好题精析：与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动例析
．
落 地 时 间
ｇ
， 落 地 点 到 斜坡 顶 端 的 距 离
（ ２ ）因小球距离斜坡最远 （ Ｂ点 ） 速度方向角
ｔ ａ ｎ ８ ： ： 羔 生
告
Ｖ
破解关键：密切 关注两个过程 的连接 点，抓住平抛的突破 口一
一
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小球达到距离斜坡最远所 需时间
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对 于第二问，需要弄清 楚什么时候小球离斜面最远 ？小眯的速
度方 向与斜面平行时，那当然 马上 分解速度 ，建立速度三角形利用
移三角形，另一种是分速度 ，建立速度三角 形，结合运动学公式求 解 。当然在 处理平抛运动时还必须利用分运动的独立性和等时性 。 而与斜面关联 的平抛运动又是高中物理常考的题型和重点的题型。
而
＝ 腼
２ ７ ５都市家教
ｒ ｏ ｔ ｌ
斜面顶端与平台的高度差 ｈ ＝ Ｏ ． ８ ｍ，重力加速度 ｇ ＝ ｌ Ｏ ｅ ｒ ／ ｓ ２，ｓ ｉ ｎ ５ ３ 。
ｔ ＝ — — — — ＝ — — — — — 一
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：０ ． ８ ，ｃ ｏ ｓ ５ ３ 。 ： ０ ． ６ ，求①小球水平抛 出的 初速度 ｖ Ｏ 是多少？② 斜面顶端与平 台边缘 的水平距离 Ｓ 是多少 ？⑨若斜面顶端高 Ｈ＝ ２ Ｏ ． ８ ｍ ，则小球离 开平台后经多长时间 ｔ 到达斜面底端？
求：①小球需经过多长 时间落至 蝌 坡上？落地点到斜坡项端 的距离 是多大 ？ ②小球被抛 出多久距离斜坡最远 ？
破解关键：这种题型，对于第一问，—定要抓住突破 口：小球
… ｓ
＝ 厨
水平方向上的速度为 ０ ，所 以小球在 Ｂ点的速度为：
平抛运动与斜面、曲面结合的问题
平抛运动与斜面、曲面结合的问题高考试题呈现方式及命题趋势纵观近几年的高考试题，平抛运动考点的题型大多数不是单纯考查平抛运动而是平抛运动与斜面、曲面结合的问题，这类问题题型灵活多变，综合性强，既可考查基础又可考查能力，因此收到命题专家的青睐，在历年高考试题中属于高频高点。
求解思路解答平抛试题，首先要掌握平抛运动的规律和特点，同时也要明确联系平抛的两个分运动数量关系的桥梁，除时间t 外，还有两个参量：速度偏角α，tan yx v v α=位移偏角θ，tan y xθ= 两者关系：tan 2tan αθ=。
平抛运动与斜面、曲面结合的问题，命题者用意用于考查学生能否寻找一定的几何图形中几何角的关系，考查学生运用数学知识解决物理问题的能力。
知识准备结论：做平抛运动的物体经时间t 后，其速度t v 与水平方向的夹角为α（速度偏角），位移s 与水平方向的夹角为θ（位移偏角），则有tan 2tan αθ=证明：速度偏角0tan yx v gt v v α== 位移偏角2001112tan tan 22gt y gt x v t v θα==== 即：tan 2tan αθ=说明：以上结论对于做平抛运动的物体在任意时刻此式都成立，与物体运动速度大小，运动时间等外界因素无关！试题分类归纳一、抛点和落点都在斜面上存在以下规律：(1)位移与水平方向的夹角就为斜面的倾角(2)物体的运动时间与初速度成正比；由20012tan gt y gt x v t v θ===，知02tan v t g θ=，0v 确定时t 就确定了。
(3)物体落在斜面上时的速度方向平行；(4)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最远。
1.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P 以速度v 0抛出一个小球，落在斜面上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v 0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )A ．夹角α将变大B ．夹角α与初速度大小无关C ．小球在空中的运动时间不变D ．PQ 间距是原来间距的3倍[答案] B2.如图所示，ab bc cdde ef ====，当小球以速度水平0v 抛出后落于b 点，当以02v 。
斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动多角度引申河北省鸡泽县第一中学 许童钰 057350平抛运动是“曲线运动〞的重点，也是我们接触到的非常典型的曲线运动。
化曲为直是我们解决问题的根本思路。
应用平抛运动的规律解题的首先是将平抛物体的运动正确地沿两个方向分解为两个简单运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
根据运动的独立性原理决定了水平方向与竖直方向的两个分运动互不影响；而分运动之间、以及分运动和合运动之间的等时性那么是联系各分运动、以及分运动和合运动的桥梁，所以求解平抛运动的时间成为解决平抛运动问题的关键。
【例1】如图1所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，斜面顶端与平台的高度差h=，重力加速度g=10m/s 2，sin53° = 0.8，cos53°= 0.6，求⑴小球水平抛出的初速度v 0是多少？ ⑵斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？⑶假设斜面顶端高H = ，那么小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？【解析】〔1〕由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否那么小球会弹起，所以v y = v 0tan53°v y 2= 2gh代入数据，得v y = 4m/s ，v 0 = 3m/s 〔2〕由v y = gt 1得t 1 =s =v 0t 1 = 3× =〔3〕小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a =mg sin53° m= 8m/s 2初速度 υ = υ02 + υy 2 = 5m/sHsin53°=vt 2 +1 2a t 22代入数据，整理得 4t 22+ 5t 2 - 26 = 0 解得 t 2 = 2s 或t 2 = 134s 〔不合题意舍去〕 所以t = t 1 + t 2 =s 二、在斜面上的平抛运动【例2】 如图3所示，将质量为m 的小球从倾角为的光滑斜面上A 点以速度水平抛出〔即平行CD 〕，小球沿斜面运动到B 点。
小球在斜面平抛的规律
小球在斜面平抛的规律当小球在斜面上以水平方向进行平抛时，我们可以分析小球在水平方向和竖直方向上的运动规律。
首先，水平方向上的运动是匀速直线运动。
因为小球在水平方向上不受任何水平力的作用，只受到竖直方向上的重力作用。
而重力只对小球的竖直运动起作用，并不影响小球在水平方向的运动。
其次，竖直方向上的运动是自由落体运动。
小球在竖直方向上受到重力的作用，因此竖直方向上的运动是加速运动。
根据重力加速度公式g=9.8m/s²，小球在竖直方向上的运动速度会不断增加，而且方向是向下的。
由于斜面的倾角不同，小球在斜面上的平抛运动规律也会有所不同。
当斜面倾角为0度时，即斜面与水平面平行时，小球的平抛运动退化为水平抛体运动。
小球在水平方向上的速度保持不变，而在竖直方向上的速度会以重力加速度g向下增加。
当斜面倾角为45度时，即斜面的角度为最大角度时，小球在水平方向上的速度和竖直方向上的速度是相等的。
小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的速度和竖直方向上的速度都保持不变。
当斜面倾角小于45度时，小球在水平方向上的速度大于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向下运动，但速度逐渐减小。
在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐增大。
当斜面倾角大于45度时，小球在水平方向上的速度小于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向上运动，但速度逐渐减小。
在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐减小。
综上所述，当小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的运动是匀速直线运动，而竖直方向上的运动是自由落体运动。
而斜面的倾角决定了小球在斜面上的平抛运动的特点，包括速度的大小和变化规律。
关于《抛体运动中平抛与斜面的结合问题》的教案
关于《抛体运动中平抛与斜面的结合问题》的教案
一、教学目标
1.了解抛体运动中平抛与斜面的结合问题；
2.掌握抛体运动中平抛与斜面的结合问题的基本原理；
3.能够正确分析抛体运动中平抛与斜面的结合问题，并能够运用到实际问题中。
二、教学重点
掌握抛体运动中平抛与斜面的结合问题的基本原理。
三、教学难点
正确分析抛体运动中平抛与斜面的结合问题，并能够运用到实际问题中。
四、教学过程
1.引入：教师介绍抛体运动中平抛与斜面的结合问题，并引出本节课的内容；
2.讲授：教师讲解抛体运动中平抛与斜面的结合问题的基本原理，并给出相关的例题，让学生进行分析；
3.练习：教师出题让学生进行练习，并给予及时的指导；
4.总结：教师总结本节课的内容，并让学生归纳总结。
平抛运动与斜面、曲面相结合问题归类例析
平抛运动与斜面、曲面相结合问题归类例析作者：王玉鸿来源：《中学物理·高中》2014年第06期平抛运动是曲线运动的典型物理模型，其处理的方法是化曲为直，即平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分运动和合运动具有独立性、等时性和等效性的特点.纵观近几年的高考试题，平抛运动考点的题型大多不是单纯考查平抛运动而是平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，这类问题题型灵活多变，综合性较强，既可考查基础又可考查能力，因而受到命题专家的青睐，在历年高考试题中属高频考点.解答平抛运动的问题，首先要掌握平抛运动的规律和特点，同时也应明确联系平抛运动的两个分运动数量关系的桥梁除了时间t，还有是两个重要参量：一是速度与水平方向之间的夹角θ，其正切值tanθ=vy1vx （如图1）；二是位移与水平方向之间的夹角α，其正切值tanα=y1x （如图2）.这两个正切值之间还满足关系：tanθ=2tanα.平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，命题者用意在于考查学生能否寻找一定的几何关系，建立上述两个角参量与几何图形中几何角之间关系，或建立水平位移、竖直位移与曲线方程的函数关系，考查学生运用数学知识解决物理问题的能力.倘若学生能够从寻找这层关系上展开思维，也就找到了解决这类问题的钥匙.这类问题有多种题型，下面分几种情况进行讨论和解析.1从斜面外抛出的平抛运动1.1落点速度与斜面垂直例1（2010年全国Ⅰ卷）一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图3中虚线所示.小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为A.11tanθB.112tanθC.tanθD.2tanθ解析如图4所示，先将物体的末速度vt分解为水平分速度vx和竖直分速度vy.根据平抛运动的规律可知，vx=v0，vy=gt；又因为vt与斜面垂直，vy与水平面垂直，所以vt与vy间的夹角等于斜面的倾角θ.根据tanθ=vx1vy=v01gt，可以求出时间t=v01gtanθ.则小球竖直方向下落距离与水平方向通过距离之比y1x=112gt21v0t=112tanθ.所以答案为B.变式（2013年上海高考）如图5，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出A.轰炸机的飞行高度B.轰炸机的飞行速度C.炸弹的飞行时间D.炸弹投出时的动能解析由于炸弹落地时速度垂直于山坡，依照例题1的方法将速度分解建立与倾角的关系，可先求出炸弹的飞行时间t.再由几何关系可知炸弹的水平位移x=hcosθ，由v0=x1t可求得轰炸机的飞行速度.根据H=h+112gt2，可求得轰炸机的飞行高度.由于炸弹的质量未知，故无法求得其动能.所以答案为A、B、C.点评物体从斜面外抛出垂直落在斜面上的问题，要充分利用“垂直”关系，将隐藏的关系挖掘出来，即将落地速度沿水平和竖直方向进行分解，则竖直分速度vy与落地速度vt的夹角就等于斜面倾角θ，利用tanθ=vx1vy=v01gt即可求解此类问题.1.2落点速度与斜面或切面平行例2如图6所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为θ=53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）小球水平抛出的初速度v0是多少？（2）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？解析（1）由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy=v0tan53°，v2y=2gh，代入数据，得vy=4 m/s，v0=3 m/s.（2）由vy=gt1得t1=0.4 s，s=v0t1=3×0.4 m=1.2 m.变式如图7所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点.O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，求小球抛出时的初速度.解析将B点速度分解成水平分速度v0和竖直分速度vy，由于速度vt与圆弧相切，由几何关系得vy与vt的夹角等于60°，tan60°=v01vy=v01gt，得t=v013g.由几何关系，小球的水平位移x=R+Rcos60°，又x=v0t，解得v0=33gR12.点评当平抛的落点速度与斜面或切面平行时，要注意寻找速度角与几何角之间的关系，然后利用tanθ=vx1vy=v01gt求出相关物理量.1.3落点速度与斜面不垂直不平行例3如图8，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点.若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A.b与c之间某一点B.c点C.c与d之间某一点D.d点解析由平抛运动的特点，平抛运动时间由高度决定，与初速无关，高度相同时，水平位移与初速成正比.故可过b点作一水平线ef，由于ab=bc，所以eb=bf.若没有斜面，则当初速为2v0时，水平位移是初速为v0时的两倍，小球将落在同一水平线上的f点，若有斜面，画出轨迹可知，小球将落在斜面上的b、c两点之间的某一点，故答案为A.变式（2012年上海卷）如图9，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点.若小球初速变为v，其落点位于c，则A.v0C.2v03v0解析过b点作水平线de，由于ab=bc，则有db=be，画出落点在c点的平抛轨迹可知，当速度为v时小球落在同水平线上的b、e之间，即与初速为v0时相比，落在水平线de上的水平位移大于前者的1倍而小于其2倍，由平抛运动规律可知，v0点评根据平抛运动的规律，平抛时间由高度决定，高度相同时水平位移与初速成正比.物体从斜面外以不同速度抛出，落在斜面上的位置不同，为了利用上述规律解题，应虚拟一水平面，并画出平抛轨迹，根据位移关系来确定速度关系或根据速度关系来确定位移关系.1.4落点在曲面上的平抛运动例4（2012年全国卷）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面.如图10所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=112hx2，探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；（2）略.解析平抛运动的分解x=v0t，y=2h-112gt2，得平抛运动的轨迹方程y=2h-g12v20x2，此方程与坡面的抛物线方程为y=112hx2的交点为x=4h2v201v20+gh，y=2hv201v20+gh.根据动能定理mg·（2h-y）=Ek-112mv20.由以上各式解得Ek=112mv20+2mghv201v20+gh.点评平抛运动与曲面相结合，其结合点通常有两个，一是建立速度角或位移角与几何角的关系；二是建立平抛轨迹方程与有关曲线方程的函数关系.本题解题的关键是要确定探险队员在坡面上落点的位置，为此就要建立平抛轨迹方程与抛物线方程的关系，考查了运用数学方法解决物理问题的能力.2在斜面上抛出的平抛运动例5如图11所示，小球以初速度v0自倾角为θ的斜坡顶端被水平抛出.若不计空气阻力作用且斜坡足够长，重力加速度为g，试求：（1）小球需经过多长时间落到斜坡上？落地点到斜坡顶端的距离是多大？（2）小球被抛出多久距离斜坡最远？解析当小球从斜坡上抛出落到斜坡上时，位移与水平方向的夹角就等于斜坡倾角；而当小球距离斜坡最远时，小球的速度与水平方向的夹角也必等于斜坡的倾角.（如图12）（1）因小球落到斜坡上（A点）位移与水平方向夹角θ满足tanθ=y1x=112gt211v0t1=gt112v0，得落地时间t1=2v0tanθ1g，所以落地点到斜坡顶端的距离s=sx1cosθ=v0t11cosθ=2v20sinθ1gcos2θ.（2）因小球距离斜坡最远（B点）速度与水平方向的夹角θ满足tanθ=vy1vx=gt21v0，所以小球达到距离斜坡最远所需时间t2=v0tanθ1g.变式（2008年全国理综卷Ⅰ）如图13所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.。
与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v x2＋v y2特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()A.23s B.223s ， C. 3 s D.2 s【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．【例5】如图所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．课后作业1.如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落到了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打在斜面上，则v1、v2之比为()A．1∶2B．2∶1 C．3∶2 D．2∶32.如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O 点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2)()A．2 s B. 2 s C．1 s D．0.5 s3.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则()A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/sB.小球击中斜面时的速度大小为4 m/sC.小球做平抛运动的水平位移是1.6 mD.小球做平抛运动的竖直位移是1 m4.将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 3 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是()A.斜面的倾角是60°B.小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方D.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处5.如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶46.如图所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s7.如图所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A.553 m/sB.4 3 m/sC.3 5 m/sD.152m/s8.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x .与斜面有关的平抛运动参考答案【例1】【答案】 C【解析】 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有：tan 30°＝v 0v y ，v y ＝gt ，联立得：t＝v 0g tan 30°＝3v 0g＝ 3 s ，故C 正确． 【例2】【答案】 (1)4v 0 23g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0 212g【解析】 (1)设飞行时间为t ，则有：水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2解得：t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得：t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y22g y ＝v 0 2sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0 212g.【例3】【答案】 A【解析】 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【例4】【答案】 (1)6.75 m 0.9 s (2)32【解析】 (1)如图所示，小球落到B 点时位移与初速度的夹角为37°，设运动时间为t . 则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得：t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)设小球落到B 点时速度方向和水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.【例5】【答案】 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下 【解析】 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有： AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得：L ＝5 2 m ，t ＝1 s.(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1 解得：α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．课后作业1.【答案】C【解析】球A 做平抛运动，根据分位移公式，有x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，又tan 30°＝yx ，联立解得v 1＝32gt ；小球B 恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ，则得v 2＝33gt ，可得v 1∶v 2＝3∶2，故C 正确，A 、B 、D 错误． 2.【答案】C【解析】设小球撞到斜面AB 中的一点D 上，则小球的水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t ，则根据几何关系可得v 0t ＝10 m －12gt 2，代入数据解得t ＝1 s ，故选项C正确． 3.【答案】 A【解析】 P 点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝v 0v y ，解得：v y ＝v 0tan 37°＝334 m/s＝4 m/s ，小球击中斜面时的速度大小为：v ＝v 20＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，A 正确，B 错误；小球运动的时间：t ＝v y g ＝410 s ＝0.4 s ，可知水平位移：x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m ，竖直位移：y ＝12gt 2＝12×10×0.42 m ＝0.8 m ，C 、D 错误.4.【答案】 C【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ＝30°，A 错误；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2＝15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m ，B 错误；若小球的初速度为v 0′＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P 、A 之间，C 正确，D 错误。
专题02 平抛运动的描述——解析版
专题2 平抛运动的描述（教师版）一、目标要求二、知识点解析1．平抛运动的定义将物体以一定的速度抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动；做抛体运动的物体只受到重力作用，既加速度g不变，因此抛体运动一定是是匀变速运动．抛体运动开始时的速度叫做初速度．如果初速度是沿水平方向的，这个运动叫做平抛运动．平抛运动是匀变速曲线运动．平抛运动的特征：①具有水平方向的初速度②只受重力作用2．平抛运动的基本规律(1)水平方向：匀速直线运动．(2)竖直方向：自由落体运动，加速度为g．3．平抛运动的运动规律v的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物以抛出点为原点取水平方向为x轴，正方向与初速度(,)，下面将就质点任意时刻的速度、位移进行讨论．体在任意时刻t位置坐标为P x yy(1)速度公式：水平方向和竖直方向速度：0x y v v v gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此物体的实际速度为：0y x v v gtv v tan α⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩(2)位移公式水平方向和竖直方向位移：0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩因此实际位移为：02S y gt x v tan θ⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩注意：显然，位移和速度的夹角关系为：12tan tan θα=，即v 的反向延长线交于OA 的中点O ’．这一结论在运算中经常用到．(3)轨迹公式 由0x v t =和212y gt =可得2202g y x v =，所以平抛运动的轨迹是一条抛物线． 4．平抛运动的几个重要结论(1)运动时间：t =(2)落地的水平位移：x x v t v ==，即水平方向的位移只与初速度0v 和下落高度h 有关．(3)落地时速度：v =0v 和下落高度h 有关平抛运动 (4)两个重要推论：表示速度矢量v 与水平方向的夹角，故 表示位移矢量与水平方向的夹角，故 ①平抛运动中，某一时刻速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍． ②根据示意图，我们可知，平抛运动中，某一时刻速度的反向延长线与x 轴的交点为水平位移的中点． 5．求解平抛运动飞行时间的四种方法(1)已知物体在空中运动的高度，根据212h gt =，得到t = (2)已知水平射程x 和初速度0v ，也可以求出物体在空中运动的时间0x t v =(3)已知物体在空中某时刻的速度方向与竖直方向的夹角θ与初速度0v 的大小，根据0v gttan θ=可以求得时间．(4)已知平抛运动的位移方向与初速度方向的夹角α及初速度0v 的大小，根据200122gtgt v t v tan α==可求出时间．6．类平抛运动有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某个方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动．对这种运动像平抛又不是平抛，通常称为平抛运动，处理方法与平抛运动一样，只是a 不同而已．如图所示倾角为θ．一物块沿上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开．xα0tan y xv gt v v α==θ21tan tan 222x x y gt gt x v t v θα====7．斜面上的平抛运动解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，若已知斜面倾角，则相当于间接告诉合速度或者合位移的方 向．这个类问题主要就是将平抛运动规律与几何知识综合起来．①当物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向(角度)关系进行求解．例如：两个相对的斜面，倾角分别为037和053，在顶点把两个小球以相同初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，是求解A 、B 两个小球落到斜面上的时间之比是多少．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,== b ：由于物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角可知：tan y x θ=，()201tan 2gt v t θ=，0tan v t g θ2=，所以：tan 379tan 5316A B t t ︒==︒ ②当物体的起点在斜面外，落点在斜面上 解决这类问题应该注意一下几点： (1)斜面的倾角θ是一个很重要的条件(2)当物体做平抛运动，落到斜面上时，是垂直打到斜面上，所以水平方向的速度和竖直方向的速度有以下关系：0tan yv v θ=根据这个公式再加上水平方向和竖直方向的位移关系就可以方便的求解．例如：在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处平抛一个小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度．a ：从位移关系入手，我们可以求出水平方向和竖直方向的位移大小：2012x v t y gt ,==，由图可知， 2012tan 37H gt v t-︒=. b ：由速度关系得：0tan 37v gt ︒=，解之得：0v = 8．斜抛运动的基本概念(1)定义：斜向上或斜向下抛出的物体只在重力(不考虑空气阻力)作用下的运动叫做斜抛运动． (2)斜抛运动的特点：水平方向速度不变，竖直方向仅受重力，加速度为g ．(3)斜抛运动的分解：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下 抛运动的合运动． (4)斜抛运动的方程如图所示，斜上抛物体初速度为v ，与水平方向夹角为θ，则速度：x yv v v v gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩位移：212x v t y v t gt cos sin θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩轨迹方程：可得：xt v cos θ=，代入y 可得2222gx y x v tan cos θθ=-可以看出：y ＝0时 (1)x ＝0是抛出点位置．(2)22v x gsin θ=是水平方向的最大射程．(3)飞行时间：2v t gsin θ=三、考查方向题型1：平抛运动的基本规律典例一：(多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A ．落地时间仅由抛出点高度决定B ．抛出点高度一定时，落地时间与初速度大小有关C ．初速度一定的情况下，水平飞出的距离与抛出点高度无关D ．抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度大小成正比 【答案】AD【解析】AB ．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由 h =212gt 得 t则知平抛运动的时间由抛出点高度决定，与初速度无关，故A 正确，B 错误；CD ．平抛运动的水平距离 x =v 0t=v 抛出点高度一定时，水平飞出距离与初速度的大小成正比，故C 错误，D 正确．题型2：平抛运动的计算典例二：（2020江苏·多选）如图所示，小球A 、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A 、B 的水平位移分别为l 和2l 。