2019-2020学年川沙中学高三上期中数学试卷
2019-2020年高三上学期期中数学试卷 含解析(II)
2019-2020年高三上学期期中数学试卷含解析(II)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B 等于( )A．{5} B．{1，3，7}C．{2，8} D．{1，3，4，5，6，7，8}2．函数的定义域是( )A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}3．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是( )A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是( )A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=5．对命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A．∃x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥06．为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度7．如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值8．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是( )A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣29．已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则( )A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）10．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，则a的取值范围是( ) A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞） C．11．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣）=__________．14．函数的导数为__________．15．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=__________．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是__________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．18．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．19．某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为x包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？20．已知函数f（x）=（x2+1）（x+a）（a∈R），当f′（﹣1）=0时，求函数y=f（x），在上的最大值和最小值．21．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．22．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．2015-2016学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B 等于( )A．{5} B．{1，3，7}C．{2，8} D．{1，3，4，5，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用补集的定义求出C U A；再利用交集的定义求出（∁UA）∩B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，8}，∴C U A={1，3，4，6，7}∵B={1，3，5，7}，∴（∁UA）∩B={1，3，7}故选B【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补的混合运算．2．函数的定义域是( )A．{x|x＞6} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3≤x＜6}【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．【解答】解：要使函数有意义，x+3≥0，且6﹣x＞0∴|﹣3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|﹣3≤x＜6}故答案选D．【点评】函数定义域是各部分定义域的交集．3．已知p：2+2=5，q：3≥2，则下列判断中，错误的是( )A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．利用复合命题的真假判定方法即可判断出．【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：3≥2，是真命题．∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢p为真命题，￢q为假命题．∴C是假命题．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是( )A．y=x3B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y=x3在（﹣∞，0）上单调递增，为奇函数．不满足条件．B．y=cosx在（﹣∞，0）上不单调，为偶函数．不满足条件．C．y=ln|x|=在（﹣∞，0）上单调递减，为偶函数．不满足条件．D．y=在（﹣∞，0）上单调递增，为偶函数，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．5．对命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定正确的是( )A．∃x0∈R，x02﹣2x0+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】常规题型．【分析】通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．【解答】解：因为命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+4≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4＞0”．故选C．【点评】本题考查命题的否定的判断，注意全称命题与特称命题互为否命题．6．为了得到函数的图象，可以把函数的图象( )A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想．【分析】将题目中：“函数”的式子化成（x﹣1），对照与函数的关系即可得．【解答】解：∵函数化成：（x﹣1），∴可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象．故选D．【点评】本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．7．如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数C．在（4，5）上f（x）是增函数D．当x=4时，f（x）取极大值【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可【解答】解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减观察f′（x）的图象可知，当x∈（﹣2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误当x∈（4，5）时函数递增，故C正确由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误故选：C【点评】本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性8．曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是( )A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2【考点】导数的几何意义．【分析】已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．9．已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则( )A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化．【专题】转化思想．【分析】先利用函数的奇偶性求出f（2）=f（6），f（3）=f（5），再利用单调性判断函数值的大小．【解答】解：∵y=f（x+4）为偶函数，∴f（﹣x+4）=f（x+4）令x=2，得f（2）=f（﹣2+4）=f（2+4）=f（6），同理，f（3）=f（5），又知f（x）在（4，+∞）上为减函数，∵5＜6，∴f（5）＞f（6）；∴f（2）＜f（3）；f（2）=f（6）＜f（5）f（3）=f（5）＞f（6）．故选D【点评】此题主要考查偶函数的图象性质：关于y轴对称及函数的图象中平移变换．10．已知a＞0且a≠1，若函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，则a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，）∪（1，+∞） C．是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数．当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且16a﹣4＞0，此时，a无解．【解答】解：当a＞1时，由于函数t=ax2﹣x在是增函数，且函数t大于0，故函数f （x）=log a（ax2﹣x）在是增函数，满足条件．当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=ax2﹣x在应是减函数，且函数t大于0，故≥4，且 16a﹣4＞0．即a≤，且 a＞，∴a∈∅．综上，只有当a＞1时，才能满足条件，【点评】本题考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，复合函数的单调性，注意利用函数t=ax2﹣x在上大于0这个条件，这是解题的易错点．11．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为( )A．4 B．5 C．6 D．7【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x，y=x+2，y=2x的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【解答】解：10﹣x是减函数，x+2是增函数，2x是增函数，令x+2=10﹣x，x=4，此时，x+2=10﹣x=6，如图：y=x+2 与y=2x交点是A、B，y=x+2与 y=10﹣x的交点为C（4，6），由上图可知f（x）的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故选：C【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．12．已知函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣1，2）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x≤0，且函数单调递增，当x＞0时，f（x）=ln（x+1）＞0，且函数单调递增，故函数在R上为增函数，则不等式f（2﹣x2）＞f（x），等价为2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，故实数x的取值范围是（﹣2，1），故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，判断函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数的公式可得tan（β﹣）=tan=，代入已知数据化简可得．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=，∴tan（β﹣）=tan===，故答案为：．【点评】本题考查两角差的正切公式，角的整体代入是解决问题的关键，属基础题．14．函数的导数为．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则可得答案．【解答】解：∵∴y'==故答案为：【点评】本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．15．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．【考点】正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C ﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由图象的最高点与最低点易于求出这段时间的最大温差；（2）A、b可由图象直接得出，ω由周期求得，然后通过特殊点求φ，则问题解决．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30﹣10=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+∅）+b的半个周期，∴，解得，由图示，，，这时，，将x=6，y=10代入上式，可取，综上，所求的解析式为，x∈．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）+b的部分图象确定其解析式的基本方法．18．已知命题p：“∀x∈，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”，若命题“p 且q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】四种命题的真假关系．【分析】已知p且q是真命题，得到p、q都是真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，即△≥0，分别求出a的范围后，解出a的取值范围．【解答】解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈，∴a≤1 ①；若q为真命题，即x2+2ax+2﹣a=0有实根，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2 ②，对①②求交集，可得{a|a≤﹣2或a=1}，综上所求实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．【点评】本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，求解关于a的不等式．19．某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为x包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由年销售总量为6000包，每次进货均为x包，可得进货次数，进而根据每包进价为2.8元，销售价为3.4元，计算出收入，由每次进货的运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元计算出成本，相减可得利润的表达式；（2）由（1）中函数的解析式，由基本不等式，结合x的实际意义，可得使利润最大，每次应进货包数．【解答】解：（1）由题意可知：一年总共需要进货（x∈N*且x≤6000）次，∴y=3.4×6000﹣2.8×6000﹣•62.5﹣1.5x，整理得： y=3600﹣﹣（x∈N*且x≤6000）．（2）y=3600﹣﹣≤3600﹣2=2100（当且仅当=，即x=500时取等号）∴当x=500时，y max=3600﹣1500=2100（元），答：当每次进货500包时，利润最大为2100元．【点评】本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件计算出利润y（元）元表示为每次进货量x（包）的函数表达式是解答本题的关键．20．已知函数f（x）=（x2+1）（x+a）（a∈R），当f′（﹣1）=0时，求函数y=f（x），在上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】由f（x）=x3+ax2+x+a，知f′（x）=3x2+2ax+1，故f′（﹣1）=3﹣2a+1=0，所以a=2．由此能求出函数y=f（x），在上的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=x3+ax2+x+a，f′（x）=3x2+2ax+1，f′（﹣1）=3﹣2a+1=0，∴a=2.，由，得x＜﹣1，或x＞﹣；由，得．∴函数的递增区间是；函数的递减区间是．，∴函数f（x）在上的最大值为6，最小值．【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．21．已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．【解答】解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y'=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，∴y=x3﹣3x2+c，则y'=3x2﹣6x，令y'=3x2﹣6x＞0，解得x＜0或x＞2，令y'=3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；（2）由（1）可知，y'=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．22．已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（Ⅱ）证明当m≤2时，f（x）＞0，转化为证明当m=2时f（x）＞0．求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（﹣2，+∞）上为增函数，并进一步得到导函数在（﹣1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）＞0，从而结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．所以函数f（x）=e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）=e x（x+1）﹣1，则g′（x）=e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m=2时f （x）＞0．当m=2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）=0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）=0，得，ln（x0+2）=﹣x0．故f（x）≥=＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得∁U M={2，3，5，6}，则（∁U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解答】解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．【考点】函数的值． 【专题】计算题．【分析】利用f （x ）=1+，f （x ）+f （﹣x ）=2即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）==1+，∴f （﹣x ）=1﹣，∴f （x ）+f （﹣x ）=2；∵f （a ）=，∴f （﹣a ）=2﹣f （a ）=2﹣=．故选C ．【点评】本题考查函数的值，求得f （x ）+f （﹣x ）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC 中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0， E ，F 为BC 边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B ．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sin πx （﹣2≤x ≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可．【解答】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=﹣∴sinα+cosα==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，=×R××R2=，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，求解即可．（II）运用得出数列，等比数列的性质得出b n=na n．a n=n﹣1，再利用错位相减求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n 项和为S n，∴当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，S n=，∵S1，S3，S2成等差数列∴2S3=S1+S2，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，解得：，q=1（舍去）（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵b n=na n．a n=n﹣1∴b n=na n=4n×（）n﹣1∴T n=4[1+2×（﹣）+3×（﹣）2+…+（n﹣1）（﹣）n﹣2+n（﹣）n﹣1]﹣T n=4[1×（﹣）+2×（﹣）2+3×（﹣）3+…+（n﹣1）（﹣）n﹣1+n（﹣）n]错位相减得出T n=4[1+（﹣）+（﹣）2+（﹣）3+n﹣1]nT n=4[﹣n×（）n]，T n=×（1﹣（﹣）n）n（﹣）nT n=（﹣）n n（﹣）n【点评】本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，【分析】根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．2016年3月9日。
2019-2020年高三(上)期中数学试卷
2019-2020年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（xx•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=3．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c xx= 1951．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262，而c xx=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262∴c xx=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12]．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2+4n≥tn2，所以对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故xx年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则sinθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。
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川沙中学高三期中测试卷
一．填空题
1. 集合{}=⋂<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=M P x x M x x x P 则,9,032
2. 函数()()x x f -=2ln 的定义域为
3. 行列式6cos
3sin 6sin 3cos
ππ
π
π的值是
4. 计算：=+-+∞→n
n n
n n 4535lim 1 5. 高三毕业之际，有6位同学排成一排照相留念，其中甲乙二人相邻的概率是
6. 已知数列{}n a 的前n 项和()*∈=N n n S n 2，则8a 的值是
7. 已知⎭
⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2a ，若幂函数()αx x f =为偶函数，且在()∞+，0上递增，则=α
8. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：
小时）制成了如图所示的频率分布直方图，其中自
习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为
[17.5,20),[20,22.5).[25,27.5),[27.5,30]。
根据直方图,这
200名学生中，每周的自习时间不少于22.5小时的
人数是
9.若()7
3-1x 展开式的第4项为280，则=+++∞
→)(lim 2n n x x x Λ 10.在ABC Rt ∆中，AC AB =，点N M ,是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足→→=BC k PC ，当→
→⋅PN PM 取得最小值时，实数k 的值为
11.已知函数)1(22)(+=+x f x f ，当(]1,0∈x 时，2)(x x f =，若在区间(]1,1-内)1()()(+-=x t x f x g 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是
12.已知数列{}n a 满足0)1(1=a ，)2(对任意的*∈N n ，都有n n a a >+1成立，函数
[]1,,)(1sin )(+∈-=n n n n a a x a x n
x f 满足：对于任意的实数[)m x f m n =∈)(,1,0总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是
二．选择题
13. 若向量()()1,1,0,2==→→b a ，则下列结论中正确的是( )
A. 1=⋅→→b a
B. →→=b a
C.→→→⊥b b a )-(
D. →
→b a //
14. 汽车的‘燃油效率’是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲乙丙三辆汽车不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )
A.消耗一升汽油，一车最多可行驶5000米
B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速八十千米/小时，相同条件下，在该市相用丙车比用乙车更省油
15. 若b a ,是方程)0,0(02<>=+-q p q px x 的两个不同根，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于( )
A. 6
B.7
C. 8
D. 9
16.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线
段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x r .y u r 分别为点O 到两
个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax b y +r u r 的形式，则a b +的
最大值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
三，解答题
17.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）
已知直三棱柱，ABC C B A -111中,ο90,11=∠===BAC AA AC AB
(1) 求异面直线B A 1与11C B 所成角
(2) 求点1B 到平面BC A 1的距离
18.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分） 已知函数R x x x x x f ∈-+=,3cos 32cos sin 2)(2
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC 中，若2,1)(=⋅=→
→AC AB A f ,求ABC ∆的面积
19.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）
某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同。
（1）设第n 年的投入资金和收入金额分别为n a 万元，n b 万元，请求出{}n a ，{}n b 的通项公式。
（2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）
20. （本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分） 已知函数R x a x f x x ∈++=,1
22)( （1）当3-=a 时，求函数)(x f y =的零点
（2）根据a 的不同的取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由
（3）当2=a 时，且c b <时，证明：对任意的[])(),(b f c f d ∈，存在唯一的R x ∈0，使得d x f =)(0，且[]c b x ,0∈
21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）
对于项数)3(≥m m 的有穷数列{}n a ，若存在项数为1+m ，公差为d 的等差数列{}n b ，使得1+<<k k k b a b 其中m k Λ3,2,1=，则称数列{}n a 为“等差分割数列”。
（1）判断数列{}n a ：1,4,8,13是否为“等差分割数列”并说明理由，
（2）若数列{}n a 的通项公式为),....3,2,1(2m n a n n ==，求证：当5≥m 时，数列{}n a 不是“等差分割数列”，
（3）已知数列{}n a 的通项公式为)....3,2,1(34m n n a n =+=且数列{}n a 为“等差分割数列”，若数列{}n b 的首项31=b ，求数列{}n b 的公差d 的取值范围（用m 表示）。