111平面直角坐标系(坐标法)分解
y C
E
O (A) F
Bx
解：以△ABC的顶点Ａ为原
y
点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立
C
直角坐标系，由已知，点A、B、
F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F (c/2, 0). E
设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标
为(x/2,y/2) ，
O (A) F
Bx
由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，
的顶点。
变式训练 如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的
方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？
【小试牛刀 】
2. 已知A(1,1)和B(6,2)，求线段AB的垂直平分线l的方
程。
复习回顾 ——双曲线
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距 ．
则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) y
设P（x, y）为巨响为生点，
C P
故由PB在、BCC的同垂时直听平到分巨线响P声O上，得，|PC|=|PB|， B
o Ax
PO的方程为 y=－x ，
因A点比B点晚4s听到爆炸声，
故 |PA|－ |PB|=340×4=1360
设P（x, y）为巨响为生点，
C P
故由PB在、BCC的同垂时直听平到分巨线响P声O上，得，|PC|=|PB|， B
o Ax
PO的方程为 y=－x ，
列式并化简
因A点比B点晚4s听到爆炸声，
故 |PA|－ |PB|=340×4=1360
.
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
y C
P
B o Ax
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分 别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 究BE与CF的位置关系。
பைடு நூலகம்
即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0. 因为 BE = (x/2-c, y/2) ，CF = (c/2 - x, -y) 。
所以 BE CF (x/2 - c, y/2)·(c/2 - x, -y)
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4，=0 因此，BE与CF互相垂直.
观测点 信息中心
个观测点同时听到一声巨
y
响，正东观测点听到巨响
的时间比其他两个观测点
C
晚4s，已知各观测点到中
心的距离都是1020m，试
P
确定该巨响的位置。(假定
当时声音传播的速度为
340m/s，各相关点均在同 B
O
一平面上).
观测点 Ax
解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐 标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
E
E
O (A) F
B x (A) OF
B
x
练习，证明：三角形的三条高线交于一点
练习，证明：三角形的三条高线交于一点
1上
a= 680 , c=1020 , b2= c2-a2=10202-6802=5×3402 .
所以双曲线的方程为：
x2 6802
y2 5 3402
1( x 0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5,
即P(680 5,680 5 ), 故PO 680 10
说明
答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心 680 10m
答:巨响发生在信息中心的西偏北450, 距中心 680 10m
你能总结用坐标法解决问题的步骤 吗？
y C
P
B o
Ax
解：以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直建角系坐
标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) y 设点
第一讲 坐标系
【复习与回顾 】
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点A都可以由惟一的实数x确定
【复习与回顾 】
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点， 并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面 直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对 （x,y）确定
探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决
这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过 程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分 别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 究BE与CF的位置关系。
y C
y C
双曲线定义的符号表述：
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a<2c
F1 o F2
双曲线的标准方程
标准方程
x2 - y2 = 1a > 0 b > 0 y2 - x2 = 1a > 0 b > 0
a2 b2
a2 b2
不
图形
同
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于F1F2）的点的轨迹.
同 点
a、b、c 的关系
c2 = a2 + b2
焦点位置的判断 x2,y2前面的系数，哪个为正，则在哪一个轴上
直角坐标系实际应用
声响定位问题
观测点
某中心接到其正东、
正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两
【复习与回顾 】
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当 取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这 三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上 任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
z
R P
O
Q
y
M
P’
x
第一节 平面直角坐标系 ----坐标法
【小试牛刀 】 1. 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正方形
.
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1上
a= 680 , c=1020 , b2= c2-a2=10202-6802=5×3402 .
所以双曲线的方程为：
x2 6802
y2 5 3402
1( x 0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5,
即P(680 5,680 5 ), 故PO 680 10
《平面直角坐标系》优秀教案(精选12篇)
《平面直角坐标系》优秀教案《平面直角坐标系》优秀教案（精选12篇）教案是教师为顺利而有效地开展教学活动, 根据课程标准, 教学大纲和教科书要求及学生的实际情况, 以课时或课题为单位, 对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编为大家整理的《平面直角坐标系》优秀教案, 仅供参考, 欢迎大家阅读。
《平面直角坐标系》优秀教案篇1教材分析１、教材的地位与作用本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书, 七年级下册第6.1.2节平面直角坐标系又称笛卡儿坐标。
平面直角坐标系是图形与数量之间的桥梁, 有了它我们便可以把几何问题转化为代数问题, 也可以把代数问题转化为几何问题。
本章内容从数的角度刻画了第五章有关平移的内容, 对学生以后的学习起到铺垫作用, 6.1.2节平面坐标系主要是介绍如何建立平面坐标系, 如何确定点的坐标和由点的坐标寻找点的位置, 以及平面坐标系中特殊部位点的坐标特征, 根据学生的接受能力, 我把本内容分为２课时, 这是第一课时, 主要介绍如何建立坐标系和在给定的坐标系中确定点的坐标。
２、教学目标根据新课标要求, 数学的教学不仅要传授知识, 更要注重学生在学习中所表现出来的情感态度, 帮助学生认识自我、建立信心。
知识能力:①认识平面直角坐标系, 了解点与坐标的对应系；②在给定的直角坐标系中, 能由点的位置写出点坐标。
数学思考:①通过寻找确定位置, 发展初步的空间观念；②通过学习用坐标的位置, 渗透数形结合思想解决问题：通过运用确定点坐标, 发展学生的应用意识。
情感态度:①通过建立平面直角坐标系和确定坐标系中点的坐标, 培养学生合作交流与探索精神；②通过介绍数学家的故事, 渗透理想和情感的教育。
３、重难点根据本章知识内容以及学生对坐标横纵坐标书写易出错误, 确定本节重难点为:重点: 认识平面坐标系难点: 根据点的位置写出点的坐标一、教法分析针对学初一学生的年龄特点和心理特征, 以及他们现有知识水平, 通过科学家发现点的坐标形成的经过启迪学生思维, 通过小组合作与交流及尝试练习, 促进学生共同进步, 并用肯定和激励的言语鼓舞、激励学生。
1.1平面直角坐标系 (共31张PPT)
问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
Office组件之word2007
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
Office组件之word2007
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处 ，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管 理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
Office组件之word2007
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 。
y
B
P o
C Ax
Office组件之word2007
解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
7.1.2平面直角坐标系111
平面直角坐标系具有哪些特征呢？
两条数轴：（一般性特征）
（1）互相垂直
y 6 5 4 3 2 1
（2）原点重合
-6 -5-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 -1 （3）通常取向上、向右为正方向 -2 -3 （4）单位长度一般取相同的 -4 -5 -6
活动： 自己建立一个平面直角坐标系.
（-，+）
（+，+）
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
（-，-）
Ⅳ
（+，-）
坐标轴上的点不属于任何象限.
观察
A(3, 2), B(-5,4), C(-3,-4), D(2,-5), E(6, 0), F(0, 3)
·
y
·
B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 · 6 -1 -2 -3 C · -4 D -5 -6
（3，-3） （0，-3）
B
C
小结：
这节课主要学习了平面直角坐标系的有关
概念.
1、会建立直角坐标系，并根据坐标找点，
会由坐标系内的点写坐标. 2、坐标平面内的点与有序数对一一对应. 3、了解坐标轴上（原点、x轴，y轴）以及 各象限内点的坐标的特点.
P45 第5 题 , 第7题
巩固练习：
四 象限;点（-1.5，-1） 1.点（3，-2）在第_____
-4
1
2
3
-2 -3
D
C
-4
快速说出图中各点的坐标
各象限内的点的坐标有何特征？
（-，+）
F(-7,2)
y
5 (-2,3) 4 C 3 2 1
（+，+）
B (5,3) A(3,2)
高中数学平面解析几何2.1坐标法学案
第2章平面解析几何坐标法学习任务核心素养1．理解平面直角坐标系中的基本公式．(重点)2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用．(重点、难点) 1．通过学习实数与数轴上的点的对应关系，培养直观想象的核心素养．2．借助距离公式和坐标法的应用，培养数学运算和数学建模的核心素养．笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的统称．相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系，如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系．两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系．笛卡尔二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确的表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守着代数公式．例如：已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．问题1：当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？问题2：当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？问题3：当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？请简单说明理由．知识点1 平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上两点间的距离公式如果数轴上点A 对应的数为x 1(即A 的坐标为x 1，记作A (x 1))，且B (x 2)，则向量AB →的坐标为x 2－x 1，数轴上两点之间的距离公式|AB |＝|AB →|＝|x 2－x 1|．如果M (x )是线段AB 的中点，则AM →＝MB →．数轴上的中点坐标公式x ＝x 1＋x 22．1．数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？[提示] 给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的． (2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，若M (x ，y )是线段AB 的中点，则AM →＝MB →，则直角坐标系内的中点坐标公式x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应． ( ) (2)数轴上起点相同的向量方向相同． ( ) (3)点M (x )位于点N (2x )的左侧． ( ) (4)数轴上等长的向量是相等的向量． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× [提示] (1)× 与有序实数对一一对应． (2)× 终点不一定相同． (3)× x 与2x 的大小无法确定． (4)× 方向不一定相同．2．(1)已知A (1，2)，B (2，6)，则AB 的中点坐标为____．(2)已知A (2，4)，B (－1，3)，则A ，B 两点间的距离为_____．(1)⎝⎛⎭⎫32，4 (2)10 [(1)设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝1＋22＝32，y ＝2＋62＝4，∴中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，4．(2)|AB |＝(2＋1)2＋(4－3)2＝10．]知识点2 坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．2．坐标法解决问题的一般步骤是什么？[提示] (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；(3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； (4)反演回去，得到几何问题的结论． 用图表示，如图建立适当的平面直角坐标系对简化计算很重要，应遵循以下原则：①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； ②如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； ③如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点； ④如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴．3．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：AM ＝12BC ．[证明] 如图，以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b ，0)，(0，c )．因为点M 是斜边BC 的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02，0＋c 2，即M ⎝⎛⎭⎫b 2，c 2．由两点间的距离公式，得|BC |＝(0－b )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝⎛⎭⎫b 2－02＋⎝⎛⎭⎫c 2－02＝12b 2＋c 2，所以AM ＝12BC ．类型1 数轴上的点与实数间的关系【例1】 (1)若点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，求x 的取值范围； (2)试确定点A (a )，B (b )的位置关系．[解] (1)由题意可知，点M (－2)位于点N (3)的左侧，且点P (x )位于点M (－2)，N (3)之间，所以－2<x <3．(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a ，b 的大小关系：当a >b 时，点A (a )位于点B (b )的右侧；当a <b 时，点A (a )位于点B (b )的左侧；当a ＝b 时，点A (a )与点B (b )重合．数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.[跟进训练]1．不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： (1)A (－3.2)，B (－2.3)； (2)A (m )，B (m 2＋1)； (3)A (|a |)，B (a )．[解] (1)因为－2.3>－3.2，所以A (－3.2)位于B (－2.3)的左侧． (2)因为m 2＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫m －122＋34≥34>0， 所以m 2＋1>m ，所以B (m 2＋1)位于A (m )的右侧． (3)当a ≥0时，|a |＝a ，则A (|a |)和B (a )为同一个点． 当a <0时，|a |>a ，则A (|a |)位于B (a )的右侧． 类型2 数轴上两点间的距离【例2】 已知数轴上点A ，B ，P 的坐标分别为－1，3，x ．当点P 与点B 的距离是点P 与点A 的距离的3倍时，求点P 的坐标x ．数轴上向量的数量与长度有何区别与联系？ [提示] |AB |＝d (A ，B )＝|x B －x A |，AB →＝x B －x A ．[解] 由题意知|PB |＝3|P A |，即|x －3|＝3|x ＋1|， 则3(x ＋1)＝x －3，① 或3(x ＋1)＝－(x －3)．② 解①得x ＝－3；解②得x ＝0． 所以点P 的坐标为－3或0．1．本例中若点P 到点A 和点B 的距离都是2，求点P 的坐标x ，此时点P 与线段AB 有着怎样的关系？[解] 由题意知|P A |＝|PB |＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|＝2，|x －3|＝2，解得x ＝1． 此时点P 的坐标为1，显然此时点P 为线段AB 的中点．2．本例中在线段AB 上是否存在点P (x )，使得点P 到点A 和点B 的距离都是3？若存在，求出点P 的坐标x ；若不存在，请说明理由．[解] 不存在这样的点P (x )．因为d (A ，B )＝|3＋1|＝4，要使点P 在线段AB 上，且d (P ，A )＝d (P ，B )＝3，则d (A ，B )＝d (P ，A )＋d (P ，B )，这是不可能的．数轴上的基本公式应用思路与方法(1)已知向量AB →，BC →，AC →中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用AC →＝AB →＋BC →求解．(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用AB →＝x B －x A 求解． (3)已知数轴上两点间的距离时，使用d (A ，B )＝|AB |＝|x B －x A |求解．[跟进训练]2．已知数轴上两点A (－2)，B (3)，则点A 关于点B 的对称点的坐标是( ) A ．12 B ．6 C ．8 D ．52C [设A 关于B 的对称点坐标为x ，则3＝－2＋x 2，∴x ＝8．]类型3 两点间距离公式的应用【例3】 (对接教材人教B 版P 68例1)已知△ABC 的三个顶点坐标是A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．(2)△ABC 的面积S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12×213×213＝26．判断三角形形状的常用方法(1)采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)利用两点间的距离公式，分别计算△ABC 三边的长度，根据三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[跟进训练]3．若等腰三角形ABC 的顶点A 是(3，0)，底边BC 的长为4，BC 边的中点为D (5，4)，求等腰△ABC 的腰长．[解] 因为|AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝25，在等腰△ABD 中，由勾股定理得，|AB |＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝26．所以等腰△ABC的腰长为26．类型4坐标法的应用【例4】如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|．[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2，故|AC|＝|BD|．坐标法可以将几何问题转化为代数问题，把复杂的逻辑思维转化为简单的运算，，建系时要遵循前面所讲的建系技巧.[跟进训练]4．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|．[证明]如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a ，0)，C (c ，0)，E ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式， 得|AE |＝⎣⎡⎦⎤c 2－(－a )2＋⎝⎛⎭⎫32c －02＝a 2＋ac ＋c 2，同理|CD |＝a 2＋ac ＋c 2，所以|AE |＝|CD |．1．下列各组点中，点C 位于点D 的右侧的是( ) A ．C (－3)和D (－4) B ．C (3)和D (4) C ．C (－4)和D (3)D ．C (－4)和D (－3)A [由数轴上点的坐标可知A 正确．]2．已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫32，2 B ．⎝⎛⎭⎫－32，－3 C ．⎝⎛⎭⎫－32，3 D ．⎝⎛⎭⎫32，－3 B [由中点坐标公式可以求得．]3．光从点A (－3，5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2，10)，则光从点A 到点B 的距离是( )A ．5 2B ．25C ．510D ．105 C [根据光学原理，光从点A 到点B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离．因为A (－3，5)，所以A ′(－3，－5)． 所以|A ′B |＝[2－(－3)]2＋[10－(－5)]2＝510．]4．若动点P 的坐标为(x ，1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的距离的最小值为________． 22[|OP |＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12， ∴当x ＝12时，|OP |min ＝12＝22．] 5．若x 轴正半轴上的点M 到原点的距离与到点(5，－3)的距离相等，则点M 的坐标为________．⎝⎛⎭⎫175，0 [设M (x ，0)(x ＞0)，则x 2＋02＝(x －5)2＋(0＋3)2，解得x ＝175，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫175，0．]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．应用两点间距离公式时要注意哪些问题？[提示] (1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致． (2)运算结果要进行开方化简． 2．如何利用中点坐标公式解题？[提示] (1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；(2)特别地，点A (x ，y )关于点P (a ，b )的对称点坐标为(2a －x ，2b －y )． 3．利用坐标法证明几何问题有何优势？[提示] 避免了作复杂的辅助线，将推理证明转化为数学运算．。
第1章 1 平面直角坐标系
§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。
课件2：§2.1 坐标法
B(x2)，则向量A→B的坐标为 x2－x1 ，数轴上两点之间的距离公式
|AB|＝|A→B|＝ |x2－x1| 轴上的中点坐标公式
x＝．如x1果＋2 xM2 (．x)是线段
AB
的中点，则A→M＝M→B．数
思考：数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ [提示] 给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴 上的点与实数是一一对应的．
§2.1 坐标法
学习目标
核心素养
1．理解平面直角坐标系 中的基本公式．(重点) 2．理解坐标法的数学思 想并能掌握坐标法的应 用．(重点、难点)
1．通过学习实数与数轴上的点 的对应关系，培养直观想象的核 心素养． 2．借助距离公式和坐标法的应 用，培养数学运算和数学建模的 核心素养．
【情境引入】
[解] (1)因为－2．3>－3．2， 所以 A(－3．2)位于 B(－2．3)的左侧． (2)因为 m2＋1－m＝m－122＋34≥34>0， 所以 m2＋1>m，所以 B(m2＋1)位于 A(m)的右侧． (3)当 a≥0 时，|a|＝a，则 A(|a|)和 B(a)为同一个点． 当 a<0 时，|a|>a，则 A(|a|)位于 B(a)的右侧．
2．坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然 后通过 代数运算 等解决问题的方法称为坐标法．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应． ( )
(2)数轴上起点相同的向量方向相同． ( )
(3)点 M(x)位于点 N(2x)的左侧．
规律方法 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
《平面直角坐标系》教案
《平面直角坐标系》教案精选平面直角坐标系教案。
教案课件在老师少不了一项工作事项，这就要老师好好去自己教案课件了。
教案是落实教学目标的有效手段，写一篇教案课件要具备哪些步骤？下面是我为大家整理的关于“《平面直角坐标系》教案”的资料，请保藏好，以便下次再读！《平面直角坐标系》教案篇1教学目标：1、理解平面直角坐标系的意义；把握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2、把握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学难点：能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题。
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按方案完成科学考察任务后，平安、精确的返回地球，从火箭升空的时刻开头，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上经常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要消失正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x，y）确定。
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x，y，z）确定。
三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满意：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画，即用”距离和方向”确定点的位置例2已知B村位于A村的正西方1公里处，原方案经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m、但在A村的西北方向400米出，发觉一古代文物遗址W、依据初步勘探的结果，文物管理部门将遗址W四周100米范围划为禁区、试问：埋设地下管线m的方案需要修改吗？1一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s，已知A、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s，求曲线的方程2在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程通过平面变换可以把曲线变为中心在原点的单位圆，恳求出该复合变换？2、利用平面直角坐标系解决相应的数学问题。
平面直角坐标系
x 12x y 3 0, ( x 6) y 33,
2 2
2
2
2+c2=5a2,BE,CF 例1.已知△ABC的三边a, b, c满足 b y 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 C 探究BE与CF的位置关系。 解：以△ABC的顶点Ａ为原 E 点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立 直角坐标系，由已知，点A、B、 Bx O ,(A) 0). F F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2
设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
因为BE =(x/2-c, y/2)， CF =(c/2 - x, -y)， (c/2 - x, -y) 所以 BE CF (x/2 - c, y/2)· =-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0
观测点
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) 设P（x, y）为巨响为生点， y 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C P 故P在BC的垂直平分线PO上， 的方程为 y=－ 即PO P( 680 5 ,680 5x ),， 故PO 680 10 B 因A点比B点晚4s听到爆炸声， o 10 A mx 答:巨响发生在信息中心的西偏北 450, 距中心 680 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上 a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
平面直角坐标系与表示方法
· （+，－） （－，－）
-2
E ( 1，- 2 )
-3
· · D ( -4，- 3 ) 平法面-4直角G坐标（系0和，表-示4）方
所有x轴上的点，坐标的特点是： 纵坐标均为0，可记作（x,0）。 所有y轴上的点，坐标的特点是： 横坐标均为0，可记作（0,y）。
平面直角坐标系和表示方法
平面直角坐标系和表示方 法
❖ 例如，××同学在第3行第4排．这样 教室里座位也可以用一对实数表示．
平面直角坐标系和表示方 法
学习目标：
1.知道并能画出平面直角坐标系； 2.会在平面直角坐标系中找出任意点的 坐标； 3.明确数轴上点的坐标特征和四个象限 内的点的坐标符号特征； 4.能利用象限点和坐标轴上点的特点解 决有关问题。
不属于任何象限 第_二__象限 1
y
( ＋ ，＋ ) 第_一__象限
各坐＋象标、限与－符中纵号点坐特的标点横的。第-_三3__-象2 限- 1 --
0
1
2
( － ，－ )- 3
1 2 3x
第_四__象限
(＋ ，－ )
平面直角坐标系和表示方法
有了平面直角坐标系,平 结论 面内的点就可能用一个
有序数对来表示了
原点 -2 -3
-4
在平面内取互相垂直的有公共 原点的两条数轴；取向右，向 上的方向为正方向；一般两条 数轴的单位长度相同．
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系和表示方 法
3、对平面内任意一点P，过点P向x轴，y轴
作垂线，垂足在__x_轴__上___对应的数叫做点P 的横坐标，在_y_轴__上____对应的数叫做点P的
8号”如何表示？（5，6）表示什么含义？
人教A版高中数学高三一轮第十一章选修内容111坐标系【素材】
坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离．解 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解化为平面直角坐标系：圆：x 2－2x ＋y 2＝0，即：(x －1)2＋y 2＝1. 直线：3x ＋4y ＋a ＝0. ∵直线和圆相切，∴|3＋a |32＋42＝1， ∴a ＝2或a ＝－8.3．在极坐标系中，已知点O (0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．解 设点Q (ρ，θ)为以OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt △OQP 中，ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，故所求圆的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程． 解 设动点P 的坐标为(ρ，θ)，则M (ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ. 又M 在直线ρcos θ＝4上，∴12ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P 的轨迹方程．5．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos (θ－π6)上的动点，试求PQ 的最大值． 解∵ρ＝12sin θ.∴ρ2＝12ρsin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos (θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴有x 2＋y 2－63x －6y ＝0， 即(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋（33）2＋（－3）2＝18.6．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．7．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，①②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程． 8．求圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．解 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)， 则OP ＝ρ，∠POA ＝θ－π6， OA ＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，OP ＝OA ×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 9．已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求线段AB 长的最大值．解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6；曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，其圆心为(33，3)，半径为6. 所以AB 长的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.10．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 11．已知圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解 由ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，故焦点到准线的距离为2. 12．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)消去参数，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1. ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(2)P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P 到直线l 的距离 d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2，其中cos φ＝45，所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为112 2.。