全国高中数学联赛分类汇编专题01不等式
不等式
1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 【答案】A
2、（2003一试5）已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9
9－y 2的最小
值是（ ）
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
【答案】D
3、（2004一试3）不等式log 2x －1+12log 12
x 3
+2>0的解集为（ ）
A ．[2，3)
B ．(2，3]
C ．[2，4)
D ．(2，4] 【答案】C
【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>3
2
t －2．t ∈[1，2)，
x ∈[2，4)，选C ．
4、（2005一试1）使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ）
A ．63-
B ．3
C ．63+
D ．6 【答案】D
5、（2006一试2）设2
log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为（ ） A ．
112x << B ．1
, 12
x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】B
6、（2007一试2）设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2
对任意实数x 恒成立，则满足条
件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]2
1,21[- C. ]3
1,41[-
D. [−3，3]
【答案】A
【解析】令a x 32
=
，则有3
1||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2
|||3
4|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知
原不等式等价于|3
4
|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。由于
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-12533
4
121134325
|34|23|1|k k k k k k k k ，
所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于3
1
||≤a 。
7、（2001一试10）不等式
2
3
2log 12
1>+x 的解集为 。
9、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为
02y y x
y x ⎧⎪
⎨⎪-⎩
≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 【答案】212
t t -++
【解析】由题意知
()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF
S S S ∆∆∆=--()
2
2111122
t t =---212
t t =-++
10、（2009一试4）使不等式
11
11
200712
213
a n n n +++
<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．
【答案】2009
【解析】设()11
1
12
21
f n n n n =++
+
+++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最
大值
()1
120073
f a <-，可得2009a =．
11、（2011一试3）设b a ,为正实数，
221
1≤+b
a ，32)(4)(a
b b a =-，则=
b a log ．
12、（2012一试3）设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .
13、（2001一试15）用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、（a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD
若记∑≤<≤=
4
11,j i j
i
R
R S ∑≤<<≤=
4
12k j i k
j
i
R
R R S ，则S 1、S 2为定值，于是
4
313
212R R S R R R S R CD --=
只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4＜R 3，R 3＜R 2，R 3＜R l ，即得总电阻的阻值最小
4°对于图3把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6＜R 5；且由1°应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5＜R 4，且应使R CD 最小． 而由3°，要使R CD 最小，应使R 4＜R 3＜R 2且R 4＜R 3＜R 1， 这就说明，要证结论成立
14、（2003一试13）设3
2
≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．
15、（2003二试3）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2
+q +1，
l ≥12
q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点
至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．
【解析】证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有
i ＝0
n －1
∑b i ＝2l ≥q (q +1)2
+2． 若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1． 则B 0中n －1个点的连线数
l －b 0≥1
2
q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)
＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝1
2
(q －1)(n －1)+1 ≥12(n －1)+1≥[1
2
(n －1)]+1．(由q ≥2) 但若在这n －1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n －1个点内至多连线[
n －1
2
]
条，故在B 0中存在一点A i ，它与两点A j 、A k (i 、j 、k 互不相等，且1≤i ，j ，k )连了线，于是A 0、A j 、A i 、A k 连成四边形．
现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－
＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，
得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－
无公共点对．从而
(n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入)
得 q (q +1)( n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①
但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②
(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③
又(nq －q －n +3－b 0)、(nq －q +2－b 0)、q (n －b 0－1)、 (q +1)(n －b 0)均为正整数，
从而由②、③得， q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)＜(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)． ④
由①、④矛盾，知原命题成立．
又证：画一个n ×n 表格，记题中n 个点为A 1，A 2，…，A n ，若A i 与A j 连了线，则将表格中第i 行j 列的方格中心涂红．于是表中共有2l 个红点，当d (A i )＝m 时，则表格中的i 行及i 列各有m 个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．
由已知，表格中必有一行有q ＋2个红点．不妨设最后一行前q ＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．
若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n －1行的前q ＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n 行及前q ＋2列，则至多去
掉q ＋2＋(n －1)＝q ＋2＋q 2＋q ＝(q ＋1)2
＋1个红点．于是在余下(n －1)×(n －q －2)方格表中，至少有
2l －(q ＋1)2－1＝q (q ＋1)2＋2－(q ＋1)2－1＝(q －1)(q ＋1)2＋1＝q 3＋q 2
－q 个红点． 设此表格中第i 行有m i (i ＝1，2，…，n －1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝
i ＝1
n －1
∑C 2 m i
．其中n －1＝q 2＋q ．(由于当n ＞k 时，C 2n ＋C 2k ＜C 2 n ＋1＋C 2 k －1，故当红点总数
16、（2008一试14）解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．
【解析】方法一：由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于
1210864353122x x x x x ++++<+．
即 1210864353210x x x x x +++--<． 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++-<，
864242(241)(1)0x x x x x x +++++-<，
所以4210x x +->，2
2(0x x <。所以2x <，即
x <<
．故原不等式解集为(． 方法二： 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等
17、（2009一试11
）求函数y=++的最大和最小值．
【解析】函数的定义域为[]
013
，.因为
y=
+=
+=
当0
x=
时等号成立．故y的最小值为
．
又由柯西不等式得
2
2
y=()()
()
11
1227313121
23
x x x
⎛⎫
+++++-=
⎪
⎝⎭
≤
所以11
y≤．
由柯西不等式等号成立的条件，得()
491327
x x x
=-=+，解得9
x=．故当9
x=时等号成立．因此y的最大值为11．
18、（2009二试2）求证不等式：
2
1
1
1ln
12
n
k
k
n
k
=
⎛⎫
-<-
⎪
+
⎝⎭
∑≤，1
n=，2，…
【解析】证明：首先证明一个不等式：
⑴ln(1)
1
x
x x
x
<+<
+
，0
x>．
事实上，令()ln(1)
h x x x
=-+，()ln(1)
1
x
g x x
x
=+-
+
．
则对0
x>，
1
()10
1
h x
x
'=->
+
，
22
11
()0
1(1)(1)
x
g x
x x x
'=-=>
+++
．
于是()(0)0
h x h
>=，()(0)0
g x g
>=．在⑴中取
1
x
n
=得
⑵
111
ln1
1
n n n
⎛⎫
<+<
⎪
+⎝⎭
．
19、（2012二试3）设012,,,
,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为
(0)d d >
求证：01020()3
n d
P P P P P P ⋅⋅
>
因而01020()3
n d
P P P P P P ⋅⋅>
证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤
≤ 以(0,1,2,
,)i P i k =为圆心,
2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切， 设Q 是是圆i P 上任意一点,由于
00000013
222
i i
i k k k d P Q P P PQ P P P P P P P P ≤+=+≤+=
因而,以0P 为圆心,
032
k P P 为半径的圆覆盖上述个圆
故22003()(1)()1,2,,)22k k d P P k P P k n ππ>+⇒>=
所以01020()3n d P P P P P P ⋅⋅>
数列 不等式 高考数学试题分类汇编 全国名校高考试题分类汇编(经典 系统 附详解)
数列高考真题分类汇编 第1讲数列的概念与简单表示法 一、选择题 1.［优质真题?全国Ⅲ，12］定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个 答案C 解析当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C. 二、填空题 1.［优质真题?全国Ⅱ，16］设S n是数列{a n}的前n项和，且
a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n 解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，所以1S 1 ＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1 －1S n ＝－1，所以??????1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝ (－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n . 2.［优质真题?全国Ⅰ，14］若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 (－2)n － 1 解析 由S n ＝23a n ＋13得：当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13 ，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1. 3.［优质真题?安徽卷，14］如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3n －2
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》分类汇编附答案解析
【高中数学】数学复习题《不等式》知识点练习 一、选择题 1．已知集合{} 2 230A x x x =-->，(){} lg 11B x x =+≤，则() R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<< 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合() R A B ⋂ð. 【详解】 解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >； 解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {} 13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð， 因此，(){} 13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】 本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．若3log (2)1a b +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由3log (2)1a b +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ⎛⎫ +=++ ⎪⎝⎭ ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(83333 a b a b a b b a b a += ++=++≥+=，
全国高中数学联赛分类汇编专题01不等式
不等式 1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 【答案】A 2、（2003一试5）已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2的最小 值是（ ） (A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125 【答案】D 3、（2004一试3）不等式log 2x －1+12log 12 x 3 +2>0的解集为（ ）
A ．[2，3) B ．(2，3] C ．[2，4) D ．(2，4] 【答案】C 【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>3 2 t －2．t ∈[1，2)， x ∈[2，4)，选C ． 4、（2005一试1）使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 【答案】D 5、（2006一试2）设2 log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为（ ） A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】B 6、（2007一试2）设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条 件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]2 1,21[- C. ]3 1,41[- D. [−3，3] 【答案】A 【解析】令a x 32 = ，则有3 1||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2 |||3 4|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知 原不等式等价于|3 4 |23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。由于
2020高考真题数学分类汇编—不等式参考答案
2020高考真题数学分类汇编—不等式 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）C．[5，+∞）D．（﹣∞，+∞）二．多选题（共1小题） 4．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（） A．a2+b2≥B．2a﹣b＞ C．log2a+log2b≥﹣2 D．+≤ 三．填空题（共7小题） 5．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为．6．（2020•上海）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．7．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x+2y的最大值是．8．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为．
9．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x+7y的最大值为．10．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．11．（2020•上海）不等式＞3的解集为．
2020高考真题数学分类汇编—不等式 参考答案 一、选择题（共3小题） 1．（2020•上海）下列等式恒成立的是（） A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误； B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确； C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误； D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误． 故选：B． 2．（2020•北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 【解答】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1． 由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、 （1，2），如图所示： 不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故选：D．
高考数学理科高考试题分类汇编《不等式》
高考数学理科高考试题分类汇编：不等式 E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x 2＋1＞1 y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3 5．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1 y 2＋1 都不一定正确，故选D. 4．[四川卷] 若a >b >0，c
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编
【高中数学】高考数学《不等式》解析(1) 【详解】 本题主要考查了平面向量共线(平行) 简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档 题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的 问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解. 2.已知二次函数f(x) ax 2 bx c 的导数为f'(x) , f '(0) 0，对于任意实数都有 、选择题 1•设x ，y 满足 x 1 0 r x 2y 0，向量a 1, m y ，则满足a b 的实数m 的最小值为() 12 A . 5 【答案】B 【解析】 【分析】 2x y 4 B . 12 "5 3 C.- 2 D . 先根据平面向量垂直的坐标表示，得 y 2x ，根据约束条件画出可行域，再利用 m 的 几何意义求最值，只需求出直线 m 可. 2x 过可行域内的点 C 时，从而得到 m 的最小值即 解：不等式组表示的平面区域如图所示: 因为 a 2x,1 , b 1,m y , 由a b 得2x m •••当直线经过点 C 时，m 有最小值, 2x 由 x y 4 2y ，得 8 4 5‘5 ， y 2x 16 5 12 V ， 的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及 【点睛】
f （x ） 0，则而的最小值为（） 3.在下列函数中，最小值是 2的函数是（） A . f x 1 - __ 1 c x — B . y cos x 0 x x cosx 2 x 2 4 x 4 c C. f x .x 2 3 D . f x e — 2 e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案 【详解】 A. f x x x f 1 2 2， A 错误； B . y 1 cosx 0 x — ，故 cosx 0,1， y 2， B 错误； cosx 2 C. f x 2 4 x — x 2 3 - 1 .3， 故 f x 於 ，C 错误; ~2 - ， .x 3 y .x 2 3 3 D. f x 4 x e x 2 2.4 2 2， 当e x 2，即 x In 2时等号成立， D 正确. e e 故选: D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力 4.给出下列五个命题，其中正确命题的个数为( ) 2 ①命题“ X 。 R ，使得X 。 X 0 1 0 ”的否定是“ x R ，均有X 2 x 1 0 ”; ②若正整数m 和n 满足m n ，则..m n m 2 0恒成立, a b 2 4a c 4ac b 2，且 c 0, a 当且仅当a 2ax b, a c ~b~ 2 ac b c 时，不等式取等号, 0,f 2 _4 ~~b~ 的最小值为 A 1 b 2
高考数学选择题试题选择题 分类汇编——不等式 试题
智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学试题分类汇编——不等式 〔2021文数〕23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪ ⎨≥⎪⎪≥⎩的目的函数z x y =+的最大值是[答]〔〕 〔A 〕1.〔B 〕3 2 .〔C 〕2.〔D 〕3. 解析：当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为2 〔2021理数〕〔7〕假设实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪ --≤⎨⎪-+≥⎩ 且x y +的最大值为9，那么实数m = 〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕1〔D 〕2 解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 〔2021全国卷2理数〕〔5〕不等式26 01 x x x ---＞的解集为 〔A 〕{}2,3x x x -＜或＞〔B 〕{}213x x x -＜，或＜＜ 〔C 〕 {}213x x x -＜＜，或＞〔D 〕{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 【答案】C . 【解析】 利用数轴穿根法解得 -2＜x ＜1或者x ＞3，应选C
〔2021全国卷2文数〕(5)假设变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪ ≥⎨⎪+≤⎩ 那么z=2x+y 的最大值为 〔A 〕1(B)2(C)3(D)4 【解析】C ：此题考察了线性规划的知识。 ∵作出可行域，作出目的函数线，可得直线与 y x =与325x y +=的交点为最优解点，∴即为〔1，1〕 ， 当 1,1x y ==时max 3z = 〔2021全国卷2文数〕〔2〕不等式 3 2 x x -+＜0的解集为 〔A 〕 {}23x x -<<〔B 〕{}2x x <-〔C 〕{}23x x x <->或〔D 〕{}3x x > 【解析】A ：此题考察了不等式的解法 ∵3 2x x -<+，∴23x -<<，应选A 〔2021理数〕3.不等式 22 x x x x -->的解集是〔〕 A.(02)， B.(0)-∞， C.(2)+∞， D.(0)∞⋃+∞（-，0）， 【答案】A 【解析】考察绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.2 0x x -<，解得A 。 或者者选择x=1和x=-1,两个检验进展排除。 〔2021文数〕〔8〕设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≥⎩ 那么目的函数z=x+y 的最大值是 〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕6〔D 〕8 8.C 【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目的函数z x y =+在(6,0) 取最大值6。
高中数学联赛不等式专题练习(带答案详解,word精校版)
高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解） 一、解答题 1．已知a ，b 为正数，且a b 2 112a b a b +>>>+ . 【答案】证明见解析 【分析】 如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】 =可先构造Rt ABC △，使得2a b BC += ，2 a b AC -=，如图所示. 此时，AB =再以2 a b BC += 为斜边，2a b CD -=为直角边构造Rt BCD ，则 BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△， 过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2 BD BE BC =⋅' 得22 112BD BE BC a b ==='+ ， 由图形直观得AB BC BD BE >>>，
2 11 2 a b a b + >>> + . 2．已知：0 a>，0 b>，1 a b +=. 2 ≤. 【答案】证明见解析. 【分析】 构造一个直角三角形， 图所示） cos)2 αα +≤,即得证. 【详解】 证明：为了使得条件1 a b +=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形： 11 2 22 a b ⎛⎫⎛⎫ +++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，进而有 22 2 +=.① .显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1 a b +=. 由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边” ，而有不等式 . 至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知 α α =. cos)2 4 π ααα⎛⎫ +=+≤ ⎪ ⎝⎭ ∴ 2 ≤成立. 3．设x，y，0 z> 1 =，
全国高三高中数学联考专题分类汇编：不等式与线性规划 (解析版)
1981年-2019年全国高三高中数学联赛专题分类汇编： 不等式与线性规划 （解析版） 2019B 一、（本题满分40分）设正实数12100,, ,a a a 满足101i i a a -≥（1,2,,50i =）． 记112k k k ka x a a a +=+++（1,2,,99k =），证明：29912 991x x x ≤。 ★证明：注意到12100,, ,0a a a >．对1,2,,99k =，由平均值不等式知 121210k k k k a a a a a a ⎛⎫<≤ ⎪++ +⎝⎭， ……………10 分 从而有9999299112991111212k k k k k k k k k a k x x x a a a a a a a ++==⎛⎫=≤ ⎪++ +⎝⎭∏∏． ① ………………20 分 记①的右端为T ，则对任意1,2, ,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分母中的次数为100i -．从而 ()10121005050210110121012101101101111i i i i i i i i i i i i a T a a a a -------===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∏∏∏。……30 分 又1010i i a a -<≤（1,2, ,50i =） ，故1T ≤，结合①得29912 991x x x T ≤≤…………40分 2018B 一、（本题满分40分）设b a ,是实数，函数x b ax x f 9)(++=。证明：存在[]9,10∈x ，使得2)(0≥x f 。 ★证明:用反证法.假设对任意的[]9,1∈x ，均有2)( 高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(word版可编辑修改)的全部内容。 高中数学竞赛培训专题讲座:重要不等式（一） 一．基础知识 (1) 均值不等式 设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 1 2 ,111...n n n n H G a a a = =+++ 12...,n n n a a a A Q n +++== 分别称,,,n n n n Q G H A 为这n 个正数的调和平均，几何平均,算术平均和平方平均，则 n n n n Q G H A ≤≤≤,等号成立当且仅当12...n a a a ===。 特别地， ① 2 ,)112a b a b R a b ++≤≤≤∈+（当且仅当a b =时取等号)； ② 222()(,)22a b a b ab a b R ++≤≤∈，3 ()(,,)3a b c abc a b c R +++≤∈， ,,)a b c a b c R +++≥∈； ③2()3()a b c ab bc ca ++≥++. （2) Cauchy 不等式 设,i i a b R ∈ (1,2,...,)i n =，则 2 221 1 1 (()())n n n i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，当且仅当0(1,2,..,)i i n b ==或存在一个常数λ，使得 i i a b λ=(1,2,..,)i n =时，等号成立. 推论1：设R ,i i a b + ∈R ∈ (1,2,...,)i n =，则 22111()n n n i i i i i i i b a b a ===≥∑∑∑； 推论2:设,R i i a b + ∈(1,2,...,)i n =,则 全国高中数学联赛一试常用解题方法 八、基本不等式法 方法介绍 基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式； (4)函数的单调性的应用. 例题精讲 例1设P 是椭圆19 252 2=+x y 的任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，试求||||21PF PF ⋅的取值范围. 注：设n PF m PF ==||,||21，则10=+n m ，由焦半径公式得9,1≤≤n m ， 所以25)10(||||21≤-==⋅m m mn PF PF ，当5==n m 时等号成立. 例2数列}{n a 定义如下：1,51,241 1≥+==+n a a a a n n n .求证： 对任意1>n ，均有251 < 2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编 1、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定 【答案】A 2、已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数 u=44－x 2+9 9－y 2的最小值是（ ） (A) 85 (B) 2411 (C ) 127 (D) 125 【答案】D 3、不等式log 2x －1+1 2log 12 x 3+2>0的解集为（ ） A ．[2，3) B ．(2，3] C ．[2，4) D ．(2，4] 【答案】C 【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>3 2t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ． 4、使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A B C ． D 【答案】D 5、设 2log (21)log 2 1 x x x x +->-，则x 的取值范围为（ ） A ．112x << B ．1, 1 2x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答案】B 6、设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ] 31 ,41[- D. [−3，3] 【答案】A 【解析】令 a x 32 = ，则有31||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对k ∈R ，令 ka x 21 = ，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易 知原不等式等价于 | 34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。由于 -全国高中数学竞赛不等式试题 全国高中数学联赛试卷(第一试) 3、不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是 ( ) A ．[2，3] B 。（2，3） C 。[2，4] D 。（2，4） [答案]3、 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>⎪-≥⎩ 2310 ,220 t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪≥⎩则有 解得01t ≤<。 即20log 11,24x x ≤-<∴≤<。 故选C 。 全国高中数学联赛(第一试) 7．不等式3 2 2430x x x --+<的解集是______________ 9. 已知 {} 2430,, A x x x x R = -+<∈ (){} 1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________. 13． 设 3 5,2 x ≤≤ 证明不等式 319. [答案]7. ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3,215215,3 . 提示： 原不等式可以化为:()()01||3||2<-+-x x x 9. 14-≤≤-a 提示：()3,1=A ,令()a x f x +=-12 ,()()5722++-=x a x x g ,则只需()()x g x f ,在（1，3）上的图象 均在x 轴的下方，其充要条件是()()()()⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤≤≤≤0 301030 1g g f f ,由此推出14-≤≤-a ; 13． 证明：由()bd ac da cd bc ab d c b a d c b a +++++++++=+++2)(2 2 2 2 2 可得 ,22222d c b a d c b a +++≤+++当且仅当a=b=c=d 时取等号 ……5分 2022-2023学年届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 (上) 06 不等式 一、选择题 1、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)对任意实数x , 若不等式k x x >+++|1||2|恒成立, 则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B k=1 C ．k ≤ 1 D ．k ＜1 答案：D 2、(河南省实验中学2022-2023学年-2022-2023学年学年高三第二次月考)命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； 命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞）， 则 A “p 或q ”为假 B “p 且q ”为真 C p 真q 假 D p 假q 真 答案：D 3、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)函数 ∑=-= 2007 1 )(n n x x f 的最小值为（ ） A. 1003×1004 B. 1004×1005 C. 2006×2007 D. 2005×2006 答案：A 4、(湖南省长郡中学2022-2023学年届高三第二次月考)若实数z y x ,,满足1222=++z y x ，则zx yz xy ++的取值范围是（ ） （A ）]1,1[- （B ）]2 1,21[- （C ）]2 1,1[- （D ） ]1,2 1[- 答案：D 5、(江西省南昌二中2022-2023学年～2022-2023学年学年度第一轮第二次段考)1)(2-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)( 不等式的证明 一 能用单调性证明的不等式 二 利用最值证明 三 利用中值定理（拉格朗日、柯西、泰勒公式）证明 四 利用凹凸性证明 一 能用单调性证明的不等式 （1）对不等式()()f x g x ≥，x I ∈，构造函数()()()F x f x g x =- 若()F x 的导数()F x '在I 上的符号，若()F x '恒正（或恒负），则可以考虑用单调性证明.(若导数符号不一致，则可能考虑最值方法证明了) （2）若不等式含有两个参数，并且能分离两个参数分别在不等式两边，且结构一样，那么可以用单调性证明（也可用拉格朗日定理证明）。 例（1） 含一个参数的 例 1 （1） 设0x <<+∞，证明不等式()1 1114x x x x ⎛⎫ ++≤ ⎪⎝⎭ ，且等号仅在1x =处 成立。 （2）证明：当0x >时，() ()2 21ln 1x x x -≥- （1）证明 注意到当1x ≤<+∞时1 01x < ≤，故只需要当证明01x <≤时成立即可 令函数()11 ln 1ln(1)ln 4f x x x x x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，其中01x <≤，则 ()()21111ln 1ln(1)11f x x x x x x x ⎛⎫ '=+--++ ⎪++⎝⎭，且()10f '= 另外 ()322(21)ln(1)(1)x x f x x x x ⎡⎤ +''= +-⎢⎥+⎣⎦ 令()2 (21) ln(1)(1) x x g x x x +=+- +，其中01x <≤，则 ()3 (1) 0(1) x x g x x -'= <+ 故在01x <≤有()()00g x g <=，从而在01x <≤有()0f x ''<，这表明 ()f x '在01x <≤严格单调减，故在01x <<时()()10f x f ''>= 这说明()f x 在01x <≤严格单调增，即()1 1114x x x x ⎛⎫ ++≤ ⎪⎝⎭ ，且等号仅在1x =处 成立。 （2）证明：当0x >时，() ()2 21ln 1x x x -≥- 证明：令()()()1ln 1f x x x x =+--，则()11 ln 1ln x f x x x x x +'=+ -=+ 故当1x >时有()0f x '>，从而()f x 单调递增，故 ()()1f x f > 即 ()()1ln 10x x x +--> 故当1x >时有 ()()2 21ln 1x x x -≥- 当01x <<时()2 11 f x x x ''= -⇒()0f x ''<，故当01x <<时()f x '单调递减，这意味着()()11f x f ''>=，从而当01x <<时()f x 单调递增， 故当01x <<时()()1f x f <，即()()1ln 10x x x +--< 故当01x <<时() ()2 21ln 1x x x -≥-。 证明不等式时可以对不等式进行恰当处理 例2 （1）证明 111a b a b a b a b +≤+ ++++ （2）证明0,0,1x y a >>>时x y x ax y a x y +⎛⎫ +> ⎪ +⎝⎭ （1）证明 111a b a b a b a b +≤+ ++++ 全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈> >⇒>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +， 全国高中数学竞赛专题-不等式 （2）商值比较法（原理：若>1，且B>0，则A>B 。） 例2 若a （一）不等式 1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则 ..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则 n a a a n +++...21....21n n a a a ≥ 3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())(( 21 1 21 2 i n i i n i i n i i b a b a ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ， 使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设+ ∈∈R b R a i i ,则.) () (1 1 2 12 ∑∑∑===≥ n i i n i i n i i i b a b a （2） 设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.) ()(1121 ∑∑∑===≥n i i i n i i n i i i b a a b a 4．（J e n s e n 不等式）若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈ )].(...)()([1 )...( 2121n n x f x f x f n n x x x f +++≤+++ 5．（幂均值不等式）设α)(0+ ∈>>R a i β 则 .)...()...(1 211 21βββ ββαααααM n a a a n a a a M n n =+++≥+++= 证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(1212 1βα βαβ αβαβαn x x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>β α 则函数βα x x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。 6．（切比雪夫不等式）设两个实数组n a a a ≤≤≤...21，n b b b ≤≤≤...21则 )....(1 )...(1 22111 1 1121n n n i i n i i n n n b a b a b a n n b n a b a b a b a n +++≤ ⋅ ≤+++∑∑==- （该不等式的证明只用排序不等式及 ∑∑==⋅n i i n i i b a 1 1 的表达式就可得证） 7．（一个基础不等式）y x y x )1(1ααα α-+≤- 其中]1,0[,0,∈≥αy x 证：若y x ,中有一个为零，则结论 成立。 设y x ,均不为零，则原不等式等价于不等式).1()()(ααα -+≤y x y x高中数学竞赛培训专题讲座(不等式)(2021年整理)
全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法
2020全国高中数学联赛《不等式》专题真题汇编
全国高中数学竞赛不等式试题
2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟专题训练- 不等式
高中数学竞赛《不等式的证明》专题练习
全国高中数学竞赛专题：不等式
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