7第七章岩体本构关系与强度理论
2
1
8 ( 1 3 )
t 1 = -8 t c = -8
β
t
cos 危险裂纹方位角： 2
2 (
1 1
3 3
)
1 2
β= ±π/6
（4）双向压缩应力状态下 σ1＞0,σ3 ＞ 0, 满足σ1+3σ3 ＞0 破裂条件为：
y
(
x
2
y
)
2 xy
3
最大主应力与 x轴的夹 角θ可按下式求得：
tg 2 2
xy
x
y
任一斜面上的正应力和剪应力用主应力表示为：
n
1
2
3
1
2
3
cos 2
n
1
2
3
sin 2
莫尔应力圆的方程： (
n
1
2
3
)
2
2 n
试验数据的统计分析基础之上的。 1910年莫尔提出材料 的破坏是剪切破坏，材料在复杂应力状态下，某一斜面
上的剪应力达到一极限值，造成材料沿该斜面产生剪切
滑移破坏，且破坏面平行于中间主应力σ 2作用方向（即 σ 2不影响材料的剪切破坏），破坏面上的剪应力τ 该面上法向应力σ 的函数,即：
f
是
τf ＝ f (σ)
以平面应力问题为例，如图，任 意角度α截面的应力计算公式如下：
n
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
n
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
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最大最小主应力：
2
1
x
2
如果应力点（σ 1,σ 3)落在强度曲线 上或曲线左边，则岩石发生破坏， 否则不破坏。
讨论：
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（1）单轴拉伸应力状态下 σ1=0,σ3 ＜0,满足σ1+3σ3 ≤ 0, 破裂条件为：
3
3
3
t
危险裂纹方位角： sin
2 0 0
z
zx
zy
yx
xy
6个应力分量： σx,σy,σz, τxy,τyz,τzx
x
y
b
x
yz
xz
a
xy
x
yx
y
yz
xz
zx
zy
o
z
y
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3、平面问题的简化
在实际工程中，可根据不同的受力状态，将三维问题简化 为平面问题。 （1）平面应力问题；薄板 （2）平面应变问题。长隧道 4、基本应力公式
1
（2）双向拉伸应力状态下
σ1＜0,σ3＜0,满足σ1+3σ3 ＜ 0,
破裂条件为：
3
3
3
t
危险裂纹方位角：
sin 2 0 0
1
（3）单轴压缩应力状态下
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σ1＞0,σ3 = 0, 满足σ1+3σ3 ＞0 破裂条件为：
t
2 c cos 1 sin
c
2 c cos 1 sin
2 c cos 1 sin
1c
1 sin 1 sin
3
1c
k
3
c
其中：
k
1 sin 1 sin
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一、一点的应力状态
1、应力符号规定 （1）正应力以压应力为正，拉应力为负； （2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负； （3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正， 反之为负。 z 2、一点应力状态
根据椭圆孔应力状态的解析解，得出了格里菲斯的强 度判据：
（1） 破裂条件为：
(
1
3
3)
1 2
3
0
1
8 (
3)
t
危险裂纹方位角：cos 2
2 (
1 1
3 3
)
（2）
破裂条件为：
1
3
3
0
3
t
危险裂纹方位角：
sin 2 0
4 c 2
4 ( c 2 t )
适用于岩性较坚硬至较软弱的岩石，如泥灰岩、砂岩、泥 页岩等岩石。
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2. 双曲线型
2
( t ) tg 0 ( t ) 1 c ( 3) 2 2 t
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（2）裂纹将沿着与最大拉应力作用方向相垂直的方向扩展。
tg tg 2
式中：γ ——新裂纹长轴与 原裂纹长轴的夹角；
β ——原裂纹长轴与
最大主应力的夹角。
2、格里菲斯强度判据
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五、格里菲斯强度理论
1921年格里菲斯在 研究脆性材料的基础上， 提出了评价脆性材料的 强度理论。该理论大约 在上世纪70年代末80年 代初引入到岩石力学研
究领域。
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1、格里菲斯强度理论的基本思想：
（1）在脆性材料内 部存在着许多杂乱无章的 扁平微小张开裂纹。 在 外力作用下，这些裂纹尖 端附近产生很大的拉应力 集中，导致新裂纹产生， 原有裂纹扩展、贯通，从 而使材料产生宏观破坏。
即：
c
t
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3、在三轴压缩条件下：σ 3方向的应变为
3
1 E
3
(
1
2
)
如果σ 3<μ (σ 1 +σ 2),则为拉应变，其强度条件为
3
1 E
3
(
1
2
)
t
而：
E
t
t
E——岩石的弹性模量；
σt——单轴抗拉强度。
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讨论： 1、在单轴拉伸条件下：岩石发生拉伸断裂破坏，其强度 条件为：
t
E
t
2、在单轴压缩条件下：岩石发生纵向拉伸断裂 破坏，其强度条件为：
t
c
E
t
E
1
2
2
t
tg o
适用于砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩石。 3.直线型
1
2C 3 ( 1 f 1 f
2 2
f)
f
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3、莫尔－库仑强度理论
τf = f(σ)所表达的是一条曲线，该曲线的型式有：直线 型、抛物线型、双曲线型、摆线型。而直线型与库伦准则 表达式相同，因此，也称为库伦－莫尔强度理论。由库仑 公式表示莫尔包络线的强度理论，称为莫尔－库仑强度理 论。
上的剪应力达到或超过该破坏面上的粘结力和摩擦阻力之
和，便会造成材料沿该斜面产生剪切滑移破坏。
f
c tg
式中： τ
f
——材料剪切面上的抗剪强度；
c——材料的粘结力；
σ ——剪切面上的正应力。
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四、莫尔强度理论 1、莫尔强度理论的基本思想 ：莫尔强度理论是建立在
2 2
3 0， 1 c
2 c
n 2 ( c 2 t ) n 近似解：
2
0
n
2 c
c
2
2 ( c 2 t )
( c t )
2 ( c 2 t )
2
( 1 3 )
2 c
( c 2 t )
( 1 3 2 t )
限应力圆）。
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莫尔强度包络线的意义：包络线上任意一点的坐标都 代表岩石沿某一剪切面剪切破坏所需的剪应力和正应力， 即任意一点都对应了一个与之相切的极限应力圆。 莫尔强度包络线的应用：运用强度曲线可以直接判断岩 石能否破坏。将应力圆与强度曲线放在同一个坐标系中，若 莫尔应力圆在包络线之内，则岩石不破坏；若莫尔应力圆与 强度曲线相切，则岩石处于极限平衡状态；若莫尔应力圆与 强度曲线相交，则岩石肯定破坏。
岩体本构关系与强度理论
Rockmass Mechanics
第七章 岩体本构关系与强度理论
概述 岩石的本构关系 岩石强度理论 岩体变形及本构关系 岩体破坏机制及破坏判据
概述
－－岩体的力学性质表现为弹性、塑性和粘性或三者之间的组合，如
粘弹性、弹粘性、弹塑性、弹塑粘性等。
如何求解岩体的基本力学问题呢？
3
(12c)1
1 3c
3(12)t
那么最大正应变强度判据可写成：
f C tg
1 1 3 c
当岩石应力条件满足以上判据时，岩石发生张破裂。取其中最小的
比较。 该强度理论适用于无围压和低围压及脆性岩石。
0
0
2. （二次）抛物线型 岩性较坚硬至较弱的岩石，
如泥灰岩、泥岩、砂岩、泥页 岩、页岩等岩石的强度包络线 近似于二次抛物线。
3．双曲线型 岩性坚硬、较坚硬的岩石，
如砂岩、灰岩、花岗岩等，其强 度包络线近似于双曲线。
二次抛物线型莫尔强度包络线 双曲线型莫尔强度包络线
0
说明：莫尔－库仑判据（强度理论）实质上是一种剪应力强度判据（理 论），既适用于塑性岩石，又适用于脆性岩石的剪切破坏，应用很广。
那么，岩石承受低于瞬时强度的荷载作用，是否会破坏？
只要收到长期荷载作用下，由于流变作用，岩石完全可能发生破坏。 而且岩石强度随外荷载作用时间的延长而降低，通常将时间t→∞的强度 （最低值）称为岩石的长期强度。
对大多数岩石，长期强度/瞬时强度（S∞/S0）一般为0.4～0.8，软的 和中等坚固岩石为0.4～0.6，坚固岩石为0.7～0.8。
2.莫尔－库仑强度理论
（Coulomb-Mohr Strength theory）
岩石的强度理论与本构关系
岩石的强度理论与本构关系朱浮声(东北大学土木系,沈阳110006)朱浮声,1948年6月生于黑龙江齐齐哈尔11976年毕业于东北大学,1983年获中国矿业大学工学硕士学位,1991年获东北大学博士学位11988年曾在美国南伊利诺大学作访问学者,1993年在瑞典皇家工学院任客座教授1现任东北大学土木工程系教授,辽宁省力学学会理事1主要研究方向为计算岩土力学和岩土加固技术1在国内外学术刊物上发表论文50余篇,出版5锚喷加固设计方法6等学术专著2部,译著1部1摘要本文简要介绍了岩石强度理论和本构关系的发展和现状,讨论了它们不同的特点与适用条件1关键词岩石,岩体,强度理论,本构关系1前言随着电子计算机的飞速发展和计算技术的逐步完善,对岩石强度理论和本构关系提出了更高要求,以便更真实描述岩石和岩体力学特征,求解复杂的工程岩石力学问题1由于岩石材料力学性质的某些相似性和其它历史原因,岩石强度理论和本构关系的早期研究曾大量引用了土力学成果,并提出了一些适用于岩土介质的强度理论和本构关系1随着岩石力学的发展,人们认识到,岩石和岩体的物理力学性质不仅有别于其它非摩擦工程材料,而且,与土或混凝土等摩擦材料也存在较明显差异1例如,岩石破坏包括脆性、延性及由脆性向延性转化等复杂类型;岩体的力学特性受控于岩块和不连续面的力学特性;岩石工程的稳定性通常受主要不连续面控制等1因此,近年来又提出了适用于岩石、不连续面和岩体的强度理论或本构方程式1本文旨在介绍这些理论研究的最新进展,并对已有岩土强度理论和本构关系的适用条件和局限性加以简要评价1限于篇幅,本文仅涉及与时间无关的各向同性和等向强化模型12岩土共用的强度理论和本构关系211弹性均质、各向同性或横观各向同性模型曾被广泛用于描述岩土力学特征,特别是峰值强度前的应力-应变关系,并得到了大量解析解和实用近似解1考虑到应力-应变曲线的明显非线性特性,曾将非线性弹性理论与计算机技术相结合,提出了一批数值算法,并在60~70年代的岩土力学分析中不断被引用1例如,以曲线各点的割线模量取代弹性常数,构成了各种超弹性模型[1],或以增量形式描述非线性弹性应力-应变关系,形成了亚弹性模型[2]等1但是,由于这些模型只考虑到岩土材料的弹性特征,并且,随着模型阶次增高,待定常数的数目往往过多,因而,限制了它们的广泛应用1212 理想塑性强度理论在计算岩土力学中,广泛采用了莫尔-库伦强度准则(Mohr -Coulomb)和德鲁克-普拉格准则(Drucker -Prager)1莫尔-库伦准则可以表述为R 1-B R 3=C (1)式中,B 和C 一般是常数1在主应力空间,式(1)表示一个以静水应力轴为中心轴,具有不规则六角形截面的角锥体表面(图1)1这个准则由于较好地表征了岩土介质在压缩条件下的某些弹塑性力学特征,因而得到了较广泛的应用1但是,由于忽略了中间主应力对破坏的作用,存在明显的缺陷1另外,由于屈服面在三维应力空间中存在/角隅0,给数值计算带来了诸多困难1为了解决上述问题,曾对莫尔-库伦准则进行修正,将米赛斯准则(M ises)加上一个静水应力因子,形成了著名的德鲁克-普拉格准则,不仅考虑到三个主应力对破坏的影响,并且消除了屈服面存在的角隅1这个准则可表述为A J 1+J 2=C (2)式中,J 1和J 2是主应力不变量,A 和C 是正常数1图1 莫尔-库伦准则和德鲁克-普拉格准则屈服面在主应力空间,式(2)是一个以静水应力轴为中心轴的圆锥体(图1)1它虽然克服了莫尔-库伦准则的上述缺点,但在破坏状态下,该准则给出了较大的材料体积膨胀,这与岩土介质的试验结果明显不符1我国学者俞茂由正交八面单元体的三个主应力出发,提出了双剪强度理论和适用于岩土体的广义双剪强度理论(包括屈服准则)[3],并得到了双剪统一强度理论[4]R 1-A 1+b (b R 2+R 3)=R t ,R 2F R 1+A R 31+A11+b (R 1+b R 2)-A R 3=R t ,R 2E R 1+A R 31+A (3)式中,A 和b 是常数,R t 是材料单轴抗拉强度1在主应力空间,式(3)表示一个以静水应力轴为中心轴,具有不等边十二边形截面的锥体表面1可以证明,广义双剪理论和莫尔-库伦准则在P 平面上的屈服曲线分别是各种岩土屈服准则的上限和下限1213应变硬化(软化)一般地,岩土体应力状态满足屈服准则时,将出现屈服应力随变形增大而不断增高(硬化)或降低(软化)现象1对于前者,屈服面在主应力空间是连续扩大的;对于后者,则表现为屈服面的不断收缩1当满足破坏条件时,将形成屈服面与破坏面(残余破坏面)相互重合,而屈服面与破坏面始终相一致的情况仅发生在完全塑性材料中1因此,为了建立岩土介质完整的本构关系,必须同时考虑屈服准则、流动法则和软(硬)化定律等三方面1其中,对材料硬(软)化特图2帽盖模型屈服面性的研究多借助于控制该材料硬化特性的屈服面,称之为硬化帽盖(图2)1根据不同的岩土介质和试验,提出了不同形状的帽盖[5],其一般表达式为f1(J1,J c2,k1)=0(4)式中,J c2为应力偏量第二不变量,k1为硬化参数1除了屈服帽盖,岩土帽盖模型还包括一个固定屈服面,例如,通常以初始德鲁克-普拉格破坏面与米赛斯屈服面光滑相接表示1一般地,固定屈服面取为强度理论限定的破坏面f2(J1,J c2)=0(5) 3岩石和岩体强度理论与本构关系如前所述,在一定条件下,可以使用相同强度理论分析岩土力学问题1但在一般情况下,岩石的破坏面具有如下特征:(1)在主应力空间,破坏曲面在原点附近的顶角是张开的;(2)岩石破坏包络线,即破坏面在伦杜列克面(Rendulic)上的子午线不是直线,而是曲线;(3)岩石有抗拉强度1通常,前述岩土体的屈服和强度准则都可以满足条件(1)和(3),为了满足条件(2),需要进行必要修正1311岩土强度理论的修正为了使强度理论满足上述条件(2),从而应用于岩石力学问题分析中,早期的工作多采用对破坏曲线近似逼近方法,例如,以双曲线或抛物线取代莫尔-库伦准则中的直线等1更一般的方法是直接采用莫尔强度理论,并通过对P平面上多边形屈服曲线角点的光滑化得到各种角隅模型[6]1典型范例是关于岩石的吉姆-拉德破坏准则(Kim-Lade)1拉德曾提出如下土体两参数破坏准则[7](J21/J3-27)(J1/P a)m=G1(6)式中,P a是该应力状态下大气压力,m和G1是常数,其中,破坏面在原点附近的张角随G1变化,而子午线曲率随m值变化(图3)1在主应力空间,拉德准则是一个以静水应力轴为中心轴,具有带圆角三角形截面的子弹头形曲面,该曲面顶点位于原点1图3拉德破坏准则破坏面[7]为了得到适用于岩石的强度准则,吉姆和拉德对式(6)进行了修正,即考虑岩石凝聚力和抗拉强度的作用,在式(6)的法向主应力分量叠加一个常应力项aP aR x=R x+aP aR y=R y+aP a(7)R z=R z+aP a研究式中,a是一个无因次常数,aP a的值反映了岩石的抗拉强度1不难看到,这个三参数强度准则较好地反映了岩石破坏面的上述3个特征,同时,原作者通过87组不同岩石的试验数据对模型进行了多次验证1312岩石的脆性破坏准则岩石三轴试验结果表明,在侧限压力较低时,岩石试件的破坏应力随变形增大而不断降低,在很小或完全未出现永久变形的情况下发生突然的脆性破坏1随着侧限压力增大,通常出现由脆性向延性破坏的转变,这种现象可以由塑性变形机制来解释(岩石破裂流动与颗粒滑移等)1岩石脆性破坏准则研究仍处于发展阶段1其中,格里菲斯理论(Griffith)是一个基于理想脆性假定的二维准则,由此理论预测的脆性材料单轴抗压与抗拉强度R c和R t的关系式R c=-8R t1由于岩石裂纹随围压增高将出现闭合,此时应考虑闭合裂纹表面间摩擦作用,因此,提出了关于岩石修正的格里菲斯理论[8]S=2R t+R n tg<(8)式中,S和R n为裂纹面上切应力与法应力,<为内摩擦角1显然,这种修正是将低应力条件下的格里菲斯理论转化为高应力条件下的莫尔理论1M urrell考虑到中间主应力的作用,提出了一个三维脆性破坏准则,这个准则预测R c/P a=12 |R t/P a|1在主应力空间,这个准则表示为一个以静水压力轴为中心轴的椭球面与一个处于拉应力区的四棱锥面相切得到的曲面(图4)1需要指出,这个准则虽计及中间主应力影响,并具有弯曲的子午线,但它的基本出发点却是基于单轴抗拉强度判据1图4M urrell三维脆性破坏准则破坏面[9]313岩石破坏的经验准则由于岩石和岩体力学特征的复杂性,针对不同岩石和荷载条件提出了大量实用经验准则1其中,霍克-布朗准则是应用最广的1这个准则依据格里菲斯和修正格里菲斯理论的基本概念,采用/试凑法0得到了分别适用于岩石和岩体的经验准则[10]R1=R3+m R c R3+S R c2(9)式中,m和S是表征岩石或岩体性质及其破坏范围的常数1在主应力空间,这是一个以静水应力轴为中心轴、具有6条抛物线围成的6边形截面的锥体表面(图5)1这个准则给出R c=-(7~25)R t,这与大量试验结果接近,因而,得到较广泛应用1图5霍克-布朗经验破坏准则破坏面4节理和节理岩体天然岩体由节理和岩块组合而成1对于起控制作用的节理,通常采用/节理单元0来模拟1早期的节理单元是一个非线性弹性模型,给出了节理面两侧力-位移的增量表达式1为了考虑节理延性和切向-法向作用的相互影响,普遍采用了遵循莫尔-库伦准则的弹塑性节理模型1但是,如果采用关联流动法则,这个模型将产生一个无法消除的剪胀率1因此,罗伯茨等(Roberts)建议用非关联流动法则,相应塑性势函数Q为Q=|R s|-R n tg W(10)式中,R s和R n是节理切向和法向应力,W是节理剪胀角,可由试验确定1由于试验水平和理论的限制,节理面的理论模型尚不成熟,在应用中最可靠、最广泛的是巴登(Barton)提出的经验准则[11]F=|R s|-R n tg<(JRC lg(JCS/R n)+<r)=0(11)式中,JR C是节理面粗糙度系数,JCS是节理面抗压强度,<和<r分别是节理面摩擦角和残余摩擦角1这些参数都可以由简单原位试验得到1国际岩石力学学会制订了规范用于获取和解释这些参数,从而,推动了这一准则的普遍应用1对于受多组节理切割的岩体,由于很难同时模拟这几组节理,通常需找到节理岩体的本构关系1目前,此项研究仍处于开始阶段,应予充分重视1对于等距排列的平行节理(未充填),若节理连续分布且尺寸远小于岩体或结构物尺寸,提出了/节理岩体层状模型0(Multilaminate model)[12]1这实质上是一种等效材料模型,在最终形成的弹塑性或粘弹塑性本构关系中,以不同力学模型分别描述各层岩石和节理面的力学特征,并同时考虑它们对岩体力学的影响,得到节理岩体总的粘塑性应变速率ÛE VP=C i3F i45Q i5R+E nJ=1C J3F J45Q J5R J5R J5R(12)式中,F i和F J分别是第i层岩石和第J层节理的屈服(破坏)函数,Q i和Q J为相应塑性势,R J 表示J组节理面上法向和切向应力,C i和C k是相应粘性参数1式(12)中等号右端第一项与岩石特性有关,第二项则涉及n个节理面的力学特征1如果不考虑岩体的流变特性,采用关联流动法则,可以给出弹塑性节理岩体的类似表达式15结束语(1)非线性弹性模型曾在岩土力学中应用1由于高次模型待定常数过多,且为区分加、卸载情况需给出复杂应力状态下加载条件,限制了它们的使用范围,在岩石力学中应用较少,并主要用于比例加载条件下1(2)莫尔-库伦准则和德鲁克-普拉格准则在岩土力学分析中得到广泛应用1前者的缺点是忽略了中间主应力的作用,并且,在三维主应力空间存在屈服面角隅,给计算带来了困难1后者虽然克服了上述问题,但在破坏状态下给出较大体积膨胀,这与岩土试验结果严重不符1广义双剪强度理论及其角隅模型展示了广阔应用前景,但需大量试验与工程验证1各种帽盖模型考虑到岩土介质的应变硬(软)化,计及剪胀或剪缩,但公式推导中加入种种补充假定,模型的可靠性需进一步验证1(3)岩石、岩体和土体的强度理论和本构关系相似又相区别1吉姆-拉德的三参数岩石破坏准则经过87组岩样检验1有较高可信度1各种岩石脆性破坏准则都源于单向抗拉强度判据,它们的可靠性有待检验1岩石和岩体经验破坏准则在应用中占重要地位,其中,霍克-布朗准则适用于R1>314R3条件下延性岩石(体),在无控制作用节理存在的岩体工程分析中得到普遍应用1(4)在主要节理面的模拟中采用了莫尔-库伦准则和关联/非关联流动法则1已提出的8参数节理模型可用于研究节理加载-卸载-再加载过程[12],但最可靠、应用最广的仍是巴登经验准则1对无控制性不连续面的节理岩体提出了等效模型和相应本构关系1节理岩体的强度理论和本构关系研究仍处于初始阶段,是目前主要研究方向之一1参考文献1Fung Y C1Foundations of Solid M echanics1Prentice-Hall,19652T ruesdell C1Hypoelas ticity1J Ration M ech A nal,1955,4:83~1333俞茂等1双剪应力强度理论及其推广1中国科学A辑,1985,28(11)4俞茂1统一强度理论及其应用1强度理论研究新进展1西安:西安交通大学出版社,1993133~445S chofield A N,Worth C P1Critical S tate Soil M echanics1M cGraw-Hill Book Company,19686Zienkiew icz O C,Pande G N1Som e useful forms of isotropic yield surfaces for soil and rock mechanics1Finite Elements in Geome-chanics1Gudehus G(eds)1John Wiley&Sons,19777Kim M K,Lade P V1M odelling rock strength in three-dimensions1Int J Roc k M ec h M in S ci&Geomech,1984,21:21~338M cCli ntok F A,Walsh J B1Fri ction on Griffith cracks under pressure1Proc4th US Nat Congr Appl M ech,196211015~10219M urrel l S A F1A cri terion for bri ttle fracture of rocks and concrete under triaxial stress and the effect of pore pres sure on the creter-i on1Proc5th US S ym p Rock M ech,Pergamon Press,19631563~57710Hoek E,Brown E T1岩石地下工程1连志升等译,北京:冶金工业出版社,198611Barton N R,Choubey V1The shear strength of rock joints in theory and practice1Rock M ech,1977,10:1~5412Pande G N,Beer G,Williams J R1Numerical M ethods in Rock M echanics1W i ley,199013Pande G N1A constitutive model of rock joints1Proc Int Symp Fund Rock Joints1Center Pub11985(1996年5月31日收到第1稿,1996年8月12日收到修改稿)(上接第7页)29Levy D,Powell K,van Leer B1An i m plementati on of a grid-i ndependent upwind scheme for the Euler equati ons1AIAA89-1931-CP 30Rumsey C L,van Leer B,Roe P L1A grid-independent approximate Riemann solver w ith applications to the Euler and Navier-Stokes equations1J Comput Physics,1993,105(2):306~32331Roe P L1Discrete models for the numerical analysis of time-dependent multidimensional gas dynamics1J Comp ut Phys,1986,63: 458~47632Roe P L1Discontinuous sol utions to hyperbolic system s under operator splitting1Nu merical M ethods f or Par tial Diff erential Equa-tions,1991,7:277~29733Lacor C,Hirsch Ch1Genuinely upw ind algorithms for th e multidimensionalEuler equations1AIA A J,1992,30(1):56~6334Parpia I H,M ichalek D J1Grid-independent upw ind sch eme for multidimensi onal flow1AIA A J,1993,31(4)135Hartwich P M1Comparison of coordinate-i n variant and coordinate-aligned u pw ind for the Euler equations1A IAA J,1994,32(9): 1791~179936van Leer B1Advancing the accuracy and efficiency of explicit Euler solvers1AIAA90-001237Zhang X D,Trepanier J-Y,Reggio M,et al1Grid i nfluence on upw ind schemes for Euler and Navier-Stokes equations1A IAA J, 1996,34(4):717~72738Abarbanel S,Duth P,Gottlieb D1Splitting methods for low M ach number Euler and Navier-Stokes equations1Comp uters&Fluids, 1989,17(1):1~12(1996年11月29日收到第1稿,1997年3月30日收到修改稿)。
岩体力学
0绪论1岩石力学：力学的一个分支学科，是研究岩体在各种应力场条件下的变形与破坏规律的理论及其应用的科学，是一门应用性基础学科。
2研究内容：●岩块岩体地质特征的研究●岩石的物理，水理，力学性质的研究●结构面的力学性质研究●岩体力学性质研究●天然应力分布及其量测的理论方法的研究●岩体分类及其方法的研究●岩体变性破坏机理及其本构方程与破坏判据的研究●边坡岩体，地基岩体，地下洞室围岩等工程岩体的稳定性研究3研究方法●工程地质研究法●实验法●数学力学分析法●综合分析法1岩体性质与结构特征1岩体：在地质历史过程中形成的，由岩块和结构面网络形成的，具有一定结构并赋存在一定的天然应力状态和地下水等地质坏镜中的地质体，是岩体力学研究的对象。
2岩块：不含显著结构面的岩石块体，时构成岩体的最小岩石单元体3岩块结构：岩石内矿物颗粒的大小，性准过，排列方式和颗粒间的连接方式以及微结构面的发育情况等反映在岩块构成上的特征4联结方式●结晶联结结晶越细越均匀非晶质越少岩石强度越高●胶结联结胶结物成分硅质>钙质铁质>泥质胶结类型基底式>孔隙式>接触式5微结构面：存在与矿物颗粒内部或颗粒间的软弱面或缺陷6岩块的构造：矿物集合体之间及其与其他组分之间的排列组合方式7结构面：地质历史发展过程中，在岩体内形成的具有一定的延伸方向和长度，厚度相随较小的地质界面或带7结构面分类●原生结构面沉积结构面⏹层理层面⏹软弱夹层⏹不整合面，假整合面⏹沉积间断面岩浆结构面⏹侵入体与围岩接触面⏹岩浆岩墙接触面⏹原声冷凝节理变质结构面⏹片理⏹片岩软弱夹层⏹片麻理⏹板理千枚理●构造结构面节理断层层间错动羽状裂隙，霹理●次生结构面卸荷裂隙风化裂隙风华夹层泥化夹层次生夹泥层8结构面规模与分级延伸：破碎带宽Ⅰ级公里至数十公里米至数十米乃至数百米Ⅱ级百米至数千米数十厘米至数米Ⅲ级十米至百米厘米至1米Ⅳ级数十厘米至20-30米0至数厘米Ⅴ级9结构面特征●产状（走向倾向倾角）●连续性线连续性系数（K1）：沿结构面延伸方向上，结构面各段长度之和与测线长度的比值迹长：结构面与露头面交线的长度面连续性系数●密度线密度(Kd)：结构面法线方向单位侧线长度上交切结构面的条数间距（d）：同一组结构面法线方向上相邻两结构面的平均距离●张开度：结构面两壁面间的垂直距离●形态侧壁起伏形态粗糙度（粗糙度系数JRC）●结构面组合关系10软弱结构面：岩体中具有一定厚度的软弱带（层），与两盘岩体相比具有高压缩性何地轻度的特征，在产状上多数缓倾角结构面11泥化夹层：含泥质的软弱夹层经一系列的地质作用演化而成的12泥化夹层特性●由超固结状态变成泥质散状结构或泥质定向结构●黏粒含量高●含水量接近宿限，密度比原岩小●强度低，压缩性高●抗冲刷能力差易产生渗透变形13结构体：由结构面网络所围成的岩石块体14岩体结构：岩体中结构体和结构面的排列组合特征15岩体结构类型划分●整体状结构●块状结构●层状结构●碎裂状结构●散体状结构2岩体的物理力学性质1研究岩块的意义●岩体性质接近岩块性质时，可通过岩块的力学性质外推岩体力学性质●岩块是岩体的组成部分研究岩体是不能忽略岩块性质的研究●评价石材性能时必须研究岩块的相关性质●评价岩体的可钻性和可破碎性时必须研究岩块的相关性质●工程岩体分类时岩块强度和变形模量作为分类目标必须研究岩块的相关性质2岩块的物理性质●岩石密度颗粒密度（ps）：岩石中固体相部分的质量与体积的比值块体密度：岩石单位体积内的质量⏹干密度（）⏹饱和密度⏹天然密度●岩石的空隙性总空隙率（n）总开空隙率(no)大开空隙率(nb)小开空隙率(na)闭空隙率（nc）3岩石的水理性质●吸水性：岩石在一定条件下吸收水分的能力吸水率*（Wa）：岩石试件在大气压力和室温下吸入水的质量和岩样干质量之比 饱和吸水率（Wp）:岩石试件在高压或真空条件下吸入水的质量和岩样干质量之比 饱水系数：岩石吸水率和饱和吸水率之比●软化性：岩石浸水饱和后强度降低的性质软化系数（KR）：岩石试件的饱和抗压强度和干抗压强度的比值●抗冻性：岩石抵抗冻融破坏的能力抗冻系数（Rd）：岩石试件在反复冻融后的干抗压强度和冻融前的干抗压强度的比值质量损失率（Km）:冻融实验前后干质量的差值和冻融前干质量的比值●透水性：在一定水力梯度和压力差作用下，岩石被水透过的性质渗透系数（K）：表征岩石被水透过能力的重要指标●膨胀性：岩石浸水后体积增大的性质自由膨胀率（V）：岩石试件在无任何约束条件下进水后膨胀变形与原尺寸的比值 侧性约束膨胀率（VHp）具有侧向约束的岩石试件浸水后产生的轴向变形与原尺寸的比值膨胀压力：岩石试件浸水后使试件保持原有体积所施加的最大压力：●崩解性：岩石与水相互作用后失去黏性，并变成完全丧失强度的松散物质的性能4岩块的变形性质●单轴压缩条件下的变形性质连续加载下的变形性质⏹应力-应变全过程曲线✧孔隙裂隙压密阶段原有张开性结构面和微裂隙闭合✧弹性变形和微破裂稳定发展阶段弹性极限屈服极限✧非稳定破裂发展阶段峰值强度✧破坏后阶段残余轻度⏹变形参数✧变形模量（E）：单轴压缩条件下，轴向应力和轴向应变的比值✧弹性模量：当岩石应力应变曲线为直线时，变形模量为一常量，数值上等于直线斜率，由于其变形为弹性变形称为✧初始模量（Ei）：曲线原点出的切线斜率✧切线模量（Et）：曲线上任一点的切线斜率✧割线模量（Es）：曲线上某特定点和圆点连线的斜率，通常取一半的单轴抗压强度处的点✧泊松比（u）：单轴压缩条件下横向应变与轴向应变之比循环荷载下的变性特征⏹弹性后效（弹性滞后）：循环荷载作用下，多数岩石的大部分弹性变形能在卸载后很快恢复，而小部分须经一段时间后才能恢复，应变回复总是落后应力恢复的现象⏹岩石记忆：逐级一次循环加载条件下，应力应变曲线与连续加载条件下的曲线基本一致，说明加卸载过程并没改变岩快变形的基本习性，这种现象称⏹回滞环：在循环荷载条件下，每次的加卸载曲线都不重合，且围成一环型面积⏹疲劳强度：●三轴压缩条件下的岩块变形性质三轴实验真假围岩对岩块变性破坏的影响⏹破坏前岩块的应变随围压的增加而增加⏹随围压的增大，岩块的塑性增大，由脆性破坏转为延性破坏✧应变硬化现象：试件的承载力随围压的增长稳定增长的现象✧转化压力：岩石由脆性变化转化为延性的临界围压✧延性度：岩石破坏前的总应变，是区分脆性破坏和岩性破坏的指标●岩块的蠕变性质流变：在外部条件不变的情况下，岩石的变形或应力随时间变化的现象蠕变：岩石在恒定荷载作用下，变形随时间而逐渐增大的性质流变：岩石在变形不变的条件下，应力随时间二变化的现象弹性后效：蠕变曲线特征⏹初始蠕变阶段曲线下凹应变率随时间增大较快⏹等速蠕变阶段近直线⏹加速蠕变阶段曲线上凹应变率随时间迅速增加长期强度：影响蠕变的因素岩性应力温度湿度5岩块的强度性质●抗压强度单轴抗压强度：在单向压缩条件下，岩块能承受的最大压应力三轴压缩强度：时间在三向压力作用下能抵抗的最大轴向应力●单轴抗拉强度：岩块试件在单向拉伸时能承受的最大拉应力直接拉伸法间接拉伸法⏹劈裂法⏹点荷载试验⏹抗弯法●剪切强度：在剪切荷载作用下，岩块抵抗剪切破坏的最大剪应力抗剪断强度：在一定法向应力作用下，沿预定剪切面剪断时的最大剪应力抗切强度：法向应力为零时沿预定剪切面剪断时的最大剪应力抗剪强度（摩擦强度）：在一定法向应力作用下，沿已有破裂面剪断时的最大剪应力方法⏹直剪试验⏹变角板剪切试验⏹三轴实验6影响岩块变形与强度的因素●实验条件加载方式与加载速率试件的形状和尺寸，断面条件●岩体本身性质●环境因素（温度，湿度，水）3结构面的变形与强度性质1研究意义●工程岩体的失稳破坏有相当一部分是沿软弱结构面破坏的●结构面及其填充物的变形是岩体变形的主要组分●结构面试岩体中渗透水流的主要通道●岩体中的应力分布也受结构面极其力学性质的影响2结构面的变形性质●法向变形性质开始时变形迅速增长当法向应力到一定值时雨岩块的变形曲线大致平行初始阶段的变形主要是结构面闭合大约在1/3 处以岩块的变形为主以为渐近线最大闭合量小于结构面的张开度●循环荷载下的变形性质仍以为渐近线卸载刚度比加载刚度大随循环次数增加变形曲线整体左移，且能显示滞后和非弹性变形每次循环载荷曲线形状相似●结构面法向刚度：在法向作用力下，结构面产生单位变形所需要的应力室内压缩试验现场压缩试验（中心孔承压板法）●结构面剪切变形性质剪切变形特征⏹均为非线性曲线塑性变形：无明显的峰值强度和应力降，且峰值强度和残余强度相差很小，曲线斜率连续变化脆性变形：有明显的峰值强度和应力降，开始时剪切变形随应力增加缓慢，峰值后剪切变形增加较快⏹结构面峰值位移受风化程度影响⏹同类结构面而言，风化的结构面剪切刚度比未风化的小⏹剪切刚度有明显尺寸效应⏹剪切刚度随法向应力增大而增大剪切刚度：室内剪切实验现场剪切试验4结构面的强度性质●平直无填充结构面●粗糙起伏无填充结构面规则锯齿形结构面不规则起伏结构面剪胀角：剪切位移的轨迹线与水平线的夹角非贯通断续结构面具有填充物的软弱结构面5结构面抗剪强度参数的确定●实验法●参数反演法●工程地质类比法4岩体力学性质1岩体的变形性质●岩体变形实验静力法⏹承压板法⏹钻孔变形法⏹狭缝法动力法声波法地震波法2影响岩体变形性质因素岩性结构面发育特征载荷条件，试验尺寸，试验方法温度湿度水6岩体天然应力1天然应力：人类活动之前存在于岩体中的应力2天然应力分布规律●主应力以压应力为主，方向基本垂直和水平●天然应力场是一个相对稳定的非稳定应力场●垂直天然应力随深度线性增长●水平天然应力分布复杂以压应力为主水平应力大于垂直应力两个水平应力不相等单薄山体，谷坡附近及未受构造变动的岩体中水平应力小于垂直应力●天然应力比值系数随深度减小●相对大的区域内最大主应力方向基本稳定●区域构造场常决定局部点的主应力●天然应力为三维状态3天然应力的测量●应力恢复法●套心法●水压致裂法4影响天然应力分布的因素：●地形起伏●地表剥蚀●结构面●岩体性质●地下水●地温5高地应力的特征●岩芯饼化现象●地下洞室施工过程中出现岩爆，剥离●边坡上出现错动台阶●原位变形曲线的变化●软弱夹层内物质被挤出，节理闭合7岩体本构关系与强度理论1岩体本构关系：岩体在外力作用下，应力或应力速率与其应变或应变速率的关系2岩体强度理论：研究岩石在一定假说条件下在各种应力状态下的强度准则的理论3岩体破坏机制：张破坏剪破坏结构体沿软弱结构面滑动结构体转动倾倒溃屈弯折。
材料力学第20讲 Chapter7-4第七章 强度理论
低碳钢圆截面试件，实验表明： 在单向拉伸时会发生显著的屈服现象。
若在圆试件中部切出一个环形槽（如 图a所示）。 试 验表明：直到拉断都看不到显著的 屈服现象和塑性变形，而是在最弱部 位发生脆断。其断口平齐，与铸铁拉 伸断口相似（b）。 这是因为在最弱截面处，材料处于三向拉伸应力状态，斜截面 上的剪应力较小，不可能出现屈服现象，只可能发生脆断。
只要微元内的最大拉应力 1 达到了单向拉伸
的强度极限 b ，就发生断裂破坏。
脆性断裂的判据（或极限条件） 1 u
强度条件 1
19
《评价》
二向时：当 1 2 0 该理论与实验基本一致
三向时：当 1230同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 同上
当主应力中有压应力时，只要 3 1 误差较大
理论与实验基本符合 比第三理论更接近实际
29
二、相当应力（强度准则的统一形式）
r [ ] r —相当应力(equivalent stress)
r1 1
r21(23)
r3 13
r 4 1 2 [1 22 2 3 2 3 1 2 ]
[]1n{b,0.2,s}
30
强度理论应用于许用拉应力和许用切应力间的换算
m
在平均应力作用下，单元体的形
m
状不变, 仅发生是体积改变
m
7
按迭加原理（应力）
1
m
1-m
m
2
3
m
2-m 3-m
交互项
体积改变能密度
v v
1 2
3
v i
v i
i 1
3 2
mm
形状改变能密度 (畸变比能)
v d
1 2
岩体本构关系与强度理论
18
注意事项
通过以上教学步骤和注意事项 的安排，相信学生能够更好地 掌握表格数据的图表化技能， 为未来的学习和工作打下坚实
的基础
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BUSINESS TRIP PROJECT PLAN
汇报人：XXX
汇报时间：XXXXX
了解图表的基本 类型及适用场景
课程目标
Stage 3 学会根据需：求 调整图表的样式 和布局
Stage 5
了解如何根据数 据变化更新图表
Stage 2
掌握在Ex：cel 中创建图表的方 法
Stage 4
掌握数据标签和 图例的添加方法
3 课程内容
1. 图表基础知 识
什么是图表？
图表的基本类型 及特点
岩体本构关系与强度 理论
1 课程简介 3 课程内容 5 教学步骤
-
2 课程目标 4 教学方法 6 注意事项
1 课程简介
课程简介
本课程旨在介绍如何使 用Excel软件进行表格
数据的图表化
通过学习这个课程，你 将掌握如何将表格数据 转化为直观的图表形式， 以更好地分析和理解数 据
2 课程目标
Stage 1ຫໍສະໝຸດ 5. 高级图表的 制作复合图表的制作
自定义图表的制作
数据透视表的创 建和应用
课程内容
4 教学方法
教学方法
5 教学步骤
作业布置：布置与课程内容 相关的作业，让学生进行实 际操作，加深对知识点的理
解和掌握
总结与回顾：对本节课的内 容进行总结与回顾，帮助学
生巩固所学知识
教学步骤
岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论
其蠕变曲线和弹性后效曲线，如图3-15所示。
蠕变曲线
0 k2
0 k1
弹性后效
0
t1
t
图3-15 广义开尔文体蠕变曲线和卸载曲线
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3.4.4.5 饱依丁-汤姆逊体（PTh：H/M）
一、力学模型 k1,1
k2 , 2
图3-16 饱依丁-汤姆逊体力学模型
二、本构方程
本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成，由并 联规则：
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3.4.4 组合流变模型
三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则：
1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应 变之和。 2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应 力之和。
5.4.4.1 圣维南体（St.V:H-C）
一、力学模型
图3-5 圣维南体力学模型
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y
x
21
xy E xy
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4
4.边界条件
（1）位移边界条件
us us，vs vs
（2）应力边界条件
l x m yx s f x s
m y
l xy
s
f y s
（3）混合边界条件
（在 su上）
（在 s 上）
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3.4 岩石流变理论
3.4.1概念
四、卸载方程
0
k
kt
1 e
在t t1 时卸载，即 0，代入本构方程：
k 0
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解上述微分方程可得：
kt
A1e
当t t1 时， 1 ，结合蠕变方程，可得卸载方程 ：
岩体本构关系与强度理论
对莫尔强度理论的评价：
优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏； ②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向. 不足：①忽视了σ2 的作用，误差：±10％； ②没有考虑结构面的影响； ③不适用于拉断破坏； ④不适用于膨胀、蠕变破坏。
判据的表达式 剪应力表达式:
4 ) t( t
2
主应力表达式:
2 ( ) 1 3 8 t 1 3 3 t
3 0 1 3 3 0 1 3
由格里菲斯判据得
1.当σ３＝０时，σ１＝σｃ＝８σｔ，即 c t =８，与库仑-纳维尔判据接近。 2. 适用脆性岩石拉破坏。 修正的格里菲斯判据（考虑摩擦效应f,C）
b.最大剪应力理论破坏面上剪应力最大； 而岩石破坏面上剪应力不是最大。
④歪形能理论
只与σ1 、σ2 和σ3三者之间的差的绝对值有关；
而与应力大小无关，这与岩石破坏现象不符。
1 2 2 2 [ ( ) ( ) ( )] 1 2 2 3 3 1 2
古典强度理论与岩石强度表现不符：
①最大拉应力理论没有考虑σ
2
和σ
3
的影响。
②最大伸长线应变理论虽考虑σ2 和σ3 的影响，但多向拉 比单向拉安全，与事实矛盾。
③最大剪应力理论与岩石试验结果不符
σ1－σ3≤[σ]
a.最大剪应力理论破坏面与σ1 的夹角为45°；
而岩石破坏面与σ1 的夹角为45°－φ/2。
第七章 岩体本构关系与强度理论
§ 7.1 概述 § 7.2 岩石的本构关系
岩石的本构关系和强度(公式)
平面应力及应力状态分析
计算岩石的抗压强度
ctΒιβλιοθήκη 1 sin o 2C cos c 2C 2Ctg 45 1 sin 2 1 sin
抗拉强度
2C cos Rt 1 sin
内聚力
C
C
t c
2
2
1 sin 2 1 sin 2
1 tg 1 tg 2 2 1 3 1 tg 1 tg 2 2
2
0 0 1 3 tg 45 2C tg 45 2 2
1 3
2
1 3
2
sin
1 1 1 1 n 1 3 1 3 sin 1 3 1 3 cos 2 2 2 2 2 1 1 f 1 3 cos 1 3 sin 2 2 2
极值应力与主应力
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
极值应力与主应力
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平面应力及应力状态分析 --《材料力学》P
O1
1 3 / 2 sin 1 3 / 2 c ctg
平面应力及应力状态分析
莫尔-库伦破坏准则：
1
3 / 2 sin 3 / 2 c ctg
岩体力学课后思考题
绪论1、何谓岩体力学？它的研究对象是什么？是力学的一个分支学科,是研究岩体在各种力场作用下的变形与破坏规律的理论及其实际应用的科学,是一门应用型基础学科。
研究对象是各类岩体。
2、岩体力学的研究内容和研究方法是什么？内容:○1岩块、岩体地质特征。
○2岩石的物理、水理与热学性质。
○3岩块的基本力学性质。
○4结构面力学性质。
○5岩体力学性质。
○6岩体中天然应力分布规律及其测量的理论与方法。
○7边坡岩体、地基岩体及地下洞室围岩等工程岩体的稳定性。
○8岩体性质的改善与加固技术。
○9各种新技术、新方法与新理论在岩体力学中的应用。
○10工程岩体的模型、模拟试验及原位监测技术。
方法：○1工程地质研究法。
○2试验法。
○3数学力学分析法。
○4综合分析法。
一、岩体地质与结构特征1、何谓岩块、岩体？试比较岩块与岩体，岩体与土有何异同点？岩块是指不含显著结构面的岩石块体，是构成岩体的最小岩石单元体。
岩体是指在地质历史过程中形成的，由岩石单元体和结构面网络组成的，具有一定的结构并赋存于一定的天然应力状态和地下水等地质环境中的地质体。
岩块岩体都是由岩石组成，但岩体包含若干不连续结构面，岩块不含显著结构面。
岩块是岩体的组成物质，岩体是岩块和结构面的统一体。
岩石露在地表部分被风化和淋滤后形成的不溶于水的物质，残留在原地的形成土。
矿物，岩石，岩体都可以形成土。
组成岩体的岩石的矿物颗粒间具有牢固的连接而土没有。
2、岩石的矿物组成是怎样影响岩块的力学性质的？岩石是天然产出的具稳定外型的矿物或玻璃集合体，按照一定的方式结合而成。
力学性质主要取决于组成岩块的矿物成分及其相对含量。
矿物硬度大则强度大，反之则小。
3、何谓岩块的结构？它是怎样影响岩块的力学性质的？岩块的结构是指岩石内矿物颗粒的大小、形式和排列方式及微结构面发育情况与粒间连接方式等反应在岩块构成上的特征。
力学性质主要取决于矿物颗粒连接及微结构面的发育特征。
4、为什么说基性岩和超基性岩最容易风化？可能与其二氧化硅的含量有关。
第7章岩体本构关系与强度理论
σ σc
σ
利用图7-10中的关系，有：
σ3
1 2
(1 3)
1 2
(1
3)
ctg 2
sin 2
1.双向压7 缩应4力2圆，2.双向拉压应力圆，
3..双向拉伸应力圆 图7-10 二次抛物型强度包络线
其中：
n( t )
1 3 2
sin 2
(
1 3 )2 2
2
(
1
3
)
2
规定：
1、σ1为最大主应力 、σ2 为中间主应力、 σ3 为最小主应力 ；
2、压应力为正，拉应力为负，剪应力以逆时 针为正。位移与应变的规定也一样。
二、 岩石弹性本构关系 1．平面弹性本构关系
据广义虎克定理有：
成E/（1- μ 2） ，μ换成μ/（1- μ）。
2. 空间问题弹性本构方程
x
1 E
x
( y
z )
y
1 E
y
( z
x )
z
1 E
z
( x
y )
yz
2(1 E
) yz , zx
1
1 f f2
2
f
f
)
σ1
1 tan2 c
1 3tg 2 (45 / 2) 2ctg(45 / 2)
σc
arc( tan2 θ)