2019年四川高考理科数学试题及答案(Word版)

高考数学精品复习资料

2019.5

20xx 年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川

卷）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的。 1．已知集合2

{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ?=

A ．{1,0,1,2}-

B ．{2,1,0,1}--

C ．{0,1}

D ．{1,0}- 【答案】A

【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ?={1,0,1,2}- 2．在6

(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C

【解析】含3x 项为24

236(1)15x C x x ?=

3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上

所有的点

A ．向左平行移动12个单位长度

B ．向右平行移动1

2

个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度

【答案】A

【解析】因为1sin(21)sin[2()]2

y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左

平行移动1

2

个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有

A ．a b c d >

B ．a b c d <

C ．a b d c >

D ．a b d c

<

【答案】D

【解析】由1100c d d c <->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b

d c

->->，所以

a b

d c

< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C

【解析】当001x y x y ≥??

≥??+≤?

时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.

6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有

A ．192种

B ．216种

C ．240种

D ．288种

【答案】B

【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 4

4

A 种。 共有55A +14C 4

4

A 924216=?=种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹

角，则m =

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2 【答案】D

【解析1】(4,22)c m m =++ 因为cos ,||||c a c a c a ?=

?，cos ,||||c b c b c b ?=?，所以||||||||

c a c b

c a c b ??=

??，又||2||b a = 所以2c a c b ?=?即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ?=

【解析2】由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =故2m = 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。设点P 在线段

1CC 上，直线

OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是

A ．

B

． C

． D ． 【答案】B

【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是

111[

,][,]22

AOA C OA ππ

∠?

∠，

由于1sin

AOA ∠=

，11sin 2C OA ∠=

=>

，sin 12

π

= 所以sin α的取值范围是

9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。现有下列命题：

①()()f x f x -=-；②22()2()1

x

f f x x =+；③|()|2||f x x ≥。其中的所有正确命题的序

号是

A ．①②③

B ．②③

C ．①③

D ．①② 【答案】C

【解析】()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-故①正确

1()ln(1)ln(1)ln

1x f x x x x

+=+--=-?

2222

212111()ln

ln()2ln 2()211111

x x x x x f f x x x x x x +

+++====+---+ 但左边的x R ∈，右边的(1,1)x ∈-，故②不正确 当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥?-≥

令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---（[0,1)x ∈）

因为2

2

112()20111x g x x x x '=+-=>+--，所以()g x

在[0,1)单增，

()()2(0)0g x f x x g =-≥=

即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立故③正确 10．已知F 是抛物线2

y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为 坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是

A ．2

B ．3 C

D

【答案】B

【解析】设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4

F ，直线AB 与x 轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）

由22

0x ty m

y ty m y x

=+??--=?=?，所以12y y m =- 又2

1212121222()20OA OB x x y y y y y y ?=?+=?+-=

因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =

于是12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ??+=

??-+??=+≥= 当且仅当111924

83

y y y =?=时取“=”

所以ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是3

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数

221i

i

-=+ 。 【答案】2i -

【解析】

2

2222(1)(1)21(1)(1)

i i i i i i i --==-=-++- 12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，

242,10,(),

01,x x f x x x ?-+-≤<=?≤

【答案】1

【解析】2311

()()4()21222

f f =-=-?-+=

13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，

30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m 。

（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：sin 670.92≈，

cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈

1.73≈） 【答案】60

【解析】92AC =，9292

sin sin 370.6060sin sin 670.92

AC BC A B =?=?=?=

14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ?的最大值是 。 【答案】5

【解析】(0,0)A ，(1,3)B ，因为PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==

故22

||||||||52

PA PB PA PB +?≤=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”

） 15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ?组成的集合：对于函数()x ?，存在一个正数M ，使得函数()x ?的值域包含于区间[,]M M -。例如，当31()x x ?=，2()sin x x ?=时，1()x A ?∈，2()x B ?∈。现有如下命题： ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ?∈，a D ?∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +?；

④若函数2()ln(2)1

x

f x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号） 【答案】①③④

三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．已知函数()sin(3)4

f x x π

=+

。

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354

f α

π

αα=+，求cos sin αα-的值。

解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+?2234312

k k x ππππ

-≤≤+

所以()f x 的单调递增区间为22[,]34312

k k ππππ

-+（k Z ∈）

（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+?4sin()cos()cos 2454

ππ

ααα+=+

因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444

π

πππ

ααααα=+=+=++

所以28sin()cos ()sin()4544

π

ππ

ααα+

=++ 又α是第二象限角，所以sin()04π

α+=或25

cos ()48

πα+= ①由3sin()022444

k k πππ

ααππαπ+=?+=+?=+（k Z ∈）

所以33cos sin cos sin 44

ππ

αα-=-=

②由2

5cos ()cos()sin )

484ππαααα+=?+=?-=

所以cos sin αα-=

综上，cos sin αα-=或cos sin αα-=17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，

要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。设每次击

鼓出现音乐的概率为

1

2

，且各次击鼓出现音乐相互独立。 （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。 解：（1）X 可能取值有200-，10，20，100

0033111(200)()(1)228P X C =-=-=，11

23113(10)()(1)228P X C ==-=，

2213113(20)()(1)228P X C ==-=，33

03111(100)()(1)228

P X C ==-=

故分布列为

（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是8888

p =++=

则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00

313775111()(1)88512

p C =--=

（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是

133110

()(200)102010088888

E X =-?+?+?+?=-分

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。 （1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。

解：（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中： 平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC

于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ?BD AC ⊥

因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥ 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=矛盾 所以P 为线段BC 的中点

（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，

则A

，1(

2M -

，1(

2

N ，1(2P 于是1(,0,2AN =，(0,PN =，(1,0,0)MN =

设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111

(,,)m

x y z =和2

22(,,)n x y z =

由00

AN m PN m ??=???=???11111020x z y z ?-=

???

?+=

??，设11z =，则(3,1,1)m = 由00

MN n PN n ??=???=???22

20

0x y z =???+=??，设21z =，则(0,1,1)n =

cos ,||||5m n m n m n ?===?? 所以二面角A NP M --

19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上（*n N ∈）。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1

2ln 2

-，求数列{

}n

n

a b 的前n 项和n T 。 解：（1）点(,)n n a b 在函数()2x

f x =的图象上，所以2n a

n b =，又等差数列{}n a 的公差为d

所以1

112222

n n n n a a a d n a n b b ++-+=== 因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以8

7842a b b ==，所以8

7

24d b b =

=2d ?= 又12a =-，所以221(1)

232

n n n S na d n n n n n -=+

=-+-=- （2）由()2()2ln 2x x

f x f x '=?=

函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a

y b x a -=-

所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而211

2ln 2ln 2a -=-

，故22a = 从而n a n =，2n n b =，2

n n n a n

b =

231232222n n n T =++++ 2341112322222n n n T +=++++

所以23411111112222222n n n n T +=+++++-111211222

n n n n n +++=--=-

故2

22n n

n T +=-

20．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端

点构成正三角形。

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q 。

（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；

（ii ）当

||

||

TF PQ 最小时，求点T 的坐标。 解：（1

）依条件2

2

22226

24c a a b a b c =??=??=???=?

??-==?

所以椭圆C 的标准方程为22

162

x y +=

（2）设(3,)T m -，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，又设PQ 中点为00(,)N x y （i ）因为(2,0)F -，所以直线PQ 的方程为：2x my =- 222

2

2(3)420162x my m y my x y =-???+--=?+=?? 所以222122122168(3)24(1)04323m m m m y y m y y m ?

??=++=+>?

?

+=?+?

-?

=?+?

于是1202

223

y y m

y m +==+，20022262233m x my m m -=-=-=++ 所以2262(,)33m N m m -++。因为3

OT ON m

k k =-=

所以O ，N ，T 三点共线

即OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）

（ii

）||TF =

，12||||PQ y y =-=

所以||||TF PQ ==

x =（1x ≥）

则||2)||TF x PQ x ==+≥（当且仅当22x =时取“=”） 所以当||||

TF PQ 最小时，22x =即1m =或1-，此时点T 的坐标为(3,1)-或(3,1)--

21．已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。 （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围 解：（1）因为2()1x f x e ax bx =--- 所以()()2x g x f x e ax b '==-- 又()2x g x e a '=- 因为[0,1]x ∈，1x e e ≤≤ 所以：

①若12

a ≤

，则21a ≤，()20x

g x e a '=-≥， 所以函数()g x 在区间[0,1]上单增，min ()(0)1g x g b ==-

②若122

e

a <<，则12a e <<，

于是当0ln(2)x a <<时()20x g x e a '=-<，当ln(2)1a x <<时()20x

g x e a '=->， 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单减，在区间[ln(2),1]a 上单增，

min ()[ln(2)]22ln(2)g x g a a a a b ==--

③若2

e a ≥，则2a e ≥，()20x

g x e a '=-≤

所以函数()g x 在区间[0,1]上单减，min ()(1)2g x g e a b ==--

综上：()g x 在区间[0,1]上的最小值为min 11,,21()22ln(2),,222,,2b a e g x a a a b a e e a b a ?

-≤??

?

=--<

?

--≥??

（2）由(1)0f =?10e a b ---=?1b e a =--，又(0)0f =

若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间 由（1）知当12a ≤

或2

e

a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[0,1]上单调，不可能满足“函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。

若

122

e

a <<，则min ()22ln(2)32ln(2)1g x a a a

b a a a e =--=--- 令3

()ln 12h x x x x e =---（1x e <<）

则1()ln 2h x x '=-

。由1

()ln 02

h x x x '=->?<

所以()h x

在区间

上单增，在区间)e 上单减

max ()110h x h e e ==--=--<即min ()0g x <恒成立

于是，函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间?(0)20(1)10g e a g a =-+>??=-+>?2

1a e a >-???

又122

e

a << 所以21e a -<<

e

综上，a的取值范围为(2,1)