等式的性质
初一等式的性质
等式的性质考点名称：等式的性质等式：含有等号的式子叫做等式(数学术语)。
形式：把相等的两个数（或字母表示的数）用“=”连接起来。
等式可分为矛盾等式和条件等式。
矛盾等式就是左右两边不相等的"等式"。
也就是不成立的等式,比如5+2=8,实际上5+2=7,所以5+2=8是一个矛盾等式.有些式子无法判断是不是矛盾等式,比如x-9=2,只有x=11时这个等式才成立(这样的等式叫做条件等式),x≠11时,这个等式就是矛盾等式。
等式的性质：1.等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
即若a=b，则a±m=b±m。
2.等式两边同乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得结果仍是等式。
即若a=b，则am=bm，（m≠0）。
3.等式具有传递性。
若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an4.等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等若a=b 那么有a^c=b^c 或(c次根号a)=(c次根号b)5.等式的对称性（若a=b，则b=a）。
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质。
如移项，运用了等式的性质1；去分母，运用了等式的性质2。
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为0，否则无意义。
拓展1：等式两边同时被一个数或式子减，结果仍相等。
如果a=b，那么c-a=c-b2：等式两边取相反数，结果仍相等。
如果a=b，那么-a=-b3：等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等。
如果a=b≠0，那么c/a=c/b4：等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。
如果a=b≠0，那么1/a=1/b。
《等式的性质》
同时加
3，得到
8=10，等式仍然成
立。
即：若 a=b，则 a+c=b+c（或 ac=b-c）。
等式的乘法性质
等式两边同时乘以（或 除以） 同一个非零数，等式仍然成立 。
即：若 a=b 且 c≠0，则 ac=bc（或 a/c=b/c）。
示例：若 6=9，两边同时乘以 2，得到 12=18，等式仍然成 立。
等式与不等式在解决实际问题中的应用
等式常用于求解未知数或验证数学定理；
不等式则更常用于解决实际问题中的大小、范围、最值等问题；
举例：利用不等式求解最优化问题（如线性规划），或者通过等式和不等式联合求 解实际问题（如方程组和不等式组的综合应用）。
高级等式性质与应
04
用
移项与合并同类项
移项
通过移项操作，可以将等式中的某些项移到等式的另一侧， 从而简化等式或解决问题。在移项时，需要保持等式的平衡 ，即等号两边的数学表达式在移项后仍然相等。
实际问题解决
等式的基本性质在几何中也有应用，例如 证明几何定理时，可以通过构建等式并应 用等式性质进行推导。
等式的基本性质可以用于解决实际问题中 的方程问题，如距离、速度、时间之间的 关系等。
等式的运算性质
02
等式的加法性质
等式两边同时加上（ 或 减去）同一个数 ，等式仍然成立。
示例：若 5=7，两边
学习等式性质的意义与价值
培养逻辑思维能力
通过学习等式的性质，我们可以培养逻辑思维能力，学会 从已知条件出发，通过逻辑推理得出未知数的解。
解决实际问题的基础
等式性质在实际问题中有广泛的应用，例如工程问题、经 济问题等。掌握等式的性质，能够帮助我们更好地解决这 些实际问题。
等式的性质
◎等式的性质接下来介绍的是化简算式和解方程的知识．一个复杂的算式怎么样化简呢？这就要求我们重新认识等号及加减乘除的概念．我们先来认识一下等式的性质．我们曾经详细地解释过1＋1＝2中的秘密，这个等式中隐藏着我们看待世界的三个重要的规律：第一，它表示在不同的事物中隐藏着相同的概念；第二，它表示在变化之中总有不变的规律；第三，它表示我们可以通过过程准确地预知结果．接下来，我们就从这些基本规律出发，进一步分析一下等式的性质．我们曾经说过，带有未知数的等式叫作方程，而程的意思就是天平．如果我们把等式看作一架天平的话，很容易就能够根据天平的特征得出等式的三个基本性质：第一，如果我们把等式的左右两边翻转过来，等式依然成立．比如2＋3＝5，把等式左右反转，得到的是5＝2＋3．同理，如果a＝x，那么x也就等于a．为什么呢？因为等式是天平，把天平左右两侧的东西交换一下位置，天平当然会保持平衡了．我们把等式左右可以相互交换的这种性质，叫作等式的对称性，或者叫作反身性．第二，如果两个数量都跟第三个数相等，那么这两个量也彼此相等．2＋3是等于5的，1＋4也是等于5的，所以2＋3就等于1＋4．如果a＝c，b＝c，那么a＝b，这个性质叫作等式的传递性．这个也很容易理解，我们在使用天平的时候，如果称出的两个物体的重量都等于两千克，那么，它们两者的重量肯定是相等的．反身性和传递性都是等式的最基本的性质，那么接下来，我们再看看等式的第三个基本性质．在小学的时候，我们曾经做过这样的题目：有一架天平始终保持着平衡，在天平的左边放着三个桃子，天平右边放着两个桃子和两个橘子，问：一个桃子的重量等于几个橘子的重量？我们知道，在题目中左边的桃子和右边的桃子加橘子的重量是一样的，而天平是一个平衡的杠杆机构．我们在天平的两边同时加上同样重量的东西，或者同时减去同样重量的东西，天平仍然可以保持平衡．现在，在天平的左侧放着三个桃子，右侧放着两个桃子和两个橘子，如果我们把天平两侧同时拿走两个桃子，天平仍然可以保持平衡．这样，在天平的左侧就剩下了一个桃子，而右侧就剩下两个橘子了，这样我们就得到了最终答案：一个桃子的重量等于两个橘子的重量．这个题目在小学阶段我们就非常熟悉了，我们应该从中发现什么规律呢？那就是，在等式的两边经过了相同的运算，结果仍然是相等的．这是等式的最重要的一个性质，任何等式，无论经过了怎样的计算，只要过程相同，那么结果一定是相等的．因为等式两边要经过相同的变化过程，所以这个性质又叫协变性．实际上，这个性质不仅仅存在于天平上，也不仅仅存在于等式中，它是我们这个世界的一个普遍规律．也就是说，从相同的起点出发，经过了相同的方向和相同的路程，最终到达的目的地也一定是相同的；几个相同的事物，经过了相同的变化过程，最终的结果也一定是一样的．比如，几个一模一样的皮球，从一模一样的高度掉落下来，它们掉到了一模一样的地板上，那么我们就可以知道，这几个皮球弹起来的速度、高度及所用的时间一定都是相同的．再比如，几条相同的鱼，经过了相同的烹饪方法，最后色、香、味也会是一模一样的．我们原来所说的，变化的事物里隐藏着不变的东西，这是这个世界的静态原理；现在我们说，相同的事物，经过了相同的运动变化，必然会得到相同的结果，这是这个世界的动态变化原理．这个原理表现在数学上，就是等式的协变性．一切解方程的具体方法，全部都是从这个基本原理中演化出来的．比如：x＋3＝5．这个算式在小学的时候我们就学过，可是小学的时候是怎么求解的呢？我们当时的思路是，一个东西加一个数以后就变成5了，说明这个数字肯定比5小．那么就用减法，所以x就等于5－3了．结果算对了，可是这个过程是小学的算术思维．那么，当我们学习了等式运算的基本原理以后，要怎么做呢？我们首先要看现在这个算式是什么，希望得到的算式是什么，然后再考虑一下怎么从现在的算式变成我们希望的算式．比如刚才的问题：我们现在的算式是x＋3＝5，我们希望得到的算式是等号左边只有一个x，右边只有一个得数，那么怎么样从现在的算式得到最终的算式呢？那我们就要看看等号左右两边多什么，怎么样把它去掉．回头再看x＋3＝5，右边倒是挺简单的，左边除了x外，还多一个＋3，那怎么把左边多余的3去掉呢？此时，我们可以使用加减乘除任何的计算方法，也可以随便地使用世界上任何一个数字，但是只有一个要求，那就是：等号左边怎么做了，右边也得同步操作．怎么做可以把左边的加3去掉呢？很简单，再减去一个3就可以了．那左边－3了，右边是不是也得－3呢．对！我们把算式写下来吧：x＋3－3＝5－3左边的＋3－3相互抵消了，就变成了x＝5－3，这个时候，等号左边的算式已经干干净净了，右边还多一个减3，那就把它再算出来，5－3＝2，最后得到结果：x＝2．等式有三个基本性质，第一，等式具有反身性，也就是说等式的左右两边相互对换位置以后，等式仍然成立；第二，等式具有传递性，也就是说，两个式子都和第三个式子相等，那么这两个式子也相等；第三，等式具有协变性，也就是说，等式两边经过了相同的运算以后，等式仍然成立．。
等式的基本性质
设一个花盆的重量为a克，一个花瓶的重量为b克。
a+b=4b
a+b-b=4b-b a=3b
等式的基本性质一：
等式的两边同时加上或减去相等的数，等式不变。
设一瓶墨水的重量为a克，一个文具盒的重量为b克。
a=2b
a×2=2b×2 2a=4b
设一个排球的重量为a克，一个小皮球的重量为b克。
人教版五年级数学上册第四单元
芦溪二小 童驰
设一个茶壶的重量为a克，一个茶杯的重量为b克。
a=2b
a+b=2b+b a+a=2b+a
1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋1个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋2个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量＋1把茶壶的重量
2a=6b
2a÷2=6b÷2
a=3b
等式的基本性质二：
等式的两边同时乘或除以相等的数（0 除外），等式不变。
X＋4=48
x＋4 ○ □ =48 ○ □
X－4=48
x－4 ○ □ =48 ○ □ x÷4=48 x÷4 ○ □ =48 ○ □
x × 4=48
x × 4 ○ □ =48 ○ □
等式的性质
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等；即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等；即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0, 4、等式的对称性：即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换）即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =；（2）若bc ab =，则c a =； （3）若bc b a =，则c a =； （4）若b c b a -=-，则c a =； （5）若1=xy ，则yx 1=； （6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ；（2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ； （6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ； （7）如果22-=-y x ，那么=x ；（8）如果32y x =，那么=x 3 ． 说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
等式的性质教案
等式的性质教案一、等式的定义等式是指两个数或者两个代数式之间用等号连接的关系。
例如：2+3=5，x+2=7。
二、等式的性质1. 等式两边相等等式的左右两边分别代表着相同的数或代数式，因此等式两边是相等的。
例如：2+3=5，左边的值为2+3，右边的值为5，它们是相等的。
2. 等式两边加上（或减去）相同的数（或代数式），仍相等对于等式A=B，如果在等式两边同时加上（或减去）相同的数（或代数式）C，那么等式仍然成立，即A+C=B+C或A−C=B−C。
例如：2+3=5，如果在等式两边同时加上4，那么等式变为2+3+4=5+4，左边的值为2+3+4=9，右边的值为5+4=9，它们是相等的。
3. 等式两边乘以（或除以）相同的数（或代数式），仍相等对于等式A=B，如果在等式两边同时乘以（或除以）相同的数（或代数式）C，那么等式仍然成立，即AC=BC或AC =BC。
需要注意的是，当C=0时，等式不成立。
例如：2+3=5，如果在等式两边同时乘以2，那么等式变为2×(2+3)=2×5，左边的值为2×(2+3)=10，右边的值为2×5=10，它们是相等的。
4. 等式两边交换位置，仍相等对于等式A=B，如果交换等式两边的位置，那么等式仍然成立，即B=A。
例如：2+3=5，交换等式两边的位置，得到5=2+3，它们是相等的。
三、等式的应用1. 解方程方程是指含有未知数的等式，例如：x+2=7。
我们可以利用等式的性质来解方程。
以x+2=7为例，我们可以先将等式两边减去2，得到x=5，这就是方程的解。
2. 化简代数式化简代数式是指将一个复杂的代数式化简成一个简单的代数式。
我们可以利用等式的性质来化简代数式。
以2x+3x为例，我们可以先将2x和3x相加，得到5x，这就是化简后的代数式。
3. 求证等式求证等式是指证明一个等式成立。
我们可以利用等式的性质来求证等式。
以2+3=5为例，我们可以将等式两边相加，得到2+3=5，这就是等式成立的证明。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
用等式的性质解方程
用等式的性质解方程
等式的性质1 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式 子)，结果仍相等。
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为0的数，结果仍相等。
注意： 1、等式两边都要运算，并且是作同 一种运算。 2、等式两边加或减，乘或除以的数 一定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能除以0，因为Leabharlann 不能 作除数或分母。–1 1
–4 2
c
x=16
x=4 x=0
解：由题得 3a=9，解得a=3
课堂小结： 通过本节课的学习，你有什么收获？
作业：课本83页第4题
「 让PPT设计简单起来！」
11
成立，等式性质1，两边减a 成立，等式性质1，两边加7 成立，等式性质2，两边乘 –1
5 9
6
解：两边减7，得
解：两边除以-5，得 =
19+7 = 26 = 右边 – 5×（ – 4）=20=右边
解：两边加5，得 两边乘 – 3，得
检验： – ×（– 27）– 5 = 9 – 5 = 4 = 右边，
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等式性质2：
等式两边（ ），或者（ ），左右两边仍然相等。
练习
检测
2.根据等式的性质，把下面的等式填写完整。
（1）6a=b,6ab=( )×（ ） （2）5a=2b,20a=( )
(3)a+b+30=n+a,( )+30=n (4)200ab=4bc,200a=4×（ ）
(5)a+b=c,a+b+( )=c+20
2.图2里面两边都拿掉1个花瓶，天平还保持平衡吗？
1个花盆和（ ）个花瓶同样重。
你发现什么？
等式的性质1：
等式的两边（ ）或者（ ）同一个数，左右两边仍然相等.
探究
研讨
3.观察图3
如果天平两边的物品数量分别扩大到原来的3倍，4倍，5倍，天平还保持平衡吗？
图4
如果把两边的球都平均分成2份，各去掉1份 ，天平还保持平衡吗？
课题
等式的性质
设计者
周莹莹
姓名
学习
目标
1.弄清方程和等式两个概念的关系。
2.通过天平游戏，使学生在探索中发现并掌握等式的性质。
3.在游戏中感受数学与实际生活的密切联系。发展学生数学的应用意识
重点
引导学生探索等式的性质。
难点
抽象归纳出等式的ห้องสมุดไป่ตู้质。
学习环节
内容安排
预习
质疑
1.仔细阅读书本64.
我们通过图上的阅读发现如果天平两边各放上2个同样的茶杯，天平还保持平衡吗？（ ）两边各放上同样的1把茶壶呢？（ ）
学习评价
认真听讲 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆积极思考 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
研讨交流 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆作业质量 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆