量子力学答案 苏汝铿 第二章2.4-2.6 0#05
第五组 冯正 200431020019 肖小彬 200431020030
2.4粒子处在势能
()0
U x U ∞⎧⎪
=≤≤≤≤⎨⎪⎩（当x<0和x>2a+b ）0（当0x a 和a+b x 2a+b ）（当a<x<a+b ）
的场中运动，求在能量小于0U 的情况下，决定能量的关系式。
解：
势能如上图所示。
薛定谔方程是：
21112
22223
3
30;
;
2.k x a k a x a b k a b x a b ψψψψψψ''+≤≤''-≤≤+''++≤≤+=0, 当=0, 当=0, 当
其中
222
01
3
222
2()2, m U E mE k k k -===
其边界条件是：
11212
232
33(0)0;
()(), ()();()(), ()();(2)0.
a a a a a
b a b a b a b a b ψψψψψψψψψψ=''==''+=++=++= 由薛定谔方程及边界条件1(0)0ψ=和3(2)0a b ψ+=，我们有
2
2
111222331()sin ,0;();
()sin[(2)],2.
k x k x x A k x x a x A e B e a x a b x A k x a b a b x a b ψψψ-=≤≤=+<<+=--+≤≤+ 当, 当 当
由其它边界条件，又有
2222222211221112222()()3122()()3112222sin ,cos ;sin ,cos .
k a k a k a k a k a b k a b k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A k a A e B e A k k a A k e B k e --+-++-+=+=--=+=-
改写上式可得关于不全为0系数1223(,,,)A A B A 的线性方程组：
22222211221112222()()2231sin 0,cos 0, sin 0, k a k a k a k a k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A e B e A k a --+-+--=-+=+++=22()()2222331 cos 0.
k a b k a b A k e B k e A k k a +-+-++=
上式有解的条件是其行列式为0：
2222222211
12
2()()1()()
2
211sin 0
cos 0
det 0
0sin 0cos k a k a
k a k a k a b k a b k a b k a b k a e e k k a k e k e e e k a k e k e k k a --+-++-+⎛⎫-- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭
即
()()()()222222222
121121112111sin sin cos cos sin cos 0k b k b k b k b k b k b k b k b
k a k k a e e k k k a e e k k a k k a e e k k a e e ----⎡⎤--++--⎣⎦⎡⎤----+-+=⎣⎦
亦即
()
()222
222211211112
2
22
2
112111
1sin 2cos sin cos sin 2cos sin cos 0
k b k b
e k k a k k k a k a k k a e
k
k a k k k a k a k k a --++---=
即
222211211121(cos sin )(cos sin )k b k b e k k a k k a e k k a k k a --=+
上式即为决定能量的关系式。
2.5证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1。
解：对于任意势垒（如图所示），有一能量0E U >（0U
为势垒高度）从左边入射到势垒上。
应化为
当x →-∞时，波函数是入射波与反射波的叠加
1
1
1ik x ik x e Ae ψ-=+ 其中
1k =
当x →+∞时，只有出射波
2
2ik x Be ψ=
其中2
k
=
我们有概率流守恒定律
2
0J t
ψ
∂+∇∙=∂ 其中()2i J m ψψψψ**-=∇-∇
由于是定态问题，所以
2
0t
ψ
∂=∂，故x J J ≡=常数。
而2
J +=B m
∞ 2k （）
，2
1()(1)k J A m
-∞=- ，由此两式相等，有 22
21
1k B A k += 而透射系数22
21
,k D B R A k =
=， 故1D R +=
2.6设粒子的能量E>0，求粒子在势阱
()0(0)
0(0)U x U x x -<⎧=⎨>⎩
壁x=0处的反射系数。
解：薛定谔方程是：
2
11122
2200
0k x x k ψψψψ''⎧+=<⎪⎨
>''+=⎪⎩ 其中
220122
22()2,m E U mE
k k +=
=
其通解为：
()()11212(0)
(0)
ik x ik x
ik x
x Ae A e x x Ce x ψψ-'⎧=+<⎪⎨=>⎪⎩ 由边界条件()()1200ψψ=和 ()()1200ψψ''=，我们有
112A A C
k A k A k C
'+=⎧⎨
'-=⎩ 将A '和C 用A 表示出来，有
121
1212()2,()()
k k k A A C A k k k k -'=
=++
相应于入射波1ik x
in Ae ψ=的入射概率流密度in J 为
*2
*1()2in k i d d J A m dx dx m
ψψψψ=-=
相应于反射波
1
ik x R A e ψ-'=的反射概率流密度是
2
1R k J A m
'=
故反射系数为
(
)
2
2222
121222
4121222
2
000
4
0()()()()/(16)()1)
R in A J k k k k R J k k k k A U E E U U E U '
--====++⎧⎪=
=⎨-⎪⎩ 当当。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#3
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2#16
e2 1 8a n2
a
2
me2
e2
e2 4
E
1 me4 1 2 2 ( px py ) 2m 32 2 n2
基态能量为： E
me4 32 2
对应波函数为： 100 ( x, y, z )
2z a
3 2
e
z a
0 z 0 dx3 100 100 z
2m(U 0 E ) 2
可解得径向部分的波函数是
R(r ) Akl jl (kr) (r a) (1) R(r ) Bk l hl (ik r ) (r a)
(1) 式中 jl (r ) 为球贝塞尔函数, hl (ik r ) 为球汉克尔函数
利用在 r a 处波函数 (r ) 及波函数的一阶微商 (r ) 都连续
x2 y 2 2 xy 2 (1 ) 2 (1 )
进行变量代换后的薛定谔方程为：
2 2 2 2 2 2 A 2 2 2 (1 ) (1 ) B( z 2 z ) E 2m z
2.24
2z 4 3 6 2 3 a z e dz a a3 2 me2 0
一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z ) A( x 2 y 2 2 xy) B( z 2 2 z ) ，其中 A 0 ， B 0 ， 1 ， 是任意
1 x x x 2 ( ) 则 1 ( ) 2 y y y
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学习题解答-第2章
第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
苏汝铿量子力学讲义第二章波函数和Schroinger方程
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
苏汝铿统计物理答案
苏汝铿统计物理答案【篇一：125本物理学名著精编版】>1 爱因斯坦文集2 费曼物理学讲义(原声录音) 出国留学必备书之一！3 费曼物理学讲义_卷一4 费曼物理学讲义_卷二5 费曼物理学讲义_卷三6 费曼物理学讲义习题集7 别闹了，费曼先生！8 泡利物理学讲义(共六卷) 出国留学必备书之一！9 faraday(法拉第)_lectures on the forces of matter 10faraday(法拉第)_the chemical history of a candle 11 从抛物线谈起—混沌动力学引论12 多粒子系统的量子理论13 量子力学与路径积分（费曼）出国留学必备书之一！ 14 物理力学讲义（钱学森）15 物理学家用微分几何出国留学必备书之一！16 相对论（索末菲）17 相对论的意义18 算法大全19 相对论量子场20 相对论量子力学21 引力论与宇宙论22 自然哲学之数学原理宇宙体系23 物理学进展200124 history of modern physics25 nobel lectures(1998--2001)26 numerical recipes in c27 phy question28 physics review letter(vol74-vol86)29 thermal physics30 topics appl. phys vol 80 carbon nanotubes31 trends in colloid and interface science xiv32 relativity the special and general theory33 interact（斯坦福直线加速器实验室）34 introduction to tensor calculus and continuum mechanics35 lect statistic36 mathematicalhandbook37 relativity the special and general theory -by albert einstei38 gre物理sub试题（爆全）39 北大物理类研究生入学考题40 大学物理课件41 概率统计课件42 核辐射物理电子讲义43 计算机常用算法44 计算物理讲义45 离子束分析（课件）46 数据结构算法课件(部分)47 数值计算课件48 hilbert空间问题集 halmos49 波动学《伯克利物理学教程》第三卷上、下册50 场论（朗道）51 场论与粒子物理学（上册）（李政道）出国留学必备书之一！52 场论与粒子物理学（下册）（李政道）53 非平衡态热力学和耗散结构(李如生)54 分形物理学55 辐射的量子统计性质（路易塞尔）56 高等量子力学（第二版）(杨泽森)57 高温辐射物理和量子辐射理论（李世昌）58 孤子理论59 经典力学( goldston，戈德斯坦著)出国留学必备书之一！ 60 固体的电子结构61 固体化学导论62 固体物理导论（基泰尔）出国留学必备书之一！63 固体物理习题详解（基泰尔）64 固体物理学（黄昆）65 光和物质的奇异性 66 光学(planck)67 光学原理上册、下册(m.玻恩 e.沃耳夫)68 广义相对论（刘辽）69 广义相对论dirac70 广义相对论引论（俞允强）71 规范场的量子理论导引72 规范场论（胡瑶光）73 规范场与群论、完全可积问题74 计算物理学(张开明顾昌鑫)75 结晶化学导论(第二版)76 经典电动力学(jackson_vol1) 出国留学必备书之一！ 77 经典电动力学(jackson_vol278 经典电动力学习题答案(jackson_2nd)79 经典和现代数学物理方程(陆振球) 出国留学必备书之一！ 80 空间群表81 李代数李超代数及在物理学中的应用82 理论电化学83 理论物理基础（彭恒武徐锡中）84 理论物理学基础教程丛书统计物理学(苏汝铿)85 理论物理学基础教程丛书量子力学(苏汝铿)86 理论物理学中的计算机模拟方法(w.heermann)87 量子场论上册(c.依捷克森) 出国留学必备书之一！ 88 量子场论下册(c.依捷克森)89 量子场论导引（上、下册）杨炳麟90 量子电动力学（栗弗席茨）出国留学必备书之一！91 量子混沌 92 量子力学(messiah，梅西亚著)vol193 量子力学(messiah梅西亚著，)vol294 量子力学（非相对论理论）上册(朗道) 出国留学必备书之一！95 量子力学（非相对论理论）下册(朗道)96 量子力学（fermi，费米著。
量子力学 曾谨言 习题解答
a
p dx 2
2m(E 1 m 2 x2 ) dx 2m 2 a
a2 x2 dx
a
2
a
2ma2 m a2 nh 2
得 a2 nh 2n m m
（3）
代入（2），解出
En n,
n 1, 2,3,
（4）
积分公式：
a 2 u 2 du u a 2 u 2 a 2 arcsin u c
abc a
b
c
nx , ny , nz 1,2,3,
当 a b c 时，
En n n xyz
2 2 2ma 2
(n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
n n n xy z
3
2 2 a
sin nx x sin ny y sin nz y
a
a
a
nx ny nz 时，能级不简并；
nx , n y , nz 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
px dx nxh , nx 1, 2,3,
即
px 2a nxh （ 2a ：一来一回为一个周期）
px nxh / 2a ,
6
t 2m ，
u
k
mx t
，
参照本题的解题提示，即得
x,t
1 e imx2 2t 2
2m t
e i
/
4
k
k
mx t
d
k
（2）
m t
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
.
基态能量应取 的最小值,由
得
,
此时，
，即 在
处取得最小值
.
（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为 ，核电荷为 ，总能量算符为
(1)
设原子的最概然半径为 ,则式（1）的基态平均值中可取
(2)
根据不确定度关系，可取
(3)
因此，基态能量约为
(4)
的取值应使 为极小，由极值条件
7
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
;
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即 的本征函数是