系统辨识习题解答
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解：由于M序列是循环周期为 ， ， 为 序列移位脉冲周期，自相关函数近似于 函数， 为 序列的幅度。设数据的采样时间等于 ，则离散Wiener-Hopf方程为：
当 序列的循环周期 大于过程的过渡过程时间时，即 充分大时，离散Wiener-Hopf方程可写成：
由于M序列的自相关函数为
，
代入上式得
4－ 证明：
解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成
即
其中
根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：
自回归模型（AR模型）：
平均滑动模型（MA模型）：
自回归平均滑去模型（ARMA模型）：
3－4、根据离散Wiener-Hopf方程，证明
则噪声模型也化成最小二乘格式：
数据向量he(k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：
其中，
则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：
θ可表示成：
4－19、考虑如下模型
其中，u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v(k)是零均值白噪声，它是不可测的。试从Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量 的估计值 可以写成如下加权最小二乘算法的形式 ，
系统辨识习题解答
1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。
提示：①MA模型
② 定义
解：因为MA模型 ，其中
，从而
所以当定义 ，则有最小二乘格式：
，
其中e(k)是误差项。
2-3、设 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把 表示成AR模型、MA模型和ARMA模型。
式中， 为数据矩阵， 为输出向量，加权矩阵取 ，其中矩阵C为
解：令
及
则模型化成最小二乘格式：
准则函数取 ，其中 为加权因子，对所有的k， 都必须大于零。
对于 (L为数据长度)，可以构成线性方程组
式中
则 ，式中 为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子 构成
，
设 使得J（θ）最小，则有：
从而：
，
当 是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为
。
由于 ， ，
所以
由Markov估计， ,其中矩阵C为
，
取加权阵 。
P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计式：
我们有：
（A）
由于 为独立同分布，均值为零的不相关随机变量，因此有：
对（A）式两边求期望值，我们有：
由此递归式子，可得： （B）
（2）由指标的估计式：
将初值 和（B）式代入，两边取对数，有：
证毕。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）
(2) ，
(3) ,
(4) ,
解：(1)由于
，
所以
（2）由于
，
及
（3）由于
，
所以
（4）由于
，
所以
4－18、考虑如下模型
其中，u(k)和z(k)是模型的输入输出变量，v(k)是零均值白噪声。定义参数向量
请利用增广最小二乘思想，写出模型参数 的递推辨识算法。
解：令
及
则模型化成最小二乘格式：
令 ，及
当 序列的循环周期 大于过程的过渡过程时间时，即 充分大时，离散Wiener-Hopf方程可写成：
由于M序列的自相关函数为
，
代入上式得
4－ 证明：
解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成
即
其中
根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：
自回归模型（AR模型）：
平均滑动模型（MA模型）：
自回归平均滑去模型（ARMA模型）：
3－4、根据离散Wiener-Hopf方程，证明
则噪声模型也化成最小二乘格式：
数据向量he(k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：
其中，
则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：
θ可表示成：
4－19、考虑如下模型
其中，u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v(k)是零均值白噪声，它是不可测的。试从Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量 的估计值 可以写成如下加权最小二乘算法的形式 ，
系统辨识习题解答
1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。
提示：①MA模型
② 定义
解：因为MA模型 ，其中
，从而
所以当定义 ，则有最小二乘格式：
，
其中e(k)是误差项。
2-3、设 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把 表示成AR模型、MA模型和ARMA模型。
式中， 为数据矩阵， 为输出向量，加权矩阵取 ，其中矩阵C为
解：令
及
则模型化成最小二乘格式：
准则函数取 ，其中 为加权因子，对所有的k， 都必须大于零。
对于 (L为数据长度)，可以构成线性方程组
式中
则 ，式中 为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子 构成
，
设 使得J（θ）最小，则有：
从而：
，
当 是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为
。
由于 ， ，
所以
由Markov估计， ,其中矩阵C为
，
取加权阵 。
P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计式：
我们有：
（A）
由于 为独立同分布，均值为零的不相关随机变量，因此有：
对（A）式两边求期望值，我们有：
由此递归式子，可得： （B）
（2）由指标的估计式：
将初值 和（B）式代入，两边取对数，有：
证毕。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）
(2) ，
(3) ,
(4) ,
解：(1)由于
，
所以
（2）由于
，
及
（3）由于
，
所以
（4）由于
，
所以
4－18、考虑如下模型
其中，u(k)和z(k)是模型的输入输出变量，v(k)是零均值白噪声。定义参数向量
请利用增广最小二乘思想，写出模型参数 的递推辨识算法。
解：令
及
则模型化成最小二乘格式：
令 ，及