运动学1-质点运动学
合集下载
第1章-质点运动学
为了描述速 度随时间
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章_质点运动学
可见，Munday下落的速度增加得非常快，但他 在下落过程中是感觉不到速度在增加的，因为加速 度是恒定的，而人只对加速度的变化有感觉。当他 落到水面时，他的加速度急剧减小，Munday才会 感到有剧烈的变化。 此外，(a)、(b) 、(c)式分别表示自由落体运动 的位移、速度、时间三者的关系。
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
第一章 质点运动学
16
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
第一章 质点运动学1
第一章 质点运动学 教学基本要求
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运 动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用 运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方 法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、 运动方程的方法 . 三 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质 点相对运动问题 .
2 2
2
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 s ' 是不唯一的, 可以是 s或 是唯一的. 而位移r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.
y
r (t1 )
O
s
'
p1 r
r (t2 )
s
p2
（C）什么情况 r s？
r s
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
三
速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) ( xB xA )i ( yB y A ) j o xi yj
r (t)
P2
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运 动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用 运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方 法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、 运动方程的方法 . 三 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质 点相对运动问题 .
2 2
2
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 s ' 是不唯一的, 可以是 s或 是唯一的. 而位移r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.
y
r (t1 )
O
s
'
p1 r
r (t2 )
s
p2
（C）什么情况 r s？
r s
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
三
速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) ( xB xA )i ( yB y A ) j o xi yj
r (t)
P2
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运动学
1、质点运动学 2、刚体(系)运动学
包括：刚体平面运动；点的合成运动
静力学 运动学 动力学
F
a
F ma
1
刨床
2
曲柄滑块机构
3
运动学的应用
输入转动－输出平动
机构的运动学设计
输入转动－输出平动
4
机构的运动分析是机构动力学设计 的必需步骤
曲柄－滑块机构的动力均衡问题
5
第六章 点的运动学
研究目的: 质点运动的数学描述和运动规律。
6
•参考体(reference body): 为研究运动作为参考的物体
•参考系(reference frame):
与参考体固连的坐标系
M
r o
描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法（弧坐标法）
7
描述质点运动的量： ◎运动位置-点的空间位置随时间的变化规律 ◎速度－描述点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 ◎加速度－描述点在t瞬时速度大小和方向变化率力学量。 ※轨迹方程－点的空间运动所构成的曲线方程
a
d2r dt 2
r
方向：Dv的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) .
11
第二节 点的运动的直角坐标法
直角坐标法：从固定点O建立直角坐标系，用坐标表示动点位置
一、点的位置描述
zP
z
x = x(t) y = y(t)
O
y
z = z(t)
x xy
12
例：求 P 点的运动方程。
OA R, AB L, AP l, t
M点的运动方程
u
x R( sin) ut R sin t
R
y R(1 cos) R R cos u t
ax
x
u2 R
sin
R
ay
y
u2 R
cos
u2
v 0, ax 0, ay R
17
还有一类问题 A B
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点
其运动轨迹已知。
图示机构研究A、B点运动 两点运动轨迹已知。
8
第一节 点的运动的矢量法
矢量法：用从确定的参考点至动点的矢量表示动点位置
一、点的位置描述： 确定动点任意瞬时在空间位置的方程
P
P´
r r´ r P
O
r = r (t)
9
二、点的速度
v
P
Dr
P´
r(t) r
(t
＋
Dt
)
O
点在 t 瞬时的速度 v lim D r d r r
Dt0 Dt dt
τ dτ dτ ds dt ds dt
P
P'
? s v
•曲率(curvature) k d
ds
•曲率半径(radius curvature)
1
k
dτ ? ds
先看大小
dτ ds
1
dτ lim Dτ ds Ds0 Ds
D
2τsin
lim
2
Ds 0
Ds
D
lim D 2sin 2
Ds0 Ds
dy =0
dt x=L/2
d2 dt
y
2
=
-
8f L2
则： L2
8f
102 8 a L2
f
0.78
m / s2。
30
描述点运动的三种方法比较
矢量法－ 简洁、概括，与坐标选择无关。 用于证 明及推导
直角坐标法－简单、实用，常用于运动轨迹未知的情况 自然坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，
数学表达式的含义清晰。
能否利用已知轨迹描述点的运动呢?
18
第三节 点的运动的自然坐标法
自然坐标法：结合轨迹几何形状建立坐标系研究点的运动。 一、点的位置描述
任意一点O为坐标原点，并沿轨迹规
r
定正方向： s s(t )
S是距离轨迹上某点的弧长 问题：S是标量还是矢量？
弧长S是标量
P点的定位矢量： r r[ s (t )]
yA
O
P B
x
解： 在固定点O建立直角坐标系
xp R cos l cos
yp (L l) sin
RL sin sin
xp
R
cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
xp
R cost
l L
L2
R2
sin
2
t
yp
(L
l)
R L
sin t
问题：如何求运动轨迹?
xp l
20
二、点的速度
1 其中 dr lim Dr
ds Dt0 Ds
r r[s(t )]
ds s v 速度大小
dt
dr 的方向与P点的切线方向一致 ds
P点切线方向的单位向量： 所以 dr ＝τ
ds
v vτ
v 和 分别表示速度的大小与方向
21
三、点的加速度 a v, v vτ
a vτ vτ τ ? τ τ[s(t)]
τ dτ dτ ds dt ds dt
vn
n / s v
24
自然轴系
主法线
n
密切面 +s
法 面
M 切线
b
副法线
n b
, n , b 自然轴系
跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
问题：若是平面曲线，自然轴系是怎样的？ 25
加速度分析
a vτ v 2 n
加速度表示为自然轴系分量形式
a a an
z az
x y
z
x ax 0(m/s 2 )
y ay 10(m/s2)
v2
an
v2 a cos300
20 m 3
28
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程 x R cost, y R sint, z Ct
解：
v x2 y2 z2 s R22 C2 const.
选(C)
27
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中
：v 10m/s, a 10m/s 2，设动点的坐标为x , y
求该瞬时动点A的 x, y, x, y,
yv
300
A
解： x vx 10 cos300 (m/s)
y vy 10sin 300(m/s)
o axΒιβλιοθήκη vx vy vzx ax y ay
主法线 n
密切面 +s
法 面
M
b
切线
副法线
速度大小的变化率
速度方向的变化率
a vτ sτ －切向加速度
法向加速度－
an
v2
n
加速度在副法线b方向没有分量；
速度矢量和加速度矢量都位于密切面内。
26
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走 过的弧长与时间的一 次方成正比。请判断 点的运动性质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
OA R, AB L, AP l, t 解：1、P点运动方程
yA O
P
B x
xp
R cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
2、P点的速度和加速度
v px
R
sin
l L
R2 sin cos L2 R2 sin2
v py
(L
l)
R L
cos
R sin l R2 sin cos L L2 R2 sin2
D
lim D d k 1
Ds0 Ds
ds
22
dτ ? ds
先看大小:
dτ 1
ds
P
P'
再看方向
d 垂直于 ；指向曲线凹向
d 处于 与 ’确定的极限平
面内 :密切面（P点）
当P´点无限接近于 P点时，
过这两点的切线所组成的平 面，称为P点的密切面。
点P附近无限小一段轨迹曲线可以看 作是位于密切面内的平面曲线。
方向：运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致。
10
三、点的加速度
v
t 瞬时: 速度 v(t)
P
PD´ v
t＋Dt 瞬时:速度 v´ =v(t ＋Dt )
r r´ v´
v´ Dt 时间间隔内速度的改变量
Dv(t)＝ v (t ＋Dt )－ v(t)
O
点在 t 瞬时的加速度：
a lim Dv dv v Dt0 Dt dt
R2 l2
(L
1 l)2
yp2
l
1
(
L
1
l
)
213y
p
2
一、运动方程 二、点的速度
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
zP
v
rz a
k iO
j
y
x
xy
将矢径表示成
r xi yj zk v r xi yj zk
(xi yj zk)
(Oxyz)为静参考系
i j k 0
v xi yj zk vxi v y j vz k
问题： 若为平面曲线，密切面是哪个面？
平面曲线每一点的密切面 均为曲线所在的平面。 23
P n
dτ ? ds
P'
先看大小:
dτ 1
1、质点运动学 2、刚体(系)运动学
包括：刚体平面运动；点的合成运动
静力学 运动学 动力学
F
a
F ma
1
刨床
2
曲柄滑块机构
3
运动学的应用
输入转动－输出平动
机构的运动学设计
输入转动－输出平动
4
机构的运动分析是机构动力学设计 的必需步骤
曲柄－滑块机构的动力均衡问题
5
第六章 点的运动学
研究目的: 质点运动的数学描述和运动规律。
6
•参考体(reference body): 为研究运动作为参考的物体
•参考系(reference frame):
与参考体固连的坐标系
M
r o
描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法（弧坐标法）
7
描述质点运动的量： ◎运动位置-点的空间位置随时间的变化规律 ◎速度－描述点在t瞬时运动快慢和运动方向的力学量。 ◎加速度－描述点在t瞬时速度大小和方向变化率力学量。 ※轨迹方程－点的空间运动所构成的曲线方程
a
d2r dt 2
r
方向：Dv的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) .
11
第二节 点的运动的直角坐标法
直角坐标法：从固定点O建立直角坐标系，用坐标表示动点位置
一、点的位置描述
zP
z
x = x(t) y = y(t)
O
y
z = z(t)
x xy
12
例：求 P 点的运动方程。
OA R, AB L, AP l, t
M点的运动方程
u
x R( sin) ut R sin t
R
y R(1 cos) R R cos u t
ax
x
u2 R
sin
R
ay
y
u2 R
cos
u2
v 0, ax 0, ay R
17
还有一类问题 A B
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点
其运动轨迹已知。
图示机构研究A、B点运动 两点运动轨迹已知。
8
第一节 点的运动的矢量法
矢量法：用从确定的参考点至动点的矢量表示动点位置
一、点的位置描述： 确定动点任意瞬时在空间位置的方程
P
P´
r r´ r P
O
r = r (t)
9
二、点的速度
v
P
Dr
P´
r(t) r
(t
＋
Dt
)
O
点在 t 瞬时的速度 v lim D r d r r
Dt0 Dt dt
τ dτ dτ ds dt ds dt
P
P'
? s v
•曲率(curvature) k d
ds
•曲率半径(radius curvature)
1
k
dτ ? ds
先看大小
dτ ds
1
dτ lim Dτ ds Ds0 Ds
D
2τsin
lim
2
Ds 0
Ds
D
lim D 2sin 2
Ds0 Ds
dy =0
dt x=L/2
d2 dt
y
2
=
-
8f L2
则： L2
8f
102 8 a L2
f
0.78
m / s2。
30
描述点运动的三种方法比较
矢量法－ 简洁、概括，与坐标选择无关。 用于证 明及推导
直角坐标法－简单、实用，常用于运动轨迹未知的情况 自然坐标法－应用于运动轨迹已知的情形，
数学表达式的含义清晰。
能否利用已知轨迹描述点的运动呢?
18
第三节 点的运动的自然坐标法
自然坐标法：结合轨迹几何形状建立坐标系研究点的运动。 一、点的位置描述
任意一点O为坐标原点，并沿轨迹规
r
定正方向： s s(t )
S是距离轨迹上某点的弧长 问题：S是标量还是矢量？
弧长S是标量
P点的定位矢量： r r[ s (t )]
yA
O
P B
x
解： 在固定点O建立直角坐标系
xp R cos l cos
yp (L l) sin
RL sin sin
xp
R
cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
xp
R cost
l L
L2
R2
sin
2
t
yp
(L
l)
R L
sin t
问题：如何求运动轨迹?
xp l
20
二、点的速度
1 其中 dr lim Dr
ds Dt0 Ds
r r[s(t )]
ds s v 速度大小
dt
dr 的方向与P点的切线方向一致 ds
P点切线方向的单位向量： 所以 dr ＝τ
ds
v vτ
v 和 分别表示速度的大小与方向
21
三、点的加速度 a v, v vτ
a vτ vτ τ ? τ τ[s(t)]
τ dτ dτ ds dt ds dt
vn
n / s v
24
自然轴系
主法线
n
密切面 +s
法 面
M 切线
b
副法线
n b
, n , b 自然轴系
跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
问题：若是平面曲线，自然轴系是怎样的？ 25
加速度分析
a vτ v 2 n
加速度表示为自然轴系分量形式
a a an
z az
x y
z
x ax 0(m/s 2 )
y ay 10(m/s2)
v2
an
v2 a cos300
20 m 3
28
例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程 x R cost, y R sint, z Ct
解：
v x2 y2 z2 s R22 C2 const.
选(C)
27
例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中
：v 10m/s, a 10m/s 2，设动点的坐标为x , y
求该瞬时动点A的 x, y, x, y,
yv
300
A
解： x vx 10 cos300 (m/s)
y vy 10sin 300(m/s)
o axΒιβλιοθήκη vx vy vzx ax y ay
主法线 n
密切面 +s
法 面
M
b
切线
副法线
速度大小的变化率
速度方向的变化率
a vτ sτ －切向加速度
法向加速度－
an
v2
n
加速度在副法线b方向没有分量；
速度矢量和加速度矢量都位于密切面内。
26
讨论
点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走 过的弧长与时间的一 次方成正比。请判断 点的运动性质：
(A) 越跑越快； (B) 越跑越慢； (C) 加速度越来越大； (D) 加速度越来越小。
OA R, AB L, AP l, t 解：1、P点运动方程
yA O
P
B x
xp
R cos
l L
L2
R2
sin
2
yp
(L
l)
R L
sin
2、P点的速度和加速度
v px
R
sin
l L
R2 sin cos L2 R2 sin2
v py
(L
l)
R L
cos
R sin l R2 sin cos L L2 R2 sin2
D
lim D d k 1
Ds0 Ds
ds
22
dτ ? ds
先看大小:
dτ 1
ds
P
P'
再看方向
d 垂直于 ；指向曲线凹向
d 处于 与 ’确定的极限平
面内 :密切面（P点）
当P´点无限接近于 P点时，
过这两点的切线所组成的平 面，称为P点的密切面。
点P附近无限小一段轨迹曲线可以看 作是位于密切面内的平面曲线。
方向：运动轨迹的切线；指向与点的运动方向一致。
10
三、点的加速度
v
t 瞬时: 速度 v(t)
P
PD´ v
t＋Dt 瞬时:速度 v´ =v(t ＋Dt )
r r´ v´
v´ Dt 时间间隔内速度的改变量
Dv(t)＝ v (t ＋Dt )－ v(t)
O
点在 t 瞬时的加速度：
a lim Dv dv v Dt0 Dt dt
R2 l2
(L
1 l)2
yp2
l
1
(
L
1
l
)
213y
p
2
一、运动方程 二、点的速度
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
zP
v
rz a
k iO
j
y
x
xy
将矢径表示成
r xi yj zk v r xi yj zk
(xi yj zk)
(Oxyz)为静参考系
i j k 0
v xi yj zk vxi v y j vz k
问题： 若为平面曲线，密切面是哪个面？
平面曲线每一点的密切面 均为曲线所在的平面。 23
P n
dτ ? ds
P'
先看大小:
dτ 1