第五章塑性理论
硬化材料:
加卸载准则
理想塑性材料:
5.3 流动法则
流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比 例关系。塑性理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定。在应力 空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。所 以流动规则也叫做正交定律。这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变 增量的方向是惟一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的 应力增量的方向无关，亦即
5.2 屈服准则
屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
f (ij , k) 0
k为状态参数，与硬化/软化参数有关
5.2 屈服准则
弹性 f (ij , k) 0 塑性 f (ij , k)=0 ? f (ij , k)>0
f f T f T k 0
k
5.2 屈服准则
➢压硬性 ➢等压屈服特性 ➢剪胀性 ➢应变软化特性 ➢与应力路径相关性
5.1 基本原理
塑性理论的基本概念：
1、屈服准则（Yield criterion ） 屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
2、硬化（软化）规律（Harding/Softening rule） 硬化规律是确定加载过程中屈服面位置和大小变化的规律。
3、流动准则（Flow rule） 流动准则用来确定塑性加载过程中塑性应变增量的方向。
不硬化
5.4 硬化规律
等向强化 是指屈服面以材料中所
作塑性功的大小为基础在尺寸上 扩张。
随动强化 假定屈服面的大小保持不变而仅 在屈服的方向上移动，当某个方向的屈服 应力升高时，其相反方向的屈服应力应该 降低。
在随动强化中，由于拉伸方向屈服应力的 增加导致压缩方向屈服应力的降低，所以在 对应的两个屈服应力之间总存 的差值，初 始各向同性的材料在屈服后将不再是各向同f (σ, Ro ) 0
R为一数值不变的硬化参数
5.4 硬化规律
等向硬化：
f f (σ, R) f y (σ) (R) 0
R为硬化参数
5.4 硬化规律
线性运动硬化：
f f (σ, R) f y (σ-X) k 0
5.5 弹塑性刚度矩阵
5.6 岩土塑性力学的特点
塑性势函数也是应力状态的函数。
5.3 流动法则
相关联流动法则： f=g
塑性势面与屈服面一致，满足稳定材 料的要求，刚度矩阵[D]ep是对称的。 非相关联流动法则：
f≠g
5.4 硬化规律
硬化规律是确定加载过程中屈服面位置和大小（状态参数k） 随塑性应变的变化规律。从数学角度讲，硬化准则是指屈服函数 的转换规律。借助硬化定律，还可以求得dλ。
第五章 塑性理论
5.1 基本原理
土的总应变及其增量分为可恢复的弹性变形和不 可恢复的塑性变形两部分．
5.1 基本原理
5.1 基本原理
两种塑性行为 硬化材料(强化材料) 软化材料(强化材料)
材料结构内在机理?
5.1 基本原理
弹塑性理论定义材料在荷载作用下的变形是弹性变 形与塑性变形之和，其中研究塑性变形需要解决三个方 面的问题； （1）产生塑性变形的起点； （2）产生塑性变形的方向； （3）产生塑性变形的大小。 以上在塑性变形中需要解决的三个方面的问题类似于力的 三要素；大小、方向、作用点。在塑性理论中，描述以 上三个问题的工具被称为塑性理论的三大支柱：屈服条 件、流动法则和硬化规律，它们被定义为： （1）屈服条件是确定开始塑性变形的应力条件； （2）流动法则是确定塑性应变增量方向的法则； （3）硬化规律是确定塑性应变大小的规律，确定硬化规律 实质是要确定硬化参量。
对于各向同性材料，材料的屈服与坐标选取无关，因此屈 服函数可以采用主应力或者应力张量的不变量表示：
f (1, 2,3, k) 0 f ( p , q , , k) 0
f (I1, I2 , I3, k) 0
对于各向异性材料，屈服面不能简化为应力不变量的函 数，必须采用应力分量来表示。
f (ij , k) 0
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塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系
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3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
下一頁 返回
另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
返回
5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s
3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
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另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
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5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静 水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应 力计算的处理。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
第五章 金属的塑性
§5.3.1 影响塑性的内部因素
（2）合金元素 取决于加入元素的特性， 加入数量、元素之间的相互 作用。 当加入的合金元素与基体 作用使在加工温度范围内形 成单相固溶体时，则有较好 塑性；如形成过剩相(尤其是 脆性相)，或使在加工温度范 围内两相共存，则塑性降低。
2．组织结构
外加应力低于原子间结合力极限
正应力使晶格沿应力方向伸长，切应力使晶格沿某晶面和晶向相对移动， 外力去除后晶格恢复原状
外加应力大于原子间结合力极限
正应力使晶体发生断裂，切应力使晶体的原子沿某晶面和晶向迁移到新 的平衡位置，外力去除原子停留在新的平衡位置
为什么金属晶体能够产生相对移动而不发生破坏呢？
金属原子之间特殊的结合方式 — 金属键
第三篇 塑性变形材料学基础
第5章 金属的塑性
§5.1 金属的塑性 §5.2 金属多晶体塑性变形的主要机制
§5.3 影响金属塑性的因素
§5.4 金属的超塑性
§5.1 金属的塑性
§5.1.1 塑性的基本概念 §5.1.2 塑性指标及其测量方法
§5.1.3 塑性状态图及其应用
§5.1.1 塑性的基本概念
(4)滑移的临界分切应力
F 横截面积 A
某一滑移系上的分切应力
F cos A / cos
滑 移 方 向
M
滑 移 面 法 向
F cos cos A
cos cos
滑移面
取向因子
F 分切应力计算分析图
cos cos
其中任何一个角度为90°时，分切应力为零，晶体不可能 滑移 当两个角度都为45°时，取向因子最大（为0.5），该滑 移系处于最有利取向 只有当分切应力τ≥临界分切应力τk时，滑移才能开始
塑性力学第五章(7)-理想刚塑性平面应变问题(二)
( ( σ m1) − k sin 2(θ (1) − ϕ ) = σ m2 ) − k sin 2(θ ( 2 ) − ϕ )
k cos 2(θ (1) − ϕ ) = k cos 2(θ ( 2) − ϕ )
θ (1) = −θ ( 2 ) + 2ϕ
( ( σ m1) = σ m2 ) − 2k sin 2(θ ( 2) − ϕ )
σ
2k
σA α1 : η = η1
2k
− θ A = η1
σB α 2 :η = η 2
2k
− θ B = η2 − θQ = η2
σP
2k
− θ P = η1
σQ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2k
σA β1 : ξ = ξ1
2k
+ θ A = ξ1 + θ B = ξ1
σP β2 : ξ = ξ2
2k
+ θP = ξ2 + θQ = ξ 2
理想刚塑性平面应变问题（ 理想刚塑性平面应变问题（二）
一、 滑移线的性质 Hencky第一定律 第一定律
1、如果滑移线β1与滑移线α1、α 2 分别交于A点和B点， 过这两点分别作滑移线α1、α 2的切线，则交角θ AB 必为常数。
σ
Hencky应力公式 应力公式
2k
−θ = η +θ = ξ
α线 β线
θ (1) = −θ ( 2 ) + 2ϕ
( ( σ m1) = σ m2 ) − 2k sin 2(θ ( 2) − ϕ )
AC是∠OAB的平分线
θ (1) = −θ ( 2) + 2ϕ
∂Rα = −1, ∂sβ
或
∂Rβ ∂sα
第5章 弹塑性本构模型理论
?r3321??????232221??????op表示p点应力矢量的大小p为应力空间上一点代表某一应力状态过p点作与等倾线相垂直的面即为平面???32131???????oq??321321313?????????????rr由mioqr?331????平面上法向应力即为令????m3?????23212322212231??????????????oqoppq??????2222323122132231qj??????????????平面上的剪应力为令???qj3222??应力洛德角1?2?3?p?qr洛德参数313122???????????毕肖甫常数3132???????b洛德角??312332tan31312???????b????????洛德角与偏应力不变量之间的关系23232333sinjj????应变与应变增量ji??333231232221131211??????????????????zzyzxyzyyxxzxyx??????????????????212121212121??????????321??????应变状态体积应变增量321???????????v偏差应变增量????????3vijijijee?????应变张量不变量3211???????i偏差应变不变量3231212??????????i3211?????i01??j??232221121eeej??????????1233123213222271?????????????????j体积应变321???????v广义剪应变????????2123223122132?????????????应变洛德角??3131232tan???????????2增量弹塑性理论?弹性增量理论?以弹性模型与泊桑比表达????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zxyzxyzyxzxyzxyzyxvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvve????????????????????????1221000000122100000012210000001110001110001112111?以剪切模型与体积模量表达?????????????????????????????????????????????????????????
塑性理论 第五章 应变分析
u y x
dx
u y y
dy
u y z
dz
x
uz
'
uz
(x
dx,
y
dy,
z
dz)
uz (x,
y, z)
uz x
dx
uz y
dy
uz z
dz
z
ui
M
' 1
ui ui
M1
uz
M(xi)
uy
ux
0
u
' z
u'
M (x dxi )
y
u
' x
y
变形体内无限接近两点的位移分量
——M’点位移到M’1点
z
第五章 应变分析
radius 3/8 in.
diameter, 0.5 in.
diameter, 0.75 in.
gauge length, 2 in.
reduced section, 2.25 in.
主要内容
5.1 应变的基本概念 5.2 几何方程 5.3 一点附近的应变分析 5.4 主应变、应变张量不变量 5.5 主剪应变，最大剪应变 ５.6 应变速率 5.7 变形表示法 5.8 应力一应变曲线 5·9 变形体模型 5.10 变形协调方程 5.11 平面变形问题和轴对称问题
crack propagation
(in shear)
单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行
小变形：
大变形：
103 ~ 102
102 ~ 101
例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：
图 矩形件塑性变形前后形状
第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。
第五章 塑性成形
常温下塑性变形对低碳 钢力学性能的影响
22
《材料成型学》 第五章 塑性成形
冷变形强化的原因是：在塑性变形过程中，在 滑移面上产生了许 多晶格方向混乱的 微小碎晶，滑移面
附近的晶格也产生
了畸变，增加了继
续滑移的阻力，使
继续变形困难。
滑移面附近晶格畸变示意图
23
《材料成型学》 第五章 塑性成形
（2）回复 指当温度升高时，金属原子获得热能，使冷 变形时处于高位能的原子回复到正常排列，消除 由于变形而产生的晶格扭曲的过程，可使内应力 减少。
18
《材料成型学》 第五章 塑性成形
多晶体
多晶体晶粒逐批滑移示意图
19
《材料成型学》 第五章 塑性成形
2、塑性变形后的金属组织和性能
塑性变形后的组织: （1）形成纤维组织： 晶粒被压扁、拉长，晶界模糊不清。 （2）晶粒破碎，细化。 （3）形成变形结构： 晶粒择优取向，形成变形结构，使金属各向异性。 （4）残余内应力： 由于变形不均匀，局部区域变形量的大小不同， 造成受拉或受压。
纯铁冷拔90%后在550℃加热不同时间后的显微组织
《材料成型学》 第五章 塑性成形
回复、再结晶及晶粒长大阶段中性能的变化示意图
28
《材料成型学》 第五章 塑性成形
（4）冷变形和热变形
冷变形：指金属在其再结晶温度以下进行塑性变 形。如冷冲压、冷弯、冷挤、冷镦、冷轧和冷拔。 能获得较高的硬度及表面质量通过对坯料锻打或锻压，是产生塑性变形而得到所 需制件的一种成形加工方法。
常用锻造方法：自由锻 模锻 1. 自由锻 自由锻指将金属坯料放在锻造设备的上下抵铁 之间，施加冲击力或压力，使之产生自由变形而获 得所需形状的成形方法。 坯料在锻造过程中，变形不受限制，锻件的形状和 尺寸靠锻工的技术来保证，所用设备与工具通用性 强。主要用于单件、小批生产，也是生产大型锻件 的唯一方法。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)
σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
塑性力学 第五章 梁的弹塑性弯曲
9
M
S
yS
I e 2 S S P
yS
式中
I e 2 y 2 b y dy ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩
0
SP
yS
y b y dy
2
h 2
是截面 y y s ~
轴的静矩。
h 一块塑性区对中性 2
如梁的横截面是高为h 、宽为b
b h2 2 SP yS 2 4
第五章
§5-1 §5-2
梁的弹塑性弯曲
弹塑性力学中的边值问题 梁的弯曲
1
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对 这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线 为双曲线。 设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 qe，则 qe 即为
11
在弯矩最大的截面 ( 的值，它可由上式得： bh2 S
qe 3l 2
x0
处 )刚开始进入塑性即 yS h / 2 时
五、极限荷载 q P 当 x 0 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构， 进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这 q 称为极限荷载，用表示 qP 时的 。 qP bh2 S 1.5 。 qP 且 qe 2l 2 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的 荷载，在目前的情形就是极限荷载 q P。在许用应力的设计中， 只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，
M
S
yS
I e 2 S S P
yS
式中
I e 2 y 2 b y dy ，是截面弹性区对中性轴的惯性矩
0
SP
yS
y b y dy
2
h 2
是截面 y y s ~
轴的静矩。
h 一块塑性区对中性 2
如梁的横截面是高为h 、宽为b
b h2 2 SP yS 2 4
第五章
§5-1 §5-2
梁的弹塑性弯曲
弹塑性力学中的边值问题 梁的弯曲
1
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
由于塑性本构关系有全量和增量两种理论，需要给出对 这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
这就是梁沿轴向的弹塑性区分界线方程。弹塑性区的分界线 为双曲线。 设梁在弹性时能承受的最大均布荷载为 qe，则 qe 即为
11
在弯矩最大的截面 ( 的值，它可由上式得： bh2 S
qe 3l 2
x0
处 )刚开始进入塑性即 yS h / 2 时
五、极限荷载 q P 当 x 0 处的整个截面进入塑性状态，梁成为一个机构， 进入自由塑性变形阶段，将发生“无限制”的塑性流动。这 q 称为极限荷载，用表示 qP 时的 。 qP bh2 S 1.5 。 qP 且 qe 2l 2 在极限设计的理论中，要求出使结构丧失承载能力时的 荷载，在目前的情形就是极限荷载 q P。在许用应力的设计中， 只要梁中任一处达到塑性状态，梁就不许可承受更多的荷载，