第7章多元函数积分学316(二重积分计算极坐标)
有x2 y2等;
(3) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分.
二、极坐标系下积分区域的表示
(1)若D : 1( ) r 2( ), ,则
r 1( ) r 2( ) r 1( ) D
o
x o
r 2( )
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0， y 3x 0 所围成的平面闭区域.
例 4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
故 lim 0 i1
f
(i ,i ) i
lim
0 i1
f (ri
cosi , ri
sini )ririi
即 f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
极坐标下的二重积分可用二次积分来计算
关键是定出r ,的上下限
在极坐标系下积分区域D的面积
rdrd . D
说明: 在极坐标下计算二重积分,一般分以下三个步骤:
(1)作出积分区域D的平面图形;
(2)从极点出发作一条射线穿过D,并按逆时针方向扫过
整个区域, 从而确定积分变量r和的范围;
D r1( ) r r2 ( )
(3)I
d
r2 ( ) f (r cos , r sin )rdr
r1 ( )
r r1( )
D
r r2 ( )
o
A
要点与步骤: (1) 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐
算
当一些二重积分的积分区域D用直角坐标表示 比较复杂（如圆形域），或者一些函数它们的二重 积分在直角坐标系下根本无法计算时，比如：
ex2 y2 d
D:1x2 y2 4
问题
怎样计算此类积分？
在极坐标系下 , f (x, y)
f (r cos, r sin )
e e x2 y2
r2
D :1 x2 y2 4
例5 交换积分次序，且化为极坐标下的二次积分
2a
0
dx
0
2ax x2
f
y x
dy.
例6 计算 x2 y2 4 dxdy,其中D : x2 y2 16.
D
例7 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax
(a 0)所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
例 1 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
xo
D x
D
f
(r cos , r sin )rdrd
d
2 ( )
1 ( )
f
(
r
cos
,
r
sin
)rdr
(2)若D : 0 r ( ), ,则
r ( )
D
f (r cos , r sin )rdrd
D
o
x
d
(
0
)
f
(r
cos
,
r
sin
)rdr
(3)此时D : 0 r ( ),0 2 , 且
D
其中积分区域D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin D
:
sin
0
1
cos
2
, r
1,
cos
x y1
f ( x, y)dxdy
r ( )
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
x
2
0
d
(
0
)
f
(r
cos
,
r
sin
)rdr
(4)此时D : 1( ) r 2( ),0 2 , 且
r 1( ) r 2( ) o
f (r cos , r sin )rdrd
D
x
2
0
d
2 ( )
1 ( )
f
(r
cos
D
原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2.
e x2 y2dxdy 02 d 0a er2 rdr (1 ea2 ).
D
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
关键是定出r ,的上下限
定的上下限：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
一、极坐标系下化二重积分为二次积分
n
D
f (x,
y)d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
用一族同心圆和一族 r ri ri
高等数学 第7章A 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算(2)
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算
极 一、极坐标系下化二重积分为二次积分
坐
标
系 下
二、极坐标系下积分区域的表示
二
重
积 三、极坐标系下计算二重积分习例1-7
分
的
计 四、概率积分公式推导
射线形成的网把区域 D分块(如图)此时
r ri
i i
i
i
1 2
(
ri
ri )2 i
1 2
ri2
i
(ri
ri ) 2
ri
ri i
o
ri ri i
D
i x (i ,i )
取圆周上一点(ri ,i )相对应的直角坐标为(i ,i ),则
i ri cosi ,i ri sini
n
n
D :
0
2
1 r 2
问题
将直角坐标系下的 f (x, y)dxdy
D
化为在极坐标系下的二重积分是什么形式？
其中, f (x, y)可化为f (r cos ,r sin ),
则 dxdy ?
D
即dσ ?(在极坐标系下)
且积分次序是怎样的形式？
将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
,
r
sin
)rdr
见导学解答
三、极坐标系下计算二重积分习例
例 1 计算 e x2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形式，
D
பைடு நூலகம்其中积分区域D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分详细解答
f ( x, y)dy
= ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ
y
1
则
0 ≤ x ≤ 1, D: 1 0 ≤ y ≤ 2x − x2 .
D1
1 ≤ x ≤ 2, D2 : 0 ≤ y ≤ 2 − x.
o
D2
1
y = 2− x
2 x
设
D = D + D2 1
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 化整为零 2 以平代曲
z
∆ V i ≈ f ( x i , y i )∆ σ i
3 积零为整 V ≈ ∑ f ( x i , y i )∆σ i
i =1 n
4 取极限 令分法无限变细
0 y
∆σ i
.
V = lim ∑ f ( x i , y i )∆ σ i
i =1
D
特殊地
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ f ( x, y) dσ .
D D
性质６ 性质６ 设M、m分别 f ( x, y)在 是 闭区 D 上 最 域 的 大
值和最小值， 的面积， 值和最小值，σ 为 D 的面积，则
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式） 二重积分估值不等式）
性质１ 性质１ 为常数时， 当 k 为常数时，
∫∫ kf ( x, y)dσ =k∫∫ f ( x, y)dσ .
D D
性质２ 性质２
∫∫[ f ( x, y) ± g( x, y)]dσ
D
= ∫∫ f ( x, y)dσ ± ∫∫ g( x, y)dσ .
D D
性质３ 性质３
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
6-2-二重积分的计算[1]
![6-2-二重积分的计算[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/526df5106edb6f1aff001f64.webp)
d
ψ 2 ( y)
⑤
的二次积分公式。 上式右端的积分称为先对 x 后对 y 的二次积分公式。
型区域的特点是 Y 型区域的特点是：穿过 D 内部
y 公式⑤ 型区域。 用公式⑤时，必须是 Y 型区域。 d
D
x=ψ2( y)
且平行于 x 轴的直线与 D 的边界 相交不多于两点。 相交不多于两点。
x=ψ1( y)
第三原则—分块原则： （3） 第三原则—分块原则：若积分区域既是 X 型又是 Y 型 且满足第一原则时， 要使积分分块最少。 且满足第一原则时， 要使积分分块最少。
的积分次序。 例 4．交换二次积分的积分次序。 ．交换二次积分的积分次序 （1） ∫ dy ∫ ）
0 4 2− y − y
f(x,y)dx
x
∫∫ e
D
− y2
dσ = ∫ dy ∫
0
1
1 − y2 y − y2 e dx = ye dy 0 0
∫
o
1 − y2 1 1 = e = (1− e −1 ). 0 2 2
积分次序的选择原则：
第一原则—函数原则： （1） 第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数 能够求出。 能够求出。 （2） 第二原则—区域原则：若积分区域是 X 型（或 Y 型） 第二原则—区域原则： 则先对 y (或 x) 积分。
y
y= x =
o
D1
1
1 x
(4, 2)
D2
y= x−2
4 x
4 x
y=− x (1,−1)
5 ∫∫ xydσ = ∫∫ xydσ + ∫∫ xydσ = ∫0 dx ∫− x xydy + ∫1 dx ∫x−2 xydy = 5 8 .
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数积分学
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
多元数量值函数积分学
1 0
y2
1 2
x
2
x x
y
y
dy
12 2 0
(2) 将D作为Y-型区域，D可表示为： 1 x=y
解 (1)首先画出积分区域D，作先对x 后对y 的二次积分.
例3.计算y2d,其中D是由yx与抛物线xy22围成.
D
y2 2 x y, D
1 y 2.
D
2y
dy
y2dx
1 y22
例5 求曲线
和 x2y2 a2
解 在极坐面标积系.下
x2y2a2 ra,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )
ra 2cos2,
根据对称性有 D4D1
所围成的图形的
ra 2cos2
D1
ra
得交点
所求面积
4 dxdy
D1
4
6d
a
2cos2
rdr
0a
a2(
3 ).
A
(a
的曲边梯形，此截面面积为
x且平行yoz面的平
面截曲顶柱体所得
Ax y2xf x,ydy. y1x
截面面积为 任取x [a,b]，过点
b b y2x
Axdx fx,ydydx, a a y1x
abyy12xxf x,ydydx.
f x, yd
D
f x, yd
D
应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体 体积”的方法，得到 这个体积的值，就是二重积分 的值。 因此，二重积分
,
)
3
6
由r a 2cos2 dxdy
r a
D
D
就是柱体的体积, 但此时二重积分
f x, yd 的值
第七章 多元函数积分学及其应用
1
1
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【例】（05）设 I1 = cos x2 + y2 dσ , I2 = cos(x2 + y2 )dσ ，I3 = cos(x2 + y2 )2 dσ ，
D
D
D
{ } 其中 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 1 ，则
(A) I 3 > I 2 > I1 . （B） I1 > I 2 > I 3 .(C) I 2 > I1 > I 3 .
【例】（00）
f
(x,
y)
=
⎧x2 ⎨
y
⎩0
若 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ， 其它
{ } ∫∫ 求 f (x, y)dxdy, D：(x, y) x2 + y 2 ≥ 2x 。 D
【例】求 I = ∫∫ xe− y2 dσ ，其中D是由曲线y = 4x2，y = 9x2在第一象限围成的区域．
D
D
∑ ∑ n
【例】（10）lim x→∞ i=1
n
n
j=1 (n + i)(n2 +
= j2)
（）
∫ ∫ (A)
1
x
dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
∫ ∫ 1
x
(B) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)
∫ ∫ 1
1
(C) dx
1
dy
0 0 (1+ x)(1+ y)