例4 已知等腰三角形周长和一边长,求另外两边长

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有关等腰三角形问题

初一暑期数学基础巩固与方法培养训练（十四）专题（四）：有关等腰三角形问题等腰三角形是一类特殊的三角形，正因为它特殊，所以它比一般的三角形应用更为广泛，因此学好等腰三角形有关知识是很必要的．下面就有关知识从四个方面进行解读．一、概念篇1．等腰三角形概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2．等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．说明：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形一定是等边三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．3．等腰直角三角形概念：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．二、特征篇1．等腰三角形特征：（1）等腰三角形是轴对称图形，其底边中线所在直线是它的对称轴，或底边上的高所在直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在直线是它的对称轴；（2）等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线互相重合，称“三线合一”．说明：根据等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中两底角的平分线、两腰的中线、两腰的高相等；等腰三角形的两底角相等是说明两角相等的依据；“三线合一”是说明两角相等、两线相等及两线垂直的重要依据．2．等边三角形特征：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形所有特征外，还具有：（1）它只有三条对称轴；（2）三个内角都相等，都等于60º；（3）每条边上的中线都是“三线合一”的线段．三、识别篇1．等腰三角形的识别：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称等角对等边．说明：（1）等腰三角形的识别方法是说明两线段相等的重要方法，它是三角形中角相等关系转化为边相等关系的重要依据，同学们要重点掌握．（2）要注意等腰三角形特征与识别是两个不同的结论，学习时分清它们之间的区别．2．等边三角形的识别：（1）三条边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形或有两个角为60º的三角形是等边三角形；（3）有一个角为60º的等腰三角形是等边三角形．四、注意篇1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．2．在计算等腰三角形有关边、角问题时，要注意利用分类讨论思想进行全面考虑．3．注意“三线合一”在处理等腰三角形问题时的综合运用．五、等腰三角形问题注意分情况讨论等腰三角形因其内角有顶角和底角之分；其边有底边和腰之分；其形状有锐角三角形、钝角三角形和直角三角形；其高的位置有在形内、在形外和在三角形的一边上；因而有关等腰三角形问题，当题中条件不明确时应分情况讨论，谨防漏解.（一）对角的讨论例1 已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求三个内角.（二）对边的讨论例2 已知等腰三角形的两边长分别为（2x-1）cm和(x+1)cm，周长19cm,求x和三边长.（三）对形状及高的位置的讨论例3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三个内角的度数.（四）对问题本身的讨论例4 如图3，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边中线BE 分三角形周长为21cm 和15cm ，求三边长.六、利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. （一）、证明线段相等例5 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ， DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .（二）、证明两条线垂直例6 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD .（三）、证明角的倍半关系例7 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC .（四、证明线段的倍半关系例8 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，图4BF DE CAF E 图3 D CBACDE F 图1BAF D图2BECA（五）、证明一个角是直角例9 如图5，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.（六）、证明线段的和差关系例10 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且∠ABC ＝2∠C .求证：CD ＝AB +BD . 练习：.1、已知：等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于5，求它的周长．2、10.如果以4cm 长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x 应在的范围是( ) A.x>4cm B.x>2cm C.x≥4cm D.x≥2cm3、如图，一个顶角为︒40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21____.4、如图，︒=∠15A ，作线段⋅⋅⋅DE CD BC 、、，使⋅⋅⋅====DE CD BC AB ，如此进行下去，一共可以得到个等腰三角形.5、已知：等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于15，求它的周长．6、已知等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15和18两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长．7、已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小．8、已知：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，求这个等腰三角形的底角的度数．图5ABCDED 图6CE BA.9、如图1，已知AH ⊥BC 于H ，∠C=28°，且AB+BH=HC ，求∠B 的度数.图110、如图2，已知AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证AB+BD=AC.图211 如图3，在△ABC 中，AC=AB ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，求证：EF ⊥BC.图312.如图，D E ，分别为ABC △的边A B A C ，上的点，BE 与C D 相交于O 点．现有四个条件：①A B A C =，②O B O C =，③ABE AC D ∠=∠，④B E C D =．请你认为这四个结论正确吗？写出一个正确．．的的理由。

人教版八年级数学上册期中复习专题(含答案)

人教版八年级数学上册期中复习专题（含答案）模块一三角形【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得8-3<a<8+3, ∴5 <a<11.又∵第三边长为奇数,∴第三条边长为7cm或9cm.【例2】等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另外两边长.解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5；当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.综上所述，另两边长为5,5或6,4.【例3】已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( C)A.16B.20或16C.20D.12 【例4】若(a-1)2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为5.【例5】在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长.解：如图，∵DB 为△ABC 的中线， ∴AD=CD ，设AD=CD=x ，则AB=2x ，当x+2x=12，解得x=4. BC+x=15，得BC=11.此时△ABC 的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC 的三边长为AB=AC=10，BC=7．【例6】如图，D 是△ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD 、CE 中点，且△ABC的面积为24，求△BEF 的面积．ABCDEF【例7】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC 的度数．ABC D1234解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°,所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.【例8】在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 60°.【例9】如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4．求∠CAD的度数．B E解：∵五边形的内角和是540°，∴每个内角为540°÷5=108°，∴∠E=∠B=∠BAE=108°，又∵∠1=∠2，∠3=∠4，由三角形内角和定理可知∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．【例10】已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，（n-2）=6-1，解得n=7．∴这个多边形的边数是7．【例11】如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数.解：连接CD ，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G=（5-2） ×180 °=540 °.【例12】图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF ∆的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC ∆斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．（2）如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．【答案】⑴ ∵3090A ACB ∠=︒∠=︒，，D 是AB 的中点，∴BC BD =，60B ∠=︒∴△BCD 是等边三角形．又∵CN DB ⊥，∴12DN DB =，∵90EDF ∠=︒，BCD ∆是等边三角形．∴30ADG ∠=︒，而30A ∠=︒，∴GA GD =．∵GM AB ⊥，∴12AM AD =又∵AD DB =，∴AM DN =．⑵ ∵DF AC ∥，∴30BDF A ∠=∠=︒，90AGD GDH ∠=∠=︒，∴60ADG ∠=︒．∵60B ∠=︒，AD DB =，∴ADG DBH ∆∆≌，∴AG DH =，又∵BDF A ∠=∠，GM AB ⊥，HN AB ⊥， ∴AMG DNH ∆∆≌．∴AM DN =【例13】两个全等的30︒、60︒的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在图2图1EHABCD FGMN NMGF ED CBA模块二全等三角形一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ∆的形状，并说明理由．【解析】判断EMC ∆是等腰直角三角形．理由：如图，连结AM ．∵30DAE ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90DAB ∠=︒ ∵ADE BAC ∆∆≌，∴AD AB =又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=︒∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ∴EDM MAC ∠=∠∵ED CA =，∴EDM CAM ∆∆≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠而90DME EMA ∠+∠=︒，∴90AMC EMA ∠+∠=︒ 即90EMC ∠=︒，∴EMC ∆是等腰直角三角形．【例14】如图，∠1=∠2，点P 为BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP =180 °，求证:P A=PC .BACN12P【分析】由角平分线的性质易想到过点P 向∠ABC 的两边作垂线段PE 、PF ，构造角平分线的基本图形.DMBCA E【例15】按要求完成作图：(1)作△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)在x 轴上找出点P ，使PA+PC 最小，并直接写出P 点的坐标：【例16】在直角坐标系中，点P(a ，2)与点A(-3，m)关于y 轴对称，则a ，m 的值分别为（ C ）A. 3，-2B. -3，-2C. 3，2D. -3，2【例17】如图：△ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若CM=3cm ，△ABC 的周长是22cm ，则△ABN 的周长是 16cm .模块三轴对称【例18】如图，等边三角形ABD ∆和等边CBD ∆的长均为1，E 是AD 上异于A D ，的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=．当E F ，移动时，试判断BEF ∆的形状．【答案】由条件1AE CF +=，且1DF CF +=，得AE DF =．∵60AB DB A BDF =∠=∠=︒，， ∴ABE DBF ∆∆≌ ∴BE BF ABE DBF =∠=∠，．∵60EBF EBD DBF EBD ABE ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴BEF ∆为等边三角形．FE DCBA。

2021年最新中考数学人教版易错专题复习-[第14讲等腰三角形]必备讲义(教师版)

第14讲等腰三角形考点1等腰三角形1．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（）A ．4，10B ．7，7C ．4，10或7，7D ．无法确定【分析】由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8＜10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，∵0＜7＜7+4＝11，∴以4，7，7为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B ．2．若等边三角形ABC 的边长为a ，且三角形内一点P 到各边的距离分别是h a ，h b ，h c ，则h a +h b +h c ＝．【分析】本题考查的是等边三角形的性质．分别连接P A 、PB 、PC 将△ABC 分成3个小三角形，再根据等边△ABC 的面积等于三个小三角形的面积之和，就可以得出答案．【解答】解：设△ABC 的为h ，根据等边三角形的性质h ＝32a ，分别链结P A ，PB ，PC ，将△ABC 分割成△APB 、△APC 、△BPCS △ABC ＝S △APB +S △APC +S △BPC ＝a •（h a +h b +h c ）•12＝12ah 那么，h a +h b +h c =32a 3．如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN 经过点O ，与AB ，AC 相交于点M ，N ，且MN ∥BC ．若AB ＝7，AC ＝6，那么△AMN 的周长是．【分析】根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MB，NO ＝NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．（1）下面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．①在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF．②∴DE＝DF．③（2）请你再用另法证明此题．【分析】（1）根据等边对等角的性质和全等三角形的判定方法判断解答；（2）连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质证明．【解答】（1）解：证明过程正确．推理依据：①等边对等角．②AAS．③全等三角形的对应边相等；（2）证明：连接AD，∵AB＝AC，D是底边BC的中点，∴AD平分∠BAC（三线合一），又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．精选例题，错中淘金易错一等腰三角形的分情况讨论思想典例1等腰三角形的两条边分别为6和8，则等腰三角形的周长是（）A．20 B．22 C．20或22 D．不确定[易错分析] 腰长没有说是6还是8，需要分类讨论，有的学生易漏一种情况。

等腰三角形的巩固训练

等腰三角形的巩固训练学习目标：1、针对等腰三角形的性质、判定做以巩固训练，强化同学们对等腰三角形知识的扎实掌握。

2、通过训练提高同学们应用等腰三角形知识的熟练性，同时进一步训练同学们分析几何问题的方法和能力，规范几何问题分析思维的严谨重点：等腰三角形知识的熟练应用难点：同学们应用等腰三角形的知识训练严谨的分析问题的方法和思路一、自我基础训练1、△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．2、等腰直角三角形的斜边的长为2，则斜边上高线的长为________3、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有_______个．4、等腰△ABC 中，∠A=70°，则∠B 的度数是5、三角形三个内角度数之比为1:1:,2，则这个三角形是三角形。

6、如图，已知AC ∥BD ，OA=OC ，则下列结论不一定成立的是（）A 、∠B=∠DB 、∠A=∠BC 、OA=OBD 、AD=BC7、下列命题中正确的是（）A 、等腰三角形中角的平分线平分对边并且垂直于对边B 、等腰三角形的顶角一定是锐角C 、两底角相等的三角形是等腰三角形D 、有一个角的平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形8、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（）A 、∠B=∠CB 、AD ⊥BC C 、AD 平分∠BAC D 、AB=2BD9、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形．B 、直角三角形．C 、钝角三角形．D 、不能确定．以上训练再次提醒我们：（1）等腰三角形的等边与等角的相对性；（2）等腰三角形中三线合一的使用和条件设置特点；（3）线段中垂线与等腰三角形的紧密结合。

二、能力提高训练1、如图，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B= 。

2、如图，已知OC 平分∠AOB ，CDOB ，若OD=3cm ，则CD= 。

(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14D ．k ＞－14且k ≠0 2．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2+b 2+a +b 的值是（） A ．0 B ．2020 C ．4040 D ．4042 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（）A ．2-B ．4-C ．2D ．44．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．211x x +=C ．x 2＋2x ＝y 2－1D ．3（x ＋1）2＝2（x ＋1） 5．一元二次方程20x x +=的根的情况为（） A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 6．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（）A ．()1121x x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()21121x +=D ．()1121x x += 7．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（）A ．B ．C ．D ．8．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+ 9．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm ．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ，根据题意，可列方程为（）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C ．2402650x x x ⋅+⋅=D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=10．关于x 的一元二次方程2430x x -+=的实数根有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个 11．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝60 12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．14．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．15．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．16．用换元法解方程时1321x x x x -=--，设1x y x-=，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为______．17．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．18．已知一元二次方程x 2-10x +21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为_________．19．已知1x ，2x 是方程2310x x --=的两个根，则2212x x +=____．20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．三、解答题21．已知x =2是方程280x mx +-=的一个根，求：（1）m 的值；（2）1211+x x 的值． 22．解方程：（1）2(2)3(2)0x x ++=-；（2）2101x x-=+． 23．在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ＝b ，且关于x 的方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，求AC 边上的中线长及∠A 的度数．24．宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？25．解下列方程：（1）24830x x --=；（2）2(3)5(3)x x +=+．26．某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，求该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k 2≠0，且△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【详解】解：由题意知，k 2≠0，且△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1≥0．解得k ≥-14且k ≠0．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab 中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x-2020=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=-2021∴a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab=1-1+4042=4042．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．3．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；【详解】A 、20ax bx c ++=当a=0时，不是一元二次方程，故A 错误；B 、2112x x+= ，不是整式方程，故B 错误； C 、2221x x y +=- ，含有两个未知数，故C 错误； D 、()()23121x x +=+ 是一元二次方程，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 5．D解析：D【分析】确定a 、b 、c 计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；【详解】∵20x x += ，∴ △=1-0=1＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．6．C解析：C【分析】患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．7．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x2-3x-10=0，即x（x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x（x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C选项所表示的图形符合题意，故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．A解析：A【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.【详解】∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= ()2+人；21x∴()2=+，21y x故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.9．D解析：D【分析】找出丝绸花边的总面积与丝绸花边的宽之间的关系式即可列出方程．【详解】解：由题意知：三条丝绸花边的面积和-两个重叠部分的面积=丝绸花边的总面积，∴设丝绸花边的宽为 xcm ，根据题意，可列方程为：2×40x+60x-2x×x=650,即2x⋅40+x⋅(60−2x)=650，故选D．【点睛】本题考查方程的列法，仔细分析题中含有未知数所表示的量之间的数量关系并把各数量正确地表示出来是解题关键．10．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：一元二次方程2430-+=的根的判别式为：x xb2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0，所以，方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．11．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2．∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．14．【分析】根据m与n是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根∴m+n＝1mn＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12【分析】根据m与n是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝-3，∵(m+n)2=m2+n2+2mnm2+n2=(m+n)2-2mn∴m2+n2=12-2×(-3)=7∴m2+n2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．15．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．16．【分析】将代入得出再化为一般形式即可【详解】根据题意原方程可化为故答案为：【点睛】本题考查利用换元法解分式方程正确的换元是解题的关键解析：2230y y +-=【分析】将1x y x-=代入得出32y y =-，再化为一般形式即可．【详解】根据题意原方程可化为32y y=-， 232y y =-，2230y y +-=．故答案为：2230y y +-=．【点睛】本题考查利用换元法解分式方程．正确的换元是解题的关键． 17．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．18．17【分析】先求出方程的解然后分两种情况进行分析结合构成三角形的条件即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程x2-10x+21=0有两个根∴∴∴或当3为腰长时3+3<7不能构成三角形；当7为腰长时则周解析：17【分析】先求出方程的解，然后分两种情况进行分析，结合构成三角形的条件，即可得到答案．【详解】解：∵一元二次方程x 2-10x+21=0有两个根，∴210210x x -+=，∴(3)(7)0x x --=，∴3x =或7x =，当3为腰长时，3+3<7，不能构成三角形；当7为腰长时，则周长为：7+7+3=17；故答案为：17．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解题的关键是掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．19．11【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=3x1x2=-1再根据x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2即可求出答案【详解】解：根据题意x1+x2=3x1x2=-1则x12+x22=（x1+解析：11【分析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，再根据x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2即可求出答案．【详解】解：根据题意x 1+x 2=3，x 1x 2=-1，则x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=32-2×（-1）=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2= b a -，x 1x 2= c a．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 故答案为：【点睛】本题考查了解析：()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．三、解答题21．（1）2；（2）14【分析】（1）由x =2是方程280x mx +-=的一个根，把x =2代入280x mx +-=即可得到关于m 的一元一次方程，求之即可；（2）将m=2代入280x mx +-=得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．【详解】解：（1）把x =2代入280x mx +-=，得 22280m +-=，解得m=2（2）将m=2代入280x mx +-=，得2280x x +-=，∴12122,8x x x x +=-=-， ∴121212112184x x x x x x +-+===-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，22．（1）122=1x x =-，；（2）2x =-是原方程的解．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用方程两边都乘以x(x+1)把分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）2(2)3(2)0x x ++=-，因式分解()(2)230x x ++-=，化为20-1=0x x +=，，∴122=1x x =-，；（2）2101x x-=+，方程两边都乘以x(x+1)得()210x x +-=，去括号得：2+20x x -=，移项合并得：2x =-，检验当2x =-时，()()122120x x +=-⨯-+=≠，所以2x =-是原方程的解．【点睛】本题考查一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法是解题关键．23．AC 边上的中线长为2，∠A ＝30°．【分析】根据一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根求出b 的值，再判断△ABC 为直角三角形，由直角三角形的性质可得结论．【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＝0，即（﹣4）2﹣4b ＝0，∴b ＝4．∴AC ＝4，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∵△ABC 为直角三角形，∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴AC 边上的中线长＝2，∵AC ＝4，∴∠A ＝30°．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△=0，方程有两个相等的实数根；还考查了利用勾股定理判定直角三角形，三角形的内角和定理，并考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．24．长比宽多12步．【分析】选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可．【详解】解：设矩形的长为x 步，则宽为60x -（）步，根据题意，得(60)864x x -=．解得 136x =，224x =（舍去）∴当36x =时，6024x -=，362412-=．答：长比宽多12步．【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键．25．（1）121,1x x =+=；（2）123,2x x =-= 【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2483x x -=．方程两边都除以4，得2324x x -=．方程两边都加1，得232114x x -+=+．配方，得27(1)4x -=．开平方，得12x -=±．1x ∴=+，121,1x x ∴=+=．（2）移项，得（2(3)5(3)0x x +-+=．(3)(35)0x x ∴++-=，(3)(2)0x x ∴+-=，123,2x x ∴=-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．26．该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1＋增长率），设9月、10月游客人数的平均增长率是x ，根据今年9月份游客人数比8月份增加了44%，10月份游客人数比9月份增加了69%，据此即可列方程解出即可．【详解】解：设该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是x ，根据题意，得()()()21144%169%x +=+⨯+，解得10.5656%x ==，2 2.56x =-（不合实际，舍去）．答：该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是56%．【点睛】考查了一元二次方程的应用．若原来的数量为a ，平均每次增长或降低的百分率为x ，经过第一次调整，就调整到a×（1±x ），再经过第二次调整就是a×（1±x ）（1±x ）＝a ()21a ±．增长用“＋”，下降用“−”．。

八年级数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版

初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。

二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。

对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。

这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。

在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。

知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。

思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。

解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。

其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。

∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。

例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________；思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。

解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。

等腰三角形性质定理 (提高) 知识讲解

等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a a2.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D ．【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．举一反三：【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7； (2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长11052=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．类型二、等腰三角形的操作题2、（2016•顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：如右图，Rt △ABC ，取AB 边的中点D ，线段CD 就是△ABC 的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；C A（2）例如，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得∠F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F=x，则∠G=2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM=EG，ME=MF，∴∠F=∠MEF=x，∠EMG=∠G=2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，∴NF=NG，GN=GE，∴∠F=∠NGF=x，∠E=∠ENG，∴∠EGN=x，∠ENG=2x，∴∠E=2x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．也考查了等腰三角形的性质．举一反三：【变式】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设∠B为x度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－x①当BD＝BE时∠3＝1802x︒-，45°＋90°－x＋1802x︒-＝180°，x＝30° .②经计算ED＝EB不成立.③当DE＝DB时∠3＝180°－2x45°＋90°－x＋180°－2x＝180°，x＝45°.综上所述，∠B＝30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F.求证：AF＝EF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到△ADC≌△HDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF．【答案与解析】证明：延长AD到H使DH＝AD，连接BH.∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD在△ADC 和△HDB 中，BD D BDH CDA AD HD C ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDB ， ∴∠1＝∠H ，BH ＝AC ∵BE ＝AC ， ∴BE ＝BH ， ∴∠3＝∠H ， ∴∠1＝∠3 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AF ＝EF【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明. 举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△A BCDE FG,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴4、如图，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E.求证：BE＝12AD.【答案与解析】证明：如图，延长BE 、AC 交于点F.∵∠1＝∠2，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， ∴△AEB ≌△AEF （ASA ）.∴BE ＝FE ＝12BF. ∵∠3＝90°－∠F ＝∠2，BC ＝AC, ∴Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ） ∴BF ＝AD ，BE ＝12AD. 【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．举一反三：【变式】如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．【答案】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠EAC ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE EAC AE AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF=BF ，∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，90EAF CBF AF BFAFEBFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△BCF （ASA ）．5、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE ，根据SAS 证△ACE ≌△BCD ，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB ，根据平行线的判定推出即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA ，即∠BCD=∠ACE ，∵在△ACE 和△BCD 中AC BC ACE BCD CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB ， ∴AE ∥BC ．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE ≌△BCD ，主要考查学生的推理能力.。

新课标八年级数学上册高效课堂第十一章：三角形——与三角形有关的线段导学案

新课标八年级数学上册高效课堂第十一章：三角形——与三角形有关的线段导学案一：知识点讲解知识点一：三角形及其相关概念三角形的概念：一个图形是三角形需满足三个条件：✧由三条线段组成；✧三条线段不在同一条直线上；✧三条线段首尾顺次相接。

如图：①②③不是三角形，④是三角形。

三角形的三要素：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

✧边：组成三角形的线段叫做三角形的边；✧角：相邻两边组成三角形的内角，简称三角形的角；✧顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形的表示：三角形用符号“△”表示，以A、B、C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

在三角形内一个角对着一条边，这条边就叫做这个角的对边，这个角也叫做这条边的对角。

例如：△ABC中，∠A的对边是BC，边AB的对角是∠C。

例1：如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，连接BE、AD交于点F。

1)图中共有多少个三角形？并把它们表示出来；2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？3)以AB为边的三角形有哪些？4)以点F为顶点的三角形有哪些？5)∠C所对的边是什么？知识点二：三角形的分类三角形的分类：✧ 按“有几条边相等”分：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形✧ 按“三个内角的大小”分：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按内角的大小判断一个三角形的形状时，主要看三角形中最大内角的度数，若最大内角为锐角，则该三角形为锐角三角形；若最大内角为直角，则该三角形为直角三角形；若最大内角为钝角，则该三角形为钝角三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形。

例2：根据下列所给条件，判断△ABC 的形状。

①∠A ＝45°，∠B ＝65°，∠C ＝70°； ②∠C ＝110°； ③∠C ＝90°；④AB ＝BC ＝3，AC ＝4；知识点三：三角形的三边关系三角形中任意两边的和大于第三边。

中考数学复习考点知识与题型专题讲解23 等腰三角形

中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。

它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线【考查题型】考查题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22变式1-1．（2021·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形变式1-2．（2021·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°变式1-3．（2021·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4考查题型二根据等边对等角求角度典例2．（2021·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°变式2-1．（2021·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒变式2-2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒变式2-3．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考查题型三根据三线合一求解典例3．（2021·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5变式3-1．（2021·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为）A．2B．3C．4D．变式3-2．（2021·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P 为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2B．﹣2C．+2D．考查题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10变式4-1．（2021·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+12∠B=90°变式5-1．（2021·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5考查题型六根据等角对等边求边长典例6．（2021·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A C ．．变式6-1．（2021·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是（）A ．15海里B ．20海里C ．30海里D ．60海里变式6-2．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，BC ＝5，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD 、AB 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠DAB 内交于点M ，连接AM 并延长交CD 于点E ，则CE 的长为（）A ．3B ．5C ．2D ．6.5考查题型七等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD 中，BA ＝BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA ＝EC ，若∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC ＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，再将“∠BAE ＝90°”改为“∠BAE ＝n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．变式7-1．（2021·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据： 1.4≈，1.7≈，结果精确到1千米）．变式7-2．（2021·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考1.414≈ 1.732≈2.449≈）考查题型八等边三角形的性质典例8．（2021·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14变式8-1．（2021·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π变式8-2．（2021·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()1,1B．C．D．A．()考查题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2021·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东75︒方向，然后他由B地向北偏东15︒方向骑行了6km到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．变式9-1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C'．连接BB'；∠AB B＝°．②在①中所画图形中，'（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．考查题型十含30°角的直角三角形典例10．（2021·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．变式10-1．（2021·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（）A ．2B ．4C ．11 / 11 变式10-2．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A．(1,2-+ B．() C．(2+D．(-。

等腰三角形性质定理(基础)知识讲解

等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【总结升华】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．5、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，AB CABAE CAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三：【变式】如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．【答案】（1）解：∵∠ABC=120°，CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．。

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解：①当4cm为底边时，设腰长为xcm，则2x+4=18，解得：x=7，
此时另外两边分别为：7cm，7cm；
4cm，7cm，7cm可以组成三角形。
②当4cm为腰长时，设底边长为ycm，则y+4×2=18，解得：x=10， ∵4+4＜10， ∴不能组成三角形，舍去； ∴另两边的长为：7cm，7cm．
例4 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，试求另两边的长．方法总结：此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
例4 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，试求另两边的长．
例4 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，试求另两边的长．
思路分析：用一条长为18cm的细绳围成一个等
腰三角形，其中有一边为4cm，可以分别从 ①若4三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
例4 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，试求另两边的长．
例4 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长
用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，试求另两边的长．