4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)

4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)

1．相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高线、中线、对应角的角平分线之比都等于________．

2．重心的定义及性质：三角形三条________的交点叫做三角形的重心．三角形的重心分每一条中线成________的两条线段．

A 组 基础训练

1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为( )

A ．1∶2

B ．1∶3

C ．1∶4

D ．1∶8

2．如图，已知点D 是△ABC 的重心，则下列结论不正确的是( )

A ．AD ＝2DE

B ．AE ＝2DE

C ．BE ＝CE

D ．A

E ＝3DE

第2题图

3.如图，△ABC 中，E 在AD 上，且E 是△ABC 的重心，若S △ABC ＝36，则S △DEC 等于

( )

第3题图

A ．3

B ．4

C ．6

D ．9

4．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是( )

第4题图

A.56m

B.67m

C.65m

D.103

m 5．两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么相似比为________，对应边上的高之比为________，对应边上的中线之比为________，对应角的角平分线之比为________．

6．已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且AC A ′C ′＝32

，B ′D ′＝4，则BD 的长为________．

7．如图，△ABC 的中线AD ，CE 相交于O ，EF ∥BC 交AD 于F ，则OD ∶FA ＝________．

第7题图

8．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，G 是△ABC 的重心，则AG ＝________．

9．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，其中BC ＝6cm ，高AD ＝4cm ，现在要把它

裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？

第9题图

10．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.

(1)求线段GC 的长；

(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．

第10题图

B 组 自主提高

11.如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边AB 上的一点，∠ACD ＝∠B ，∠

BAC 的平分线AQ 分别与CD ，BC 交于点P ，Q ，那么AP AQ

＝_____． 第11题图

12．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且AD AC ＝AC AB

＝k ，AE ⊥CD 于E ，AF ⊥BC 于F.求证：AE AF

＝k. 第12题图

13．如图，在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AG ＝3，CG ＝4，求BG 的长．

第13题图

C 组 综合运用

14．(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 为AD 中点，连结CM 交BD 于点N ，且ON ＝1.

(1)求BD 的长；

(2)若△DCN 的面积为2，求四边形ABNM 的面积．

第14题图

4．5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)

【课堂笔记】

1．相似比 2.中线 1∶2

【课时训练】

1－4.ABCC

5.3∶5 3∶5 3∶5 3∶5

6.6

7.2∶3

8．2

9. 设正方形边长为x ，则AP ＝AD －PD ＝4－x.∵△AEH ∽△ABC ，∴AP AD ＝EH BC ，∴4－x 4

＝x 6

，∴x ＝2.4.答：正方形材料的边长是2.4cm . 10. (1)延长CG 交AB 于点D.∵点G 是△ABC 的重心，∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C ＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83

. (2)∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB ＝MC AC .同理，可证△CMG ∽△CAD ，∴MC AC ＝CG CD ，∴MN AB ＝CG CD ＝23，∴MN ＝23AB ＝163

. 11. 23

12. 证明：∵AD AC ＝AC AB ＝k ，∠BAC ＝∠CAD ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AE AF ＝AD AC

＝k. 第13题图

13. 延长BG ，交AC 于D ，G 是重心，∴D 是AC 中点，∵AG ⊥GC ，∴△AGC 是直

角三角形，根据勾股定理，可得AC ＝5，∴GD 是AC 边上的中线，∵GD ＝12

AC ＝2.5，根据重心定理，BG ＝2GD ＝5.

14. (1)∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，

∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN ，∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12

BC ，即MD CB ＝12，∴DN BN ＝12

，即BN ＝2DN ，设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)，解得：x ＝3，∴BD ＝2x ＝6； (2)∵△MND ∽△CNB ，且相

似比为1∶2，∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，∴S △MND ＝12

S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4.∴S

＝S△BCD＝S△BCN＋S△CND＝4＋2＝6.∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5. △ABD