4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)
4.5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)
1．相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高线、中线、对应角的角平分线之比都等于________．
2．重心的定义及性质：三角形三条________的交点叫做三角形的重心．三角形的重心分每一条中线成________的两条线段．
A 组 基础训练
1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．1∶8
2．如图，已知点D 是△ABC 的重心，则下列结论不正确的是( )
A ．AD ＝2DE
B ．AE ＝2DE
C ．BE ＝CE
D ．A
E ＝3DE
第2题图
3.如图，△ABC 中，E 在AD 上，且E 是△ABC 的重心，若S △ABC ＝36，则S △DEC 等于
( )
第3题图
A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
4．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是( )
第4题图
A.56m
B.67m
C.65m
D.103
m 5．两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么相似比为________，对应边上的高之比为________，对应边上的中线之比为________，对应角的角平分线之比为________．
6．已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且AC A ′C ′＝32
，B ′D ′＝4，则BD 的长为________．
7．如图，△ABC 的中线AD ，CE 相交于O ，EF ∥BC 交AD 于F ，则OD ∶FA ＝________．
第7题图
8．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，G 是△ABC 的重心，则AG ＝________．
9．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，其中BC ＝6cm ，高AD ＝4cm ，现在要把它
裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？
第9题图
10．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.
(1)求线段GC 的长；
(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．
第10题图
B 组 自主提高
11.如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边AB 上的一点，∠ACD ＝∠B ，∠
BAC 的平分线AQ 分别与CD ，BC 交于点P ，Q ，那么AP AQ
＝_____． 第11题图
12．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且AD AC ＝AC AB
＝k ，AE ⊥CD 于E ，AF ⊥BC 于F.求证：AE AF
＝k. 第12题图
13．如图，在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AG ⊥GC ，AG ＝3，CG ＝4，求BG 的长．
第13题图
C 组 综合运用
14．(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 为AD 中点，连结CM 交BD 于点N ，且ON ＝1.
(1)求BD 的长；
(2)若△DCN 的面积为2，求四边形ABNM 的面积．
第14题图
4．5 相似三角形的性质及其应用(第1课时)
【课堂笔记】
1．相似比 2.中线 1∶2
【课时训练】
1－4.ABCC
5.3∶5 3∶5 3∶5 3∶5
6.6
7.2∶3
8．2
9. 设正方形边长为x ，则AP ＝AD －PD ＝4－x.∵△AEH ∽△ABC ，∴AP AD ＝EH BC ，∴4－x 4
＝x 6
，∴x ＝2.4.答：正方形材料的边长是2.4cm . 10. (1)延长CG 交AB 于点D.∵点G 是△ABC 的重心，∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C ＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83
. (2)∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB ＝MC AC .同理，可证△CMG ∽△CAD ，∴MC AC ＝CG CD ，∴MN AB ＝CG CD ＝23，∴MN ＝23AB ＝163
. 11. 23
12. 证明：∵AD AC ＝AC AB ＝k ，∠BAC ＝∠CAD ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AE AF ＝AD AC
＝k. 第13题图
13. 延长BG ，交AC 于D ，G 是重心，∴D 是AC 中点，∵AG ⊥GC ，∴△AGC 是直
角三角形，根据勾股定理，可得AC ＝5，∴GD 是AC 边上的中线，∵GD ＝12
AC ＝2.5，根据重心定理，BG ＝2GD ＝5.
14. (1)∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，
∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN ，∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12
BC ，即MD CB ＝12，∴DN BN ＝12
，即BN ＝2DN ，设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1，∴x ＋1＝2(x －1)，解得：x ＝3，∴BD ＝2x ＝6； (2)∵△MND ∽△CNB ，且相
似比为1∶2，∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，∴S △MND ＝12
S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4.∴S
＝S△BCD＝S△BCN＋S△CND＝4＋2＝6.∴S四边形ABNM＝S△ABD－S△MND＝6－1＝5. △ABD。
4.5相似三角形的性质及其应用(1)
4.5 相似三角形的性质及其应用（1）相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似 比.1.如图所示，也| ABCD 中, E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ,如果BE ： BC=2： 3，那么下列 各式错误的是（C ）.2 38. 如图所示，已知在厶 ABC 中，AB=3, AC=2 D 是边 AB 上的一点，/ ACD M B,Z BAC 的平 分线AQ 分别与CD BC 交于点P, Q,那么AQ9. 如图所示，MN 经过△ ABC 的顶点 A , MIN/ BC 连结DEAM=AN MC 交 AB 于点 D, NB 交 AC 于点 E ,（第1 2.如图所示，在△ F 为 BC 边题）ABC 中，D 论中，正确的是 上一点， 连结(C). AF（第 3 题） ,E 分别为AB, AC 边上的点，DE// BC 点 交DE 于点 G , 则下列结(第 4 题)ftp (E入AB~EC * AD~AEAF 3. 如图所示，AB 是OO 的直径，过点 O 作AB 的垂线与弦 AC 交于点D,连结BC OO 的半径为4,则CD 等于（A ）. A.1.4B.1.8C.2.4D.2.64. 如图所示，边长为 12的正方形ABCD 中，有一个小正方形 EFGH 其中点E , F , AB BC, FD 上.若BF=3,则小正方形的边长为（A ）. 15A.B.2Ad ACEC 若OD=3 G 分别在4 J iAO=3B O 当点 A 在反比例函数9 y=x（x > 0）的图象上移动时，点 B 坐标满足的函数表达式为 (A).A.y=-C.y=- 1 (x v 0)x —(x v 0) 3xB.y=- D.y=-3 (x v 0)x丄(x v 0) 9x6.如图所示,点 D, 长为10.E 分另【J 在 AB AC 上,且/ ABC d AED 若DE=4, AE=5 BC=8 贝U AB 的 7.如图所示,在ABCD 中, E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ,如果聖Z ，那么匹FD 3 BCAP 2 A 匚的值为-3■'(第 2 题)Rt △ OAB 的顶点与坐标原点重合，/ AOB=90 , 5.如图所示, C.4 D.5(第 8 题)(第 7 题)（1） 求证：DE// BC（2） 若 DE=1, BC=3 求 MN 的长.—=-— -—■= —-A D AE【答案】（1） ••• MN/ BC •••{*.••• AM=AN ••• ——=——.••• DE// BC.10. 如图所示，已知矩形 ABCD 勺两条对角线相交于点 0,过点A 作AGL BD 分别交BD, BC 于 点 G, E.（1） 求证：BE"=EG- EA.（2） 连结 CG 若 BE=CE 求证：/ ECG M EAC.善 ----- 卞 ------- I'（第10题）【答案】（1） I 四边形 ABCD 是矩形，ABC=90 . v AE1 BDBGE=90 =Z ABC.EA BE 2 •••/BEG M AEB ABE BGE/. = . • BE=EG EA.BE EGCE AE⑵由（1）证得 BE=EG- EA •/ BE=C E •- CE=EG ・ EA.= = . vM CEG M AEC •△ CEGEG CEAECECG M EAC.11. 如图所示，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为3 , P 为斜边BC 上一点，且BP=1 , D 为AC 上一点•若/ APD=45 ,则CD 的长为（C.13. 如图所示,在厶 ABC 中，AB=AC=aBC=bba > b ），在△ ABC 内依次作/ CBD M A, M DCE M（第 9题） AD AEBD EC（2） T DE// BC ；•MN=2AM=3.（第11题）（第14（第 12题）13题）题）12.如图所示，D 是等边三角形 ABC 边AB 上的一点，且 AD ： DB=1 : 2,现将△ ABC 折叠，使 点C 与D 重合，折痕为 EF ,点E , F 分别在AC 和BC 上 ,贝U CE ： CF 等于（B ）.CBD 则DE等于（C）.14. 如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,过点A 作EALCA 交DB 的延长线AC7 于点E ,若AB=3, BC=4则——的值为——.AE2415. 如图所示，在 ABCD 中,过点A 作AE1BC ,垂足为点E ,连结DE F 为线段DE 上一点， 且/ AFE=/ B.若 AB=5（第16题答图）16. 如图所示，在厶 ABC 中，AB=AC=6 / A=2Z BDC BD 交 AC 边于点 E ,且 AE=4,贝U BE- DE= 20 .1【解析】如答图所示，延长CA 到点F ,使得AF=AB,连结BF ,则/ F=Z ABF= —2 BE/ BAC.vZ BAC=Z BDC , F=Z BDC.又 v/ FEB * DEC ,FEB s △ DEC /.CE1.•直线 AD 的函数表达式为 y= — x+1.2⑵•/直线 AD 与x 轴的交点为（-2, 0）, • OB=2.v 点 D 的坐标为（0 ,OB 2OD 2= 5. •/ y=-x+3 与 x 轴交于点 C （3 , 0） , • OC=3. • BC=5.BO OD2 1①如答图1所示，当：公 BOD^^ BCE 时，贝U=, / BCE * BOD=90 , / =,解BC CE 5 CE. v AE=4 AB=AC=6 • EF=1QDECE=2.「. 匹=卫.• BE- DE=20.2 DE17.如图所示，在平面直角坐标系中,4直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A （—,35），点D 的坐标为（0 , 1）.3（不与点 B 重合），当△ BOD M^ BCE（0,1）代入，得1）, ••• 0D=1/. BD=AD=8 AE=4,贝U AF 的长为 25（第（1） 求直线AD 的函数表达式. （2） 直线AD 与x 轴交于B ,若点 图245【答案】（1）设直线 AD 的函数表达式为 y=kx+b.将A （ , - ） ,DE 是直线AD 上一动点5 5得CE=—. •••点E的坐标为（3, ）.2 2|岂=空即虫=空F ,易知△ BEF s^BCE,.」* 5 胪，解得 EF=2.二CF=.CE 2 EF 2 =1. ••• OF=2. •••点E 的坐标为(2 ,2).综上可得点E 的坐标为(3 ,-)或(2 ,22).18. 如图所示，在梯形 ABCD 中, AD// BC / BCD=90，对角线 AC, BD 交于点E ,且ACLBD (1)求证：C D=BC ・ AD【答 案】 (1) I AD// BC , / BCD=90 ,ADC M BCD=90 . v AC L BDAD CD•••/ ACD # ACB M CBD # ACB=90 .ACD M CBD .A ACD s △ DBC. ——=—— , 即CD BC C D=BC ・AD .(2) v AD// BC ADB M DBF // / BAF=/ DBF •/ ADB M BAF.v/ ABG M DBA •△ ABGp 。
相似三角形的性质与应用讲义(比较完整)
相似三角形的性质和应用教学目标1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相 似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点、难点1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.考点及考试要求1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方教学内容：知识框架1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.题型分类考点一：计算线段的长或线段之间的比例1：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AC =6，DB =5，求AD 的长．A BC DABDE针对练习： 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，底边上的高AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm ．求证：35=BD AB ；例2：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ． 思考：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？BC知识概括、方法总结与易错点分析 1、 相似三角形对应边成比例；2、从结论出发找到边所在的三角形，再利用已知条件证明三角形相似。
考点二：证明线段平行典型例题．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，BE 垂直于AD 的延长线于E ，AD CF ⊥于F ，BF ，EC 的延长线交于点P ，求证：AP CF //针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的判断、性质和平行线的判定考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？针对练习：如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比ABCDE F考点四：计算多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1:=EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1=∆ADE S 。
相似三角形的性质及应用课件
如图:⊿ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与A,C不重合).
如图:点C,D在线段AB上, ⊿PCD是等边三角形.
Q点在BC上,求(1)当⊿PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,CP的长为多少?(2)当⊿PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,CP的
若 2 A B2C BB DA 长是多少?
3.如图:如果连结⊿ABC各边中点得
⊿A1B1C1,连结⊿A1B1C1各边中点得
⊿A2B2C2,依同样的方法得⊿A3B3C3, ⊿AnBnCn,当n=2000时, ⊿AnBnCn面积 为a,则⊿ABC的面积多少?
A
C1 A2 B1
B2
C2
B
A1
C
4.如图:等腰⊿ABC中,AB=AC,AD⊥BC于 D,CG∥AB,BG分别交AD,AC于E,F,求 证:BE2=EF×GE
⊿AnBnCn,当
n=2000时, ⊿AnBnCn面积为a,则⊿ABC的面积多少?
如图:点C,D在线段AB上, ⊿PCD是等边三角形.
5.掌握与射影定理类似的一个结论. 如图:点C,D在线段AB上, ⊿PCD是等边三角形.
相似三角形的周长比等于相似比.
问这棵大树是否位于最大矩形水池边上?
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
两个相似三角形的面积比为2:1,则它们对应角平分线的比为多少?它们对应高线的比为多少?它们的周长比为多少? Q点在BC上,求(1)当⊿PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,CP的长为多少?(2)当⊿PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,CP的 长是多少?
问这棵大树是否位于最大矩形水池边上?
如图:点C,D在线段AB上, ⊿PCD是等边三角形.
《相似三角形的判定》 (第1课时)说课稿
《相似三角形的判定》 (第1课时)说课稿尊敬的各位专家、评委：大家好今天我说课的题目是《相似三角形的判定定理1》，下面我将从教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程六个方面加以说课。
一、教材分析本节课是华东师大版九年级数学上册第二十三章第三节《相似三角形的判定》第1课时，在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，它是全等三角形的拓广和发展，进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是以后学习相似三角形性质、圆中比例线段和三角函教的重要工具，可见相似三角形的判定占据很重要的地位,具有承上启下的作用。
二、学情分析九年级的学生，他们的思维已处于理论型逻辑思维阶段，具备一定的抽象思维能力和演绎推理能力，他们的思维比较活跃，能乐于探索，勇于探究。
另外学生在上两节课学习了三角形相似的概念，掌握了相似三角形判定的预备定理，已有一定的知识基础，为探究三角形相似的条件做好了知识上的准备，学生能主动参与本节课的操作、探究。
三、教学目标根据学生已有的认知，教材所处的地位和学情分析，我将本节课的教学目标定位为:知识与技能目示:理解并掌握“两个角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，能运用其方法进行简单推理。
过程与方法目标:通过引导学生探究相似三角形判定定理的证明过程，培养学生抽象概括能力，语言表达能力和逻辑思维能力。
情感态度和价值观目标:通过画图、观察猜想、度量验证等活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，培养学生合作意识。
四、教学重难点教学重点:两个三角形相似的判定方法1及应用。
教学难点:相似三角形判定定理1的证明过程五、说教法、学法<一>教法:学生是学习的主体，教师是学习的组织者，引导者，合作者，给予这一新课标理念，以及以上四部分内容，我在课堂中将会使用一下教法：情境教学法，探究教学法，启发式教学法，充分调动学生的积极性。
<二> 学法:这节课我将引导学生使用动手实践，自主探究，合作交流，分组讨论的学习方式，让学生遵循“观察、猜想、验证、归纳、应用、提高”的主线进行学习,充分调动学生的手、口、脑，使学生积极参与教学过程，自主获取数学知识。
《相似三角形的性质(第1-2课时)课件 (公开课获奖)2022年湘教版
本章小结
• 一个正数的绝||对值等于它本身 • 一个负数的绝||对值等于它的相反数 • 0的绝||对值等于0 • 互为相反数的两个数的绝||对值相等
可以得到的结论是
．
〔让学生用类似于 "相似三角形对应高的比等于相似比〞
的方法进行研究 ,培养学生的推理能力〕
对于上述结论 ,你能证明吗 ?〔学生仿对应高的证明独立
完成〕
3．想一想：两个相似三角形的周长比是什么 ?
可以得到的结论是
．
结论：相似三角形的周长比等于相似比．
证明如下：：△ABC∽△A′B′C′ ,相似比为k ,即
相等
()
〔5〕 互为相反数的两个数的绝||对值相等 ( )
4. 有三个数a、b、c在数轴上的位置 如以以以以下图所示
c
b
0a
那么a、b、c三个数从小到大的顺序 是： C ＜ b ＜ a
那么│a│＜ │c│, │b│＜ │c│
5. 足球比赛中对所用的足球有严格的规定 ,下面是5个足 球的质量检测结果〔用正数表示超过规定质量的克数 ,用 负数表示缺乏规定质量的克数〕
2.比较大小：│－5│ │－8│
│ -0.05│
0；
│ -3│ 1；
3. 判断〔对的打 "√〞 ,错的打 "×〞
〕：
〔1〕一个有理数的绝||对值一定是正数 . (
)
〔2〕－1.4<0 ,那么│－1.4│<0 .
()
〔3〕 │－32︱的相反数是32
()
〔4〕 如果两个数的绝||对值相等 ,那么这两个数
抽象
总结
在数轴上 ,表示一个数的点与原点的距 离叫做该数的绝||对值〔absolute value) .
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
4.5 相似三角形的性质及其应用九年级上册数学浙教版
知识点1 相似三角形对应线段的性质 重难点
1.根据相似三角形的定义可知，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质:相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,标杆的高度 ,观测者与标杆之间的距离 ,观测者与旗杆之间的距离 .
注意：观测者的眼睛（点 ）、标杆的顶端（点 ）和旗杆的顶端（点 ）必须要“三点共线”,标杆与地面要垂直,同时旗杆底部必须可到达
典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜 来测量铁塔 的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离 、镜子与小华的距离 时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端 .若小华的眼睛距离地面的高度 ,试估计铁塔 的高度.
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
典例3 （2023·丽水期末）已知 ，且 与 的周长比为 ，则 与 的面积比为__.
[解析] ，且周长比为 ， 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 .
解题通法相似三角形性质的应用技巧相似三角形的相似比、各对应线段的比、周长比及面积比之间是可以互相转化的,即相似比 对应高线的比 对离等于____ .转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________ .
[解析] 如图，过点 作 ， 的平行线，交 于点 ，过点 作水平线 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 并延长至点 ，使得 .
由题意可知，点 是 的中点. ， , 点 是
的中点. ， ， .
第1课时 相似三角形的性质定理(一)
4.7 相似三角形的性质第1课时 相似三角形的性质定理(一)基础题知识点1 相似三角形的性质定理(一)1．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的对应高之比为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶9D ．9∶42．两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8 3．已知△ABC ∽△DEF ，且AB ＝2DE ，h 1，h 2分别为AB ，DE 边上的高线，则h 1h 2＝( )A ．2B.12C ．3D.134．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 、BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B′E′的长为( )A.32B.52C.72D.925．(重庆中考)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2∶3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________．6．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的角平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的角平分线DN ＝________．7．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝15 cm ，A ′B ′＝10 cm ，AD 与A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线．AD 与A′D′的和为15 cm ，求AD 和A′D′的长．知识点2 相似三角形的性质定理(一)的应用8．在小孔成像问题中，根据如图所示，若O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的( )A ．3倍B.12C.13D ．2倍9．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，则眼睛到目标的距离OF 是( )A ．20 000 mB ．400 mC ．200 mD ．199.2 m10．如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2 m ，CD ＝5 m ，点P 到CD 的距离是3 m ，则点P 到AB 的距离是( )A.56 m B.67 m C.65mD.103m 中档题11．如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为________米．(不计宣传栏的厚度)12．如图，垂直于地面放置的正方形框架ABCD ，边长AB 为30 cm ，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的部分影子A′B ，D ′C 的长度和为6 cm.那么灯泡离地面的高度为________cm.13．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 是∠CAB 的平分线，且交CD 于点E ，CB 于F ，求证：AF ∶AE ＝CB ∶CD.14．小明把手臂水平向前伸直，手持长为a 的小尺竖直，瞄准小尺的两端E 、F ，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部和顶部，如果小明的手臂长为l＝40 cm，小尺的长a＝20 cm，点D到旗杆底部的距离AD＝40 m，求旗杆的高度．15．(绍兴中考改编)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．综合题16．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面看如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm，为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)参考答案第1课时相似三角形的性质定理(一) 基础题1．A 2.A 3.A 4.D 5.2∶3 6.67.解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，∴ABA′B′＝32.∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，又△ABC∽△A′B′C′，∴ADA′D′＝32.∵AD＋A′D′＝15 cm，∴AD＝9 cm，A′D′＝6 cm.8.C9.C10.C中档题11．612.18013.证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∵∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD.∵AF、AE分别是△ABC和△ACD的内角平分线，∴AF∶AE＝CB∶CD.14.作CH⊥AB于H，交EF于P，则CH＝DA＝40 m，CP＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA.∴EFAB＝CPCH，即0.2AB＝0.440.∴AB＝20 m．答：旗杆的高度为20 m．15.设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80，解得y＝2407.∴PN＝2407×2＝4807(mm)．答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm，4807mm.综合题16．过点C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.解得NF＝24.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.。
《相似三角形的性质(第1-2课时)课件 (公开课获奖)2022年湘教版
AB ＝ BC ＝ CA ＝k.
AB BC CA
求证： AB BC CA =k.
AB BC CA
证明：∵ AB ＝ BC ＝ CA ＝k，
AB
BC CA
∴AB=kA′B′,BC=kB′C′,CA=kC′A′.
∴ AB BC CA = kABkBCkCA =k.
AB BC CA ABBCCA
1．比较下列各组数的大小： (1)－1和－5 (2)－ 和－2．7
做一做
（1）在数轴上表示下列各数，并比较它 们的大小：-15，-3，-1，-5；
（2）求出（1）中各数的绝对值，并比 较它们的大小；
（3）你发现了什么？
判断： (1)若一个数的绝对值是 2 ， 则这个数 是2 ； (2)|5|＝|－5|； (3)|－0.3|＝|0.3|； (4)|3|＞0； (5)|－1.4|＞0； (6)有理数的绝对值一定是正数； (7)若a＝b，则|a|＝|b|； (8)若|a|＝|b|，则a＝b； (9)若|a|＝－a，则a必为负数； (10)互为相反数的两个数的绝对值相等；
如图，在数轴上表示－5的点与原点的距离是5， 即－5的绝对值是5，记作|－5|＝5.
议一议 一个数的绝对值与这个数有什 么关系？ 例如：|3|＝3，|＋7|＝7 一个正数的绝对值是它本身；
例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
因为正数可用a＞0表示，负数可用 a＜0表示，所以上述三条可表述成：
抽象
总结
在数轴上，表示一个数的点与原点的 距 离叫做该数的绝对值（absolute value)。
你能明白吗？
•想一想 互为相反数的两个数的绝对 值有什么关系？
《相似三角形的判定(第1课时)》教案 人教数学九年级下册
27.2 相似三角形27.2.1相似三角形的判定（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算；2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系；3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.【过程与方法】经历平行线分线段成比例的基本事实及其推论的发现过程，增强学生发现问题，解决问题的能力.【情感态度与价值观】学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时共4课时四、教学重难点【教学重点】平行线分线段成比例基本事实及判定两个三角形相似的定理.【教学难点】判定三角形相似的定理的证明.五、课前准备教师：课件、刻度尺、三角板.学生：刻度尺、三角板.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问：1.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，，那么△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？学生集体口答，教师订正.（二）探索新知知识点1 平行线分线段成比例定理请分别度量l 3,l 4,l 5.在l 1上截得的两条线段AB,BC 和在l 2上截得的两条线段DE,EF 的长度,AB ：BC 与DE ：EF 相等吗？任意平移l 5,再量度AB,BC,DE,EF 的长度,它们的比值还相等吗？除此之外，还有其他对应线段成比例吗？（出示课件4、5）111111C B BC C A AC B A AB ==学生动手操作后可发现：DFEF AC BC DF DE AC AB DE EF AB BC EF DE BC AB l l l 543====，，，时，∥∥当 教师归纳：（出示课件6）一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a ∥b ∥c ，则12122323A A B B A A B B =，23231212A AB B A A B B =， 12121313A A B B A A B B =，23231313A A B B A A B B =…教师问：1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？（出示课件7） 小组合作交流,再进行全班性的问答.出示课件8，学生独立思考后口答，教师订正.知识点2 平行线分线段成比例定理的推论出示课件9～11：如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？学生分组讨论后，选代表口答，教师加以订正后归纳.（出示课件12）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.出示课件13，学生独立解答，一生板演，教师订正.考点 利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度出示课件14，例 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4，AB=3，EC=1.求AD 和BD.学生思考后，师生共同解答如下：解：∵AC=4，EC=1，∴AE=3.∵ DE ∥BC ， ∴. AD AE AB AC∴AD=2.25，∴BD=0.75.出示课件15，学生独立解答，教师订正.知识点3 相似三角形的判定定理如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.（出示课件16～17）教师问：1.△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？2.分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？3.你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？学生分组讨论，动手操作后达成共识：通过度量，我们发现△ADE ∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.教师问：1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？（出示课件18）2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？学生讨论后，带着疑问解决证明△ADE∽△ABC问题.（出示课件19）已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC.师生共同分析：直观告诉我们：△ADE ∽△ABC ，根据三角形相似的概念，要想证明两个三角形相似，必须证明三个角对应相等，三条边对应边对应成比例.由平行线分线段成比例定理，可知：AC AE AB AD =，还需证明ABAD AC AE BC DE ==BC DE 或所以要将DE 平移到BC 上，使得BF=DE(如图),再证明：ACAE BC DE =即可. 证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ，过E 作EF//AB 交BC 于F,则，∵四边形DBFE 是平行四边形,∴DE=BF ，∴，∴， ∴△ADE ∽△ABC.归纳：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.（出示课件20）符号语言：∵DE//BC,∴△ADE ∽△ABC ．，AC AE AB AD =BC BF AC AE =BC DE AC AE =BC DE AC AE AB AD ==教师问：过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE ∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？（出示课件21）学生分组讨论后，教师归纳：过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．出示课件22，学生独立思考后口答，教师订正.（三）课堂练习（出示课件23-29）引导学生练习课件23-29题目，巩固本课知识点，约用时20分钟。