幂的乘方和积的乘方(1)
当m、n是正整数时，
（am）n＝am﹒am﹒．．．﹒am
n个am
＝am+m+．．．+m
n个m
＝amn
所以（am）n＝amn(m、n是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1计算：
（1）（106）2
（2）（am）4(m是正整数)
（3）－（y3）2
(4) (－x3)2
例2：
（1）x2·x4＋(x3)2
说明：应用题要写答案，最后用科学记数法。
师生互动，及时点评。
小结：本节课我们学习了幂的乘方的运算法则，望同学们在用此法则时不要同同底数幂的运算法则混淆了。
学生回答
由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
学生口述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
学生板演
板书设计
情境创设
（2）(a3)3·(a4)3
练一练：P54
⑴a12＝（a3）( )＝（a2）( )＝a3a( )
＝（）3＝（）4
⑵32﹒9m＝3( )
⑶y3n＝3, y9n＝
⑷（a2）m+1＝
⑸{（a-b）3}2＝（b-a）( )
⑴4﹒8m﹒16m＝29m＝
⑵如果2a＝3 ,2b＝6 ,2c＝12,那么a、b、c的关系是.
教学内容
教师活动
学生活动
问题1：哪同学能在黑板上写下100个104的乘积？
经过试验，同学们会发现黑板上写不下100个104。
问题2：那哪位同学能用一个比较简单的式子表示100个104的乘积？
根据乘方的定义，100个104的乘积不就是（104）100吗？
做一做P52
计算下列各式：
⑴（23）2＝
⑵（a4）3＝
课时编号
备课时间
课题
8.2幂的乘方和积的乘方（1）
教学目标
1、掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2、会双向应用幂的乘方公式。
3、会区分幂的乘方和同底数幂乘法
教学重点
1、掌握幂的乘方法则，并会用它熟练进行运算。
2、幂的乘方法则的推导过程。
教学难点
会双向运用幂的乘方公式，培养学生思维的灵活性
教学过程
1、
2、
例1：……
……
……
例2：……
……
……
习题……
……
……
作业布置
课后随笔
设置问题，引起学生思考
那怎么办呢？
板书：幂的乘方
分析：让学生回到定义中去，进而在由同底数幂的乘法法则得出结果，比较后易找找规律。
从上面的计算中，你发现了什么规律？
分析：⑴直接运用法则。
⑵4m数字在前，字母在后。
⑶注意“－”
⑷负数的奇次幂是负数
分析：本课的难点，要求学生仔细辨析，何时用同底数幂的法则，何时用幂的乘方法则，何时是合并同类项，不可张冠李戴。
1.2 幂的乘方与积的乘方(一)
8. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n．
小结
1.
a a a
m n
mn
m, n都是正整数
同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 2. (am)n=amn (m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
作业
• 完成课本习题1.2中1、2 • 拓展作业： 你能尝试运用今天所学的知识解决下面 的问题吗
2. 计算： (1) (103)3 ; (2) －(a2)5 ; (3) (x3)4 · x2 ; (4) [(－x)2 ]3 ; (5) (－a)2(a2)2; (6) x· x4 – x2 · x3 .
联系拓广
⑴ a12 ＝（a3）( ) ＝（a2）(
(2) y3n ＝3, y9n ＝ .
)
＝a3 a( )＝（ ）3 ＝（ ）4
(根据 同底数幂的乘法 ).
=106 =102×3
探究新知
做一做：计算下列各式，并说明理由 .
(1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (am)2 ; (4) (am)n .
解：(1) (62)4 = 62· 62· 62· 62 =62+2+2+2 =68 =62×4 ;
(2) (a2)3 = a2· a2· a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ; (3) (am)2 =am· am =am+m =a2m ;
（1） 9 9
3 5
8 ；
（2）a 6
a
3
2
a
5
8
；
（4）( x)
( x)
x
6
8
；
2 3 4 5 a a a a （6） 2a .
8.2_幂的乘方与积的乘方(1)
对于任意的底数a，当m,n是正整数时 一般地有
n个 am
n个 m
m)n= am· m…am =am+m+…+ m =amn (a a
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
m n = amn ,其中m,n是正整数 a
例 1 计算： (1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)[(x-y)2]n． 解：(1)(106)2 = 106×2= 1012; (2)(am)4 = am×4= a4m； (3)-(y3)2 =-(y3×2)=-y6； (4) [(x-y)2]n = (x-y)2×n= (x-y)2n ．
例 2 计算： (1)x2· 4＋(x3)2; x (2)(a3)3· 4)3 (a 解：（1）x2· 4＋(x3)2 x =x2＋4+x3×2 =x6+x6=2x6; (2)(a3)3·(a4)3 =a3×3·a4×3 =a9·a12 =a9+12 =a21.
练一练
计算 1. (y2)3y2 2. 2(a2)6a3 -（a3)4 a3 3.（-32)3· （-33)2 4.（-x)2(-x)3
(102)3
10 10 10 10
2 2 2
2 2 2
10
6
（2） 100个104相乘，可以记作什么？
(104)100
做一做
请求出100个104的乘积。
幂的乘方与积的乘方(1) ——幂的乘方
试一试：先说出下列各式的意义，再计 算下列各式：
2
3 2
10
2 4
1 3
2 3
试一试：计算下列各式：
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方在数学的广袤天地中，幂的乘方与积的乘方是两个非常重要的运算规则，它们就像是数学世界里的两把神奇钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
先来说说幂的乘方。
假如我们有一个幂，比如 a 的 m 次幂，然后再对这个幂进行乘方，也就是（a^m）＾n，那么结果会是什么呢？其实，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
也就是说，（a^m）＾n ＝ a^（m×n)。
为了更好地理解这个规则，咱们来举几个例子。
比如，（2³）²，这里底数是 2，先算 2³＝ 8，然后再算 8²＝ 64。
但如果我们用幂的乘方法则来计算，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2³）²＝ 2^6 ＝ 64，结果是一样的。
再比如，（x²）³，按照法则，底数 x 不变，指数 2×3＝ 6，结果就是 x^6。
那幂的乘方这个规则在实际解题中有什么用呢？假设我们要计算一个比较复杂的式子，比如（5²）＾4 ×（5³）²。
如果没有幂的乘方法则，我们可能要一步步计算 5²、5³，然后再进行多次乘法运算，会非常繁琐。
但有了幂的乘方法则，（5²）＾4 ＝ 5^8，（5³）²＝ 5^6，那么原式就可以化简为 5^8 × 5^6 ＝ 5^（8 ＋ 6) ＝ 5^14。
这样是不是简单多了？接下来，咱们再聊聊积的乘方。
如果有几个因数相乘，然后给整个积进行乘方，比如（ab）＾n，那结果又该怎么算呢？积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
也就是（ab）＾n ＝a^n × b^n。
比如说，（2×3）²，按照法则，2²＝ 4，3²＝ 9，所以（2×3）²＝2² × 3²＝ 4×9 ＝ 36。
幂的乘方与积的乘方(1)(北师大版)
5300=(53)100=125100.
因为256100>243100>125100,所以
4400>3500>5300.
讲授新课
方法总结
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
(1)底数相同,指数越大,幂就越大;
(2)指数相同,底数越大,幂就越大.故在此类
(4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
当堂检测
9．计算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
当堂检测
10.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
解:因为3x+4y-5=0,
所以3x+4y=5,
则27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.
当堂检测
11.已知：am=2,an=5.求a3m+2n的值
最后算加减
底数的符号要统一
讲授新课
方法总结
与幂的乘方有关的混合运算中，一
般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘
法，最后算加减，然后合并同类项．
讲授新课
例： 比较3500,4400,5300的大小.
分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方运算法则
底数不变，指数相乘。
即
a的m次幂的n次幂=a的(m?n)次幂(n、m为正整数)
积的乘方运算法则
把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即
a、b乘积的n次方=a的n次方乘b的n次方(n为正整数)
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方法则：幂的乘方是幂的一种运算积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方最终转化为指数的乘法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。
幂的乘方是类比数的乘方，并借助于同底数幂的乘法性质来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出幂的乘方的性质，进而通过推理加以论证，这一过程蕴含着转化及由特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方的运算法则：幂的乘方，低数不变，指数相加。
积的乘方的运算法则：是指底数是乘积形式的乘方。
幂的乘方与积的乘方(1)
幂的乘方与积的乘方知识点1 幂的乘方 重点：掌握法则)m n mn a a =（（m,n 是整数）。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
法则的推导。
幂的乘方是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的。
...()......m m nmn m m m m m m m m n a n m a a a a a a a a +++===个个 ()n m n ma a 与的区别。
()n m n m m n a n a a m a 表示个相乘，而表示个相乘。
例如：3323236282325=5=55=555⨯≠（），所以（） 知识点2法则)n n n ab a b =（（n 是正整数）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所有得幂相乘。
法则的推导().().()...()(....)(....)n n n n ab n a n b ab a b ab ab ab a a a b b b ===个个个 知识拓展 （1）,a b 可以表示数或单项式或多项式.(2)公式可以逆用，()n n n a b ab =（n 是正整数）（3）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即()n n n n abc a b c =（n 是正整数）（4）注意符号问题。
规律方法小结 （1）当运用幂的乘方法则计算或者比较两个数的大小时，常常要逆用幂的乘方法则，即()mn m n a a =。
例如：1535555113333(3),3(3),5(5)===。
（2）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。
101010101:.2.2112⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1如①2 ②10110010010010010011111112.2.. 2..1.2222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ③1001002544252575253325252322=2=1633=3=27⨯⨯③比较与的大小，只需把化成（），把化成（），1007516<27,23.<因为所以课堂小结 本节归纳1知识结构及要点小结()()()()()()()()()(),,,n n mn n m mn m n n n n n n n n n n a a m n a a a m n ab a b n a b ab abc a b c n ⎧⎧=⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩⎨⎧⎪=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩m 公式：是正整数幂的乘方推广：是正整数乘方公式：是正整数积的乘方推广：是正整数 2解题方法及技巧小结与同底数幂的乘法相结合，逆用幂的乘方和积的乘方进行简便的运算，其简便运算的指导思想是“凑整”。
8.2_幂的乘方和积的乘方(1)[1]
课题：8.2 幂的乘方和积的乘方（1）自学指导：1．能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示；2．能灵活运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；一、知识梳理1.一个正方体的边长是102cm ，则它的体积是多少？2.100个104相乘，可以记作什么？3.先说出下列各式的意义， 再计算下列各式：(23)2表示____________； 23)2(＝ = ； (a 4)3表示____________； 34)(a ＝ = ； (a m )5表示____________．5)(m a ＝ = 。
4.从上面的计算中，你发现了什么规律？猜想：(a m )n ＝？分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确．归纳：幂的乘法法则：二、例题精讲例1：计算（1）26)10( （2）4)(m a （ｍ为正整数）（3）－23)(y （4） 33)(x练一练： 1．计算：（1） ( 104 )2；（2）(x 5)4；（3）－(a 2)5 ；（4） (－23)20 ．2．下面的计算是否正确？如有错误请改正．（1）(a 3)2＝a 2＋3＝a 5； （2）(－a 3)2＝－a 6 ．例2：计算（1）2342)(x x x +⋅ （2）33)(a 34)(a ⋅练一练：计算： 1．(y 2)3y 2 ； 2．(－32)3(－33)2 ； 3．(－x )2(－x )3 ．四、拓展提高1．若a2n＝5，求a6n；2．若a m＝2，a2n＝7，求a3m+4n；3．比较2100与375的大小；4．已知44×83＝2x，求x的值．三、课后练习1．下列计算中正确命题的个数有（ ）个①2a a m ⋅＝m a 2 ②523)(a a = ③623x x x =⋅ ④423)(a a ⋅-＝9a A.1个 B.2个 C.3个 D.以上答案都不对 2．)24(n ⨯2等于（ ）A.n 24⨯ B ．424+n C. n 22 D. 422+n 3．计算：（1）（x 2）3·（x 2）2； （2）（a 2）5·（a 4）4；（3）（c 2）n ·c n+1。
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方与积的乘方运算法则首先，让我们来了解一下什么是幂的乘方。
在数学中，幂的乘方是指将一个数称为底数，用一个整数表示次数，通过乘方运算得到一个新的数，这个新的数就是结果。
例如，如果我们有一个底数a和一个指数n，我们可以用a^n来表示这个幂的乘方。
这个表达式的意思是将底数a连乘n次，得到的结果就是a的n次幂。
例如，2^3=2×2×2=8，这里的2就是底数，3就是指数，8就是2的3次幂。
接下来，让我们来看看幂的乘方的运算法则。
幂的乘方的运算法则可以分为两种情况：同底数幂的乘法和不同底数幂的乘法。
首先，我们来讨论同底数幂的乘法。
当两个幂的底数相同，我们可以将它们的指数相加得到新的指数，这个规则被称为同底数幂的乘法规则。
例如，如果我们要计算2^3×2^4，我们可以将这两个幂的指数相加，得到2^(3+4)=2^7=128。
这里我们将2的3次幂和2的4次幂相乘，得到2的7次幂，结果是128。
接着，让我们来讨论一下不同底数幂的乘法。
当两个幂的底数不同但指数相同时，我们可以将它们的底数相乘，指数不变。
例如，如果我们要计算2^3×3^3，我们可以将这两个幂的底数相乘，得到2×3=6，然后将指数保持不变，得到6^3=216。
这里我们将2的3次幂和3的3次幂相乘，结果是216。
除了幂的乘方，积的乘方也是数学运算中常见的问题。
积的乘方指的是将一个积（多个数相乘）的次方，这种运算也有一定的规则和性质。
首先，我们来看看积的乘方的运算法则。
积的乘方的运算法则和幂的乘方有些类似，但也有一些不同之处。
当我们要计算一个积的次方时，我们将每个因子都进行相同的次方运算，然后将它们的结果相乘。
例如，如果我们要计算(2×3×4)^2，我们可以先计算每个因子的平方，得到2^2=4，3^2=9，4^2=16，然后将它们相乘，得到4×9×16=576。
这里我们将2×3×4的平方计算出来，然后将结果相乘，得到576。
8.2幂的乘方和积的乘方(1)
☆同底数幂相乘，底数不变， 指数相加.
am·an=am+n（m、n是正整数）.
m个a
n个a
am·an＝ (a·a·… ·a) ·(a·a·… ·a)
＝am+n
计算.（结果用幂的形式表示） ⑴215×25＝ 215+5＝220 ⑵215×8＝ 215×23 ＝218 ⑶215×85＝215×(23)5
⑷ (－yn)5 ; ⑸ [(x-y)2]3; ⑹ [(a3)2]5.
解：⑴ (104)2 ＝104×2 ＝108 ;
推广：
⑵ (am)4
＝ am×4＝ a4m ;
[(am)n]p=(amn)p=amnp
(m、n、p都是正整数).
⑶ －(x3)2 ＝－x3×2 ＝－x6 ;
⑷ (－yn)5 ＝－(yn)5 ＝－yn×5 ＝－y5n ;
1 若a2n=5,求a6n 2 若am=2 , a2n=7, 求
a3m+4n 3 比较2100与375的大小.
本节课你的收获是什么？
积的乘方的运算性质：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
幂
底数 不变 ， 指数 相乘 .
的
意
义
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an= amn ( m·am·am (乘方的意 义=a)m+m+m+m+m (同底数幂乘法性质)
做一做
=a5m
(乘法的意义）
猜想：当m,n是正整数时， (am)n=amn
n个am
(am)n= am·am· … ·am ---乘方的意义
n个m
证
= am+m+ … +m ---同底数幂的乘法性质