正方形的定义与性质
三年级数学认识正方形与其特征
三年级数学认识正方形与其特征在数学学科中，正方形是一个非常重要的几何形状，它有着独特的特征和属性。
正方形在三年级的数学学习中也是一个重要的内容，通过对正方形的认识和理解，可以帮助学生建立对几何形状的概念，培养他们观察、分析和总结的能力。
本文将从正方形的定义、性质以及应用等方面，详细介绍三年级数学中认识正方形与其特征的内容。
一、正方形的定义正方形是指四条边长度相等、四个内角都是直角的四边形。
正方形有着独特的特征，其中包括以下几个方面：1. 边长相等：正方形的四条边长度都相等，这是正方形的最基本的特征。
2. 内角都是直角：正方形的四个内角都是直角，即每个角的度数是90度。
3. 对角相等：正方形的对角线长度相等，也就是说，连接正方形两个相对顶点的线段长度相等。
二、正方形的性质除了上述的基本特征外，正方形还有一些重要的性质，这些性质在数学运算中也是非常有用的。
1. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积=边长×边长，或者记作S=a^2，其中S表示面积，a表示边长。
2. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即周长=4×边长，或者记作C=4a，其中C表示周长。
3. 对角线长度：正方形的对角线长度可以根据边长来计算，即对角线长度=边长×√2。
三、正方形的应用正方形作为一种常见的几何形状，在我们的生活中有着广泛的应用。
1. 日常生活中：正方形的形状在我们的生活中随处可见，比如蛋糕、瓷砖、书本等等，这些物品的形状多为正方形，对于我们日常生活中的购买、使用等活动都有着直接的影响。
2. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用于规划、设计建筑物的基本结构，它能够提供稳定的支撑结构和美观的外观效果。
3. 艺术设计：正方形的简洁和稳定性使得它在艺术设计中也得到广泛的应用，例如画框、拼贴艺术等等。
四、认识正方形的教学方法为了帮助三年级的学生认识正方形，我们可以运用一些有效的教学方法：1. 观察实物：通过让学生观察周围环境中的正方形实物，如书本、纸张等，引导学生发现正方形的特征和性质。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形的知识总结(两篇)
引言概述：正方形是一种几何形状，具有许多独特的属性和特征。
本文将深入探讨正方形的知识总结，从正方形的定义和性质，到相关的数学公式和应用，并给出一些实际生活中与正方形相关的例子。
通过本文的阐述，读者将能更深入地理解和运用正方形的概念。
正文内容：1.正方形的定义和性质1.1正方形的定义：介绍正方形是一种四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。
1.2正方形的性质：阐述正方形具有对称性、对角线相等、对角线垂直等性质，并给出证明。
2.正方形的周长和面积公式2.1周长公式的推导：详细介绍如何推导正方形的周长公式。
2.2面积公式的推导：详细介绍如何推导正方形的面积公式。
2.3周长和面积公式的比较：比较周长和面积公式之间的关系和特点，解释为什么周长公式是面积公式的一半。
3.正方形的应用3.1图形的分类：介绍几何图形的分类，重点讲述正方形在图形分类中的作用。
3.2建筑和设计中的应用：介绍正方形在建筑和设计中的应用，比如正方形的房间布局，正方形的花园设计等。
3.3数学问题的解决：解释如何使用正方形的性质和公式来解决一些数学问题，例如寻找最大正方形的面积等。
4.正方形的实际应用举例4.1城市规划：举例说明正方形在城市规划中的应用，如正方形的街区设计，正方形的公园规划等。
4.2网格和排版设计：介绍正方形在网格和排版设计中的应用，如正方形的网格布局，正方形的页面排版等。
4.3绘画和艺术：探讨正方形在绘画和艺术中的应用，如正方形的画框设计，正方形的艺术装饰等。
4.4数字图像处理：介绍正方形在数字图像处理中的应用，如正方形的像素处理，正方形的图像编码等。
4.5生活中的实际应用：举例说明正方形在日常生活中的实际应用，如正方形的餐桌布置，正方形的画框选择等。
5.结论通过本文的详细阐述，我们可以总结出正方形的定义和性质，掌握正方形的周长和面积公式，并了解了正方形在实际应用中的重要性。
正方形作为一种几何形状，在数学、建筑、设计、绘画等领域都具有广泛的应用，为我们的生活带来了便利和美感。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
3.4正方形的定义与性质3湘教版
平行四边形，矩形， 菱形，正方形的关系!
平行四边形 正 方 形
矩形
菱 形
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
正方形的性质=
正方形性质:
边: 对边平行；
A O B
D
四边相等；
角 ：四个角都是直角；
8cm
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是矩形,对 A 角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、 △CDO、△DAO是全等的 等腰直角三角形.
D O
B 证明:∵四边形ABCD是正方形 C ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 角三角形,
E
C
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
C
对角线相等；
对角线： 对角线互相垂直； 对角线互相平分；
每条对角线平分一组对角；
对称性： 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
3.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C） 8cm ,对角线长为2 2cm,面积为 4cm 2. 周长为 A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 4.正方形的对角线和它的边所成的角是 45°度. 2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的 5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 图形可能是 （ D ） 为 2 2cm ， 面积为 。 A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形 、正方形 6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形 点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm 。
正方形的概念与性质
正方形的概念与性质正方形是平面几何中的一种特殊形状，它具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨正方形的定义、性质以及一些相关的内容。
一、正方形的定义正方形是在平面上的一种四边形，其四条边相等且四个角皆为直角的特殊图形。
正方形的定义可以简述为：具有四条相等边长且四个角度均为90度的四边形。
二、正方形的性质正方形具有多个性质，包括：1. 对角线相等：正方形的对角线相等长，且互相垂直。
2. 对角线平分角：正方形的对角线能够将正方形的内角平分成两个相等的角度。
3. 直角边：正方形的任意一条边都与其相邻边垂直，即正方形的每条边都是直角边。
4. 等边等角：正方形的四边相等，四个内角度也相等，每个内角度均为90度。
5. 最大对称性：正方形具有最大的对称性，可通过旋转或翻转得到完全相同的图形。
三、正方形的应用正方形广泛应用于各个领域，包括建筑、设计和科学等。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物中的空间布局或者地基设计需要使用正方形的概念和性质，以确保结构的稳定性和均衡性。
2. 数学和几何研究：正方形是基础几何图形之一，在代数、几何和计算几何等数学分支中有重要的应用。
3. 程序设计：在计算机图形学中，正方形经常用于显示和处理图像、窗口和屏幕等方面。
4. 游戏开发：在游戏设计和开发过程中，正方形常用于设计游戏界面和定义游戏区域。
5. 装饰艺术：正方形在设计和装饰领域中被广泛运用，如平面设计、室内设计和产品设计等。
四、与正方形相关的概念和图形1. 矩形：矩形是正方形的一种特殊情况，其具有相对较长和相对较短的两条相邻边，且所有内角均为90度。
2. 菱形：菱形是另一种与正方形相关的概念，其拥有四个相等的边长，但不同于正方形的是，菱形的内角不一定为90度。
3. 正方形的切线：在正方形的每个顶点，都存在一条与正方形接触且垂直于相邻边的切线。
综上所述，正方形是一种具有特殊定义和性质的几何图形。
在不同领域中，正方形的概念和性质都具有广泛的应用。
正方形的定义及性质
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。(P100例4） 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 对角线互相垂直 四边都相 对角相等， 平分，每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形
对边平行，四个角 对角线互相垂直平 轴对称图形、 正方形 四条边 分且相等，每条对 都是直角 角线平分一组对角 中心对称图形 都相等
例4．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
正方形的性质=
为什么说正方形是一个完美的图形呢？
(C) 它是轴对称图形,有4条对称轴 也是中心对称图形,对称中心为点O
A O
D (B)
(1)它具有平行四边形的一切性质 (2)具有矩形的一切性质
正方形的周长与面积
正方形的周长与面积正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且每个角均为90度。
在数学中，正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质。
本文将介绍正方形的周长与面积，并讨论它们之间的关系。
1. 正方形的定义正方形是一种具有以下特征的几何形状：- 四条边的长度相等。
设边长为a，则正方形的四条边均为a。
- 所有角均为90度。
- 对角线长度相等。
设对角线长度为d，则正方形的两条对角线均为d。
2. 正方形的周长周长是一个几何形状的边界长度，可以理解为围绕该形状一圈的长度。
对于正方形来说，它的周长可以通过将四条边的长度相加来计算。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长L可以表示为：L = 4a3. 正方形的面积面积代表了一个几何形状所覆盖的二维空间大小。
对于正方形来说，它的面积可以通过将边长平方来计算。
因为正方形的四条边长度相等，所以面积A可以表示为：A = a²4. 周长与面积的关系正方形的周长与面积之间存在着一定的数学关系。
通过观察可以发现，面积的计算中使用了边长的平方，而周长的计算中使用了边长的一次方。
因此，可以推测周长与面积之间的关系应该与边长有关。
为了进一步研究周长与面积之间的关系，我们可以通过数值计算进行实验。
设定正方形的边长为l，根据正方形的定义和公式，可以得到周长L与面积A的关系如下：L = 4lA = l²在这个实验中，我们将改变正方形的边长，并观察周长和面积的变化。
为了方便计算，我们选择了一些特定的边长进行实验，并记录下结果如下：边长l 周长L 面积A（四舍五入）---------------------------------------1 4 12 8 43 12 94 16 165 20 25...通过观察数据可以发现，当边长为整数时，周长和面积之间的关系非常有趣。
周长的增长速度相对较快，而面积的增长速度相对较慢。
例如，当边长从1增加到2时，周长增加了4，而面积增加了3。
正方形的性质和判定(讲学稿)
正方形的性质和判定（讲学稿）一、正方形的定义一般定义：有一组邻边，并且有一个角是角的四边形叫做。
特殊定义：有一组邻边的形叫做。
有一个角是角的形叫做。
二、正方形的性质1、从正方形“从属于矩形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以矩形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。
（2）、可见正方形的“四个角”都是角，两条对角线除了互相，还。
2、从正方形“从属于菱形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以菱形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。
（2）、可见正方形的“四条边”都，两条对角线除了互相，还互相，并且每一条对角线都一组对角。
3、全面总结正方形的性质（1）、正方形的四个角都是角，四条边都，两条对角线互相，且，并且并且每一条对角线都一组对角成度。
（2）、正方形是对称图形，两条对角线的交点是它的；正方形是对称图形，两条对角线、以及对边中点连线所在的直线是它的。
（3）、正方形的“一条”对角线把它分割成“两个”全等的三角形；正方形的“两条”对角线把它分割成“四个”全等的三角形；三、正方形的判定思路1、从定义来看先证明它是平行四边形，再证明它有一组相等，且有一个角是角。
2、从其它方面来看（1）、先证明它是“菱形”，再证明它有；（2）、先证明它是“菱形”，再证明它的对角线；（3）、先证明它是“矩形”，再证明它有；（4）、先证明它是“矩形”，再证明它的对角线；〈总结〉：以上四种判定方法的思路是：要证明一个四边形是“正方形”，我们可以设法证明它既是形，又是形。
四、图形的形状判定练习1、四条边都相等的四边形是形；2、四个角都相等的四边形是形；3、对角线的“四边形”是平行四边形；4、四条边都相等，并且有个角是的四边形是正方形；5、四个角都相等，并且有组的四边形是正方形；6、对角线的“矩形”是正方形；7、对角线的“菱形”是正方形；8、对角线的“平行四边形”是正方形；9、对角线的“四边形”是正方形；10、两组对边都平行的四边形是形；11、两组对边都相等，并且有一组邻边相等的四边形是形；12、一组对边平行且相等，并且有一个角是直角的四边形是形；13、一组对边平行且相等，并且两条对角线相等的四边形是形；14、两组对边都相等，并且两条对角线互相垂直的四边形是形；15、两组对边都平行，并且对角线相等，且互相垂直的四边形是形；五、猜图形的形状1、有一个四边形，它的对角线互相平分，并且有一组对边相等，那么它是形；2、有一个四边形，它的对角线相等，那么它一定是矩形吗？答：；3、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；4、有一个四边形，它的对角线互相平分，那么它一定是平行四边形吗？答：；5、有一个四边形，它的对角线相等且互相平分，那么它一定是矩形吗？答：；6、有一个四边形，它的对角线互相垂直平分，那么它一定是菱形吗？答：；7、有一个四边形，它的对角线相等且互相垂直，那么它一定是正方形吗？答：；8、某四边形，它的对角线相等且互相垂直平分，那么它一定是正方形吗？答：；9、某四边形，它的对角线相等且互相平分，并且有一个角是直角，那么它是形；10、某四边形，它的对角线互相垂直平分，并且有一组邻边相等，那么它是形；11、两条对角线互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；12、两条对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；13、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相垂直，那么它是形；14、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线也相等，那么它是形；15、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相平分，那么它是形；16、对角线相等且互相平分，并且四条边都相等的四边形是形；17、对角线相等且互相垂直，并且四条边都相等的四边形是形；18、对角线互相垂直平分，并且四条边都相等的四边形是形；19、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；20、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；21、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相垂直，那么它是形；22、对角线相等且互相平分，并且四个角都相等的四边形是形；23、对角线相等且互相垂直，并且四个角都相等的四边形是形；24、对角线互相垂直平分，并且四个角都相等的四边形是形；25、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；26、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；27、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；28、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；29、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；30、对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；31、对角线相等且互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；32、对角线相等且互相垂直平分，并且两条对角线都平分对角的四边形是形；33、对角线相等且互相垂直平分的四边形是形；六、理解从属关系，让基本图形之“性质”、“判定”皆归于简单平行四边形是特殊的形，菱形是特殊的形，矩形是特殊的形，正方形是特殊的形，也是特殊的形，更是特殊的形，更更是特殊的形。
正方形
正方形知识梳理1．正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定定理判定1：一组邻边相等的矩形是正方形． 判定2：对角线互相垂直的矩形是正方.判定3：有一个角是直角的菱形是正方形． 判定4：对角线相等的菱形是正方形.例题讲解一、 正方形的性质例1、判断下列命题是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形（ ）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（ ） （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（ ） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）例2、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，CE=AC ，AE 交CD 于F ，求∠AFC 的度数。
例3、如图4-60，正方形ABCD 的对角线相交于O ，EF ∥AB ，并且分别与OA ，OB 相交于E ，F ．若BE=3厘米，求CF 的长．正方形菱形矩形平行四边形Ｍ ＤＱ练习1、下列说法中，正确的个数有 （ ） （1）对角互补的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是正方形； （4）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形Ａ． 1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 练习2、(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对练习2（2010 天津）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ． 练习3（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．练习4（2008广东肇庆市）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上. （1）求证AE =BF ； （2）若BC =cm ，求正方形DEFG 的边长.二、正方形折纸例1（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm练习：1、 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =．三、正方形的面积：例1、（2010南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（ ） （A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）1例2、如图，正方形ABCD 中，边长为2，其中正方形A’B’C’O 与正方形ABCD 全等，顶点O 在正方形ABCD 对角线交点O ，求阴影部分面积。