数值分析作业答案(第5章)part2

.证明：
(1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵
(2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。

证明：
(1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1
-i λ也皆大于0。

因此
1-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。

又
111)()(---==A A A T T
则1-A 也是对称正定矩阵。

(2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解
U L A ~
=。

又
022211111
1222
11111DU u u u u u
u u u u U n n nn =⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=M O ΛΛO 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是
0~
~DU L U L A ==
由A 的对称性，得
~
T
T T
L D U A A ==
由分解的唯一性得
~
L U T =
从而
~~
T
L D L A =
由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i Λ=表示A 的各阶顺序主子式，则有
011>=D d ，01
>=
-i i
i D D d ，n i ,,3,2Λ=
故
2
12
12
1
2
121D
D d d d d d d d d d D n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=O
O
O 因此
T T
T
LL D L D L L D D L A ===)(21~
2
1~
~2
121~
，
其中2
1~
D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。

.用列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-6
1531815331232
1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。

解
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-
=-=↔113/110053/7101513
186
76/3118/176/7053/7101513
186111153312151318)(323
2
18
1
21312
1m b A m m r r
所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=2100012100012100012100012A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00001b 。

解 设A 有分解
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11
1
111111211211
211211243
2
154321
ββββααααα， 由公式
⎪⎩⎪
⎨⎧===+===-4
,3,2,,5,4,3,2,,
,111111i c i b c b i i i
i i i i βααβαβαα 其中)5,,2,1(Λ=i b i ，)4,,2,1(Λ=i c i 分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。

具体计算，可得
21=α，232=α，343=α，454=α，5
6
5=α，
211-=β，322-=β，433-=β，5
44-=β。

由
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----00001561
451341231254321y y y y y ，
得211=
y ，312=y ，413=y ，514=y ，6
1
5=y ；再由
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--
-
-61514131211541
4
31
3
2121154321x x x x x ， 得615=
x ，314=x ，213=x ，322=x ，6
5
1=x 。

.下述矩阵能否分解为LU (其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵)若能分解，那么分解是否唯一
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。

解 A 中02=∆，故不能分解。

但由于010det ≠-=A ，所以若交换A 的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。

在B 中，032=∆=∆，故不能分解。

但B 可以分解为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33320010011113121u l B ，
其中32l ，33u 为任意常数，且U 奇异，故分解不唯一。

对于C ，)3,2,1(0=≠∆i i ，故C 可以分解且分解唯一。

⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131621136121C 。

.求证：(1).∞∞
≤≤x n x x
1；(2).F F A A A n
≤≤21。

证明 (1).由定义知
∞=∞
=≤≤=≤≤∞
==≤=≤=∑∑∑x n x
x x x x x
n
i n i i n
i n i i i n
i 1
1
11
11max max
故∞∞
≤≤x n x x
1。

(2).由范数定义，有
∑∑∑∑∑=======+++==+++≤=n
i F
n
j ij n
i in
n
i i n
i i T
T n T T T A a a a a A A tr A A A A A A A A A 1212
1
2
1
22
1
21
21max 2
2)()
()()()(ΛΛλλλλ
又
221max 2
21)]()()([1)(F T n T T T A n
A A A A A A n A A A =+++≥=λλλλΛ
所以F F A A A n
≤≤21。

.设n
n R
P ⨯∈且非奇异，又x 设为n
R 上一向量范数，定义
Px x P =
试证明P x 是n
R 上向量的一种范数。

证明 只需证明P x 满足向量范数的三个条件。

(1).因P 非奇异，故对任意0≠x ，有0≠Px ，故0≥=Px x
P
，当且仅当0=x 时，
有0==Px x
P。

(2).对任意R ∈α，有
P P x Px x P x αααα===。

(3).对任意n
R y x ∈,，有
P P P y x Py Px Py Px y x P y x +=+≤+=+=+)(，故P x 是n R 上的向量
范数。

.设A 为对称正定矩阵，定义()2
1,x Ax x A
=，试证明P x 是n R 上向量的一种范数。

证明 只需证明A x 满足向量范数的三个条件。

(1).因A 正定对称，故当0=x ， ()0,2
1==x Ax x
A
；而当0≠x 时，
()0,2
1>=x Ax x
A。

(2).对任意R ∈α，有
()A T T A x Ax x x A x x x A x ααααααα====()()(,2
1。

(3).因A 正定，故有分解T
LL A =，因而
2
2
12
1
))()(()()(x L x L x L x LL x Ax x x
T T T T T
T T A
====
对任意n
R y x ∈,，由2•的三角不等式有
2
2
2
2
2
2
)(T T
T T T T T A
L L y L x L y L x L y x L y
x +=+≤+=+=+，
故A x 是n
R 上的向量范数。