑性力学】6 薄板弯曲
c
y
Kx
w x 2
2
Ky
d
K xy
2w xy
• 薄板的应力分量
( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出
( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出 应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、 xy）很小， 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，
u 2w x z 2 x x
v 2w y z 2 y y
2
xy
v u w 2 z x y xy
y＝Kyz xy＝2Kxyz 于是应变全部给出
x=Kxz
z = yz = zx ＝0
e a
z
b 两个曲率和一个扭率
w y 2
代入方程22w=q
mx ny 4 q0 sin sin dxdy 0 0 a b Amn 2 2 m n 4abD( 2 2 )2 a b
a b
积分项为
q0 ab (1 cos m)(1 cos n) 2 mn
ny mx sin sin 16q 0 a b w 6 D m 1,3,5... n 1,3,5... m2 n2 2 mn( 2 2 ) a b
xz
Qx
t zx 2
t 2
t 2
dz
x z
xy yx
yz y
My
t 2
z y dz
M yx
t 2
t 2
y
z yx dz
Qy
t zy 2
t 2
dz
• 剪应力互等定理 xy = yx，
Mxy=Myx
弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程