9 非线性模型
9非线性模型共18页文档
4 56 .8 4 20 .4
1 02 .5
1 02 .7
6 46 .1
3 18 .3
7 0 .7
1 32 .1
1982
4 71 .0 4 32 .1
1 02 .0
1 02 .1
6 59 .1
3 25 .0
7 1 .5
1 32 .9
1983
5 05 .9 4 64 .0
1 02 .0
1 03 .7
6 72 .2
1 07 .0
1 07 .2
8 26 .6
4 37 .8
9 6 .7
9 5 .7
1987
8 84 .4 4 72 .9
1 08 .8
112 .0
8 99 .4
4 90 .3
9 8 .3
9 6 .5
1 98 8 110 4.0 5 67 .0
1 20 .7
1 25 .2
1 0 8 5 .5
6 13 .8
13
表 3.5.1 中 国 城 镇 居 民 消 费 支 出 （ 元 ） 及 价 格 指 数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当 年 价 ) (当 年 价 ) (上 年 =100) (上 年 =100) (1990年 价 ) (1990年 价 ) (1990= 100 ) (1990= 100 )
1981
注：( a )
Yt
Yt 1 Yt
只用两点数据；(b )Yt
Y0 (1
)t
8
5、倒数函数
(1) X倒数形式，如：
Y
1 2
1 X
2 0
1
非线性模型在进化计算中的应用
非线性模型在进化计算中的应用进化计算是一种模拟生物进化过程的计算机处理方法，广泛应用于优化问题和机器学习中，其中非线性模型是进化计算的重要组成部分。
非线性模型是指一类不满足线性叠加性质的数学模型，通常需要用计算机算法来求解。
在进化计算中，非线性模型的应用能够提高算法的效率和精度，从而实现更好的优化和学习。
非线性模型是进化计算中常见的优化目标函数，如支持向量机（SVM）、神经网络（NN）等。
SVM是一种基于最大间隔分类原理的机器学习算法，其模型为非线性函数。
NN是一种基于神经元模型的计算机算法，其输入和输出之间的映射函数也是非线性函数。
在处理大量数据时，这些非线性模型可以识别数据之间的复杂关系，进而提高处理的准确度和效率。
除了优化目标函数，非线性模型在演化计算中还有其他应用。
例如，在多目标优化（MO）问题中，可能存在多个目标函数需要优化。
由于不同目标函数之间通常是相互影响的，因此需要使用非线性模型来解决这种问题。
非线性模型可以将多个目标函数进行合并和优化，得出一个全局最优的解。
另外，非线性模型在进化计算的种群初始化和调整中也有应用。
在种群初始化中，随机数发生器通常无法生成最优的种群。
因此，需要使用基于非线性模型的初始化方法来生成种群，以尽可能提高种群质量和效率。
在种群调整中，需要使用非线性模型来确定种群中每个个体的适应度，以保证种群中每个个体都能够适应环境的变化。
总之，非线性模型的应用在进化计算中发挥了重要作用。
非线性模型不仅能够实现更好的优化和学习，还能够提高进化计算的效率和精度。
在未来，随着计算机算法和技术的不断提升，非线性模型在进化计算中的应用将会更加广泛和深入。
非线性模式分析模型
非线性模式分析模型
用户手册
1．简介
本模型是非线性多类分类模型，能够用非线性算法将多种数据集进行分类，并对分类结果进行分析。
用户可以选择装载已有的数据进行分类，也可以手动创建多类数据集（最多五类）进行分类。
用户根据要分类的数据集，从三个训练算法中选择适当的训练算法，并且从四个核函数中选择适当的核函数对数据集进行分类。
2．系统要求
操作系统方面：Windows 98，Windows NT，Windows ME，Windows
2000，Windows XP及Windows 2003系统；
应用软件方面：必须安装MATLAB 7.0或以上版本
3．使用说明
（1）首先运行SVM.fig或者SVM.m文件，进入模型主界面，如下图：
用户在进入实验前必须先设置路径，然后就可以进入模型进行实验分析了。
（2）进入模型后，界面如下图：
用户可以通过各个按钮对模型进行操作
（3）装载或创建数据
a．通过“装载数据”按钮装载数据，用户选择数据所在的文件
b．通过“创建数据”按钮创建数据
C．装载数据或创建数据后的界面上显示数据点，如下图：
（4）通过“训练SVM”按钮对数据集进行分类
下面简单列出一些分类结果
选择OAA训练算法和Linear核函数的分类结果：
选择OAO训练算法和rbf核函数的分类结果如下图：
选择BSVM训练算法和poly核函数的分类结果如下图：
选择BSVM训练算法和sigmoid核函数的分类结果如下图：
（5）通过菜单栏上帮助菜单，进入MATLAB Help，如下图
（6）通过“导出图像”按钮，将分类结果保存为JPG格式，如下图，用户可以
选择保存路径，输入保存的文件名。
回归分析中的线性与非线性模型选择
回归分析中的线性与非线性模型选择回归分析作为一种常用的数据分析方法，可以用来研究自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，模型的选择是一个关键问题，决定了最终结果的准确性和可解释性。
线性和非线性模型是两种常见的选择，本文将讨论线性和非线性模型在回归分析中的选择问题，并探讨如何判断何时使用线性模型和何时使用非线性模型。
一、线性模型线性模型是回归分析中最基本的模型，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
线性模型的数学形式可以表示为：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn+ ε其中，Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差项。
线性模型的优点是简单、易于解释和计算，模型的形式清晰。
在一些数据集合具有线性关系的情况下，线性模型可以得到较好的拟合效果。
但是，在实际问题中，自变量与因变量之间的关系往往是复杂的，可能存在非线性关系。
二、非线性模型非线性模型是考虑了自变量与因变量之间的非线性关系的模型。
非线性模型的数学形式可以是多项式形式、指数形式、对数形式等。
在回归分析中，选择合适的非线性模型是一个挑战。
一种常见的方法是通过观察自变量与因变量的散点图来判断是否需要使用非线性模型。
如果散点图呈现出明显的非线性趋势，那么使用非线性模型可能会得到更好的拟合效果。
此外，可以使用统计方法来判断是否需要使用非线性模型，例如利用残差分析、F检验、信息准则等。
三、线性与非线性模型的选择在实际应用中，选择线性模型还是非线性模型需要综合考虑多个因素。
以下是一些建议：1. 数据的线性性：观察数据集合自变量与因变量的散点图，判断是否存在明显的非线性趋势。
如果散点图呈现出明显的非线性关系，那么考虑使用非线性模型。
2. 拟合效果：比较线性模型和非线性模型的拟合效果。
可以使用拟合优度指标（如R方值）来评估模型的拟合程度，选择拟合效果较好的模型。
3. 解释性：考虑模型的解释性和可解释性。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
系统动力学9种模型
系统动力学9种模型
1. 线性模型：描述系统中各个变量之间的线性关系。
2. 非线性模型：描述系统中各个变量之间的非线性关系，如指数、对数等。
3. 离散模型：描述系统中的变量在离散时间点上的演化。
4. 连续模型：描述系统中的变量在连续时间上的演化，通常使用微分方程表示。
5. 离散时间模型：描述系统中的变量在离散时间点上的演化，并考虑时间的影响。
6. 连续时间模型：描述系统中的变量在连续时间上的演化，并考虑时间的影响。
7. 混合模型：结合离散和连续时间的特点，描述系统中的变量的演化。
8. 离散状态模型：描述系统中的变量仅存在有限个离散状态的演化。
9. 连续状态模型：描述系统中的变量存在无穷个连续状态的演化。
数学建模---非线性规划模型
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
非线性回归模型
非线性回归模型概述非线性回归模型是一种用于建模非线性关系的统计方法。
与线性回归模型不同，非线性回归模型可以更好地适应各种复杂的数据关系。
常见的非线性回归模型1. 多项式回归：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过添加多项式项来拟合非线性数据。
多项式回归可以适应曲线、弯曲或波浪形状的数据。
2. 对数回归：对数回归是一种用于建模变量之间对数关系的非线性回归方法。
对数回归常用于分析指数增长或衰减的情况。
3. Sigmoid回归：Sigmoid回归是一种常用的非线性回归模型，适用于二分类问题。
它使用Sigmoid函数将输入数据映射到0和1之间的概率值。
4. 高斯核回归：高斯核回归是一种使用高斯核函数的非线性回归方法。
它可以用于拟合非线性关系，并在一定程度上克服了多项式回归模型的过拟合问题。
模型选择和评估选择合适的非线性回归模型是关键，可以根据数据的特点和问题的要求进行选择。
一般来说，模型应具有良好的拟合能力和泛化能力。
评估非线性回归模型的常见指标包括均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）和决定系数（R-squared）。
这些指标可以帮助我们评估模型的预测性能和拟合程度。
模型建立步骤1. 导入数据：将需要建模的数据导入到合适的工具或编程环境中。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、特征选择等预处理步骤。
3. 模型选择：根据数据的特点选择合适的非线性回归模型。
4. 模型训练：使用训练集对选定的模型进行训练。
5. 模型评估：使用测试集对模型进行评估，并计算评估指标。
6. 模型优化：根据评估结果进行模型参数调整和优化。
7. 模型应用：使用优化后的模型对新数据进行预测。
总结非线性回归模型是一种强大的建模工具，可以用于解决各种复杂的数据分析问题。
在选择和应用非线性回归模型时，需要根据具体情况进行合理选择，并对模型进行评估和优化，以提高建模的准确性和预测能力。
非线性模型
n
^
2
^ n ^ ds df ( xi , ) 2 ( yi f ( xi , )) 0 ^ d i 1 d
31
循环线性法 （iterative linearization method) • 对 y f ( x1, xk , 1, p ) • 将方程在某个系数初始数值集附近线性化， 然后采用OLS法，得到系数新的数值集。将 方程在这组新的数值集附近重新线性化， 再用OLS法获得系数新的数值集。不断重复 这一循环过程，直到收敛。
10
例
• 、
ln Y 7.217 0.5212ln L 0.003ln K1 0.071ln K 2 0.2694ln K3
R 0.8697 ...DW 2.26
2
11
例：某国某行业生产函数模型
ln Y 1.589 0.118ln L 0.734ln K 0.0446 t R 0.999...DW 2.091
2 2 t
3
0 1 zt1 2 zt 2 3 zt 3
21
22
23
24
. 2、可线性化的参数非线性问题
• . 参数非线性问题可通过变换转化为线性问 题。 • 例如Cobb-Dauglass生产函数
y Ak l e ln y ln A ln k ln l
p
将方程在 10 , p0
1, p
的初始值 附近展成泰勒级数
• 去掉二阶和更高阶的项，改写等式
f y f ( x1 , , xk , 10 , p 0 ) i 0 i 1 i
p
第九章 非线性模型的线性化
第九章 非线性模型的线性化标准线性模型：因变量与自变量以及参数均呈线性关系。
非标准线性模型：因变量与自变量不呈线性关系，但与参数呈线性关系。
非线性模型：因变量与参数都不呈线性关系。
§5.1 非标准线性模型的线性化因变量与自变量不呈线性关系，但与参数呈线性关系。
一． 多项式函数模型：形如2012k k y x x x u ββββ=+++⋅⋅⋅⋅⋅++的模型可通过代换s z x s =， 1,2,,s k =⋅⋅⋅⋅ 线性化（标准化）后，得01122k k y z z z u ββββ=+++⋅⋅⋅⋅⋅++二． 双曲函数模型：形如011y u x ββ=++的模型可通过代换1z x=线性化，得 01y z u ββ=++三． 半对数函数模型和双对数函数模型：形如01ln y x u ββ=++或01ln y x u ββ=++的模型称为半对数模型； 形如01ln ln y x u ββ=++的模型称为双对数模型。
可分别采用变换 ln y y *=或ln x x *=进行标准化，01y x u ββ*=++；01y x u ββ*=++；01y x u ββ**=++§5.2 非线性模型的标准化一． 非线性模型的变换（间接代换）：对某些非线性模型施以适当的变换，可化为标准线性模型。
研究柯布-道格拉斯生产函数模型：1． 柯布-道格拉斯生产函数模型：u Q AL K e βα=其中Q 代表产出，L 表示劳动力投入，K 表示资本的投入。
L 和K 是生产要素；u 是随机干扰项，A ，α和β是参数。
对于道格拉斯生产函数，一般要求满足“规模报酬不变”。
所谓规模报酬是指：在一定技术水平条件下，由生产规模的变动（要素投入量的变动）引起的产出量变动。
“规模报酬不变”是所有要素投入量按同比例变动，产出量也按相同比例变动。
一般， 设生产函数(,)Q f L K =，0λ> (,)f L K λλ(,)f L K λ= 不变规模报酬（又称为一阶齐次性）(,)f L K λλ(,)f L K λ> 递增规模报酬(,)f L K λλ(,)f L K λ< 递减规模报酬对于柯布-道格拉斯生产函数模型，有()()u u Q A L K AL K e e βαββααλλλλ+==所以，当 1αβ+= 不变规模报酬 （1βα=-）1αβ+> 递增规模报酬1αβ+< 递减规模报酬2．标准化：模型 u Q AL K e βα=首先，两边取对数ln ln ln ln Q A L K u αβ=+++然后作如下变换ln y Q =，1ln L x =，2ln x K =，ln a A =（要求u 满足假定，且1x ，2x 无多重共线性）则，12y a x x u αβ=+++，并且可用OLS 估计其参数，这样原模型的样本回归方程为Q A L K αβ∧∧∧∧=，其中，α∧和β∧是参数α和β的无偏估计量；y Q e ∧∧=，a A e ∧∧=，不是无偏估计量。
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接近。
意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
17
6
(5)图形：如 Y AX
0
( 6 ) 应用 弹性分析，如： Y 1 2 ln X ln EYX d ln Y d ln X 2 dY dX 2
0
对照边际分析： Y 1 2 X ,
7
3、对数函数（X单ln)
(1) 模型： Y 1 2 ln X ( 2)线性化： Y 1 2 X * (3)估计： ( 4)图形：
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
14
表 3.5.1
X X1 GP
中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
FP XC (1990年 价 ) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年 价 ) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q f ( X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
13
首先,确定具体的函数形式
2
一、模型的类型与变换
倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 幂函数模型、指数函数模型的对数变换法 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X 1 + c X2 c<0
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
特征：
消费行为在 1981~1995年间表 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征。
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:
ˆ ln( Q ) 3 .63 1 .05 ln( X ) 0 .08 ln( P1 ) 0 .92 ln( P0 )
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
16
按零阶齐次性表达式回归:
ˆ ln( Q ) 3 .83 1 .07 ln( X / P0 ) 0 .09 ln( P1 / P0 )
无法线性化模型的一般形式为:
Y f ( X 1 , X 2 , , X k )
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
Q AK L
12
二、非线性回归实例
例 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Q f ( X , P1 , P0 )
X：人均消费 X1：人均食 品消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
15
(当 年 价 ) (当 年 价 ) (上 年 =100) (上 年 =100) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
Q AX
1
对数变换: 考虑到零阶齐次性时
P1 2 P0 3
ln( Q ) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***) (****)
ln( Q ) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln( P1 / P0 )
（5）应用： X Y（ Y变化弱）
8
4、指数函数（Y单ln)
(1) 模型： Y Ae 2 X 2 3 X 3 u ( 2 )线性化： Y ln A 2 X 2 3 X 3 u ln 变量替换为 : Y * 1 2 X 2 3 X 3 u (3)应用： X Y变化强 ( 4 )平均增长率 dY d ln Y Y Y ln Y 1 t t , ( t 1) dt dt Y Yt Yt 1 注： ) (a 只用两点数据；b )Yt Y0 (1 ) t ( Yt
（75.86）(52.66)
(-3.62)
为了比较，改写该式为：
ˆ ln Q 3 .83 1 .07 (ln X ln P0 ) 0 .09 (ln P1 ln P0 ) 3 .83 1 .07 ln X 0 .09 ln P1 0 .98 ln P0
发现与
ˆ ln( Q ) 3 .63 1 .05 ln( X ) 0 .08 ln( P1 ) 0 .92 ln( P0 )
5
2、双ln模型
(1) 模型： Y AX 2 2 X k k e u ( 2)线性化：ln Y ln A 2 ln X 2 k ln X k u 变量替换为： Y * 1 2 X 2 k X k* u
*
ˆ (3)估计： i i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 4)回代：ln Y 1 2 ln X 2 k ln X k u
9
5、倒数函数
(1) X 倒数形式，如： Y 1 2 1 X
2 0
1
1
2 0
10
( 2 )Y以倒数形式出现： 1 Y 1 2 X
1
1
1
1
1 0
1 2
1 0 2 0
2 化
非线性回归模型
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
1
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为 幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
3
例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
4
具体讨论： 1、多项式模型 (1) 模型： Y 1 2 X 3 X 2 ... k X k 1 (2)线性化： Y 1 2 X 2 ... k X k 令 X i X i 1 , i 2...k (3)估计：给定 Y,X, 可知 X 1 , X 2 ... X k , 估计 i (4)回代： Y 1 2 X ... k X k 1 (5)用途： a.成本函数 三次函数 b.时间趋势 Y 1 2 t ... k t k 1 u t