1.3.1函数的单调性与导数(三)
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
栏 目 链 接
答案：B
栏 目 链 接
题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
栏 目 链 接
题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
栏 目 链 接
分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
栏 目 链 接
解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
栏 目 链 接
∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
1.3.1函数的单调性与导数.
1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的 过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定 义区间内的不连续点或不可导点． 3．注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充 分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0 时，f′(x)＝0.
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[例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析]
设 f(x)＝x－ln(1＋x)， 只需证得 f(x)在(1， ＋∞)
1 x 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－ ＝ 1＋x 1＋x >0(x>1)， f(x)在(1， 得 ＋∞)上是增函数， 故当 x>1 时， f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
11
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1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系 如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 单调递增 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x) 在这个区间内 单调递减 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ． 常数函数 2．求函数单调区间的步骤 (1)确定f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．
【数学】1.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件(新人教B版选修2-2)
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数123456
键要素，对原函数，我们重点考查其图象
在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递增；而对于导函数，
则应考查其函数值在哪个区间上不大于零，哪个区间上小于零，
并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致。
题型二 求函数的单调区间 【例2】、求下列函数的单调区间：
反思：求函数单调区间时需注意：
①步骤：求 的定义域→求
当1<x<4时，f '(x) >0;当x>4,或x<1时，f '(x) <0; 当x=4,或x=1时，f '(x) =0.则函数f(x)图象的大致
形状是( D ）。
y
y
y
y
y f (x)
y f (x)
y f (x)
y f (x)
o1 4
A
x o1 4
B
x o1 4
C
xo 1 4 x
D
方法应用
v
(1)
(2)
t
Oa
b
即h(t)是增函数.相应
t
地,v(t) h(t) 0.
Oa b
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的
增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t) h(t) 0.
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x
y y = x2
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减 f '( x) 0恒成立 f ( x)是常值函数
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是 定义域内的某个区间。
1.3.1函数的单调性与导数
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
1.3.1函数的单调性与导数
- 1 -§1.3.1函数的单调性与导数教学目标： ㈠ 知识与技能⒈ 理解利用导数判断函数单调性的原理；⒉ 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤。
㈡ 过程与方法1. 通过问题的探究，体会知识的类比迁移；2. 以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法。
㈢ 情感态度与价值观通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。
提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
教学重难点重点：利用导数研究函数的单调性。
难点： ⒈ 探究函数的单调性与导数的关系⒉ 如何用导数判断函数的单调性教学过程：教学过程： 一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t变化的函数2()4.96.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．- 2 -2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0xx =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1xx =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()yf x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．- 3 -说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()yf x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()yf x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x=，或1x=时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()yf x =在此区间内单调递减；当4x=，或1x=时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x=+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x=+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x=+在R 上单调递增，如图所示．- 4 -（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x<时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()co s 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练- 5 -例3．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图所示，函数()yf x =在(0,)a 内的图像“陡峭”，在(,)a +∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'fx ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0fx <为减函数．四．课堂练习课本第26页1,2,3,4.五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系;（2）求解函数()=单调区间;y f x（3）证明可导函数()f x在()a b内的单调性.,六．作业布置课本第31页第1，2题。
课件14：1.3.1 函数的单调性与导数
【解析】由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0， f′(x)>0， ∴f(x)为增，当－1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)为 减，当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0此时f(x)为减函数；当 x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C．
例 1 (1)f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象 如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 ( D )
【解析】由导函数图象可知函数 f(x)在(－∞，0)上增函数， 排除 A，C，在(0,2)上为减函数，排除 B，故选 D．
(2)证明函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数． 证明：∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－x2lnx， 令 f′(x)>0.可知 lnx<1，即 0<x<e.
由此我们得出： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调 __递__增__； (2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调 _递__减___．
2．函数的变化快慢与导数的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个 函数在这个范围内变化较___快___，其图象比较__陡__峭__． 即|f ′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的 变化率就越大．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b) 上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递 减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有 单调性．
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
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f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x)=0
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
作业
1.已知函数 y ax3 bx2 6x 1 的单调递增区间
上单减
2
a
0时,
在
,
2 a
,
0,
单增
在
2 a
,
0
单减
题型二：已知单调性，求参数；
1. (全国卷Ⅱ) 若函数f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 32
在区间 （1，4）内为减函数，在区间 （6，+∞）为增函数，试求实数a的取值范围.
为（-2，3），求a,b的值.
2. g(x)=ax3 bx2 x 2
如果函数g
(
、3已知函数 f (x) x3 ax 在1, 上是增函数，则a 的最小值是（ ）
.
A.-3 B．-2
C．2
D．3
4.若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+) 上单调递增，求a的取值范围。
1.3.1 函数的单调性与导数 (三)
含参数的单调性问题
题型一：含参函数的单调区间
1.设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)，其
中a≥-1，求f(x)的单调区间。
2.求函数y 1 x3 1 (a a2 )x2 a3x a2 32
的单调减区间
3.讨论函数f
(x)
bx x2
3.（全国卷Ⅰ）已知函数 f(x) ax3 3x2 x 1 在R上是减函数，求a的取值范围.
a的取值范围是（-∞，-3]
4.已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0,1) 上是增函数，求实数a的取值范围。
题型三：利用导数证明问题
1.已知x>1，求证：x>ln(x+1).
2.求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。 2
解：
函数f(x)的导数f '(x) x2 ax a 1 令f (x) 0.解得x 1或x a -1. 当a -1 1即a 2时，函数f(x)在 (1,）为增函数，不合题意 当a -1 1即a 2时，函数f(x)在 (-,1）为增函数， 在(1,a 1)内为减函数，在（a 1， ）为增函数. 依题意应有当x (1，4)时, f '(x) 0,当x (6， )时为f'(x) 0. 所以4 a 1 6.解得5 a 7. 所以a的取值范围是[5，7].
2.函数f x x3 ax2 1单调递减区间为0，2，
求a的取值。
变式：函数f x x3 ax2 1在0，2上单调递减，
求a的取值范围。
结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;
2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;
a -2
5.已知函数（f x）
2ax
1 x2
，x
(0,1],若（f x）
在x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
1.a 1 , b 1 32
2.a 1,b 1
3.A
4.a 1 3
5.
解：由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
而f g'((xx))0,x2即 3 在a（0-，1]x2上3 在单x调（递0增，1，]上恒成立 g(x)max g(1)=-2
1
(1
x
1，b
0)的单
调性；
1b 0时，在1，1上单减 2b 0时，在1，1上单增
4.求f x 1 ax3 x2 1 a 0的
3 单调区间和单调性；
1 a
0时,
在
0,
2 a
上单增
在
，0， a2
，